4.1 Θεώρημα Μοναδικότητας

Μπορούν δύο διαφορετικές ολοκληρώσιμες $2\pi$-περιοδικές συναρτήσεις να έχουν τους ίδιους συντελεστές Fourier; Θα δούμε ότι η απάντηση σε αυτό το ερώτημα είναι όχι, αν και θα χρειαστεί σε αυτή τη φάση με επιβάλλουμε και κάποιες συνθήκες στις συναρτήσεις. Κατ' αρχήν είναι φανερό ότι κάποια συνθήκη πρέπει να επιβληθεί αφού μπορούμε να πάρουμε μια συνάρτηση $f$ και να την αλλάξουμε σε ένα σημείο (ή σε ένα πεπερασμένο πλήθος σημείων) πράξη η οποία δεν αλλάζει κανένα συντελεστή Fourier, αλλάζει όμως τη συνάρτηση, καταστρέφοντας τη μοναδικότητα.

Θεώρημα 4.1   [Θεώρημα Μοναδικότητας] Έστω $f$ μια $2\pi$-περιοδική συνάρτηση, ολοκληρώσιμη στο $[0,2\pi]$, και $x_0 \in [0,2\pi]$ σημείο συνέχειας της $f$. Αν όλοι οι συντελεστές Fourier της $f$ είναι μηδέν τότε $f(x_0)=0$.

Πριν δώσουμε την απόδειξη του Θεωρήματος 4.1 ας δώσουμε το σημαντικότερο πόρισμά του από το οποίο φαίνεται καθαρά γιατί το ονομάζουμε θεώρημα μοναδικότητας.

Πόρισμα 4.1   Αν $f,g \in C({\mathbb{T}})$ και $\widehat{f}(n) = \widehat{g}(n)$ για κάθε $n\in{\mathbb{Z}}$ τότε $f(x) = g(x)$ για κάθε $x \in {\mathbb{R}}$.

Απόδειξη.
Η συνάρτηση $f-g$ είναι παντού συνεχής και έχει $\widehat{f-g}(n)=0$ για κάθε $n\in{\mathbb{Z}}$. Σύμφωνα με το Θεώρημα 4.1 μηδενίζεται παντού.

Το κεντρικό ερώτημα στο οποίο η Ανάλυση Fourier οφείλει την ύπαρξή της είναι το πότε μια συνάρτηση $f$ μπορεί να «παρασταθεί» από τη σειρά Fourier της. Το επόμενο πόρισμα των Θεωρημάτων 4.1 και 3.2 είναι το πρώτο αποτέλεσμα που βλέπουμε που λέει ότι υπό κάποιες ευρείες συνθήκες αυτό όντως ισχύει.

Πόρισμα 4.2   Αν $f \in C({\mathbb{T}})$ και $\sum_n{\left\vert{\widehat{f}(n)}\right\vert} < +\infty$ τότε η σειρά Fourier της $f$ συγκλίνει ομοιόμορφα στην $f$.

Απόδειξη.
Από το Θεώρημα 3.2 έχουμε ότι η σειρά Fourier της $f$ συγκλίνει ομοιόμορφα σε μια συνάρτηση $g$ με τους ίδιους συντελεστές Fourier με την $f$. Λόγω της ομοιόμορφης σύγκλισης η $g$ είναι επίσης συνεχής παντού και άρα, από το Πόρισμα 4.1, προκύπτει ότι $f(x) = g(x)$ παντού.

Οι προϋποθέσεις του προηγούμενου Πορίσματος ισχύουν αν υποθέσουμε κάποια ομαλότητα για την $f$.

Πόρισμα 4.3   Αν $f \in C^2({\mathbb{T}})$ τότε η σειρά Fourier της $f$ συγκλίνει ομοιόμορφα στην $f$.

