Κεφάλαιο
13

Δυναμική ανελαστική ανάλυση

Σύνοψη

Στο παράδειγμα του Κεφαλαίου 13 παρουσιάζεται η προσομοίωση της δυναμικής ανελαστικής ανάλυσης απλού φορέα. Τα βασικά αντικείμενα που αναπτύσσονται στο συγκεκριμένο Κεφάλαιο είναι: δυναμική ανελαστική ανάλυση, ιδιότητες ανελαστικής συμπεριφοράς υλικού κατά τη δυναμική ανελαστική ανάλυση με μη-γραμμικά στοιχεία συνδέσμου (Nonlinear Links), καθορισμός ιδιοτήτων στοιχείων συνδέσμων, μέθοδοι δυναμικής ανελαστικής ανάλυσης φορέα με χρονοϊστορία φόρτισης, καθορισμός παραμέτρων ιδιομορφικής ανάλυσης με διανύσματα Ritz, συνδυασμοί φορτίων κατά την ανελαστική δυναμική ανάλυση, επιβολή φόρτισης στατικού τύπου μέσω ανελαστικής ανάλυσης χρονοϊστορίας, επιλογή χρονοϊστορίας επιταχύνσεων για τη δυναμική ανελαστική ανάλυση βάσει EC8, παράμετροι ανελαστικής συμπεριφοράς κατά την επίλυση με τη μέθοδο επαλληλίας ιδιομορφών, δυναμική ανελαστική ανάλυση με μέθοδο απευθείας ολοκλήρωσης στο χρόνο, βρόχοι αναπτυσσομένης ροπής-πλαστικής στροφής διατομής.

Προαπαιτούμενη γνώση

Απαιτούνται βασικές γνώσεις αντοχής υλικών και στατικής επίλυσης φορέων, γνώσεις αντισεισμικού σχεδιασμού, δυναμικής και ανελαστικής συμπεριφοράς κατασκευών οπλισμένου σκυροδέματος, εφαρμογή του παραδείγματος που αναπτύσσεται στα Κεφάλαια 3 και 11, όπως και πλήρης κατανόηση επιμέρους γνώσεων που αναπτύχθηκαν στα προηγούμενα Κεφάλαια του συγγράμματος.

13.1. Δεδομένα παραδείγματος

Ζητείται η ανελαστική δυναμική ανάλυση του φορέα των Κεφαλαίων 3 και 11 (Σχήμα 3.1), με βάση τα παρακάτω δεδομένα:

13.2. Ανελαστική δυναμική ανάλυση (Nonlinear time-history analysis)

Στο συγκεκριμένο παράδειγμα θα δοθούν κάποιες κατευθυντήριες οδηγίες για την εκτέλεση δυναμικής ανελαστικής ανάλυσης στο SAP 2000. Η δυναμική ανελαστική ανάλυση αφορά μη-γραμμική ανελαστική απόκριση του φορέα, όπου η δράση των οριζόντιων φορτίων είναι δυναμικού τύπου και προκαλεί την αδρανειακή απόκριση της κατασκευής. Αντίθετα, κατά την ανελαστική στατική ανάλυση (pushover) που εξετάστηκε στο Κεφάλαιο 12, η δράση των οριζόντιων φορτίων ήταν στατικού τύπου. Υπό το πρίσμα αυτό, η δυναμική ανελαστική ανάλυση περιγράφει ορθότερα την απόκριση της κατασκευής κατά τη διάρκεια συγκεκριμένου σεισμικού γεγονότος.

Παρόλο που η δυναμική ανελαστική ανάλυση αποτελεί την άμεση προσέγγιση της απόκρισης μιας κατασκευής, εντούτοις δεν χρησιμοποιείται συχνά κατά το σχεδιασμό, όπως άλλωστε συμβαίνει και με την ανελαστική στατική ανάλυση. Αυτό συμβαίνει για τους εξής βασικούς λόγους:

Η τρέχουσα επιστημονική γνώση, παρόλη την εκτεταμένη ερευνητική δραστηριότητα των τελευταίων δεκαετιών, δεν έχει οδηγήσει σε συνθήκες που επιτρέπουν την εύκολη χρήση της μεθόδου. Η εμπλοκή πολλών παραμέτρων από διάφορα γνωστικά αντικείμενα που σχετίζονται με τη σεισμική μηχανική (από την επιλογή των κατάλληλων επιταχυνσιογραφημάτων και τον προσδιορισμό των εδαφικών συνθηκών έως τη σωστή διαδικασία επίλυσης ενός πολυώροφου φορέα) εξακολουθούν να αποτελούν αντικείμενο έρευνας διεθνώς.

