5.3 Ορθογώνια πολυώνυμα

5.3.1 Ορθογωνιοποίηση Gram-Schmidt

Ορισμός 5.3   Αν $e_1, \ldots, e_k$ είναι ένα ορθοκανονικό σύστημα συναρτήσεων σε ένα γραμμικό χώρο με εσωτερικό γινόμενο

$${\langle e_j, e_j \rangle} = 1 \kappa\alpha\iota {\langle e_i, e_j \rangle} = 0 (\gamma\iota\alpha i \neq j),$$

και $V = {\rm span}{\left\{{e_1,\ldots,e_k}\right\}}$ είναι ο γραμμικός χώρος που παράγουν η ορθογώνια προβολή μιας συνάρτησης $f$ στο $V$ είναι η συνάρτηση

$$P_V(f) = \sum_{j=1}^k {\langle f, e_j \rangle} e_j.$$

Παρατήρηση 5.1   Είναι φανερό ότι $P_V(f) \in V$. Έχουμε επίσης ότι το διάνυσμα $f - P_V(f)$ είναι κάθετο στο χώρο $V$, είναι δηλ. κάθετο σε κάθε διάνυσμα του $V$. Αν $v \in V$ πρέπει να δείξουμε ότι ${\langle f-P_V(f), v \rangle}=0$. Αρκεί να το κάνουμε για τα διανύσματα $e_1, \ldots, e_k$ στη θέση του $v$ μια και είναι μια γραμμική σχέση ως προς $v$. Αυτό επαληθεύεται εύκολα (κάντε το).

Κάτι άλλο που οφείλουμε να πούμε εδώ είναι ότι κάθε γραμμικός χώρος (πάνω στον οποίο έχουμε ορίσει κάποιο εσωτερικό γινόμενο (ώστε να έχει νόημα να μιλάμε για ορθογωνιότητα) έχει κάποια ορθοκανονική βάση $e_1, \ldots, e_k$ όπου $k = \dim V$. Αυτό είναι εύκολο να δειχτεί επαγωγικά ως προς τη διάσταση $k$ και μπορεί επίσης να αποδειχτεί με χρήση της λεγόμενης ορθοκανονικοποίησης Gram-Schmidt την οποία θα δούμε παρακάτω.

Άσκηση 5.13   Δείξτε ότι

$${\left\Vert{P_V(f)}\right\Vert}_2^2 = \sum_{j=1}^k {\left\vert{{\langle f, e_j \rangle}}\right\vert}^2.$$ (5.11)

Υπόδειξη: Εφαρμόστε το Πυθαγόρειο Θεώρημα (Πρόβλημα 2.9).

Άσκηση 5.14   Αποδείξτε ότι το διάνυσμα $P_V(f)$ είναι το μοναδικό διάνυσμα $v$ του $V$ τ.ώ. ${\langle f-v, w \rangle}=0$ για κάθε $w \in V$.

Υπόδειξη: Αν υπάρχει και άλλο τέτοιο διάνυσμα $v'$ τότε το τρίγωνο $fvv'$ έχει ορθή γωνία και στην κορυφή $v$ και στην κορυφή $v'$. Δείξτε ότι αυτό είναι αδύνατο εφαρμόζοντας δύο φορές το Πυθαγόρειο θεώρημα. Με άλλα λόγια η υποτείνουσα είναι πάντα η αυστηρά μεγαλύτερη πλευρά σε ένα ορθογώνιο τρίγωνο και άρα δε μπορεί να υπάρχουν δύο υποτείνουσες.

Άσκηση 5.15   Αν $V = {\rm span}{\left\{{e_1,\ldots,e_k}\right\}}$ και τα $e_j$ είναι ανά δύο ορθογώνια αλλά όχι κατ' ανάγκη μοναδιαία, από ποιον τύπο δίνεται η προβολή $P_V(f)$;

Υπόδειξη: Κανονικοποιήστε τα $e_j$.

