2.2 Περιοδικότητα

Μια συνάρτηση $f:{\mathbb{R}}\to{\mathbb{C}}$ ονομάζεται περιοδική με περίοδο $T\neq 0$ αν

$$f(x+T) = f(x), (x\in{\mathbb{R}}).$$

Σχήμα 2.2: Το γράφημα μιας περιοδικής συνάρτησης με περίοδο $T$

Για παράδειγμα η συνάρτηση $\sin{x}$ είναι περιοδική με περίοδο $2\pi$ και η συνάρτηση $e^{2\pi i x}$ είναι περιοδική με περίοδο 1.

Άσκηση 2.3 (Σύνολο των περιόδων μιας συνάρτησης)  
Η περίοδος μιας περιοδικής συνάρτησης δεν είναι ποτέ μοναδική. Αποδείξτε ότι το σύνολο των περιόδων μιας συνάρτησης (συμπεριλαμβανομένου του 0, που συνήθως δεν το ονομάζουμε περίοδο) αποτελεί ομάδα. Αν δηλ. $T_1$ και $T_2$ είναι περίοδοι τότε και οι αριθμοί $-T_1, -T_2, T_1+T_2$ είναι επίσης περίοδοι. Δείξτε επίσης ότι κάθε μη σταθερή, συνεχής περιοδική συνάρτηση έχει μια ελάχιστη θετική περίοδο και κάθε άλλη περίοδος της συνάρτησης είναι ακέραιο πολλαπλάσιό της.

Άσκηση 2.4   Οι δυο συναρτήσεις $f, g:{\mathbb{Z}}\to{\mathbb{R}}$ είναι περιοδικές με ελάχιστες θετικές περιόδους τους φυσικούς αριθμούς $a$ και $b$ αντίστοιχα. Δείξτε ότι και η συνάρτηση $f+g$ είναι περιοδική και βρείτε μια περίοδό της. Αν οι $a, b$ είναι πρώτοι μεταξύ τους, δείξτε ότι η ελάχιστη θετική περίοδος της $f+g$ είναι πάντα ο αριθμός $a\cdot b$.

Άσκηση 2.5   Αν $f:{\mathbb{R}}\to{\mathbb{C}}$ είναι μια συνεχής (ή, γενικότερα, μια συνάρτηση που είναι ολοκληρώσιμη σε κάθε φραγμένο διάστημα) $T$-περιοδική συνάρτηση τότε αν $x, y \in {\mathbb{R}}$ έχουμε

$$\int_x^{x+T}f(t) dt = \int_y^{y+T} f(t) dt.$$

Άσκηση 2.6   Κάθε συνάρτηση $f:[0,2\pi]\to{\mathbb{C}}$ μπορεί να επεκταθεί ως μια $2\pi$-περιοδική συνάρτηση σε όλο το ${\mathbb{R}}$ κατά μοναδικό τρόπο με τον τύπο

$$f(x) = f\left(x-{\left\lfloor{\frac{x}{2\pi}}\right\rfloor}2\pi\right).$$

Κάθε $2\pi$-περιοδική και συνεχής συνάρτηση, αν περιοριστεί στο διάστημα $[0,2\pi]$ είναι προφανώς συνεχής. Ισχύει ότι κάθε συνεχής συνάρτηση στο $[0,2\pi]$, αν επεκταθεί σε όλο το ${\mathbb{R}}$ με τον παραπάνω τύπο γίνεται μια συνεχής περιοδική συνάρτηση; Αν όχι, ποια επιπλέον συνθήκη πρέπει να επιβάλλουμε σε μια συνεχή συνάρτηση στο $[0,2\pi]$ ώστε η περιοδική της επέκταση στο ${\mathbb{R}}$ να είναι παντού συνεχής;

Παρατήρηση 2.1   Οι μιγαδικές εκθετικές συναρτήσεις $e_n(x) = e^{inx}$, $n\in{\mathbb{Z}}$, έχουν όλες περίοδο $2\pi$ (αλλά μόνο οι $e_1(x)$ και $e_{-1}(x)$ έχουν ελάχιστη περίοδο $2\pi$), και είναι ιδιαίτερα χρήσιμες στη μελέτη συναρτήσεων που είναι περιοδικές με αυτή την περίοδο. Είναι όμως αρκετά κοινό, αν θέλουμε να μελετήσουμε φαινόμενα που έχουν άλλη περίοδο, να χρησιμοποιούμε εκθετικές συναρτήσεις που είναι ελαφρώς διαφορετικές. Για παράδειγμα, εξίσου κοινές με τις παραπάνω συναρτήσεις είναι και οι εκθετικές συναρτήσεις $e^{2\pi i nx}$, $n\in{\mathbb{Z}}$, οι οποίες έχουν περίοδο 1 αντί για $2\pi$. Όλα όσα θα πούμε παρακάτω ισχύουν, φυσικά με τις κατάλληλες ελάχιστες τροποποιήσεις, και σε κάθε τέτοια οικογένεια μιγαδικών εκθετικών συναρτήσεων και για τα αντίστοιχα τριγωνομετρικά πολυώνυμα. Η αναγωγή από τη μια περίπτωση στην άλλη γίνεται με μια απλή γραμμική αλλαγή μεταβλητής.