Γίνεται σαφές από τα παραπάνω, πως στόχος του παραδείγματος δεν είναι η ακριβής εφαρμογή της δυναμικής ανελαστικής ανάλυσης για την περίπτωση του φορέα που εξετάζεται βάσει ενός αυστηρού κανονιστικού πλαισίου, αλλά η εισαγωγή του αναγνώστη στα βασικά χαρακτηριστικά της μεθόδου.

Δυναμική ανελαστική ανάλυση στο SAP 2000 (εμφάνιση/απόκρυψη κειμένου)

13.3. Γεωμετρία του φορέα και σχεδίαση στοιχείων συνδέσμων (Links)

Οι μη-γραμμικοί σύνδεσμοι θα εισαχθούν στον φορέα με τρόπο που διακόπτει τη συνέχεια των γραμμικών στοιχείων, αποτελώντας ουσιαστικά κάποια πρόσθετα τμήματα στα άκρα των γραμμικών στοιχείων. Καθώς η μείωση του μήκους των δομικών στοιχείων αυξάνει τη δυσκαμψία τους, θα πρέπει τα στοιχεία τύπου Link να έχουν αρκούντως μικρό μήκος ώστε η όποια επιρροή να μην είναι σημαντική. Στην εφαρμογή του παραδείγματος επιλέγεται η χρήση μη-γραμμικών συνδέσμων μήκους 1cm.

Καθώς για τον φορέα της ανάλυσης θα χρησιμοποιηθούν δεδομένα που ήδη έχουν εισαχθεί στο παράδειγμα του Κεφαλαίου 11, αρχικά γίνεται άνοιγμα του συγκεκριμένου αρχείου και αποθήκευσή του ως Chapter 13.SDB. Για τη διευκόλυνση της απομείωσης του μήκους των γραμμικών στοιχείων και της σχεδίασης των συνδέσμων, τροποποιείται το σύστημα βοηθητικών γραμμών (Define → Coordinate Systems/Grids και Modify του υφιστάμενου συστήματος), προσθέτοντας γραμμές καννάβου (Grid Lines) σε θέσεις που απέχουν 0.01m από τους κόμβους, σύμφωνα με το Σχήμα 13.1.

Σχήμα 13.1 Προσθήκη βοηθητικών γραμμών για τη σχεδίαση των συνδέσμων.

Στη συνέχεια προστίθενται κόμβοι στον φορέα, σε θέσεις που απέχουν 0.01m από τα άκρα των γραμμικών στοιχείων, με την εντολή Draw → Add Special Joint σε επίπεδο xz, όπως φαίνεται στο Σχήμα 13.2 (αριστερά). Για να γίνει δυνατή η σχεδίαση θα πρέπει να είναι ορατές οι βοηθητικές γραμμές (ενεργό το View → Show Grid) και να χρησιμοποιηθούν οι εντολές zoom του προγράμματος (Rubber Band Zoom και Restore Full View), καθώς οι αποστάσεις των νέων κόμβων από τους υφιστάμενους είναι πολύ μικρές για να εμφανιστούν στην πλήρη προβολή του φορέα. Στους συνολικά έξι (6) νέους κόμβους δίνονται οι παρακάτω ονομασίες (τροποποίηση της ονομασίας με δεξί click στον κάθε κόμβο), ώστε να διευκολυνθεί στη συνέχεια ο επανακαθορισμός των δομικών στοιχείων:

Η παραπάνω διαδικασία σχεδίασης και μετονομασίας, ενδεικτικά για το σημείο σύνδεσης του αριστερά υποστυλώματος με τη δοκό, φαίνεται στο Σχήμα 13.2.

Σχήμα 13.2 Προσθήκη νέων κόμβων στα σημεία διασταύρωσης με τις βοηθητικές γραμμές (αριστερά) και μετονομασία νέων κόμβων (δεξιά).

