2.5 Άρτιες και περιττές συναρτήσεις

Μια συνάρτηση $f:{\mathbb{R}}\to{\mathbb{C}}$ λέγεται άρτια αν $f(-x)=f(x)$ για κάθε $x \in {\mathbb{R}}$ (οποιοδήποτε πεδίο ορισμού $D$ μπορούμε να έχουμε εδώ το οποίο είναι συμμετρικό ως προς το 0, ισχύει δηλ. $x \in D \Longleftrightarrow -x \in D$). Η $f:{\mathbb{R}}\to{\mathbb{C}}$ λέγεται περιττή αν ισχύει $f(-x) =-f(x)$ για κάθε $x \in {\mathbb{R}}$.

Είναι φανερό ότι το να είναι μια συνάρτηση άρτια ή περιττή είναι μια σχετικά σπάνια ιδιότητα; οι «πιο πολλές» συναρτήσεις δεν είναι ούτε το ένα ούτε το άλλο. Παρ' όλ' αυτά ισχύει το παρακάτω θεώρημα το οποίο κάποιες φορές μας επιτρέπει να περάσουμε ιδιότητες των αρτίων και των περιττών συναρτήσεων σε γενικές συναρτήσεις.

Θεώρημα 2.2   Αν $f:{\mathbb{R}}\to{\mathbb{C}}$ τότε υπάρχει μια άρτια συνάρτηση $f_e:{\mathbb{R}}\to{\mathbb{C}}$ και μια περιττή συνάρτηση $f_o:{\mathbb{R}}\to{\mathbb{C}}$ τ.ώ. $f(x)=f_e(x)+f_o(x)$ για κάθε $x \in {\mathbb{R}}$. Μάλιστα αυτή η διάσπαση της $f$ σε άθροισμα περιττής και άρτιας συνάρτησης είναι μοναδική.

Η απόδειξη είναι εξαιρετικά απλή. Παίρνουμε

$$f_e(x) = \frac{f(x)+f(-x)}{2}, f_o(x) = \frac{f(x)-f(-x)}{2}.$$

Είναι φανερό ότι $f=f_e+f_o$ και ότι η $f_e$ είναι άρτια και η $f_o$ περιττή.

Για να δείξουμε τη μοναδικότητα υποθέτουμε ότι υπάρχει και δεύτερη διάσπαση της $f$ σε άθροισμα άρτιας και περιττής συνάρτησης

$$f=\widetilde{f_e}+\widetilde{f_o}.$$

Από την ισότητα $f_e+f_o=\widetilde{f_e}+\widetilde{f_o}$ παίρνουμε

$$f_e-\widetilde{f_e} = \widetilde{f_o}-f_o.$$

Το αριστερό μέλος είναι άρτια συνάρτηση και το δεξί περιττή (ως γραμμικός συνδυασμός αντιστοίχων συναρτήσεων). Όμως η μόνη συνάρτηση που υπάρχει που είναι ταυτόχρονα άρτια και περιττή είναι η μηδενική συνάρτηση, άρα $f_e=\widetilde{f_e}$ και $f_o=\widetilde{f_o}$.

Οι συναρτήσεις $f_e$ και $f_o$ ονομάζονται άρτιο και περιττό μέρος της $f$.

Άσκηση 2.15   Αν $p(x) = a_0 + \sum_{k=1}^N \left( a_k \cos{kx} + b_k \sin{kx}\right)$ είναι ένα τριγωνομετρικό πολυώνυμο γραμμένο στην τριγωνομετρική του μορφή τότε βρείτε τις συναρτήσεις $p_e(x)$ και $p_o(x)$ γραμμένες επίσης στην τριγωνομετρική τους μορφή. Ίδιο ερώτημα αν το τριγ. πολυώνυμο $p(x)$ δίδεται στην εκθετική του μορφή

$$p(x) = \sum_{k=-N}^N p_k e^{ikx}.$$