Άσκηση 5.16   Αποδείξτε ότι το διάνυσμα (συνάρτηση) $P_V(f)$ δεν εξαρτάται από τα $e_1, e_2, \ldots, e_k$ αλλά μόνο από το χώρο $V$. Αν δηλ. $e_1',\ldots,e_k'$ είναι ένα άλλο ορθοκανονικό σύστημα στο χώρο $V$ (οπότε αυτόματα $V = {\rm span}{\left\{{e_1',\ldots,e_k'}\right\}}$) τότε ισχύει και πάλι

$$P_V(f) = \sum_{j=1}^k {\langle f, e_j' \rangle} e_j'.$$

Υπόδειξη: $P_V(f) = \sum_{j=1}^k \lambda_j e_j'$ για κάποια $\lambda_j \in {\mathbb{C}}$ αφού τα $e_j'$ παράγουν το $V$. Παίρνοντας εσωτερικό γινόμενο αυτής της ισότητας με τα $e_i'$ παίρνετε το ζητούμενο.

Άσκηση 5.17   Δείξτε ότι τα συμμετρικά μερικά αθροίσματα $S_N(f)$ της σειράς Fourier μιας $f \in L^2({\mathbb{T}})$ είναι ακριβώς η προβολή της $f$ στο γραμμικό χώρο που παράγουν οι συναρτήσεις

$$e^{-iNx}, e^{-i(N-1)x},\ldots,1, e^{ix}, e^{i2x}, \ldots, e^{iNx}.$$

Το επόμενο αποτέλεσμα είναι πολύ σημαντικό για την Ανάλυση.

Θεώρημα 5.4 (Η προβολή είναι η βέλτιστη προσέγγιση)  
Αν $V$ είναι ένας υπόχωρος πεπερασμένης διάστασης ενός γραμμικού χώρου συναρτήσεων $X$ και $f \in X$ τότε το διάνυσμα $P_V(f)$ είναι το μοναδικό διάνυσμα $v \in V$ που ελαχιστοποιεί την απόσταση ${\left\Vert{f-v}\right\Vert}_2$.

Αρκεί να δείξουμε ότι αν $v \in V$ είναι διαφορετικό από το $P_V(f)$ τότε

$${\left\Vert{f-P_V(f)}\right\Vert}_2 < {\left\Vert{f-v}\right\Vert}_2.$$

Όμως το τρίγωνο $fP_V(f)v$ είναι ορθογώνιο με ορθή γωνία στην κορυφή $P_V(f)$, άρα η υποτείνουσα $fv$ έχει μεγαλύτερο μήκος από την κάθετη πλευρά $fP_V(f)$.

Όπως είδαμε και στο Θεώρημα 5.4 το να μπορεί κανείς να υπολογίσει την ορθογώνια προβολή ενός διανύσματος $f$ σε ένα γραμμικό χώρο $V$ ισοδυναμεί με το να βρεί το πλησιέστερο διάνυσμα από το χώρο $V$ στο διάνυσμα $f$. Το αποδείξαμε αυτό στο Θεώρημα 5.4. Εκεί η απόδειξη έγινε για ένα συγκεκριμένο διανυσματικό χώρο και εσωτερικό γινόμενο αλλά ισχύει σε οποιαδήποτε περίπτωση. Και το να υπολογίσουμε την ορθογώνια προβολή του $f$ αν διαθέτουμε ήδη μια ορθοκανονική βάση $e_1, \ldots, e_k$ του $V$ είναι πολύ εύκολο και δίνεται από τον Ορισμό 5.3.

Οι περισσότεροι γραμμικοί χώροι που μας απασχολούν εδώ είναι φυσικά χώροι συναρτήσεων και τα διανύσματα είναι συναρτήσεις, αλλά δε χάνουμε τίποτε με το να την κρύψουμε αυτή την πληροφορία σε αυτή τη φάση, μια και το είδος διανυσμάτων για το οποίο μιλάμε δεν ενδιαφέρει (ακόμη) αλλά μόνο το ότι μπορούμε αυτά να τα προσθέτουμε μεταξύ τους και να τα πολλαπλασιάζουμε με αριθμούς παραμένοντας στον ίδιο χώρο. Αυτό που χρειαζόμαστε τώρα, μέχρι να αρχίσουμε να μιλάμε για χώρους πολυωνύμων, είναι ακριβώς αυτή η γραμμική δομή και το εσωτερικό γινόμενο που θεωρούμε ότι υπάρχει ορισμένο στο γραμμικό μας χώρο.

