3.1 Συντελεστές Fourier μιας ολοκληρώσιμης συνάρτησης και σειρά Fourier

Ας είναι τώρα $f:[0,2\pi]\to{\mathbb{C}}$ μια ολοκληρώσιμη συνάρτηση. Τότε και η συνάρτηση $f(x)e^{ikx}$ είναι ολοκληρώσιμη (αφού έχει το ίδιο μέτρο με την $f$) όποιο και να είναι το $k\in{\mathbb{Z}}$, και άρα μπορούμε να ορίσουμε το $n$-οστό συντελεστή Fourier της $f$ από τον τύπο

$$\widehat{f}(n) = {\langle f, e_n \rangle} = {\frac{1}{2\pi}\int_0^{2\pi}}f(x)e^{-inx} dx.$$ (3.1)

Από την τριγωνική ανισότητα για το ολοκλήρωμα

$${\left\vert{\int g}\right\vert} \le \int{\left\vert{g}\right\vert}$$

προκύπτει άμεσα η ανισότητα

$${\left\vert{\widehat{f}(n)}\right\vert} \le {\frac{1}{2\pi}\int_0^{2\pi}}{\left\vert{f}\right\vert}.$$ (3.2)

Άσκηση 3.1   Αν $f\ge 0$ δείξτε ότι $\widehat{f}(0) \ge {\left\vert{\widehat{f}(k)}\right\vert}, (k \in {\mathbb{Z}})$.

Για κάθε ολοκληρώσιμη συνάρτηση $f$ μπορεί κανείς να δείξει ότι

$$\widehat{f}(n) \to 0$$

για ${\left\vert{n}\right\vert} \to \infty$. Αυτό είναι το λεγόμενο Λήμμα Riemann-Lebesgue (δείτε Πρόβλημα 1.38).

Έχοντας ορίσει τους συντελεστές Fourier της $f$ ορίζουμε τώρα και τη σειρά Fourier ως τη σειρά

$$\sum_{n=-\infty}^\infty \widehat{f}(n) e^{inx}.$$

Στη σειρά αυτή το $n$ απειρίζεται και προς τα δεξιά (το συνηθισμένο) και προς τα αριστερά. Τι σημαίνει για μια σειρά μιγαδικών αριθμών

$$\sum_{n=-\infty}^\infty a_n$$

ότι το άθροισμά της είναι ο αριθμός $L \in {\mathbb{C}}$; Πολύ απλά ότι το $L$ είναι το όριο των συμμετρικών μερικών αθροισμάτων της σειράς

$$L = \lim_{N\to\infty} \sum_{n=-N}^N a_n.$$

Για να υποδηλώσουμε ότι μια σειρά είναι η σειρά Fourier της $f$ γράφουμε συνήθως

$$f(x) \sim \sum_{n=-\infty}^\infty \widehat{f}(n) e^{inx}.$$

Δε χρησιμοποιούμε το σύμβολο $=$ ακριβώς για να τονίσουμε ότι κατ' αρχήν δεν κάνουμε κανένα ισχυρισμό όσον αφορά τη σύγκλιση της σειράς και μάλιστα στην $f(x)$. Το μεγαλύτερο μέρος της κλασικής Αρμονικής Ανάλυσης αφορά ακριβώς το να ξεκαθαρίσουμε υπό ποιες συνθήκες (για την $f$) ισχύει μια τέτοια σύγκλιση ή σύγκλιση κάποιου άλλου είδους (π.χ. ομοιόμορφη σύγκλιση των μερικών αθροισμάτων της σειράς Fourier).

Τα συμμετρικά μερικά αθροίσματα της σειράς Fourier της $f$ όμως είναι τριγ. πολυώνυμα και άρα είναι ταυτόχρονα και συναρτήσεις (δεν τίθεται εδώ θέμα σύγκλισης):

$$S_N(f)(x) = \sum_{k=-N}^N \widehat{f}(k) e^{ikx}, N=0,1,2,\ldots, x\in{\mathbb{R}}.$$

(Προσέξτε ότι το όνομα της συνάρτησης είναι $S_N(f)$ και $S_N(f)(x)$ είναι η τιμή της συνάρτησης αυτής στο $x$. Σε άλλα βιβλία μπορεί να δείτε αντί για τον παραπάνω συμβολισμό να χρησιμοποιείται το $S_N(f, x)$ ή και κάτι σαν $S_N^f(x)$.)

