2.3 Τριγωνομετρικά πολυώνυμα.

Ένα τριγωνομετρικό πολυώνυμο είναι ένας πεπερασμένος γραμμικός συνδυασμός, με μιγαδικούς συντελεστές, μιγαδικών εκθετικών συναρτήσεων με περίοδο $2\pi$, δηλ. των συναρτήσεων

$$e_n(x) = e^{i nx}, (n \in {\mathbb{Z}}).$$

Ένας άλλος τρόπος να πούμε το ίδιο πράγμα είναι να πούμε ότι τριγωνομετρικά πολυώνυμα είναι συναρτήσεις της μορφής

$$p(x) = \sum_{k=-N}^N p_k e_k(x),$$ (2.3)

όπου $N$ είναι ένας μη αρνητικός ακέραιος. Ο αριθμός $k$ ονομάζεται και συχνότητα του εκθετικού $e_k(x)$. Η μεγαλύτερη, κατ' απόλυτη τιμή, συχνότητα που εμφανίζεται σ' ένα τριγωνομετρικό πολυώνυμο ονομάζεται βαθμός του πολυωνύμου και συμοβολίζεται με $\deg p$. Για παραδειγμα, αν $p(x) = 3e^{-i4x}+1+e^{i2x}$ τότε $\deg p = 4$. Έτσι ένα πολυώνυμο της μορφής (2.3) είναι βαθμού το πολύ $N$.

Τα $p_k$ στην (2.3) ονομάζονται συντελεστές του $p(x)$ και καθορίζονται μοναδικά. Δε μπορεί δηλ. η ίδια συνάρτηση $p(x)$ να γραφεί με δυο διαφορετικούς τρόπους στη γραφή (2.3).

Είναι σημαντικό να τονίσουμε ότι τα τριγωνομετρικά πολυώνυμα είναι $2\pi$-περιοδικές, συνεχείς συναρτήσεις αφού κάθε συνάρτηση $e_n(x) = 2^{i n x}$ είναι τέτοια.

Άσκηση 2.7   (Μοναδικότητα των συντελεστών)
Αν $\sum_{k=-N}^N p_k e^{ikx} = \sum_{k=-N}^N q_k e^{ikx}$ για κάθε $x$ σε ένα σύνολο $A \subseteq {\mathbb{R}}$ με πλήθος στοιχείων ${\left\vert{A}\right\vert}\ge 2N+1$ τότε $p_k = q_k$ για κάθε $k$.

Υπόδειξη: Αρκεί να δείξουμε ότι αν $\sum_{k=-N}^N p_k e^{ikx} = 0$ για κάθε $x \in A={\left\{{a_1, a_2, \ldots, a_{2N+1}, \ldots}\right\}}$ τότε $p_k=0$ για κάθε $k$. Δείξτε ότι αρκεί ο $(2N+1)\times(2N+1)$ πίνακας με στοιχεία τα $e^{ika_j}$, $k=-N,\ldots,N$, $j=1,2,\ldots,2N+1$, να είναι αντιστρέψιμος.

Αυτό ανάγεται σε ένα πίνακα Vandermonde $A$ με $A_{jk} = x_j^k$,

$$A = \begin{bmatrix} 1 & x_1 & x_1^2 & \ldots & x_1^{n-1} \\ 1 ... ...ldots & \ldots & \ldots\\ 1 & x_n & x_n^2 & \ldots & x_n^{n-1} \end{bmatrix}$$

όπου $n=2N+1$, $j = 0,2,\ldots,n-1$, $k=1,2,\ldots,n$, και τα $x_j \in {\mathbb{C}}$. Δείξτε ότι αν όλα τα $x_j$ είναι διαφορετικά τότε ο πίνακας είναι αντιστρέψιμος υπολογίζοντας την ορίζουσά του και δείχνοντας ότι αυτή ισούται με $\pm$ το γινόμενο όλων των διαφορών $x_r-x_s$, όπου $r\neq s$:

$$\det A = \pm \prod_{r,s=1,\ldots,n \atop r<s} (x_r - x_s).$$

Αυτό μπορεί να αποδειχτεί με επαγωγή ως προς το $n$.

Υπόδειξη: Ένας άλλος τρόπος να αποδείξετε ότι ένα τριγωνομετρικό πολυώνυμο βαθμού $\le N$ το οποίο μηδενίζεται σε $2N+1$ σημεία έχει όλους τους συντελεστές του μηδενικούς είναι να χρησιμοποιήσετε την αντίστοιχη πρόταση για τα αλγεβρικά πολυώνυμα, ότι δηλ. ένα αλγεβρικό πολυώνυμο βαθμού $\le M$ που μηδενίζεται σε $M+1$ σημεία στο ${\mathbb{C}}$ είναι αναγκαστικά το μηδενικό πολυώνυμο, αυτό δηλ. με όλους τους συντελεστές ίσους με το μηδέν. Χρησιμοποιήστε το πολυώνυμο

$$q(z) = p_{-N} + p_{-N+1}z + p_{-N+2}z^2 + \cdots + p_N z^{2N} = z^N \sum_{k=-N}^N p_k z^k.$$

Ποια η σχέση των μηδενικών του τριγωνομετρικού πολυωνύμου $p(x)$ με τις ρίζες του αλγεβρικού πολυωνύμου $q(z)$ όταν κοιτάξετε μόνο τα $z$ με ${\left\vert{z}\right\vert}=1$ και θέσετε $z=e^{ix}$;