Το επόμενο βήμα είναι η αλλαγή των κόμβων που ορίζουν τα άκρα των δομικών στοιχείων, ώστε να προκύψουν τα κενά του 0.01m στα οποία θα σχεδιαστούν οι σύνδεσμοι (Links). Αυτό μπορεί να γίνει με δεξί click σε κάθε γραμμικό στοιχείο, και στη συνέχεια διπλό click στο σημείο που εμφανίζονται οι συντεταγμένες των κόμβων αρχής/τέλους του στοιχείου, οπότε μπορούν να αντικατασταθούν από τους νέους κόμβους. Η διαδικασία εμφανίζεται στο Σχήμα 13.3 ενδεικτικά για το αριστερά υποστύλωμα, ενώ τα άκρα των δομικών στοιχείων του φορέα πλέον επανακαθορίζονται ως εξής:

Σχήμα 13.3 Επιλογή (διπλό click) των κόμβων αρχής/τέλους του γραμμικού στοιχείου (αριστερά) και αλλαγή τους με τους νέους κόμβους που δημιουργήθηκαν (δεξιά).

Με την ολοκλήρωση της διαδικασίας μεταβάλλονται οι κόμβοι αρχής ή/και τέλους των γραμμικών στοιχείων, οπότε και επανακαθορίζεται το μήκος του στοιχείου (Length), όπως φαίνεται στο Σχήμα 13.4 για το αριστερά υποστύλωμα. Παράλληλα, στις θέσεις σύνδεσης των γραμμικών στοιχείων και στις βάσεις των υποστυλωμάτων, υπάρχουν πλέον κενά τμήματα όπου θα σχεδιαστούν τα στοιχεία συνδέσμου (Links).

Σχήμα 13.4 Ενημέρωση των χαρακτηριστικών του γραμμικού στοιχείου μετά την αλλαγή των κόμβων αρχής/τέλους (αριστερά) και εικόνα με κενό τμήμα στα σημεία σύνδεσης των στοιχείων (δεξιά)..

Τελευταίο βήμα στον καθορισμό της γεωμετρίας αποτελεί η σχεδίαση των συνδέσμων από την εντολή Draw → Draw 2 Joint Links. Η σχεδίαση γίνεται ακολουθώντας τη φορά των αξόνων (προς τα πάνω κατά Z και δεξιά κατά X), όπως φαίνεται στο Σχήμα 13.5. Δίδεται προσοχή στη διατήρηση της πάκτωσης στον κάτω κόμβο των στοιχείων Link που σχεδιάστηκαν στις βάσεις των υποστυλωμάτων (δεξιά στο Σχήμα 13.5). Συνολικά σχεδιάζονται στον φορέα έξι (6) στοιχεία συνδέσμου (Links).

Μετά την ολοκλήρωση της διαδικασίας εισαγωγής των συνδέσμων ακολουθεί η αλλαγή των ονομάτων (Labels) σε γραμμικά στοιχεία και συνδέσμους, προκειμένου να είναι εύκολος ο εντοπισμός τους κατά την ανάγνωση των αποτελεσμάτων, σύμφωνα με τα παρακάτω:

Η μετονομασία μπορεί να γίνει με δεξί click στο κάθε στοιχείο και αλλαγή του πεδίου Assignments: Label, ενώ απαιτείται η χρήση των εργαλείων μεγέθυνσης για την επιλογή και μετονομασία των στοιχείων συνδέσμων.

Σχήμα 13.5 Φορά σχεδίασης των συνδέσμων (αριστερά) και μορφή συνδέσμου στη βάση υποστυλώματος με πάκτωση του κόμβου βάσης (δεξιά).

13.4. Ιδιότητες υλικού φορέα

Η κατηγορία οπλισμένου σκυροδέματος του πλαισίου ορίζεται ως C20/25, συνεπώς προκύπτει τιμή μέτρου ελαστικότητας ίση με Ε=3∙107 kPa (EC2, Table 3.1). Η συγκεκριμένη τροποποίηση (τύπου υλικού, ονόματος και τιμής του μέτρου ελαστικότητας) γίνεται με Define → Materials και Modify/Show στο υλικό MATERIAL που προϋπήρχε στο συγκεκριμένο αρχείο. Ο δείκτης Poisson παραμένει μηδενικός (ρηγματωμένο σκυρόδεμα), ενώ δεν τίθεται πυκνότητα και ειδικό βάρος βάσει των δεδομένων της εκφώνησης. Η τελική εικόνα του υλικού εμφανίζεται στο Σχήμα 13.6.

