6.1 Όχι σύγκλιση σε κάποιο σημείο

Θα εξετάσουμε το ερώτημα του κατά πόσο μπορούμε να περιμένουμε τη σύγκλιση της σειράς Fourier μιας συνάρτησης $f(x)$ σε ένα σημείο $x_0$ στην τιμή $f(x_0)$. Φυσικά υπάρχουν περιπτώσεις όπου αυτό είναι εξασφαλισμένο, για παράδειγμα όταν η συνάρτηση είναι συνεχής και η σειρά συγκλίνει απόλυτα

$$\sum_{n=-\infty}^\infty {\left\vert{\widehat{f}(n)}\right\vert} < +\infty$$

(δείτε Πόρισμα 4.2), συνθήκη η οποία ισχύει όταν, π.χ. $f \in C^2({\mathbb{T}})$, αφού σε αυτή την περίπτωση εύκολα βλέπουμε ότι ${\left\vert{\widehat{f}(n)}\right\vert} = O(1/n^2)$. Όμως θα θέλαμε να εξετάσουμε το ερώτημα της κατά σημείο σύγκλισης με όσο το δυνατό λιγότερες προϋποθέσεις για τη συνάρτηση $f$ γίνεται.

Το να υποθέσουμε μόνο ότι $f \in L^1({\mathbb{T}})$ (η γενικότερη περίπτωση για την οποία μπορούμε να μιλάμε για συντελεστές και σειρά Fourier) είναι πολύ λίγο, αφού δύο συναρτήσεις $f, g \in L^1({\mathbb{T}})$ οι οποίες διαφέρουν σε ένα σύνολο μέτρου 0 έχουν την ίδια σειρά Fourier και δε μπορεί φυσικά αυτή η σειρά να συγκλίνει και στο $f(x_0)$ και στο $g(x_0)$, όταν το $x_0$ ανήκει σε αυτό το σύνολο μέτρου 0 στο οποίο οι $f$ και $g$ διαφέρουν. Θα πρέπει λοιπόν η τιμή της συνάρτησης σε ένα οποιοδήποτε σημείο να είναι συνάρτηση των συντελεστών Fourier της συνάρτησης και ο γενικότερος φυσιολογικός χώρος όπου αυτό ισχύει (από το θεώρημα της μοναδικότητας) είναι ο χώρος $C({\mathbb{T}})$ των συνεχών $2\pi$-περιοδικών συναρτήσεων.

Έστω λοιπόν $f \in C({\mathbb{T}})$ και $x_0 = [0,2\pi)$. Ισχύει αναγκαστικά ότι $S_N(f)(x_0) \to f(x_0)$ για $N \to \infty$; Η απάντηση είναι αρνητική.

Θεώρημα 6.1   Για κάθε $x_0 \in [0,2\pi]$ υπάρχει $f \in C({\mathbb{T}})$ τ.ώ. τα μερικά αθροίσματα $S_N(f)(x_0)$ δε συγκλίνουν.

Θα δούμε ότι αυτό είναι συνέπεια ουσιαστικά του γεγονότος ότι ο πυρήνας του Dirichlet $D_N$ δεν έχει φραγμένη $L^1$-νόρμα (για $N \to \infty$).

Λήμμα 6.1   Ισχύει ${\left\Vert{D_N}\right\Vert _{1}}\ge C \log N$ για κάποια σταθερά $C>0$.

Απόδειξη.
Θα χρησιμοποιήσουμε τον τύπο (4.14)

$$D_N(x) = \frac{\sin(N+\frac12)x}{\sin(x/2)}.$$ (6.1)

Δείτε και το Σχήμα 4.3 για καλύτερη εποπτεία. Παρατηρούμε πρώτα ότι η $D_N(x)$ μηδενίζεται (και αλλάζει πρόσημο) στο διάστημα $[0,\pi]$ στα σημεία $x_k=2k\pi/(2N+1)$, $k=1,2,\ldots,N$, που απέχουν μεταξύ τους σταθερή απόσταση ίση με

$$\ell=\frac{2\pi}{2N+1}.$$

Ο αριθμητής του κλάσματος (6.1) είναι περιοδική συνάρτηση με περίοδο $\frac{4\pi}{2N+1}$ και συνεπώς στο μεσαίο ένα τρίτο του κάθε διαστήματος $[x_k, x_{k+1}]$ ο αριθμητής φράσσεται κάτω κατ' απόλυτο τιμή από μια σταθερά $A = \sin\frac{\pi}{3} = \frac{\sqrt{3}}{2}$. Έχουμε, χρησιμοποιώντας και την ανισότητα ${\left\vert{\sin{x}}\right\vert}\le x$ για $x \ge 0$,

