6.2 Όχι σύγκλιση κατά $L^\infty$

Η πρώτη περίπτωση που θα κοιτάξουμε είναι η περίπτωση που $f \in C({\mathbb{T}})$ και η νόρμα είναι η ${\left\Vert{\cdot}\right\Vert _\infty}$. Το ερώτημα, με άλλα λόγια, είναι αν η σειρά Fourier μιας συνεχούς συνάρτησης συγκλίνει ομοιόμορφα στην συνάρτηση. Γνωρίζοντας ότι δεν ισχύει κατ' ανάγκη ούτε η κατά σημείο σύγκλιση, είναι φανερό ότι η απάντηση είναι όχι. Αξίζει ίσως να επαναλάβουμε την απόδειξη χωρίς αναφορά στην κατά σημείο σύγκλιση.

Πράγματι, αν υποθέσουμε ότι ${\left\Vert{S_N(f)-f}\right\Vert _\infty} \to 0$ για κάθε $f \in C({\mathbb{T}})$, τότε οι τελεστές

$$S_N: C({\mathbb{T}}) \to C({\mathbb{T}})$$

είναι φραγμένοι κατά σημείο, ισχύει δηλαδή για κάθε $f \in C({\mathbb{T}})$:

$$\sup_N {\left\Vert{S_N(f)}\right\Vert _\infty} < +\infty$$

αφού ισχύει ${\left\Vert{S_N(f)}\right\Vert _\infty} \to {\left\Vert{f}\right\Vert _\infty}$ (αποδείξτε το αυτό). Από το Θεώρημα Banach-Steinhaus (Θεώρημα 6.2) προκύπτει τότε ότι οι τελεστές $S_N$ είναι ομοιόμορφα φραγμένοι, υπάρχει δηλ. $M<+\infty$ τ.ώ. να ισχύει

$${\left\Vert{S_N(f)}\right\Vert _\infty} \le M {\left\Vert{f}\right\Vert _\infty}, \forall f \in C({\mathbb{T}}), \forall N.$$ (6.2)

Από το Πρόβλημα 6.3 όμως και το Λήμμα 6.1 προκύπτει ότι για κάθε $N$ υπάρχει συνάρτηση $f_N\in C({\mathbb{T}})$, με ${\left\Vert{f_N}\right\Vert _\infty} \le 1$ (μια συνεχής συνάρτηση που «προσεγγίζει» τη συνάρτηση ${\rm sgn }{D_N(x)}$), τ.ώ.

$$S_N(f_N)(0) = f_N*D_N(0) = \int f_N D_N \ge C \log N$$

όπου $C>0$ μια σταθερά (της οποίας η τιμή δεν έχει καμία σημασία για το πρόβλημα που εξετάζουμε). Άρα ${\left\Vert{S_N(f_N)}\right\Vert _\infty} \ge {\left\vert{S_N(f_N)(0)}\right\vert} \ge C \log N$, το οποίο αντιφάσκει με την υπόθεση (6.2).

Άσκηση 6.4   Γιατί δεν εξετάζουμε καθόλου το ερώτημα αν συγκλίνει στην $L^\infty$ νόρμα η ακολουθία $S_N(f)$ στην $f$ για κάθε $f \in L^\infty({\mathbb{T}})$ αλλά περιορίζουμε αμέσως την $f$ να είναι συνεχής;