1.2 Ολοκλήρωμα Lebesgue

Το μεγάλο μειονέκτημα του ολοκληρώματος Riemann είναι ότι είναι πολύ ευαίσθητο σε μικρές αλλαγές στη συνάρτηση. Πράγματι, το ολοκλήρωμα Riemann ορίζεται ως το όριο των λεγόμενων Riemann αθροισμάτων τα οποία χρησιμοποιούν τις τιμές της υπό ολοκλήρωση συνάρτησης σε σημεία του διαστήματος. Μπορούμε εύκολα λοιπόν να «καταστρέψουμε» αυτά τα Riemann αθροίσματα πειράζοντας τη συνάρτηση στα κατάλληλα σημεία, πράγμα που σίγουρα δε θα έπρεπε να έχει επίπτωση στο εμβαδό του αθροίσματος κάτω από το γράφημα της συνάρτησης. Αυτός είναι και ο λόγος που συναρτήσεις που είναι πολύ εύκολο να οριστούν δεν έχουν ολοκλήρωμα Riemann. Το πιο απλό ίσως παράδειγμα είναι η χαρακτηριστική συνάρτηση των ρητών (όπως και αυτή των αρρήτων) της οποίας όλα τα κάτω Riemann αθροίσματα είναι 0 και όλα τα άνω Riemann αθροίσματα είναι 1 (στο διάστημα $[0,1]$ για παράδειγμα), και άρα δεν είναι Riemann ολοκληρώσιμη.

Αν αλλάξουμε μια Riemann ολοκληρώσιμη συνάρτηση, για παράδειγμα την μηδενική, σε πεπερασμένα σημεία τότε η συνάρτηση θα παραμείνει Riemann ολοκληρώσιμη και δεν θα αλλάξει το ολοκλήρωμα Riemann της. Αν, όμως, την αλλάξουμε σε άπειρα σημεία και από την μηδενική δημιουργήσουμε την συγκεκριμένη χαρακτηριστική συνάρτηση των ρητών, τότε η συνάρτηση παύει να είναι Riemann ολοκληρώσιμη. Αυτό δεν ισχύει για το ολοκλήρωμα Lebesgue που θα περιγράψουμε στη συνέχεια. Και η μηδενική αλλά και η χαρακτηριστική συνάρτηση των ρητών είναι Lebesgue ολοκληρώσιμες και έχουν ολοκλήρωμα Lebesgue ίσο με 0.

Ιδού άλλη μία ένδειξη του πόσο πιο εύχρηστο είναι το ολοκλήρωμα Lebesgue σε σχέση με τις τιμές της συνάρτησης σε μεμονωμένα σημεία. Θα επιτρέπουμε από δω και πέρα στις συναρτήσεις να παίρνουν και τις τιμές $+\infty$ ή $-\infty$ και αυτό δε θα μας εμποδίσει, ως επί το πλείστον, να βρίσκουμε το ολοκλήρωμά τους. Ας είναι λοιπόν

$$\overline{{\mathbb{R}}}={\mathbb{R}}\cup{\left\{{-\infty, +\infty}\right\}}$$

οι επεκτεταμένοι πραγματικοί αριθμοί και ας είναι $f:{\mathbb{R}}\to\overline{{\mathbb{R}}}$ μια συνάρτηση.

1.2.1 Απλές και μη αρνητικές συναρτήσεις

Ας ξεκινήσουμε με μια πολύ απλή περίπτωση: $f(x) = \chi_E(x)$ είναι η χαρακτηριστική συνάρτηση ενός συνόλου $E$ (είναι 0 έξω από το $E$.$1$ μέσα σε αυτό, δείτε το Σχήμα 1.4). Δεν έχουμε καμιά επιλογή για το πόσο πρέπει να είναι το ολοκλήρωμα της $f$, αν φυσικά θέλουμε να ορίσουμε μια ποσότητα που να μην αντιφάσκει με όσα ήδη ξέρουμε για το ολοκλήρωμα Riemann:

$$\int f = m(E).$$

Σχήμα 1.4: Η χαρακτηριστική συνάρτηση του συνόλου $E$ και το ολοκληρωμά της (εμβαδό κάτω από το γράφημά της).