Είναι λοιπόν πολύτιμο το να έχουμε μια ορθοκανονική βάση του $V$. Αυτό το επιτυγχάνει κανείς με μια αλγοριθμική διαδικασία, τη λεγόμενη ορθοκανονικοποίηση Gram-Schmidt.

Η διαδικασία αυτή παίρνει ως είσοδο μια ακολουθία $f_1, f_2, \ldots$ από γραμμικώς ανεξάρτητα διανύσματα σε κάποιο γραμμικό χώρο $V$ (ο χώρος $V$ μπορεί να είναι και απειροδιάστατος και η ακολουθία $f_n$ μπορεί και να είναι μια άπειρη ακολουθία διανυσμάτων). Η διαδικασία παράγει μια άλλη ορθοκανονική ακολουθία $e_1, e_2, \ldots$.

Θεώρημα 5.5 (Η διαδικασία Gram-Schmidt)   Έστω $V$ γραμμικός χώρος με εσωτερικό γινόμενο ${\langle \cdot, \cdot \rangle}$ και $f_1, f_2, \ldots \in V$ μια γραμμικώς ανεξάρτητη ακολουθία διανυσμάτων. Τα διανύσματα $e_1, e_2, \ldots \in V$ (και η βοηθητική ακολουθία $v_2, v_3, \ldots$) ορίζονται ως εξής:

$$e_1 = \frac{1}{{\left\Vert{f_1}\right\Vert}_2} f_1$$

$$v_k = f_k - {\langle f_k, e_1 \rangle}e_1+\cdots{\langle f_k, e_{k-1} \rangle}e_{k-1} (\gamma\iota\alpha k\ge 2)$$

$$e_k = \frac{1}{{\left\Vert{v_k}\right\Vert}_2} v_k (\gamma\iota\alpha k\ge 2).$$

Τότε τα $e_j$ είναι ανά δύο ορθογώνια και έχουν ${\left\Vert{e_j}\right\Vert}_2=1$ και επίσης παράγουν τους ίδιους γραμμικούς χώρους με τα $f_j$, δηλ. για κάθε $k \ge 1$

$${\rm span}{\left\{{f_1,\ldots,f_k}\right\}} = {\rm span}{\left\{{e_1,\ldots,e_k}\right\}}.$$

Το ότι η νόρμα των $e_j$ είναι 1 είναι άμεσο από τον ορισμό.

Αποδεικνύουμε με επαγωγή ως προς $k$ ότι τα διανύσματα $e_1, \ldots, e_k$ είναι ορθοκανονικά και παράγουν τον ίδιο χώρο με τα $f_1,\ldots,f_k$. Αυτό είναι προφανές για $k=1$ αφού το $e_1$ είναι πολλαπλάσιο του $f_1$. Αν υποθέσουμε ότι ισχύει η πρόταση για το $k-1$ αποδεικνύουμε κατ' αρχήν ότι το $e_k$ είναι κάθετο προς τα $e_1,\ldots,e_{k-1}$. Αυτό είναι φανερό μια και το $v_k$ ισούται με το $f_k$ μείον την προβολή του στο χώρο ${\rm span}{\left\{{e_1,\ldots,e_{k-1}}\right\}}$ και άρα (Πρόβλημα 5.14) είναι κάθετο σε ολόκληρο το χώρο ${\rm span}{\left\{{e_1,\ldots,e_{k-1}}\right\}}$ και άρα και στα ίδια τα $e_1, \ldots, e_k$. Το διάνυσμα $e_k$ είναι απλά η κανονικοποίηση του $v_k$ και άρα είναι κι αυτό ορθογώνιο στα $e_1, \ldots, e_k$. Τέλος, αφού

$$f_k - v_k \in {\rm span}{\left\{{e_1,\ldots,e_{k-1}}\right\}} = {\rm span}{\left\{{f_1,\ldots,f_{k-1}}\right\}}$$

προκύπτει ότι

$${\rm span}{\left\{{e_1,\ldots,e_{k-1}, v_k}\right\}} = {\rm span}{\left\{{f_1,\ldots,f_{k-1}, f_k}\right\}}$$

και άρα, αφού το $v_k$ είναι πολλαπλάσιο του $e_k$, έχουμε και το επιθυμητό

$${\rm span}{\left\{{e_1,\ldots,e_{k-1}, e_k}\right\}} = {\rm span}{\left\{{f_1,\ldots,f_{k-1}, f_k}\right\}}.$$

και η επαγωγική απόδειξη είναι πλήρης.

