4.5 Μέσοι όροι των μερικών αθροισμάτων της σειράς Fourier

Όταν μελετάμε το κεντρικό ερώτημα της ανάλυσης Fourier που είναι το κατά πόσο, με ποιο τρόπο και υπό ποιες συνθήκες τα μερικά αθροίσματα μιας σειράς Fourier συγκλίνουν στη συνάρτηση, συχνά συναντάμε αρνητικές απαντήσεις.

Ένα πολύ βασικό αποτέλεσμα, για παράδειγμα, είναι ότι υπάρχουν συναρτήσεις $f \in C({\mathbb{T}})$ που η σειρά Fourier τους δε συγκλίνει στη συνάρτηση παντού. Προς το παρόν δε θα περιγράψουμε τέτοια παραδείγματα αλλά θα επισημάνουμε ότι το φαινόμενο αυτό συνδέεται με το ότι οι ποσότητες

$${\left\Vert{D_N}\right\Vert _{1}}$$

δεν είναι ομοιόμορφα φραγμένες για όλα τα $N$ (εδώ $D_N$ είναι ο πυρήνας Dirichlet (4.13) τάξης $N$).

Άσκηση 4.7   Αποδείξτε ότι υπάρχει μια θετική σταθερά $C$ (δεν έχει ιδιαίτερη σημασία ποια είναι) τ.ώ.

$${\left\Vert{D_N}\right\Vert _{1}} \ge C \log N.$$ (4.17)

Υπόδειξη: Σχεδιάστε πρώτα το γράφημα της $D_N$ χρησιμοποιώντας τον τύπο (4.14). Δε χρειάζεται να είστε πολύ ακριβείς στο γράφημά σας, ούτε να βρείτε την καλύτερη σταθερά $C$ στην (4.17).

Αν επιτρέψουμε $f \in L^1({\mathbb{T}})$ τότε υπάρχουν παραδείγματα τέτοιων συναρτήσεων $f$ των οποίων η σειρά Fourier δε συγκλίνει πουθενά (οφείλονται στον Kolmogorov).

Από την θετική πλευρά υπάρχει το θεώρημα του L. Carleson που λέει ότι για κάθε $f \in L^2({\mathbb{T}})$ (άρα και για κάθε συνεχή συνάρτηση) η σειρά Fourier της $f$ συγκλίνει στην $f$ σχεδόν παντού. Η απόδειξη αυτού του θεωρήματος (1966) θεωρήθηκε μια από τις μεγάλες επιτυχίες της ανάλυσης Fourier (απαντούσε σε μια εικασία του Lusin) και είναι πολύ δύσκολη για να παρουσιαστεί σε αυτό το κείμενο.

Θυμίζουμε εδώ ότι έχουμε τους ακόλουθους εγκλεισμούς για τους συνηθισμένους χώρους συναρτήσεων πάνω στον κύκλο:

$$\cdots \subseteq C^j({\mathbb{T}}) \subseteq C^{j-1}({\mathbb{T}}... ...cdots \subseteq L^2({\mathbb{T}}) \subseteq \cdots \subseteq L^1({\mathbb{T}}).$$ (4.18)