12.4 Γεννήτριες συναρτήσεις

Ορισμός 12.8   (Γεννήτρια συνάρτηση) Αν $X$ είναι μια ΤΜ που παίρνει τιμές στο σύνολο ${\mathbb{N}}= {\left\{{0,1,2,\ldots}\right\}}$ τότε η γεννήτρια συνάρτηση της $X$ είναι η συνάρτηση

$$\Phi_X(t) = {\bf E}{t^X} = \sum_{n=0}^\infty f_X(n) t^n, ({\left\vert{t}\right\vert}\le 1).$$

Παρατήρηση 12.16   Αποδεικνύεται ότι η άπειρη σειρά στον ορισμό 12.8 συγκλίνει για όλα τα $t$ με ${\left\vert{t}\right\vert} \le 1$.

Παράδειγμα 12.22   An $X=c$ σχεδόν σίγουρα τότε $\Phi_X(t) = t^c$.

Παράδειγμα 12.23   Αν η $X$ ακολουθεί γεωμετρική κατανομή (12.2) με παράμετρο $p$ τότε

$$\Phi_X(t) = \sum_{n=1}^\infty t^n p (1-p)^{n-1}$$

$$= \frac{p}{1-p} \sum_{n=1}^\infty (t(1-p))^n$$

$$= \frac{p}{1-p} \left( \frac{1}{1-t(1-p)} -1 \right)$$

$$= \frac{pt}{1-(1-p)t}.$$

Παράδειγμα 12.24   Αν η $X$ ακολουθεί τη διωνυμική κατανομή (12.3) με παραμέτρους $N$ και $p$, τότε

$$\Phi_X(t) = \sum_{n=0}^N t^n {N \choose n} p^n (1-p)^{N-n}$$

$$= \sum_{n=0}^N {N \choose n} (tp)^n (1-p)^{N-n}$$

$$= (1-p+pt)^N,$$

(με εφαρμογή του διωνμικού Θεωρήματος 4.4.

Παράδειγμα 12.25   Αν η $X$ ακολουθεί κατανομή Poisson (12.4) με παράμετρο $\lambda>0$ τότε

$$\Phi_X(t) = \sum_{n=0}^\infty t^n e^{-\lambda} \frac{\lambda^n}{n... ...\infty \frac{(t\lambda)^n}{n!} = e^{-\lambda} e^{t\lambda} = e^{\lambda(1-t)}.$$

Θεώρημα 12.7   Αν $X_1, \ldots, X_r$ είναι ανεξάρτητες ΤΜ και $Y = X_1 + \cdots + X_r$ τότε

$$\Phi_Y(t) = \Phi_{X_1}(t) \cdots \Phi_{X_r}(t).$$

Απόδειξη. $\Phi_Y(t) = {\bf E}{t^Y} = {\bf E}{t^{X_1} \cdot t^{X_2} \cdots t^{X_r}}$. Οι ΤΜ $t^{X_1},\ldots,t^{X_r}$ είναι κι αυτές ανεξάρτητες άρα $\Phi_Y(t) = {\bf E}{t^{X_1}}\cdots{\bf E}{t^{X_r}} = \Phi_{X_1}(t) \cdots \Phi_{X_r}(t)$. $\qedsymbol$

Το επόμενο πολύ σημαντικό θεώρημα το δεχόμαστε χωρίς απόδειξη.

Θεώρημα 12.8   (Θεώρημα Μοναδικότητας της Γεννήτριας Συνάρτησης) Αν δύο ΤΜ $X$ και $Y$ (που παίρνουν τιμές στο ${\mathbb{N}}$) έχουν την ίδια γεννήτρια συνάρτηση τότε είναι ισόνομες.

Χρησιμοποιώντας τα Θεωρήματα 12.7 και 12.8 μπορούμε εύκολα να δείξουμε το ακόλουθο.

Θεώρημα 12.9 (α)   Αν οι $X_1, \ldots, X_r$ είναι ανεξάρτητες και η $X_i$ ακολουθεί τη διωνυμική κατανομή με παραμέτρους $N_i$ και $p$ τότε η $Y = X_1 + \cdots + X_r$ ακολουθεί τη διωνυμική κατανομή με παραμέτρους $N_1+\cdots+N_r$ και $p$.
(β) Αν οι $X_1, \ldots, X_r$ είναι ανεξάρτητες και η $X_i$ ακολουθεί τη κατανομή Poisson με παράμετρο $\lambda_i>0$ τότε η $Y = X_1 + \cdots + X_r$ ακολουθεί τη κατανομή Poisson με παράμετρο $\lambda_1+\cdots+\lambda_r$.

Απόδειξη. (α) Έχουμε $\Phi_{X_i}(t) = (1-p+pt)^{N_i}$ και από την ανεξαρτησία έχουμε

$$\Phi_Y(t) = \Phi_{X_1}(t) \cdots \Phi_{X_r}(t) = (1-p+pt)^{N_1+\cdots+N_r}.$$

Αλλά και η διωνυμική κατανομή με παραμέτρους $N_1+\cdots+N_r$ και $p$ έχει την ίδια γεννήτρια συνάρτηση, άρα (Θεώρημα 12.8) αυτή είναι η κατανομή της $Y$.

(β) Έχουμε $\Phi_{X_i}(t) = e^{\lambda_i(1-t)}$ και από την ανεξαρτησία έχουμε

$$\Phi_Y(t) = \Phi_{X_1}(t) \cdots \Phi_{X_r}(t) = e^{(\lambda_1+\cdots+\lambda_r)(1-t)}.$$

Αλλά και η κατανομή Poisson με παράμετρο $\lambda_1+\cdots+\lambda_r$ έχει την ίδια γεννήτρια συνάρτηση, άρα (Θεώρημα 12.8) αυτή είναι η κατανομή της $Y$. $\qedsymbol$

Άσκηση 12.35   Υπολογίστε τη γεννήτρια συνάρτηση της ομοιόμορφης κατανομής στο ${\left\{{a,\ldots,b}\right\}}$, $0\le a < b$.

Άσκηση 12.36   Αν η ΤΜ $X$ έχει γεννήτρια συνάρτηση τη $\Phi_X(t)$ ποια είναι η πυκνότητα μιας ΤΜ που έχει γεννήτρια συνάρτηση τη $\Phi_X(t^2)$;