Απόδειξη.
Από το Πόρισμα 3.1 έχουμε ${\left\vert{\widehat{f}(n)}\right\vert} = O(1/{\left\vert{n}\right\vert}^2)$ το οποίο συνεπάγεται ότι $\sum_n{\left\vert{\widehat{f}(n)}\right\vert} < +\infty$ και το αποτέλεσμα προκύπτει από το Πόρισμα 4.2.

Απόδειξη του Θεωρήματος 4.1.
Μπορούμε κατ' αρχήν να υποθέσουμε ότι $x_0=0$ (αυτό θα απλουστεύσει λίγο τους συμβολισμούς στην απόδειξη που ακολουθεί) αντικαθιστώντας τη συνάρτηση $f$ με τη συνάρτηση $f(x-x_0)$ στην οποία τώρα το 0 είναι σημείο συνέχειας. Επειδή

$$\widehat{f(\cdot-x_0)}(n) = \widehat{f}(n)e^{-inx_0}$$

προκύπτει ότι και η νέα μας συνάρτηση έχει μηδενικούς συντελεστές Fourier.

Αρνούμαστε τώρα το συμπέρασμά μας και υποθέτουμε ότι $f(0)\neq 0$, και χωρίς βλάβη της γενικότητας υποθέτουμε $f(0)>0$. Λόγω της συνέχειας της $f$ στο 0 προκύπτει ότι υπάρχει $\delta>0$ τέτοιο ώστε

$$f(x) \ge \frac{f(0)}{2}, \gamma\iota\alpha x \in (-\delta,\delta).$$ (4.1)

Κάνουμε έπειτα την παρατήρηση ότι ο μηδενισμός όλων των συντελεστών Fourier συνεπάγεται το μηδενισμό του εσωτερικού γινομένου της $f$ με οποιοδήποτε τριγωνομετρικό πολυώνυμο. Πράγματι αν $p(x) = \sum_{n=-N}^N c_n e^{inx}$ είναι ένα τριγωνομετρικό πολυώνυμο τότε

$${\langle f, p \rangle} = {\frac{1}{2\pi}\int_0^{2\pi}}f(x)\overli... ...^{2\pi}}f(x) e^{-inx} dx = \sum_{n=-N}^N \overline{c_n} \widehat{f}(n) = 0.$$

Ο τρόπος να καταλήξουμε σε αντίφαση είναι να βρούμε ένα τριγωνομετρικό πολυώνυμο $p(x)$ για το οποίο ${\langle f, p \rangle}>0$. Για να το επιτύχουμε αυτό θα επιλέξουμε το $p(x)$ να είναι «μεγάλο» και θετικό κοντά στο 0 και «μικρό» μακριά από το 0. Ξεκινάμε κατ' αρχήν με το πολυώνυμο $\epsilon+\cos x$, όπου $\epsilon>0$. Η συνάρτηση αυτή έχει γράφημα ίδιο με της $\cos x$ αλλά σπρωγμένο προς τα πάνω κατά $\epsilon$. Επιλέγοντας

$$\epsilon = \frac{1-\cos\delta}{2}$$

πετυχαίνουμε η συνάρτηση $q(x) = \epsilon+\cos x$ (επίσης τριγωνομετρικό πολυώνυμο) να έχει

$$\sup_{\delta\le{\left\vert{x}\right\vert}\le\pi} {\left\vert{q(x)}\right\vert} = 1-\epsilon < 1$$ (4.2)

Αφού $q(0) = 1+\epsilon$ υπάρχει ένα $\eta \in (0, \delta)$ τ.ώ. να ισχύει

$$q(x) \ge 1, \gamma\iota\alpha {\left\vert{x}\right\vert}\le\eta.$$ (4.3)

Η συνάρτηση $q(x)$ φαίνεται στο σχήμα που ακολουθεί.