Κατά κάποιο τρόπο η διαδικασία Gram-Schmidt εξετάζει τα στοιχεία $f_k$ ένα προς ένα και κρατάει από κάθε $f_k$ το «κομμάτι» του που είναι ορθογώνιο με $e_j$ που έχουν υπολογιστεί μέχρι εκείνη τη στιγμή, δηλ. τα $e_1,\ldots,e_{k-1}$. Είναι σημαντικό να τονίσουμε ότι στον ορισμό του $e_k$ μέσω του βοηθητικού διανύσματος $v_k$ (που είναι ουσιαστικά το $e_k$ πριν κανονικοποιηθεί) όλα τα στοιχεία που εμφανίζονται στο δεξί μέλος έχουν ήδη υπολογιστεί στα προηγούμενα στάδια της διαδικασίας και άρα γνωρίζουμε ό,τι χρειάζεται για τον υπολογισμό.

Άσκηση 5.18   Δείξτε ότι κάθε χώρος πεπερασμένης διάστασης με εσωτερικό γινόμενο έχει ορθοκανονική βάση.

Άσκηση 5.19   Εφαρμόστε τη διαδικασία ορθοκανονικοποίησης Gram-Schmidt στα διανύσματα

$$f_1(x) = 1, f_2(x) = 1-x^2, f_3(x) = 1-x$$

στο γραμμικό χώρο $C([0,1])$ με εσωτερικό γινόμενο ${\langle f, g \rangle} = \int_0^1 f(x)\overline{g(x)} dx$.

Άσκηση 5.20   Στο χώρο $C([a,b])$ των συνεχών συναρτήσεων στο διάστημα $[a,b]$ βρείτε ένα τύπο για το εσωτερικό γινόμενο ${\langle f, g \rangle} = \int_a^b f(x)\overline{g(x)} dx$ αν

$$f(x) = \sum_{j=0}^m f_j x^j, g(x) = \sum_{j=0}^n g_j x^j$$

είναι δύο πολυώνυμα, μέσω των συντελεστών $f_j, g_j$.

Άσκηση 5.21   Ας είναι $V$ ο γραμμικός χώρος των τμηματικά συνεχών συναρτήσεων στο $[0,1]$ με το συνηθισμένο εσωτερικό γινόμενο ${\langle f, g \rangle} = \int_0^1 f(x)\overline{g(x)} dx$. Ας είναι επίσης $W$ ο υπόχωρος του $V$ που παράγεται από τα διανύσματα

$$\chi_{[0,1]}(x), \chi_{[\frac12,1]}(x).$$

Αν $f(t) = t^2+1$ είναι ένα στοιχείο του $V$ βρείτε την ορθογώνια προβολή του στο χώρο $W$.

Άσκηση 5.22   Στο χώρο $C([0,1])$ με εσωτερικό γινόμενο ${\langle f, g \rangle} = \int_0^1 f(x)\overline{g(x)} dx$ βρείτε την ορθογώνια προβολή της $f(x)=e^x$ στο χώρο που παράγεται από τα διανύσματα

$$f_1(x) = 1, f_2(x) = x.$$

Άσκηση 5.23   Σε ένα χώρο $V$ με εσωτερικό γινόμενο τα διανύσματα $f_1, f_2, \cdots$ είναι γραμμικώς ανεξάρτητα και οι (πεπερασμένοι) γραμμικοί συνδυασμοί τους είναι πυκνοί στο $V$. Ας είναι $e_1, e_2, \cdots$ η ορθοκανονική ακολουθία που παράγεται από τη διαδικασία Gram-Schmidt. Δείξτε ότι οι (πεπερασμένοι) γραμμικοί συνδυασμοί των $e_j$ είναι επίσης πυκνοί στο $V$ (ένα σύνολο διανυσμάτων λέγεται πυκνό σε ένα άλλο σύνολο αν κάθε στοιχείο του άλλου συνόλου μπορεί να προσεγγιστεί όσο καλά θέλουμε από στοιχεία του πρώτου συνόλου).