Ιδιότητες ανελαστικής συμπεριφοράς υλικού κατά τη δυναμική ανελαστική ανάλυση με μη-γραμμικά στοιχεία συνδέσμου (Nonlinear Links) (εμφάνιση/απόκρυψη κειμένου)

Σχήμα 13.6 Τελική ονομασία και ιδιότητες υλικού σκυροδέματος κατηγορίας C20/25.

13.5. Ιδιότητες πλαστικών αρθρώσεων

Η προσομοίωση της ανελαστικής συμπεριφοράς των δομικών στοιχείων στο συγκεκριμένο παράδειγμα γίνεται με την εισαγωγή συνδέσμων (Links), οι οποίοι προσομοιώνουν σημειακές πλαστικές αρθρώσεις σε κατάλληλες διατομές των εν λόγω στοιχείων. Η συνήθης περίπτωση είναι η εισαγωγή πλαστικών αρθρώσεων στην αρχή και στο τέλος των δομικών στοιχείων, θέσεις όπου είναι πιθανότερη η εμφάνιση ανελαστικής συμπεριφοράς όταν ο φορέας υποβάλλεται σε σεισμική καταπόνηση.

Οι πλαστικές αρθρώσεις στην κάθε διατομή ενεργοποιούνται μόνο όταν η τιμή της αναπτυσσόμενης καμπτικής ροπής ξεπεράσει την αντίστοιχη της ροπής διαρροής. Σε κάθε άλλη περίπτωση, το συγκεκριμένο δομικό στοιχείο συμπεριφέρεται ελαστικά και οι πλαστικές αρθρώσεις που έχουν τοποθετηθεί δεν επηρεάζουν την απόκρισή του.

Απαραίτητη προϋπόθεση για τον υπολογισμό των ιδιοτήτων των πλαστικών αρθρώσεων είναι η γνώση των ιδιοτήτων των υλικών και της όπλισης των αντίστοιχων διατομών. Οι τιμές της ροπής διαρροής που δίδονται στο συγκεκριμένο παράδειγμα, αντιστοιχούν στις τιμές που έχουν προκύψει από την αναλυτική εισαγωγή των στοιχείων της κάθε διατομής στο παράδειγμα του Κεφαλαίου 12 και τον αυτόματο υπολογισμό που έγινε από το πρόγραμμα. Επισημαίνεται πως οι τιμές για τη ροπή διαρροής των υποστυλωμάτων προέκυψαν λαμβάνοντας υπόψη αξονικό φορτίο από το συνδυασμό φόρτισης των κατακόρυφων φορτίων (G+0.3Q).

Ο ορισμός των ιδιοτήτων των μη-γραμμικών συνδέσμων γίνεται από την εντολή Define → Section Properties → Link/Support Properties όπου προστίθενται νέοι σύνδεσμοι με το Add New Property. Δημιουργούνται δυο ομάδες μη-γραμμικών συνδέσμων, NLBEAM για τη δοκό και NLCOL για τα υποστυλώματα, χρησιμοποιώντας τον τύπο συνδέσμου Multilinear Plastic.

Ενδεικτικά, στην περίπτωση της δοκού (NLBEAM), οι βασικές παράμετροι του στοιχείου συνδέσμου (Link), όπως και οι ιδιότητες του στις διευθύνσεις U1 και U2 που παρουσιάζουν γραμμική ελαστική συμπεριφορά, εμφανίζονται στο Σχήμα 13.7. Όμοιες είναι οι τιμές και στις αντίστοιχες ιδιότητες του στοιχείου συνδέσμου για τα υποστυλώματα (NLCOL).