Αν επίσης θέλουμε το ολοκλήρωμα να είναι γραμμικό, να ισχύει δηλ.

$$\int (\lambda f+ \mu g) = \lambda\int f + \mu\int g$$

( $\lambda,\mu\in{\mathbb{R}}$.$f,g$ συναρτήσεις), τότε ξέρουμε αμέσως πως να ορίσουμε το ολοκλήρωμα Lebesgue για πεπερασμένους γραμμικούς συνδυασμούς χαρακτηριστικών συναρτήσεων συνόλων:

$$\int \sum_{j=1}^N c_j \chi_{E_j} = \sum_{j=1}^N c_j m(E_j),$$ (1.2)

όπου $c_j\in\overline{{\mathbb{R}}}$ και $E_j\subseteq{\mathbb{R}}$.

Πρέπει φυσικά να είμαστε λίγο προσεκτικοί με την προσθαφαίρεση αριθμών του $\overline{{\mathbb{R}}}$ και να θυμόμαστε ότι δεν προσθέτουμε ποτέ το $+\infty$ με το $-\infty$. Μια άλλη διαφορά με την ανάλυση όπως την ξέραμε ως τώρα είναι ότι στον παραπάνω τύπο ένα γινόμενο του τύπου $0\cdot\infty$ είναι πάντα ίσο με 0.

Άσκηση 1.6   Μια συνάρτηση που είναι πεπερασμένος γραμμικός συνδυασμός χαρακτηριστικών συναρτήσεων ονομάζεται «απλή» συνάρτηση (Σχήμα 1.5). Δείξτε ότι μια συνάρτηση είναι απλή αν και μόνο αν το σύνολο των τιμών που παίρνει είναι πεπερασμένο.

Σχήμα 1.5: Η απλή συνάρτηση $c_1\chi_{E_1}+c_2\chi_{E_2}$

Υπόδειξη: Το ότι η συνάρτηση, ας την πούμε $f$, είναι απλή σημαίνει ότι το σύνολο των τιμών της, $V$, είναι ένα πεπερασμένο σύνολο $V = {\left\{{v_1, v_2, \ldots, v_k}\right\}}$. Χρησιμοποιήστε τα σύνολα $E_j = {\left\{{x: f(x)=v_j}\right\}}$ όπου $j=1,2,\ldots,k$.

Άσκηση 1.7   Δείξτε ότι $\int\chi_{\mathbb{Q}}=0$.

Υπόδειξη: Η $\chi_{\mathbb{Q}}$ είναι απλή συνάρτηση.

Ο ορισμός του ολοκληρώματος Lebesgue για μια οποιαδήποτε μη αρνητική συνάρτηση $f:{\mathbb{R}}\to{\mathbb{R}}\cup{\left\{{+\infty}\right\}}$ γίνεται χρησιμοποιώντας όλες τις μη αρνητικές απλές συναρτήσεις που είναι κάτω από την $f$ (Σχήμα 1.6):

Σχήμα 1.6: Μια μη αρνητική συνάρτηση $f$ και μια απλή συνάρτηση $g$ με $g \le f$ παντού

$$\int f = \sup{\left\{{\int g: 0\le g\le f}\right\}}$$ (1.3)

και $g$ απλή. Το ολοκλήρωμα λοιπόν μιας $f\ge 0$ πάντα υπάρχει αλλά μπορεί να είναι και $\infty$. Αυτό είναι ήδη μια τεράστια ανακούφιση σε σχέση με το ολοκλήρωμα Riemann. (Πάντα με την υποθάλπουσα παραδοχή ότι μας απασχολούν μόνο οι μετρήσιμες συναρτήσεις.)