5.3.2 Η ακολουθία ορθογωνίων πολυωνύμων ως προς μια συνάρτηση βάρους σε ένα διάστημα

Με δεδομένη την τεράστια σημασία που έχουν οι χώροι πολυωνύμων ${\mathcal P}_n$ στη θεωρία προσέγγισης καταλαβαίνει εύκολα κανείς πόσο σημαντικό είναι το ακόλουθο αποτέλεσμα που μας δίνει ένα απλό ρόπο να βρούμε μια ορθογώνια ακολουθία από μονικά πολυώνυμα όλων των βαθμών.

Υποθέτουμε στα παρακάτω ότι έχουμε σταθεροποιήσει ένα κλειστό και φραγμένο διάστημα $[a,b] \subseteq {\mathbb{R}}$ και μια θετική συνάρτηση βάρους $w(x)$ πάνω στο διάστημα αυτό, μέσω της οποίας ορίζεται ένα εσωτερικό γινόμενο

$${\langle f, g \rangle} = \int_a^b f(x) \overline{g(x)} w(x) dx$$

και η αντίστοιχη 2-νόρμα ${\left\Vert{f}\right\Vert}_2^2 = {\langle f, f \rangle}$.

Θεώρημα 5.6 (Η κατασκευή των ορθογωνίων πολυωνύμων)   Έστω η ακολουθία πολυωνύμων $Q_n(x)$ που ορίζεται ως εξής:

$$Q_0(x) = 1$$

$$Q_1(x) = (x-a_0)Q_0(x) = x-a_0$$

$$Q_{n+1}(x) = (x-a_n)Q_n(x) - b_n Q_{n-1}(x) (\gamma\iota\alpha n\ge 1)$$

όπου

$$a_n = \frac{{\langle xQ_n(x), Q_n(x) \rangle}}{{\langle Q_n(x), Q... ...langle xQ_n(x), Q_{n-1}(x) \rangle}}{{\langle Q_{n-1}(x), Q_{n-1}(x) \rangle}}.$$ (5.12)

Τότε $\deg Q_n = n$, το $Q_n(x)$ είναι μονικό (δηλ. $Q_n(x) = x^n+\cdots$) και τα πολυώνυμα $Q_n(x)$ είναι ανά δύο ορθογώνια. Επίσης τα πολυώνυμα $Q_n(x)$ είναι πραγματικά πολυώνυμα.

Άσκηση 5.24   Αφού πρώτα υπολογίσετε και το $Q_2(x)$ αποδείξτε ότι τα πολυώνυμα $Q_0, Q_1, Q_2$ είναι ανά δύο ορθογώνια.

Άσκηση 5.25   Αποδείξτε με επαγωγή ως προς $n$ ότι το $Q_n(x)$ είναι μονικό, πραγματικό πολυώνυμο βαθμού $n$.

Αποδεικνύουμε την ορθογωνιότητα των $Q_0,\ldots,Q_n$ με επαγωγή ως προς $n$. Για $n=0,1,2$ αυτό είναι το αντικείμενο του Προβλήματος 5.24. Αν υποθέσουμε ότι τα $Q_0, Q_1, \ldots, Q_n$ είναι ανά δύο ορθογώνια πρέπει, για να ολοκληρώσουμε την επαγωγική απόδειξη, να δείξουμε ότι το $Q_{n+1}$ είναι ορθογώνιο προς τα $Q_0, Q_1, \ldots, Q_n$. Δείχνουμε λοιπόν ότι ${\langle Q_{n+1}, Q_k \rangle}=0$ για $k\le n$ διαχωρίζοντας 3 περιπτώσεις για το $k$.