Η παράμετρος που θα προσδώσει τη ζητούμενη ανελαστική συμπεριφορά σε κάμψη αφορά τη διεύθυνση R3 (γύρω από τοπικό άξονα 3, δηλαδή τον άξονα Y). Τα σημεία του διαγράμματος πλαστικής στροφής - ροπής κάμψης για τις διατομές της δοκού και των υποστυλωμάτων παρουσιάζονται στον Πίνακα 13.1. Η μεταφορά τους στο πρόγραμμα γίνεται με συμπλήρωση του πεδίου Multi-Linear Force Deformation Definition, προσθέτοντας όταν χρειάζεται νέες γραμμές με την εντολή Add Row. Επισημαίνεται ότι για λόγους συμφωνίας με την ανελαστική στατική ανάλυση του προηγούμενου Κεφαλαίου (Σχήματα 12.23 και 12.25), χρησιμοποιήθηκαν αντίστοιχες τιμές πλαστικής στροφής, όπως προβλέπονται από τη FEMA 356 (Tables 6.7-6.8). Η μεταφορά των στοιχείων του Πίνακα στις ιδιότητες του συνδέσμου κατά τη διεύθυνση R3 εμφανίζεται στο Σχήμα 13.8 για τη δοκό και στο Σχήμα 13.9 για τα υποστυλώματα. Δίδεται ιδιαίτερη προσοχή στην τιμή της ενεργού δυσκαμψίας του συνδέσμου (Effective Stiffness=1000000 στη συγκεκριμένη περίπτωση), καθώς θα πρέπει να έχει κατάλληλη τιμή για να μην αλλοιωθεί η συμπεριφορά του φορέα.

Μετά τον καθορισμό των ιδιοτήτων των στοιχείων Link, γίνεται προσεκτικά η επιλογή τους από το παράθυρο σχεδίασης και η ανάθεση στο καθένα από αυτά του κατάλληλου τύπου συνδέσμου (Assign → Link/Support → Link/Support Properties). Έτσι, ανατίθεται ιδιότητα NLBEAM για τους συνδέσμους στα άκρα της δοκού και NLCOL για τους συνδέσμους στη βάση και κορυφή των υποστυλωμάτων.

Στροφή (δοκός) (rad) Ροπή (δοκός) (kNm) Στροφή (στύλοι) (rad) Ροπή (στύλοι) (kNm)
-0.05 -29.60 -0.025 -44.00
-0.025 -29.60 -0.015 -44.00
-0.0249 -162.78 -0.0149 -242.00
-0.0001 -147.98 -0.0001 -220.00
0 0 0 0
0.000 1 101.22 0.0001 220.00
0.0249 111.34 0.0149 242.00
0.025 20.24 0.015 44.00
0.05 20.24 0.025 44.00

Πίνακας 13.1 Τιμές ιδιοτήτων πλαστικής στροφής - ροπής κάμψης για τις διατομές δοκού και υποστυλωμάτων.

Καθορισμός βασικών ιδιοτήτων στοιχείων συνδέσμων (Links) (εμφάνιση/απόκρυψη κειμένου)

Καθορισμός μη-γραμμικών ιδιοτήτων στοιχείων συνδέσμων (Links) (εμφάνιση/απόκρυψη κειμένου)

Σχήμα 13.7 Ορισμός Link τύπου MultiLinear Plastic για τη δοκό (αριστερά) και ιδιότητες κατά τις διευθύνσεις γραμμικής ελαστικής συμπεριφοράς U1-U2 (δεξιά). Με όμοιο τρόπο ορίζονται οι αντίστοιχες ιδιότητες του Link για τα υποστυλώματα (ονομασία NLCOL)

Σχήμα 13.8 Ιδιότητες ανελαστικής συμπεριφοράς στο στοιχείο συνδέσμου (Link) για τη διατομή δοκού (ορισμός διαγράμματος στροφής-ροπής).

Σχήμα 13.9 Ιδιότητες ανελαστικής συμπεριφοράς στο στοιχείο συνδέσμου (Link) για τη διατομή υποστυλώματος (ορισμός διαγράμματος στροφής-ροπής).

13.6. Ορισμός ανελαστικής δυναμικής ανάλυσης στο SAP 2000

Όπως αναλύθηκε στο παράδειγμα του Κεφαλαίου 11, η δυναμική ανάλυση ενός φορέα με χρονοϊστορία επιταχύνσεων μπορεί να γίνει τόσο με τη μέθοδο της επαλληλίας των ιδιομορφών όσο και με απευθείας αριθμητική ολοκλήρωση στο πεδίο του χρόνου. Στην περίπτωση της ανελαστικής δυναμικής ανάλυσης στο SAP 2000, προτείνεται από το εγχειρίδιο χρήσης του προγράμματος η μέθοδος επαλληλίας των ιδιομορφών. Στη συνέχεια του Κεφαλαίου θα αναλυθεί η χρήση της συγκεκριμένης μεθόδου, ενώ θα παρουσιαστούν μεμονωμένα σχόλια αναφορικά με τη μέθοδο απευθείας ολοκλήρωσης στο χρόνο. Σημειώνεται πως στην περίπτωση της μεθόδου επαλληλίας των ιδιομορφών θα πρέπει να προηγηθεί ο ορισμός μιας ιδιομορφικής ανάλυσης, όπως παρουσιάζεται στις επόμενες παραγράφους.