$${\left\Vert{D_N}\right\Vert _{1}} = \frac{1}{2\pi} \int_{-\pi}^{\pi} {\left\vert{D_N(x)}\right\vert} dx$$

$$= \frac{1}{\pi} \int_0^{\pi} {\left\vert{D_N(x)}\right\vert} dx$$

$$\ge \sum_{k=1}^{N-1} \frac{1}{\pi} \int_{x_k+(\ell/3)}^{x_k+(2\ell/3)} \frac{2A}{x} dx$$

$$\ge \frac{2A\ell}{3\pi} \sum_{k=1}^{N-1} \frac{1}{x_k}$$

$$= \frac{2A\ell}{3\pi} \sum_{k=1}^{N-1} \frac{2N+1}{2\pi} \frac{1}{k}$$

$$= \frac{A\ell(2N+1)}{3\pi^2} \sum_{k=1}^{N-1} \frac{1}{k}$$

$$\ge C \log N,$$

όπου χρησιμοποιήσαμε το ότι $\ell(2N+1) = 2\pi$ και ότι $\sum_{k=1}^{N-1} \frac{1}{k} \ge C_1 \log N$, όπου $C_1>0$ μια σταθερά. (Την τελευταία εκτίμηση μπορεί κανείς να πάρει συγκρίνοντας το άθροισμα με το αντίστοιχο ολοκλήρωμα. Ισχύει παρόμοια εκτίμηση προς τα πάνω αλλά δεν τη χρειαζόμαστε εδώ.)

Γιατί όμως το Λήμμα 6.1 έχει ως συνέπεια, όπως προαναφέραμε, τη μη αναγκαστική σύγκλιση της σειράς Fourier; Κάνουμε κατ' αρχήν, για απλότητα, την επιλογή $x_0=0$, και έπειτα παρατηρούμε ότι η απεικόνιση

$$T_N: f \to S_N(f)(0)$$

είναι μια γραμμική απεικόνιση από το χώρο $C({\mathbb{T}})$ (στον οποίο ενδιαφερόμαστε να δουλέψουμε) στο ${\mathbb{C}}$. Τέτοιες απεικονίσεις ονομάζονται γραμμικά συναρτησοειδή και είναι πολύ σημαντικά σε ολόκληρη τη Μαθηματική Ανάλυση. Η γραμμικότητα είναι απλά η ιδιότητα $T_N(\lambda f + \mu g) = \lambda T_N(f) + \mu T_N(g)$, για κάθε $\lambda, \mu \in {\mathbb{C}}$, $f,g \in C({\mathbb{T}})$.

Οι δύο χώροι $C({\mathbb{T}})$ και ${\mathbb{C}}$ είναι εφοαδιασμένοι με μετρική (νόρμα) την $L^\infty$ μετρική για τον πρώτο και τη συνηθισμένη Ευκλείδια μετρική (απόλυτη τιμή) για το μιγαδικό επίπεδο. Εύκολα προκύπτει ότι ένα γραμμικό συναρτησοειδές $T$ είναι συνεχής συνάρτηση (ως προς τις δύο μετρικές) αν και μόνο αν είναι συνεχής στο 0, το οποίο συμβαίνει αν και μόνο αν αυτό είναι φραγμένο, ισχύει δηλ. για κάποια πεπερασμένη σταθερά $M$ η ανισότητα

$${\left\vert{T(f)}\right\vert} \le M {\left\Vert{f}\right\Vert _\infty}, \forall f \in C({\mathbb{T}}).$$

Ορισμός 6.1   Νόρμα ονομάζουμε μια απεικόνιση $\phi$ από ένα γραμμικό χώρο $X$ στους μη αρνητικούς πραγματικούς αν

1. $\phi(\lambda x) = {\left\vert{\lambda}\right\vert} \phi(x)$, για κάθε $\lambda \in {\mathbb{C}}$ ή $\lambda\in{\mathbb{R}}$,
2. $\phi(x+y) \le \phi(x)+\phi(y)$, για κάθε $x, y \in X$,
3. $\phi(x) = 0$ αν και μόνο αν $x = 0$.

Συνήθως αντί να γράφουμε $\phi(x)$ γράφουμε ${\left\Vert{x}\right\Vert}$.

Κάθε νόρμα ορίζει μια μετρική στο χώρο $X$, τη μετρική $d(x,y) = {\left\Vert{x-y}\right\Vert}$ (η τριγωνική ανισότητα για την $d$ είναι στην ουσία το 2 στις ιδιότητες της νόρμας παραπάνω).