Περίπτωση $k=n$:

Χρησιμοποιώντας τον ορισμό του $a_n$ και το γεγονός (επαγωγική ως προς $n$ υπόθεση) ότι ${\langle Q_n, Q_{n-1} \rangle}=0$ έχουμε

$${\langle Q_{n+1}, Q_n \rangle} = {\langle (x-a_n)Q_n - b_n Q_{n-1}, Q_n \rangle}$$

$$= {\langle xQ_n, Q_n \rangle} -a_n{\langle Q_n, Q_n \rangle} -b_n\hbox{\sout{${\langle Q_{n-1}, Q_n \rangle}$}}$$

$$= {\langle xQ_n, Q_n \rangle} - \frac{{\langle xQ_n, Q_n \rangle}}{{\langle Q_n, Q_n \rangle}}{\langle Q_n, Q_n \rangle}$$

$$= {\langle xQ_n, Q_n \rangle} - {\langle xQ_n, Q_n \rangle}$$

$$= 0.$$

Περίπτωση $k=n-1$:

$${\langle Q_{n+1}, Q_{n-1} \rangle} = {\langle xQ_n, Q_{n-1} \rangle} - a_n\hbox{\sout{${\langle Q_n, Q_{n-1} \rangle}$}} - b_n{\langle Q_{n-1}, Q_{n-1} \rangle}$$

$$= {\langle xQ_n, Q_{n-1} \rangle} - \frac{{\langle xQ_n, Q_{n-1} \rangle}}{{\langle Q_{n-1}, Q_{n-1} \rangle}} {\langle Q_{n-1}, Q_{n-1} \rangle}$$

$$= 0.$$

Περίπτωση $k<n-1$:

$${\langle Q_{n+1}, Q_k \rangle} = {\langle xQ_n, Q_k \rangle} - a_n \hbox{\sout{${\langle Q_n, Q_k \rangle}$}} - b_n \hbox{\sout{${\langle Q_{n-1}, Q_k \rangle}$}}$$

$$= {\langle xQ_n, Q_k \rangle}$$

$$= {\langle Q_n, x Q_k \rangle}$$

$$= 0.$$

Στην προτελευταία ισότητα χρησιμοποιήθηκε η συγκεκριμένη μορφή του εσωτερικού γινομένου η οποία συνεπάγεται την ταυτότητα

$${\langle f(x)g(x), h(x) \rangle} = {\langle f(x), \overline{g(x)}h(x) \rangle}$$

για οποιεσδήποτε συναρτήσεις $f, g, h$ (το χρησιμοποιήσαμε για τη συνάρτηση $g(x) = x$). Τέλος, $\deg(xQ_k)<n$ και άρα ${\langle Q_n, x Q_k \rangle}=0$ αφού το $Q_n$ είναι ορθογώνιο (από την επαγωγική μας υπόθεση) προς όλα τα $Q_0, Q_1, \ldots, Q_{n-1}$ άρα και προς όλους τους γραμμικούς τους συνδυασμούς που είναι όλος ο χώρος ${\mathcal P}_{n-1}$.

Η απόδειξη του Θεωρηματος 5.6 είναι πλήρης.

Άσκηση 5.26   Αποδείξτε ότι $b_n>0$ στο Θεώρημα 5.6.

Άσκηση 5.27   Αν $p \in {\mathcal P}_n$ ποιοι είναι οι συντελεστές του $p$ ως προς την ορθογώνια βάση $Q_0, Q_1, \ldots, Q_n$ του ${\mathcal P}_n$;

Άσκηση 5.28   Αν $F_0(x) = 1, F_1(x) = x+C, \cdots$ είναι μια ακολουθία μονικών ορθογωνίων πολυωνύμων με $\deg{F_k} = k$ τότε δείξτε ότι το $F_n(x)$ είναι το μονικό πολυώνυμο βαθμού $n$ με την ελάχιστη $L^2$ νόρμα, και είναι επίσης το μοναδικό τέτοιο πολυώνυμο, και άρα η ακολουθία μονικών ορθογωνίων πολυωνύμων ως προς ένα εσωτερικό γινόμενο είναι μοναδική.