Άσκηση 1.8   Αν $0\le f \le g$ δείξτε ότι $0 \le \int f \le \int g$

Τέλος, αν $f:{\mathbb{R}}\to\overline{{\mathbb{R}}}$ είναι οποιαδήποτε συνάρτηση μπορούμε να γράψουμε την $f$ ως διαφορά δύο μη αρνητικών συναρτήσεων (Σχήμα 1.7)

Σχήμα 1.7: Μια προσημασμένη συνάρτηση $f$ μαζί με το θετικό και αρνητικό μέρος της $f^+$ και $f^-$

$$f = f^+ - f^-$$

όπου $f^+ = \max{\left\{{0, f}\right\}}$ και $f^- = -\min{\left\{{0,f}\right\}}$. Παρατηρήστε ότι ισχύει ${\left\vert{f}\right\vert}=f^++f^-$. Η γραμμικότητα μας επιβάλλει να ορίσουμε το ολοκλήρωμα μιας τέτοιας $f$ ως

$$\int f = \int f^+ - \int f^-,$$

και πάλι βέβαια με την προϋπόθεση ότι δεν έχουμε την απροσδιόριστη μορφή $\infty - \infty$ (σε αυτή και μόνο την περίπτωση δεν ορίζεται το ολοκλήρωμα).

Αν τώρα η $f$ είναι μιγαδική συνάρτηση, $f = u+iv$, όπου $u, v$ είναι πραγματικές συναρτήσεις, ορίζουμε το ολοκλήρωμα της $f$ (και πάλι λόγω της επιθυμητής γραμμικότητας) να είναι

$$\int f = \int u + i \int v.$$

Μέχρι τώρα έχουμε ορίσει μόνο το ολοκλήρωμα μιας συνάρτησης πάνω σε όλη την πραγματική ευθεία. Πώς μπορούμε να ορίσουμε το ολοκλήρωμα μιας συνάρτησης πάνω σε ένα υποσύνολο $A \subseteq {\mathbb{R}}$; Πολύ απλά

$$\int_A f = \int \chi_A\cdot f$$

με την προϋπόθεση φυσικά ότι το δεξί μέλος ορίζεται.

Αξίζει εδώ να αναφέρουμε ότι η κατάσταση με το ολοκλήρωμα Riemann είναι πολύ διαφορετική: μια συνάρτηση είναι Riemann ολοκληρώσιμη αν και μόνο αν το σύνολο των σημείων όπου είναι ασυνεχής έχει μέτρο 0.

Άσκηση 1.9   Αν $f\ge 0$ στο $A$ και $\int_A f = 0$ δείξτε ότι $f=0$ σχεδόν παντού στο $A$.

Υπόδειξη: Αν $n=1,2,\ldots$ μπορεί το μέτρο του συνόλου όπου $f > 1/n$ να είναι θετικό; Παρατηρήστε ότι

$${\left\{{f>0}\right\}} = \bigcup_n{\left\{{f>1/n}\right\}}$$

και χρησιμοποιήστε το Θεώρημα 1.1.6 και το Πρόβλημα 1.8.

Άσκηση 1.10   Αν $A \subseteq B$ και $f:B\to[0,+\infty]$ τότε $\int_A f \le \int_B f$.

1.2.2 Ολοκληρωσιμότητα. Ο χώρος $L^1(A)$.

Μια συνάρτηση λέγεται «ολοκληρώσιμη» στο $A \subseteq {\mathbb{R}}$ αν $\int_A{\left\vert{f}\right\vert}< +\infty$, πράγμα που είναι ισοδύναμο με το να ισχύει

$$\int_A f^+ < +\infty, \int_A f^- < +\infty.$$

Για μιγαδικές συναρτήσεις έχουμε τον ίδιο ορισμό ολοκληρωσιμότητας (να είναι δηλ. $\int_A{\left\vert{f}\right\vert}< +\infty$).

Γράφουμε $L^1(A)$ για το χώρο όλων των συναρτήσεων $f:A\to{\mathbb{C}}$ που είναι ολοκληρώσιμες στο $A$.

