2.6 Προβλήματα

Άσκηση 2.16   Αποδείξαμε παραπάνω ότι οποιοσδήποτε πεπερασμένος ${\mathbb{C}}$-γραμμικός συνδυασμός των εκθετικών συναρτήσεων $e^{inx}$, με $n\in{\mathbb{Z}}$, δε μπορεί να είναι η μηδενική συνάρτηση εκτός αν όλοι οι συντελεστές είναι 0 (γραμμική ανεξαρτησία). Η μέθοδος που χρησιμοποιήσαμε είναι ότι δείξαμε πρώτα ότι οι συναρτήσεις αυτές είναι μεταξύ τους ορθογώνιες στο διάστημα $[0,2\pi]$, ισχύει δηλαδή

$${\langle e^{imx}, e^{inx} \rangle} = {\frac{1}{2\pi}\int_0^{2\pi}}e^{i(m-n)x} dx = 0$$

αν $m \neq n$. Αυτό παύει να ισχύει αν οι συχνότητες δεν είναι ακέραια πολλαπλάσια του ίδιου αριθμού. Αν λοιπόν $0< \lambda_1 < \lambda_2 < \cdots < \lambda_n$ είναι πραγματικοί αριθμοί τότε χρειαζόμαστε κάποια άλλη μέθοδο για να δείξουμε ότι οι εκθετικές συναρτήσεις

$$e^{i\lambda_1 x}, e^{i\lambda_2 x}, \ldots, e^{i\lambda_n x}$$

είναι ${\mathbb{C}}$-γραμμικώς ανεξάρτητες. Δείξτε το αυτό υποθέτοντας ότι $f(x) = \sum_{j=1}^n c_j e^{i\lambda_j x} = 0$ και παίρνοντας $N$-οστές παραγώγους της $f$ για $N$ πολύ μεγάλο. Εξηγήστε γιατί δε μπορεί να μηδενίζεται ταυτοτικά η $f^{(N)}(x)$. Εξηγήστε επίσης γιατί η συνθήκη $0<\lambda_1$ παραπάνω δε χρειάζεται και μπορούν τα $\lambda_j$ να είναι οποιοιδήποτε διαφορετικοί πραγματικοί αριθμοί.

Άσκηση 2.17   Ένα υποσύνολο $G \subseteq {\mathbb{R}}$ λέγεται (προσθετική) υποομάδα αν για κάθε $a, b \in G$ ισχύει $a-b \in G$. Π.χ. οι ακέραιοι είναι προσθετική υποομάδα του ${\mathbb{R}}$ και επίσης το σύνολο

$$H = {\left\{{m+n\sqrt{2}: m, n \in {\mathbb{Z}}}\right\}}$$ (2.11)

είναι υποομάδα. Έστω $G$ υποομάδα του ${\mathbb{R}}$ που έχει κάποιο σημείο συσσώρευσης. Δείξτε ότι η $G$ είναι πυκνή στο ${\mathbb{R}}$, ότι κάθε ανοιχτό διάστημα δηλαδή περιέχει στοιχεία της $G$.

Υπόδειξη: Βρείτε, για κάθε $\epsilon>0$, δύο διαφορετικά στοιχεία $g_1, g_2 \in G$ που να απέχουν το πολύ $\epsilon$. Τότε οι αριθμοί $k(g_1-g_2)$, $k\in{\mathbb{Z}}$, ανήκουν στην $G$.

Τέλος, δείξτε ότι η υποομάδα $H$ στην (2.11) είναι πυκνή στο ${\mathbb{R}}$.

Υπόδειξη: Το ότι $\sqrt{2}$ είναι άρρητος συνεπάγεται ότι διαφορετικά $m, n$ μας δίνουν διαφορετικούς αριθμούς $m+n\sqrt{2}$. Δείξτε ότι η $H$ έχει σημείο συσσώρευσης δείχνοντας ότι έχει άπειρα στοιχεία στο διάστημα $[0,1]$.

Άσκηση 2.18   Ένα αλγεβρικό πολυώνυμο είναι μια συνάρτηση της μορφής

$$p(z) = p_0 + p_1 z + \cdots + p_n z^n,$$

όπου $p_j \in {\mathbb{C}}$ και η μεταβλητή $z$ είναι επίσης μιγαδική. Ένα πολυώνυμο Laurent είναι μια συνάρτηση της μορφής

$$q(z) = q_{-n}z^{-n} + q_{-n+1}z^{-n+1} + \cdots + q_n z^n,$$

η οποία βεβαίως δεν ορίζεται στο 0 αλλά στο ${\mathbb{C}}\setminus{\left\{{0}\right\}}$ αν υπάρχουν αρνητικοί εκθέτες. Ποια σχέση υπάρχει ανάμεσα στα τριγωνομετρικά πολυώνυμα και στα πολυώνυμα Laurent περιορισμένα στον μοναδιαίο κύκλο

$${\left\{{z: {\left\vert{z}\right\vert}=1}\right\}} = {\left\{{e^{it}: t\in{\mathbb{R}}}\right\}}$$

του μιγαδικού επιπέδου;

Άσκηση 2.19   Εξηγήστε ποια είναι η σχέση ανάμεσα στις $2\pi$-περιοδικές συναρτήσεις ${\mathbb{R}}\to{\mathbb{C}}$ και στις μιγαδικές συναρτήσεις που ορίζονται πάνω στο μοναδιαίο κύκλο ${\left\{{{\left\vert{z}\right\vert}=1}\right\}}$.

Άσκηση 2.20   Έστω $p(x)=\sum_k p_k e^{ikx}$ και $q(x) = \sum_k q_k e^{ikx}$ δύο τριγωνομετρικά πολυώυμα. (Αυτό σημαίνει ότι οι δύο ακολουθίες συντελεστών $p_k, q_k$ είναι τελικά μηδενικές, υπάρχει δηλ. ένας πεπερασμένος φυσικός αριθμός $N$ τ.ώ. $p_k = q_k = 0$ όταν ${\left\vert{k}\right\vert}>N$.) Αν

$$r(x) = \sum_k r_k e^{ikx} = p(x)q(x)$$

είναι το γινόμενό τους δείξτε ότι οι συντελεστές του $r(x)$ δίνονται μέσω των συντελεστών των $p(x)$ και $q(x)$ από τους τύπους

$$r_k = \sum_n p_n q_{k-n} = \sum_n q_n p_{k-n}.$$ (2.12)

Η ακολουθία $r_k$ ονομάζεται και συνέλιξη των ακολουθιών $p_k$ και $q_k$. Παρατηρήστε ότι το άθροισμα στην (2.12) είναι πεπερασμένο ακριβώς επειδή οι ακολουθίες $p_k$ και $q_k$ είναι τελικά μηδενικές.

Άσκηση 2.21   Αν $p(x) = \sum_{n=-N}^N p_n e^{inx}$ είναι ένα τριγωνομετρικό πολυώνυμο και $k\in{\mathbb{Z}}$ δείξτε ότι και η συνάρτηση $p(x) e^{ikx}$ είναι τριγωνομετρικό πολυώνυμο και βρείτε ποιοι είναι οι συντελεστές του.