Άσκηση 6.1 (Φραγμένος Γραμμικός Τελεστής)   Αποδείξτε τον ισχυρισμό της παραγράφου πριν τον Ορισμό 6.1: Αν $T: X \to Y$ είναι μια γραμμική απεικόνιση από ένα γραμμικό χώρο με νόρμα $X$ σε ένα γραμμικό χώρο με νόρμα $Y$ τότε η απεικόνιση $T$ είναι συνεχής σε όλο το $X$ αν και μόνο αν είναι συνεχής στο $0 \in X$ το οποίο συμβαίνει αν και μόνο αν υπάρχει μια πεπερασμένη σταθερά $M$ τέτοια ώστε

$${\left\Vert{Tx}\right\Vert} \le M {\left\Vert{x}\right\Vert}, \forall x \in X.$$

Για ένα φραγμένο γραμμικό συναρτησοειδές $T$ το infimum των αριθμών $M$ για τους οποίους ισχύει η παραπάνω ανισότητα συμβολίζεται με ${\left\Vert{T}\right\Vert}$ και ονομάζεται νόρμα του γραμμικού συναρτησοειδούς (και μπορούμε στη θέση του $M$ στην παραπάνω ανισότητα να πάρουμε τη νόρμα ${\left\Vert{T}\right\Vert}$). Το σύνολο των φραγμένων γραμμικών συναρτησοειδών πάνω σε ένα χώρο με νόρμα, όπως ο $C({\mathbb{T}})$ που εξετάζουμε εδώ, είναι γραμμικός χώρος και η ποσότητα ${\left\Vert{T}\right\Vert}$ είναι μια νόρμα πάνω στο γραμμικό αυτό χώρο. Άρα η ποσότητα ${\left\Vert{T_1-T_2}\right\Vert}$ είναι μια μετρική πάνω στο χώρο των συναρτησοειδών.

Άσκηση 6.2   Ας είναι $T$ μια φραγμένη γραμμική απεικόνιση από ένα χώρο με νόρμα $X$ σε ένα χώρο με νόρμα $Y$ (ένας γραμμικός τελεστής όπως συνήθως ονομάζετα, εκτός αν $Y$ είναι το ${\mathbb{R}}$ ή το ${\mathbb{C}}$ οπότε το ονομάζουμε γραμμικό συναρτησοειδές). Αποδείξτε ότι η νόρμα του $T$ όπως ορίστηκε παραπάνω

$${\left\Vert{T}\right\Vert} = \inf{\left\{{M: \forall x \in X: {\left\Vert{Tx}\right\Vert} \le M{\left\Vert{x}\right\Vert}}\right\}}$$

ικανοποιεί τις ιδιότητες του Ορισμού 6.1.

Το πολύ σημαντικό θεώρημα που θα χρησιμοποιήσουμε για να δείξουμε τη μη (αναγκαστική) σύγκλιση των $S_N(f)(0)$ στο $f(0)$ όταν η μόνη υπόθεση για την $f$ είναι ότι $f \in C({\mathbb{T}})$, είναι το Θεώρημα Banach-Steinhaus ή Αρχή Ομοιόμορφου Φράγματος, το οποίο διατυπώνουμε εδώ μόνο για τους χώρους που μας ενδιαφέρει. Για την απόδειξη παραπέμπουμε σε οποιοδήποτε καλό βιβλίο Συναρτησιακής Ανάλυσης.

Θεώρημα 6.2 (Banach-Steinhaus)   Αν $T_N:C({\mathbb{T}})\to{\mathbb{C}}$ είναι μια ακολουθία φραγμένων γραμμικών συναρτησοειδών τότε η ακολουθία των νορμών των συναρτησοειδών, ${\left\Vert{T_N}\right\Vert}$, είναι φραγμένη αν και μόνο αν για κάθε $f \in C({\mathbb{T}})$ η ακολουθία $T_N(f) \in {\mathbb{C}}$ είναι φραγμένη.

Το ίδιο ισχύει και αν το πεδίο τιμών των $T_N$ δεν είναι οι πραγματικοί ή μιγαδικοί αριθμοί αλλα οποιοσδήποτε γραμμικός χώρος με νόρμα $Y$, και το πεδίο ορισμού των $T_N$ είναι οποιοσδήποτε πλήρης γραμμικός χώρος με νόρμα $X$ (ένας χώρος Banach όπως λέμε): αν για κάθε $f \in X$ ισχύει

$$\sup_N {\left\Vert{T_N(f)}\right\Vert}_Y < +\infty$$

τότε υπάρχει $M<+\infty$ ώστε για κάθε $f \in X$ να ισχύει

$${\left\Vert{T_N f}\right\Vert}_Y \le M {\left\Vert{f}\right\Vert}_X.$$

Αν ${\left\Vert{T_N}\right\Vert} \le M < +\infty$ τότε είναι φανερό ότι

$${\left\vert{T_N(f)}\right\vert} \le {\left\Vert{T_N}\right\Vert} {\left\Vert{f}\right\Vert _\infty} \le M {\left\Vert{f}\right\Vert _\infty}$$