Μέθοδοι δυναμικής ανελαστικής ανάλυσης φορέα με χρονοϊστορία φόρτισης (εμφάνιση/απόκρυψη κειμένου)

13.6.1. Υπολογισμός ιδιομορφών με διανύσματα Ritz (Ritz modes)

Για τη χρήση της μεθόδου επαλληλίας των ιδιομορφών, απαιτείται ο ορισμός μιας νέας ιδιομορφικής ανάλυσης (Define → Load Cases → Add New Load Case με τύπο Load Case Type: Modal) που ονομάζεται RITZMODES και χρησιμοποιεί διανύσματα τύπου Ritz (Type of Modes: Ritz Vectors) σύμφωνα με το Σχήμα 13.10.

Καθορισμός παραμέτρων ιδιομορφικής ανάλυσης με διανύσματα Ritz (εμφάνιση/απόκρυψη κειμένου)

Σχήμα 13.10 Ιδιομορφική ανάλυση με διανύσματα Ritz.

13.6.2 Ορισμός ανάλυσης για την επιβολή κατακόρυφων φορτίων (ταυτόχρονων με τα σεισμικά)

Κατά τη διάρκεια της ανελαστικής δυναμικής ανάλυσης, θα πρέπει ταυτόχρονα με τα σεισμικά να ασκούνται στον φορέα και τα κατακόρυφα φορτία βαρύτητας του συνδυασμού G+0.3Q. Για την επιβολή των στατικών φορτίων με τον συγκεκριμένο τύπο ανάλυσης, σύμφωνα με το εγχειρίδιο χρήσης του προγράμματος (CSI, 2010), θα πρέπει πριν τη δυναμική ανελαστική ανάλυση με τη χρονοϊστορία επιταχύνσεων να προηγηθεί μια επίσης ανελαστική ανάλυση χρονοϊστορίας για τα κατακόρυφα φορτία.

Αρχικά, δημιουργείται από την εντολή Define → Functions → Time History μια χρονοϊστορία τύπου RAMPTH (ή τροποποιείται η υφιστάμενη), ώστε η αύξηση της φόρτισης που περιγράφεται από αρχική τιμή 0 έως τιμή 1 (επιβολή πλήρους φορτίου) να ολοκληρώνεται σε χρονικό διάστημα αρκετά μεγαλύτερο της ιδιοπεριόδου του φορέα. Τιμές δεκαπλάσιες της ιδιοπεριόδου (Ramp Time=10) θεωρούνται κατάλληλες προκειμένου η επιβολή της φόρτισης να είναι ψευδοστατική. Η συνάρτηση συνεχίζει με σταθερή τιμή μονάδα για τουλάχιστο άλλο τόσο χρονικό διάστημα, ώστε να σταθεροποιηθούν τα αποτελέσματα της κατακόρυφης φόρτισης στον φορέα.

Καθώς η διάρκεια επιβολής της παραπάνω χρονοϊστορίας εξαρτάται από την τιμή της θεμελιώδους ιδιοπεριόδου της κατασκευής, θα πρέπει να ληφθούν τα αποτελέσματα μιας κλασσικής ιδιομορφική ανάλυσης (Load Case Type: Modal με χρήση Eigen Vectors). Μια τέτοια ανάλυση υπάρχει στο συγκεκριμένο αρχείο από την εφαρμογή του παραδείγματος στο Κεφάλαιο 11, διαφορετικά μπορεί να οριστεί εκ νέου και να εκτελεστεί άμεσα καθώς έχουν ήδη ανατεθεί τόσο τα γεωμετρικά χαρακτηριστικά όσο και οι μάζες του πλαισίου. Εκτέλεση της ιδιομορφικής ανάλυσης δίνει τιμή θεμελιώδους ιδιοπεριόδου ίση με Τ=0.143s. Σημειώνεται πως η ανάλυση θα πρέπει απαραιτήτως να οριστεί σε επίπεδο XZ, καθώς δεν έχουν προβλεφθεί δεσμεύσεις στην απόκριση των συνδέσμων εκτός επιπέδου.

