2.1 Μερικά βασικά περί μιγαδικών αριθμών

Υποθέτουμε ως γνωστές τις βασικές έννοιες μιγαδικών αριθμών. Οι μιγαδικοί αριθμοί είναι οι «αριθμοί» που μπορεί κανείς να γράψει στη μορφή

$$z=x+iy$$

όπου $x, y \in {\mathbb{R}}$ και το σύμβολο $i$ έχει την ιδιότητα $i^2=-1$

Οι ιδιότητες αυτές αρκούν για να μας πουν πώς να επεκτείνουμε τις πράξεις της πρόσθεσης και του πολλαπλασιασμού στους μιγαδικούς αριθμούς

$${\mathbb{C}}={\left\{{x+iy: x, y\in{\mathbb{R}}}\right\}}$$

έτσι ώστε να ισχύουν οι συνήθεις ιδιότητες των πράξεων. Κάθε μιγαδικός αριθμός $z = x+iy$ έχει ένα μέτρο το

$$r = {\left\vert{z}\right\vert} = \sqrt{x^2+y^2},$$

κι ένα όρισμα (εκτός το 0) $\theta \in [0,2\pi)$ που είναι τέτοιο ώστε

$$x = r \cos\theta, y = r \sin\theta.$$

Σχήμα 2.1: Ο μιγαδικός αριθμός $z = x+iy$, με πραγματικό μέρος $x={\rm Re }{z}$, φανταστικό μέρος $y={\rm Im }{z}$, μέτρο $r = {\left\vert{z}\right\vert} = \sqrt{x^2+y^2}$ και όρισμα $\theta$ τέτοιο ώστε $x = r\cos{\theta}, y=r\sin{\theta}$

Ο μιγαδικός αριθμός

$$\overline{z} = x - iy$$

ονομάζεται συζυγής του $z = x+iy$.

Η εκθετική συνάρτηση $e^x$ μπορεί να οριστεί και με μιγαδικό όρισμα από τη σειρά

$$e^z = 1+z+\frac{1}{2}z^2+\frac{1}{3!}z^3+\cdots+\frac{1}{n!}z^n+\cdots$$

η οποία συγκλίνει για κάθε $z \in {\mathbb{C}}$. Για τη συνάρτηση αυτή ισχύει $e^{z+w} = e^z e^w$. Επίσης, αν $\theta\in{\mathbb{R}}$ ισχύει ο τύπος

$$e^{i\theta} = \cos\theta + i \sin\theta.$$ (2.1)

Η πολική μορφή ενός μιγαδικού αριθμού $z$ με μέτρο $r$ και όρισμα $\theta$ είναι

$$z = re^{i\theta}.$$

Από την (2.1) προκύπτουν εύκολα οι τύποι

$$\cos\theta = \frac{1}{2} (e^{i\theta} + e^{-i\theta}),$$ (2.2)

$$\sin\theta = \frac{1}{2i} (e^{i\theta} - e^{-i\theta}),$$

οι οποίοι μας επιτρέπουν να εκφράσουμε τις τριγωνομετρικές συναρτήσεις με την εκθετική συνάρτηση, κάτι που κάνει τους υπολογισμούς με αυτές τις συναρτήσεις πολύ ευκολότερους. Για παράδειγμα, χρησιμοποιώντας τους άνω τύπους είναι πολύ εύκολο να υπολογίσει κανείς τα ημίτονα και συνημίτονα για το άθροισμα δύο τόξων $\cos(a+b), \sin(a+b)$, χωρίς να χρειάζεται να θυμάται τους τύπους.

Άσκηση 2.1   Χρησιμοποιώντας τους τύπους (2.2) βρείτε τύπους για τα $\cos(a+b), \sin(a+b)$ μέσω των τριγωνομετρικών αριθμών των $a, b$.

Υπόδειξη: Ποιο το πραγματικό και ποιο το φανταστικό μέρος του $e^{i(a+b)} = e^{ia} e^{ib}$;

Άσκηση 2.2   Λέμε ότι μια ακολουθία $z_n \in {\mathbb{C}}$ συγκλίνει στο $z \in {\mathbb{C}}$ αν ${\left\vert{z-z_n}\right\vert} \to 0$ όταν $n \to \infty$. Δείξτε ότι $z_n \to z$ αν και μόνο αν ${\rm Re }{z_n} \to {\rm Re }{z}$ και ${\rm Im }{z_n} \to {\rm Im }{z}$.