Θα δείξουμε το ακόλουθο σημαντικό αποτέλεσμα το οποίο αργότερα θα εφαρμόσουμε σε μεθόδους αριθμητικής ολοκλήρωσης.

Θεώρημα 5.7 (Ρίζες ορθογωνίων πολυωνύμων)  
Έστω $[a,b]$ ένα κλειστό φραγμένο διάστημα στο ${\mathbb{R}}$ και $w(x)>0$ μια συνεχής συνάρτηση βάρους στο $[a,b]$. Ας είναι $Q_0(x), Q_1(x), Q_2(x), \ldots$ η ακολουθία μονικών ορθογωνίων πολυωνύμων για το εσωτερικό γινόμενο

$${\langle f, g \rangle} = \int_a^b f(x) \overline{g(x)} w(x) dx.$$

Τότε για κάθε $n>0$ το πολυώνυμο $Q_n(x)$ έχει όλες του τις ρίζες απλές και στο διάστημα $(a,b)$.

Το Θεώρημα 5.7 είναι άμεση συνέπεια του παρακάτω Λήμματος.

Λήμμα 5.2   Με τους ορισμούς του Θεωρήματος 5.7 αν μια συνάρτηση $f \in C([a,b])$ είναι ορθογώνια προς όλα τα πολυώνυμα $p \in {\mathcal P}_{n-1}$ τότε η $f(x)$ έχει τουλάχιστον $n$ διαφορετικές ρίζες στο $(a,b)$.

Πράγματι, αφού το $Q_n$ είναι ορθογώνιο προς τα $Q_0, Q_1, \ldots, Q_{n-1}$ είναι και ορθογώνιο προς κάθε γραμμικό συνδυασμό τους, δηλ. προς κάθε $p \in {\mathcal P}_{n-1}$ και, σύμφωνα με το προηγούμενο Λήμμα, έχει $n$ διαφορετικές ρίζες στο $(a,b)$. Αυτές είναι όλες οι ρίζες του $Q_n$ αφού $\deg Q_n = n$.

Για να αποδείξουμε το Λήμμα 5.2 θα χρειαστούμε την παρακάτω πρόταση.

Λήμμα 5.3   Η $f \in C([a,b])$ είναι ορθογώνια προς το ${\mathcal P}_{n-1}$ αν και μόνο αν υπάρχει $u \in C^n([a,b])$ τ.ώ. $u^{(n)} = fw$ και $u^{(k)}(a) = u^{(k)}(b) = 0$ για $k=0,1,\ldots,n-1$.

Είναι πολύ εύκολο να βρει κανείς μια συνάρτηση $u$ της οποίας η $n$-οστή παράγωγος να είναι η $fw$. Για παράδειγμα η συνάρτηση $v(x) = \int_a^x f(t)w(t) dt$ ικανοποιεί $v'(x) = f(x)w(x)$ και μπορούμε να επαναλάβουμε αυτή τη διαδικασία $n$ φορές ώστε να βρούμε μια τέτοια $u$. Προσθέτοντας ένα οποιοδήποτε πολυώνυμο $p \in {\mathcal P}_{n-1}$ σε αυτή τη $u$ δεν πρόκειται να αλλάξει τη $n$-οστή της παράγωγο (αφού $p^{(n)}\equiv 0$) άρα έχουμε επιπλέον $n$ βαθμούς ελευθερίας με τους οποίους εύκολα μπορούμε να ικανοποιήσουμε τις $n$ συνοριακές συνθήκες $u^{(k)}(a) = 0$. Το σημαντικό είναι ότι μπορούμε ταυτόχρονα να ικανοποιήσουμε και τις συνοριακές συνθήκες και στο άλλο άκρο του διαστήματος, πράγμα που δε φαίνεται κατ' αρχήν δυνατό με τους βαθμούς ελευθερίας που έχουμε στη διάθεσή μας, αλλά τελικά μπορούμε να το κάνουμε λόγω της υπόθεσης της ορθογωνιότητας της $f$ προς όλα τα στοιχεία του ${\mathcal P}_{n-1}$.