Άσκηση 1.11   Αποδείξτε ότι κάθε φραγμένη συνάρτηση είναι ολοκληρώσιμη σε κάθε σύνολο $A \subseteq {\mathbb{R}}$ με $m(A)< +\infty$.

Άσκηση 1.12   Αν $f:A\to[0,+\infty]$ είναι ολοκληρώσιμη τότε η $f$ είναι πεπερασμένη σχεδόν παντού στο $A$. Με άλλα λόγια $m{\left\{{x\in A: f(x)=\infty}\right\}} = 0$.

Υπόδειξη: Συγκρίνετε την $f$ με την απλή συνάρτηση $g$ που είναι 0 εκεί όπου η $f$ είναι πεπερασμένη και $\infty$ όπου και η $f$. Ποιο το $\int g$ και ποια η σχέση του με το $\int f$;

Άσκηση 1.13   (Ανισότητα Markov)
Αν $0\le f \in L^1(A)$ και $\lambda>0$ τότε $m{\left\{{x\in A: f(x)\ge\lambda}\right\}} \le \int_A f/\lambda$.

Πόσο καλύτερη μπορεί να γίνει η ανισότητα αυτή αν γνωρίζετε όχι απλά ότι $\int f < +\infty$ αλλά ότι $\int e^f < +\infty$;

Μπορείτε να βάλετε πιο γενικές συναρτήσεις της $f$ στη θέση της εκθετικής εδώ;

Υπόδειξη: Αν $E={\left\{{x\in A: f(x)\ge\lambda}\right\}}$ τότε $\int_A f \ge \int_E f \ge \int_E \lambda$.

1.2.3 Υπολογισμοί και θεωρήματα σύγκλισης

Αποδεικνύεται εύκολα ότι αν η $f:[a,b] \to {\mathbb{R}}$ είναι Riemann ολοκληρώσιμη συνάρτηση (π.χ. συνεχής ή τμηματικά συνεχής) τότε το ολοκλήρωμα Riemann της $f$ είναι ίδιο με το ολοκλήρωμα Lebesgue. Έτσι μπορούμε να χρησιμοποιούμε όλες τις τεχνικές υπολογισμού που έχουμε μάθει για το ολοκλήρωμα Riemann για να υπολογίζουμε ολοκληρώματα Lebesgue συνεχών συναρτήσεων. Επίσης συχνά χρησιμοποιούμε το, συνηθισμένο από το ολοκλήρωμα Riemann, συμβολισμό $\int_a^b f(x) dx$ ή $\int_a^b f$ αντί για τον $\int_{[a,b]} f$.

Επίσης ισχύει ο γνωστός μας τύπος για την αλλαγή μεταβλητής. Αν $\phi:[a,b]\to{\mathbb{R}}$ είναι συνεχώς παραγωγίσιμη και αύξουσα τότε

$$\int_a^b f(\phi(x))\phi'(x) dx = \int_c^d f(y) dy$$ (1.4)

όπου $c=\phi(a)$.$d=\phi(b)$.

Το ολοκλήρωμα Lebesgue είναι πολύ εύχρηστο κυρίως λόγω των θεωρημάτων σύγκλισης, τα οποία μας λένε ουσιαστικά πότε μπορούμε να αλλάξουμε τη σειρά δύο οριακών διαδικασιών.

Θεώρημα 1.2 (Θεώρημα Μονότονης Σύγκλισης)   Αν $f_n:A\to[0,+\infty]$ είναι μια ακολουθία μη αρνητικών συναρτήσεων που είναι μονότονη (ως προς $n$)

$$f_n(x) \le f_{n+1}(x), (x\in A),$$

και $f(x) = \lim_n f_n(x)$ τότε

$$\lim_n \int_A f_n = \int_A f.$$

Άσκηση 1.14   Αν $f:[0,1]\to[0,+\infty]$ δείξτε ότι

$$\int_0^1 f(x) dx = \lim_{n\to\infty} \int_{1/n}^1 f(x) dx.$$

Υπόδειξη: Γράψτε

$$f_n = \chi_{[\frac{1}{n},1]} f$$

και χρησιμοποιήστε το Θεώρημα 1.2.