Ένα κεντρικό πρόβλημα της Αρμονικής Ανάλυσης είναι λοιπόν το κατά πόσο τα μερικά αθροίσματα $S_N(f)(x)$ συγκλίνουν στη συνάρτηση $f(x)$ όταν $N \to \infty$ και με ποια έννοια συγκλίνουν (κατά σημείο, ομοιόμορφα, σε κάποια ολοκληρωτική νόρμα όπως θα δούμε αργότερα).

Άσκηση 3.2   Ποιοι οι συντελεστές Fourier της συνάρτησης $f(x)=1$;

Άσκηση 3.3   Η $2\pi$-περιοδική συνάρτηση $f$ ορίζεται στο διάστημα $[-\pi, \pi]$ από τον τύπο

$$f(x) = x, \alpha\nu x \in (-\pi, \pi) \kappa\alpha\iota 0 \alpha\nu x = \pm \pi.$$

Δείξτε (χρησιμοποιήστε ολοκλήρωση κατά μέρη) ότι οι συντελεστές Fourier της $f$ είναι οι

$$\widehat{f}(n) = \frac{(-1)^{n+1}}{in}$$

για $n \neq 0$ και $\widehat{f}(0)=0$.

Παρατήρηση: Δεν έχει ιδιαίτερη σημασία το ποιες είναι οι τιμές της $f$ στα άκρα του διαστήματος $[-\pi, \pi]$ αφού όπως και να οριστεί εκεί τα ολοκληρώματα που ορίζουν τα $\widehat{f}(n)$ δεν επηρεάζονται.

Άσκηση 3.4   Η συνάρτηση $f:[0,2\pi]\to{\mathbb{C}}$ δίνεται από τον τύπο $f(x)=(\pi-x)^2/4$. Δείξτε ότι η σειρά Fourier της $f$ είναι η

$$f(x) \sim \frac{\pi^2}{12} + \sum_{n \neq 0} \frac{e^{inx}}{2n^2} =\ \frac{\pi^2}{12} + \sum_{n=1}^\infty \frac{\cos{nx}}{n^2}.$$

Σχήμα 3.1: Η συνάρτηση του προβλήματος 3.5

Άσκηση 3.5   Αν $0<\delta<\pi$ υπολογίστε τους συντελεστές Fourier της συνάρτησης $f:[-\pi,\pi]\to{\mathbb{R}}$ με τριγωνικό γράφημα που δίνεται από τον τύπο

$$f(x) = \begin{cases}1-\frac{{\left\vert{x}\right\vert}}{\delta} &... ... \le \delta)\\ 0 & (\delta \le {\left\vert{x}\right\vert}\le \pi).\end{cases}$$

Άσκηση 3.6   Αν $a_n, b_n, n=1,2,\ldots,N$ είναι μιγαδικοί αριθμοί και $B_k = \sum_{n=1}^k b_n$ δείξτε τον πολύ χρήσιμο τύπο της άθροισης κατά μέρη (που είναι το ανάλογο για αθροίσματα του τύπου της ολοκλήρωσης κατά μέρη)

$$\sum_{n=M}^N a_n b_n = a_N B_N - a_M B_{M-1} - \sum_{n=M}^{N-1} (a_{n+1}-a_n) B_n.$$ (3.3)

Άσκηση 3.7   Αν $a_n \to 0$ είναι φθίνουσα ακολουθία και τα μερικά αθροίσματα της σειράς $\sum_n b_n$ είναι φραγμένα τότε η σειρά $\sum_n a_n b_n$ συγκλίνει.

Υπόδειξη: Χρησιμοποιήστε το Πρόβλημα 3.6.

Άσκηση 3.8   Αν $f_k, f$ είναι $2\pi$-περιοδικές και ολοκληρώσιμες στο $[0,2\pi]$ και (σύγκλιση στο $L^1([0,2\pi])$)

$$\int_0^{2\pi} {\left\vert{f_k(x) - f(x)}\right\vert} dx \to 0. (k\to\infty)$$

τότε έχουμε

$$\lim_{k\to\infty} \widehat{f_k}(n) \to \widehat{f}(n),$$

ομοιόμορφα για όλα τα $n\in{\mathbb{Z}}$.