Έστω λοιπόν $u$ μια συνάρτηση τ.ώ. $u^{(n)} = fw$ και $u^{(k)}(a) = 0$ για $k=0,1,2,\ldots,n-1$. Θα δείξουμε ότι ικανοποιεί και τις άλλες συνοριακές συνθήκες $u^{(k)}(b) = 0$ για $k=0,1,2,\ldots,n-1$.

Θα χρειαστούμε τον παρακάτω τύπο που γενικεύει τον τύπο ολοκλήρωσης κατά μέρη:

$$\int_a^b u^{(n)}(x) v(x) dx = \sum_{k=1}^n (-1)^{k-1} \left.u^{(... ...}(x) v^{(k-1)}(x)\right\vert _{x=a}^{x=b} +(-1)^n \int_a^b u(x) v^{(n)}(x) dx.$$ (5.13)

Άσκηση 5.29   Αποδείξτε τον τύπο (5.13) με επαγωγή ως προς $n$. Για $n=1$ έχουμε το συνηθισμένο τύπο ολοκλήρωσης κατά μέρη.

Αν τώρα $p \in {\mathcal P}_{n-1}$ τότε χρησιμοποιώντας τον τύπο (5.13) και το ότι $p^{(n)}\equiv 0$ έχουμε

$$\int_a^b f\overline{p}w = \sum_{k=1}^n (-1)^{k-1} u^{(n-k)}(b) p^{(k-1)}(b).$$ (5.14)

Όμως οι αριθμοί $p(b), p'(b), p^{(2)}(b), \ldots, p^{(k-1)}(b)$ είναι τελείως στη διαθεσή μας όπως λέει το επόμενο Πρόβλημα.

Άσκηση 5.30   Αν $a_0, a_1, \ldots, a_{n-1} \in {\mathbb{C}}$ και $b \in {\mathbb{R}}$ τότε υπάρχει $p \in {\mathcal P}_{n-1}$ τ.ώ. $p^{(k)}(b) = a_k$, για $k=0,1,\ldots,n-1$.

Για να είναι λοιπόν το αριστερό μέλος της (5.14) ίσο με 0 για κάθε $p \in {\mathcal P}_{n-1}$ ο μόνος τρόπος είναι να είναι όλοι οι συντελεστές $u^{(n-k)}(b)=0$ για $k=1,\ldots,n$. Με άλλα λόγια πρέπει και αρκεί $u^{(k)}(b) = 0$ για $k=0,1,\ldots,n-1$, και η απόδειξη του Λήμματος 5.3 είναι πλήρης.

Επανερχόμαστε τώρα στην απόδειξη του Λήμματος 5.2. Ας είναι $f \in C([a,b])$ ορθογώνια προς το ${\mathcal P}_{n-1}$ (δηλ. ορθογώνιο προς όλες τα στοιχεία του ${\mathcal P}_{n-1}$). Από το Λήμμα 5.3 έχουμε ότι υπάρχει συνάρτηση $u \in C^n([a,b])$ τ.ώ. $fw = u^{(n)}$ και όλες οι παράγωγοι της $u$ τάξης μικρότερης του $n$ μηδενίζονται στα άκρα του διαστήματος. Αφού $u(a)=u(b)$ από το θεώρημα του Rolle έχουμε ότι η $u'$ έχει κάποια ρίζα στο διάστημα $(a,b)$. Αφού η $u'$ μηδενίζεται στα δύο άκρα και σε ένα ενδιάμεσο σημείο προκύπτει, και πάλι από το θεώρημα του Rolle ότι η $u^{(2)}$ έχει δύο διαφορετικές ρίζες στο $(a,b)$. Συνεχίζοντας κατ' αυτόν τον τρόπο, εφαρμόζοντας δηλ. συνεχώς το θεώρημα του Rolle ώστε να «κερδίζουμε» από μια επιπλέον ρίζα κάθε φορά που ανεβάζουμε την τάξη της παραγώγου της $u$, καταλήγουμε τελικά ότι η $u^{(n)}$ έχει $n$ διαφορετικές ρίζες στο $(a,b)$. Η απόδειξη του Λήμματος 5.2 είναι πλήρης και άρα το Θεώρημα 5.7 έχει επίσης αποδειχτεί πλήρως.