Χρησιμοποιήστε το αυτό για να υπολογίσετε τα ολοκληρώματα $\int_0^1 x^\alpha dx$ για όλες τις τιμές του $\alpha\in{\mathbb{R}}$. Για ποιες τιμές του $\alpha$ είναι η $x^\alpha$ στο $L^1([0,1])$; Με παρόμοιο τρόπο εργαζόμενοι αλλά στο διάστημα $[1,\infty)$ βρείτε για ποιες τιμές είναι η συνάρτηση $x^\alpha$ στο $L^1([1,\infty])$;

Άσκηση 1.15 (Εναλλαγή άθροισης και ολοκλήρωσης για μη αρνητικές συναρτήσεις.)  
Αν $f_n:A\to[0,+\infty]$ και $f = \sum_n f_n$ (παρατηρήστε ότι το όριο πάντα υπάρχει στο $[0,+\infty]$) τότε αν

$$\sum_n\int_A f_n < +\infty$$

έπεται ότι η $f$ είναι σχεδόν παντού πεπερασμένη.

Υπόδειξη: Ποιο το ολοκλήρωμα της $f$; Χρησιμοποιήστε και το Πρόβλημα 1.12.

Άσκηση 1.16   Ας είναι $x_n \in [0,1/2]$ και $0 \le \ell_n \le 1/2$ τέτοια ώστε $\sum_n \ell_n < +\infty$. Δείξτε ότι η σειρά

$$\sum_n \chi_{[x_n, x_n+\ell_n]}(x)$$

συγκλίνει (σε πεπερασμένο αριθμό) σχεδόν για όλα τα $x \in [0,1]$.

Τι συμπεραίνετε για την ποσότητα $N(x) =$ σε πόσα από τα διαστήματα $[x_n, x_n+\ell_n]$ ανήκει ο αριθμός $x \in [0,1]$;

Υπόδειξη: Χρησιμοποιήστε το Πρόβλημα 1.15.

Το σημαντικότερο ίσως οριακό θεώρημα για το μέτρο Lebesgue είναι το επόμενο. Λέμε ότι οι $f_n$ «κυριαρχούνται» από την $g$.

Θεώρημα 1.3   (Θεώρημα Κυριαρχημένης Σύγκλισης) Έστω $f_n, g \in L^1(A)$.$g \ge 0$, τέτοιες ώστε ${\left\vert{f_n(x)}\right\vert} \le g(x)$ σχεδόν παντού στο $A$. Έστω επίσης ότι υπάρχει το όριο $f(x) = \lim_n f_n(x)$ σχεδόν για κάθε $x \in A$. Τότε

$$\lim_n \int_A f_n = \int_A f.$$

(Δείτε και το Σχήμα 1.8.)

Σχήμα 1.8: Η συνάρτηση $g$ είναι μεγαλύτερη και από την $f$ και από τις $f_n$

Άσκηση 1.17   Υπό τις προϋποθέσεις του Θεωρήματος 1.3 δείξτε ότι ισχύει και $\int_A {\left\vert{f_n-f}\right\vert} \to 0$.

Υπόδειξη: Από την τριγωνική ανισότητα έχουμε ${\left\vert{f_n-f}\right\vert} \le 2{\left\vert{g}\right\vert}$.

Άσκηση 1.18   Κατασκευάστε μια ακολουθία $f_n:[0,1]\to[0,+\infty)$ τέτοια ώστε $f_n(x) \to 0$ για κάθε $x \in [0,1]$ αλλά με $\int_0^1 f_n \to +\infty$.