και αυτή είναι η τετριμμένη κατεύθυνση του Θεωρήματος 6.2. Η σημαντική κατεύθυνση, την οποία και θα χρησιμοποιήσουμε εδώ, είναι η αντίστροφη, ότι δηλ. αν οι νόρμες ${\left\Vert{T_N}\right\Vert}$ δεν είναι φραγμένες τότε σίγουρα υπάρχει $f \in C({\mathbb{T}})$ για το οποίο η ακολουθία ${\left\vert{T_N(f)}\right\vert}$ δεν είναι φραγμένη, και συνεπώς η ακολουθία $T_N(f)$ δε μπορεί και να συγκλίνει σε κάποιο μιγαδικό αριθμό. Επειδή θα εφαρμόσουμε το Θεώρημα 6.2 για τα συναρτησοειδή

$$T_N(f) = S_N(f)(0)$$

προκύπτει άμεσα ως συμπέρασμα η ύπαρξη συνεχούς συνάρτησης $f$ της οποίας τα μερικά αθροίσματα της σειράς Fourier δε συγκλίνουν στο 0 (όχι μόνο δε συγκλίνουν στο $f(0)$ αλλά δε συγκλίνουν πουθενά).

Απομένει λοιπόν να δείξουμε ότι οι νόρμες των $T_N$ δεν είναι φραγμένες. Θυμόμαστε τώρα ότι

$$T_N(f) = S_N(f)(0) = f*D_N(0) = \int D_N(x)f(x) dx$$

και το ζητούμενο έπεται από το Λήμμα 6.1 και το Πρόβλημα 6.3 που ακολουθεί.

Άσκηση 6.3   Αν η συνάρτηση $D \in C({\mathbb{T}})$ έχει πεπερασμένο πλήθος από μηδενικά στο $[0,2\pi]$ τότε η νόρμα του συναρτησοειδούς $T$ που απεικονίζει

$$f \to \int D(x)f(x) dx$$

ισούται με ${\left\Vert{D}\right\Vert _{1}} = \int{\left\vert{D}\right\vert}$.

Υπόδειξη: Η ανισότητα ${\left\Vert{T}\right\Vert} \le \int{\left\vert{D}\right\vert}$ έπεται από την προφανή ανισότητα ${\left\vert{\int D f}\right\vert} \le {\left\Vert{f}\right\Vert _\infty}\int{\left\vert{D}\right\vert}$. Απομένει να δείξει κανείς ότι ισχύει ${\left\vert{\int D f}\right\vert} \ge (1-\epsilon) \int{\left\vert{D}\right\vert}$ για κάθε $\epsilon>0$ και για κάποια συνεχή $f$ με ${\left\vert{f}\right\vert}\le 1$. Αν μπορούσαμε να πάρουμε $f(x) = {\rm sgn }{D(x)}$ ( ${\rm sgn }x$ είναι $+1$ αν $x>0$.$-1$ αν $x<0$ και 0 αν $x = 0$) θα είχαμε την ανισότητα αυτή ακόμη και με $\epsilon=0$ αλλά μια τέτοια συνάρτηση είναι ασυνεχής εν γένει και άρα δεν είναι επιτρεπτή στον έλεγχο της νόρμας του συναρτησοειδούς. Μπορούμε όμως να προσεγγίσουμε τη συνάρτηση αυτή με μια συνεχή συνάρτηση φραγμένη από το 1 με τρόπο ώστε να μην επηρεάζουμε το ολοκλήρωμα $\int Df$ παρά ελάχιστα.

Η απόδειξη του Θεωρήματος 6.1 είναι πλήρης με το Πρόβλημα 6.3.

Θα ασχοληθούμε τώρα με το κατά πόσον

$$S_N(f) \to f$$

όταν η σύγκλιση δεν είναι κατά σημείο, περίπτωση την οποία εξετάσαμε στην §6, αλλά κατά νόρμα. Εξετάζουμε δηλ. αν ισχύει

$${\left\Vert{S_N(f) - f}\right\Vert} \to 0,$$

όταν στη θέση της νόρμας ${\left\Vert{\cdot}\right\Vert}$ είναι μια από τις γνωστές μας $L^p$ νόρμες και η $f$ ανήκει σε ένα αντίστοιχο $L^p$ χώρο.