Σχήμα 4.1: Η συνάρτηση $q(x)$

Ορίζουμε τώρα το τριγωνομετρικό πολυώνυμο $p(x) = (q(x))^k$ όπου $k$ ένας μεγάλος φυσικός αριθμός που μένει ακόμη να προσδιορισθεί (αφού γινόμενο τριγωνομετρικών πολυωνύμων είναι επίσης τριγωνομετρικό πολυώνυμο προκύπτει ότι και το $p(x)$ είναι τριγωνομετρικό πολυώνυμο). Ο λόγος που υψώσαμε το $q(x)$ σε μια μεγάλη δύναμη είναι ότι θέλουμε να το κάνουμε πολύ μικρό στα δύο διαστήματα $[-\pi,-\delta]$ και $[\delta,\pi]$, ή, με άλλα λόγια, στο σύνολο $\delta\le{\left\vert{x}\right\vert}\le\pi$. Αυτό το επιτυγχάνουμε επειδή ισχύει η (4.2):

$${\left\vert{p(x)}\right\vert} \le (1-\epsilon)^k, \gamma\iota\alpha \delta\le{\left\vert{x}\right\vert}\le\pi.$$ (4.4)

Στο παρακάτω σχήμα φαίνεται το πώς μοιάζει το πολυώνυμο $p(x)$ (παράμετροι: $\epsilon=0.1, k=15$).

Σχήμα 4.2: Το πολυώνυμο $p(x)$

Σπάμε τώρα το εσωτερικό γινόμενο ${\langle f, p \rangle}=0$ σε τρία κομμάτια:

$$= 2\pi {\langle f, p \rangle} = \int_{-\eta}^{\eta} f(x)p(x) dx ... ...a} f(x)p(x) dx + \int_{\delta\le{\left\vert{x}\right\vert}\le\pi} f(x)p(x) dx$$ 0

$$= A + B + C.$$

όπου η έκφραση $\int_{\eta\le{\left\vert{x}\right\vert}\le\delta}$ είναι απλά συντομογραφία για το άθροισμα των δύο ολοκληρωμάτων $\int_{-\delta}^{-\eta}$ και $\int_{\eta}^{\delta}$.

Κάνουμε τώρα την παρατήρηση ότι λόγω της (4.1) και επειδή $p(x)\ge 0$ στο $(-\pi/2, \pi/2)$ θα έχουμε ότι $B\ge 0$. Επίσης λόγω της (4.1) και της (4.3) ισχύει

$$A \ge \int_{-\eta}^{\eta} f(x) dx \ge \frac{f(0)}{2} 2\eta = \eta f(0).$$

Τέλος, λόγω της (4.4) έχουμε

$${\left\vert{C}\right\vert} = {\left\vert{\int_{\delta\le{\left\vert{x}\right\vert}\le\pi} f(x)p(x) dx}\right\vert}$$

$$\le (1-\epsilon)^k \int_{\delta\le{\left\vert{x}\right\vert}\le\pi} {\left\vert{f(x)}\right\vert} dx$$

$$\le (1-\epsilon)^k \int_{-\pi}^{\pi}{\left\vert{f(x)}\right\vert} dx.$$

Αφού $(1-\epsilon)^k \to 0$ για $k \to \infty$, και επειδή η ποσότητα $\int_{-\pi}^{\pi}{\left\vert{f(x)}\right\vert} dx$ είναι πεπερασμένη (ολοκληρωσιμότητα της $f$) έπεται ότι μπορούμε να επιλέξουμε το $k$ τόσο μεγάλο ώστε να έχουμε ${\left\vert{C}\right\vert} \le \frac{1}{2}\eta f(0)$. Βάζοντας τις εκτιμήσεις αυτές για τα $A, B, C$ μαζί παίρνουμε την επιθυμητή αντίφαση

$$0 = A+B+C \ge \eta f(0) + 0 + (-\frac{1}{2}\eta f(0)) = \frac{1}{2}\eta f(0) > 0.$$

Η απόδειξη του Θεωρήματος 4.1 είναι πλήρης.