Υπόδειξη: Δε θα πρέπει φυσικά να ισχύουν οι υποθέσεις του Θεωρήματος 1.3 για να τα καταφέρετε. Είναι καλή ιδέα να μη ψάχνετε για μια φόρμουλα για την ακολουθία $f_n(x)$ αλλά να προσπαθήσετε να σχεδιάσετε το πώς μοιάζουν τα γραφήματά τους και να θυμάστε ότι το ολοκλήρωμα είναι το εμβαδό κάτω από το γράφημα. Μια ιδέα είναι να προχωρήσετε όπως στο Σχήμα 1.9.

Σχήμα 1.9: Ακολουθία συναρτήσεων $f_n$ που τείνει στο 0 κατά σημείο αλλά που τα ολοκληρώματά της τείνουν στο $\infty$

Άσκηση 1.19 (Συνέχεια του αορίστου ολοκληρώματος)   Αν $f \in L^1([a,b])$ και $x_0 \in (a,b)$ τότε η συνάρτηση

$$F(x) = \int_a^x f(t) dt (x \in [a,b])$$

(που ονομάζεται αόριστο ολοκλήρωμα της $f$) είναι συνεχής στο $x_0$.

Υπόδειξη: Αν $h_n \to 0$ δείξτε ότι η ποσότητα $F(x_0+h_n)-F(x_0)$ τείνει στο 0 χρησιμοποιώντας το Θεώρημα 1.3 για τις συναρτήσεις $f_n = f\cdot\chi_{[a,x_0+h_n]}$ οι οποίες κυριαρχούνται από την $f$.

Άσκηση 1.20   Αν $f \in L^1(A)$ και ορίσουμε

$$g_n(x) = \begin{cases}{\left\vert{f(x)}\right\vert} & \alpha\nu \... ...)}\right\vert} \ge n 0 & \alpha\lambda\lambda\iota\omega\varsigma \end{cases}$$

δείξτε ότι $\int_A g_n \to 0$.

Άσκηση 1.21   Αν $f \in L^1(A)$ και $A_n \subseteq A$ είναι τέτοια ώστε $m(A_n) \to 0$ δείξτε ότι $\int_{A_n} f \to 0$.

Υπόδειξη: Γράψτε την $f$ σαν άθροισμα των συναρτήσεων

$f_1 = f\cdot\chi_{\left\{{{\left\vert{f}\right\vert} > M}\right\}}$ και $f_2 = f\cdot\chi_{\left\{{{\left\vert{f}\right\vert}\le M}\right\}}$,

όπου $M>0$ είναι μια παράμετρος που επιλέγεται αρκετά μεγάλη. Δείξτε πρώτα το ζητούμενο για τη φραγμένη συνάρτηση $f_2$ και χρησιμοποιήστε το Πρόβλημα 1.20 για την $f_1$.

1.2.4 Μέτρο και ολοκλήρωμα στο ${\mathbb{R}}^d$. Θεώρημα του Fubini

Όπως ορίζει κανείς το μέτρο ενός συνόλου στο ${\mathbb{R}}$ έτσι ορίζει και το μέτρο ενός συνόλου στο ${\mathbb{R}}^d$ για $d>1$. Υπάρχουν κάποιες λίγες διαφορές και επιπλέον τεχνικές δυσκολίες αλλά η ουσία είναι η ίδια. Η στρατηγική που ακολουθείται για να οριστεί το μέτρο στο ${\mathbb{R}}^d$ είναι και πάλι ότι πρώτα ορίζει κανείς το μέτρο ενός διαστήματος (διάστημα στο ${\mathbb{R}}^d$ είναι η ορολογία που χρησιμοποιείται για να περιγράψουμε ένα ορθογώνιο με πλευρές παράλληλους με τους άξονες)

$$I = (a_1, b_1) \times (a_2, b_2) \times \cdots \times (a_d, b_d)$$

να είναι ο «όγκος» του

$$m(I) = (b_1-a_1)(b_2-a_2)\cdots(b_d-a_d).$$

Έχοντας ορίσει το μέτρο ενός διαστήματος μπορούμε μετά να ορίσουμε το μέτρο ενός γενικού συνόλου $Α$ παίρνοντας το infimum για όλες τις καλύψεις του συνόλου από αριθμήσιμες οικογένειες διαστημάτων

