6.3 Όχι σύγκλιση κατά $L^1$

Δείχνουμε τώρα ότι δεν ισχύει απαραίτητα ούτε ${\left\Vert{S_N(f)-f}\right\Vert _{1}} \to 0$ για κάθε $f \in L^1({\mathbb{T}})$.

Πράγματι, αν ίσχυε κάτι τέτοιο, όπως και στην περίπτωση της σύγκλισης κατά $L^\infty$, θα είχαμε ότι για κάθε $f \in L^1({\mathbb{T}})$ η ακολουθία ${\left\Vert{S_N(f)}\right\Vert _{1}}$ είναι φραγμένη και άρα από το Θεώρημα Banach-Steinhaus (Θεώρημα 6.2) θα υπήρχε $M<+\infty$ τ.ώ. να ισχύει

$${\left\Vert{S_N(f)}\right\Vert _{1}} \le M {\left\Vert{f}\right\Vert _{1}}, \forall f \in L^1({\mathbb{T}}), \forall N.$$ (6.3)

Παίρνοντας όμως $f = K_n$ να είναι ένας πυρήνας του Fejér με μεγάλο $n$ (πολύ μεγαλύτερο του $N$) έχουμε εύκολα ότι η συνάρτηση $S_N(K_n)$ είναι πολύ κοντά στον πυρήνα του Dirichlet $D_N$. Πράγματι και οι δύο συναρτήσεις $S_N(K_n)$ και $D_N$ είναι τριγωνομετρικά πολυώνυμα βαθμού $N$ και οι συντελεστές Fourier της $S_N(K_n)$ συγκλίνουν σε αυτούς της $D_N$ για $n \to \infty$. Αυτό αρκεί για να δείξει ότι ${\left\Vert{S_N(K_n) - D_N}\right\Vert _\infty} \to 0$ για $n \to \infty$ το οποίο συνεπάγεται ότι ${\left\Vert{S_N(K_n) - D_N}\right\Vert _{1}} \to 0$ για $n \to \infty$ και άρα ότι

$${\left\Vert{S_N(K_n)}\right\Vert _{1}} \to {\left\Vert{D_N}\right\Vert _{1}} \ge C \log N, \gamma\iota\alpha n \to \infty.$$

Άσκηση 6.5   Συμπληρώστε τις λεπτομέρειες στον προηγούμενο ισχυρισμό και δείξτε ότι για κάθε $N$ ισχύει ότι ${\left\Vert{S_N(K_n) - D_N}\right\Vert _\infty} \to 0$ για $n \to \infty$.

Επειδή όμως ${\left\Vert{K_n}\right\Vert _{1}}=1$ αυτό το κάτω φράγμα αντιφάσκει με την (6.3) αφού η ποσότητα $C \log N$ μπορεί να γίνει οσοδήποτε μεγάλη.

Άσκηση 6.6   Σκοπός αυτού του Προβλήματος είναι να αποδείξουμε ότι δε συγκλίνει κατ' ανάγκη η $S_N(f)$ στην $f$ κατά $L^1$ για όλες τις $f \in L^1({\mathbb{T}})$, χωρίς χρήση του Θεωρήματος Banach-Steinhaus.

Έστω

$$f(x) = \sum_{j=1}^\infty 2^{-j} K_{N_j}(x)$$

όπου $N_j$ είναι μια αύξουσα ακολουθία φυσικών αριθμών και $K_M$ δηλώνει τον πυρήνα του Fejér βαθμού $M$. Δείξτε ότι $f \in L^1({\mathbb{T}})$ όποια και να είναι η ακολουθία $N_1<N_2<\ldots$ και ότι αν αυτή η ακολουθία αυξάνει αρκετά γρήγορα τότε η ακολουθία $S_N(f)$ δε συγκλίνει στην $f$ στην $L^1$ νόρμα.

Υπόδειξη: Αν η ακολουθία $N_j$ αυξάνει αρκετά γρήγορα τότε για άπειρες τιμές του $N$ μπορούμε να πετύχουμε να υπάρχει ένας μόνο από τους όρους

$${\left\Vert{2^{-j} S_N(K_{N_j})}\right\Vert _{1}}$$

ο οποίος να είναι (α) μεγάλος και (β) μεγαλύτερος από όλους τους άλλους μαζί.