Σχήμα 1.10: Κάλυψη συνόλου $A \subseteq {\mathbb{R}}^d$ από τέσσερα διαστήματα $I_1,\ldots,I_4$.

$$A \subseteq \bigcup_n I_n,$$

και ορίζοντας

$$m(A) = \inf \sum_n m(I_n)$$

παίρνοντας το infimum για όλες αυτές τις καλύψεις (Σχήμα 1.10). (Ισχύει κι εδώ η παρατήρηση που κάναμε στη μια διάσταση, ότι δηλ. δε μπορεί να οριστεί το μέτρο για όλα τα υποσύνολα του ${\mathbb{R}}^d$, αλλά για μια ευρύτατη κατηγορία συνόλων, που τα ονομάζουμε «μετρήσιμα» σύνολα. Όλα τα σύνολα που θα συναντάμε από δω και πέρα θα είναι μετρήσιμα.)

Για το μέτρο Lebesgue στο ${\mathbb{R}}^d$ ισχύουν και πάλι όλες οι ιδιότητες του Θεωρήματος 1.1 με μόνη διαφορά στο 1.1.11 που ισχύει ως εξής:

$$m(\lambda E) = {\left\vert{\lambda}\right\vert}^d m(E).$$

Το ολοκλήρωμα Lebesgue συναρτήσεων στο ${\mathbb{R}}^d$ ορίζεται με την ίδια διαδικασία. Πρώτα ορίζουμε το ολοκλήρωμα κάθε απλής συνάρτησης

$$f = \sum_{j=1}^n c_j \chi_{E_j},$$ (1.5)

όπου $E_j$ είναι σύνολα και $c_j \in {\mathbb{C}}$ είναι μιγαδικοί αριθμοί. Το ολοκλήρωμα μιας τέτοιας $f$ ορίζεται και πάλι να είναι

$$\int f = \sum_{j=1}^n c_j m(E_j).$$

(Όπως και στη μονοδιάστατη περίπτωση πρέπει να αποδείξει κι εδώ κανείς ότι αν μια απλή συνάρτηση γραφτεί με διαφορετικό τρόπο ως γραμμικός συνδυασμός χαρακτηριστικών συναρτήσεων τότε το αποτέλεσμα του τύπου (1.5) δεν αλλάζει.)

Έπειτα ορίζει κανείς το ολοκλήρωμα μη αρνητικών συναρτήσεων προσεγγίζοντας τις από κάτω από απλές συναρτήσεις όπως ακριβώς στη μια διάσταση και τέλος ορίζει το ολοκλήρωμα προσημασμένων συναρτήσεων γράφοντάς τις ως διαφορά δύο μη αρνητικών συναρτήσεων. Η ολοκληρωσιμότητα και οι χώροι $L^1(A)$ ορίζονται ακριβώς το ίδιο και το Θεώρημα Μονότονης Σύγκλισης 1.2 όπως και το Θεώρημα Κυριαρχημένης Σύγκλισης 1.3 ισχύουν και σε αυτή την περίπτωση.

Το θεώρημα του Fubini 1.4 μας επιτρέπει να υπολογίσουμε ένα ολοκλήρωμα (ένα διπλό ολοκλήρωμα όπως λέμε) στο ${\mathbb{R}}^2$ (ή σε μεγαλύτερη διάσταση αλλά ας περιοριστούμε προς το παρόν στο ${\mathbb{R}}^2$) ως ένα επαναλαμβανόμενο ολοκλήρωμα.

Θεώρημα 1.4 (Fubini)   Αν $f:{\mathbb{R}}^2\to{\mathbb{C}}$ και ισχύει

$$\int_{{\mathbb{R}}^2} {\left\vert{f}\right\vert} < +\infty$$ (1.6)

τότε ισχύει

$$\int_{{\mathbb{R}}^2} f = \int \int f(x,y) dx dy = \int \int f(x,y) dy dx.$$ (1.7)

Αν η $f$ είναι μη αρνητική τότε η (1.7) ισχύει χωρίς την προϋπόθεση (1.6) (αλλά μπορούν φυσικά και τα δύο μέλη της να είναι $+\infty$).

Συνέπεια της τελευταίας πρότασης είναι ότι αν ισχύει

$$\int \int {\left\vert{f(x,y)}\right\vert} dx dy < +\infty \eta \int \int {\left\vert{f(x,y)}\right\vert} dy dx < +\infty$$ (1.8)

τότε ισχύει και η υπόθεση (1.6). Τα ολοκληρώματα που εμφανίζονται στο (1.7) και στο (1.8) είναι επαναλαμβανόμενα μονοδιάστατα ολοκληρώματα, είναι δηλ.

$$\int \int f(x,y) dx dy = \int\left(\int f(x, y) dx\right) dy.$$

Πρώτα δηλ. ολοκληρώνουμε τη συνάρτηση $f(x,y)$ ως προς $x$, και άρα το αποτέλεσμα είναι μια συνάρτηση του $y$, και έπειτα ολοκληρώνουμε ως προς $y$ τη συνάρτηση αυτή του $y$ που προέκυψε με την πρώτη ολοκλήρωση.

Άσκηση 1.22   Αν $f, g \in L^1({\mathbb{R}}^d)$ τότε η συνέλιξή τους ορίζεται ως η συνάρτηση

$$f*g(x) = \int f(y) g(x-y) dy, (x \in {\mathbb{R}}^d).$$ (1.9)

Δείξτε ότι η συνάρτηση $f*g$ είναι καλώς ορισμένη σχεδόν για κάθε $x\in{\mathbb{R}}^d$, ότι δηλ. σχεδόν για κάθε $x\in{\mathbb{R}}^d$ η συνάρτηση του $y$ που ολοκληρώνουμε, η $f(y)g(x-y)$, είναι ολοκληρώσιμη, ισχύει δηλ. $\int {\left\vert{f(y) g(x-y)}\right\vert} dy < +\infty$. Για τα υπόλοιπα $x$ ορίζουμε $f*g(x)=0$.

Υπόδειξη: Χρησιμοποιήστε το Θεώρημα Fubini 1.4 για μη αρνητικές συναρτήσεις και δείξτε ότι

$$\int \int {\left\vert{f(y) g(x-y)}\right\vert} dy dx < +\infty.$$

Έπειτα χρησιμοποιήστε το Πρόβλημα 1.12 για να δείξετε το ζητούμενο.

Άσκηση 1.23   Αν $f, g \in L^1({\mathbb{R}}^d)$ δείξτε ότι $f*g \in L^1({\mathbb{R}}^d)$ και μάλιστα

$$\int {\left\vert{f*g}\right\vert} \le \int{\left\vert{f}\right\vert} \cdot \int{\left\vert{g}\right\vert}.$$ (1.10)

Άσκηση 1.24   Αν $f, g:{\mathbb{R}}^d\to{\mathbb{C}}$, $f \in L^1({\mathbb{R}}^d)$ και ${\left\vert{g}\right\vert} \le M$ τότε η $f*g$ ορίζεται για κάθε $x\in{\mathbb{R}}^d$ από την (1.9), είναι φραγμένη και μάλιστα ${\left\vert{f*g}\right\vert} \le M\int{\left\vert{f}\right\vert}$ παντού στο ${\mathbb{R}}^d$.

Άσκηση 1.25   Αποδείξτε ότι οι συναρτήσεις $f*g$ και $g*f$ είναι σχεδόν παντού ίσες αν $f,g \in L^1({\mathbb{R}})$.

Υπόδειξη: Χρησιμοποιήστε τον τύπο (1.4) για μια κατάλληλη αλλαγή μεταβλητής και το Θεώρημα 1.4.