Από τα παραπάνω προκύπτει χρονικό διάστημα επιβολής της κατακόρυφης φόρτισης προσεγγιστικά ίσο με 1.5s, περίπου δεκαπλάσιο της ιδιοπεριόδου, ενώ στη συνέχεια επιλέγεται να διαρκέσει άλλο τόσο ώστε να σταθεροποιηθεί ο φορέας (Σχήμα 13.11).

Συνδυασμοί φορτίων κατά την ανελαστική δυναμική ανάλυση (εμφάνιση/απόκρυψη κειμένου)

Επιβολή φόρτισης στατικού τύπου μέσω ανελαστικής ανάλυσης χρονοϊστορίας (εμφάνιση/απόκρυψη κειμένου)

Σχήμα 13.11 Ορισμός χρονοϊστορίας τύπου RAMPTH για την επιβολή κατακόρυφων στατικών φορτίων μέσω ανάλυσης χρονοϊστορίας.

Η χρονοϊστορία RAMPTH που ορίστηκε προηγουμένως, θα χρησιμοποιηθεί στη συνέχεια για την επιβολή των κατακόρυφων στατικών φορτίων στον φορέα. Η φορτιστική κατάσταση ορίζεται από το Define → Load Cases, όπου προστίθεται μια ανάλυση τύπου Time History με ονομασία NL-GRAVM για τα κατακόρυφα φορτία G+0.3Q που συνυπάρχουν με το σεισμό (Σχήμα 13.12). Γίνεται χρήση των RITZMODES που έχουν υπολογιστεί προηγουμένως, ενώ δίνεται προσοχή ώστε η απόσβεση κατά τη διάρκεια της συγκεκριμένης ανάλυσης να λαμβάνει πολύ μεγάλη τιμή (π.χ. 0.99 από το Modify/Show στο Modal Damping). Ο συνολικός χρόνος της ανάλυσης (αριθμός χρονικών βημάτων 300 πολλαπλασιασμένος με τη διάρκεια του κάθε βήματος 0.01s) θα πρέπει να συμπίπτει με τη συνολική διάρκεια της χρονοϊστορίας RAMPTH.

Σχήμα 13.12 Ανάλυση για την επιβολή στατικών φορτίων.

13.6.3. Ορισμός δυναμικής ανελαστικής ανάλυσης με επιταχυνσιογράφημα (μέθοδος επαλληλίας ιδιομορφών)

Για τον ορισμό της δυναμικής ανελαστικής ανάλυσης θα πρέπει να έχει προηγηθεί η εισαγωγή της επιθυμητής χρονοϊστορίας επιταχύνσεων. Η συγκεκριμένη διαδικασία για το αρχείο του παραδείγματος έχει γίνει στο Κεφάλαιο 11, συνεπώς το επιταχυνσιογράφημα υπάρχει ήδη στα δεδομένα, όπως εύκολα μπορεί να διαπιστωθεί από το Define → Functions → Time History (αναζήτηση χρονοϊστορίας με την ονομασία OAKLWHAF-1).

Επιλογή χρονοϊστορίας επιταχύνσεων για τη δυναμική ανελαστική ανάλυση βάσει EC8 (εμφάνιση/απόκρυψη κειμένου)

 

Η μέθοδος δυναμικής ελαστικής ανάλυσης με επαλληλία ιδιομορφών παρουσιάστηκε στο Κεφάλαιο 11. H δυναμική ανελαστική ανάλυση ορίζεται από το Define → Load Cases → Add New Case, όπου επιλέγεται Analysis Case Type: Time History και Analysis Type: Nonlinear (Σχήμα 13.13). Στην ανάλυση δίνεται η ονομασία NL-OAKLANDM-GQ, ώστε να γίνεται άμεσα αντιληπτό πως αφορά ανελαστική ανάλυση (NL), με τη μέθοδο επαλληλίας των ιδιομορφών (MODES-M) που περιλαμβάνει και τη δράση των κατακόρυφων φορτίων (GQ). Επιλέγεται η χρήση ιδιομορφών τύπου Ritz (Use Modes From Case: RITZMODES).

Η συγκεκριμένη δυναμική ανελαστική ανάλυση ξεκινά τη στιγμή που έχει ολοκληρωθεί η επιβολή των κατακόρυφων φορτίων. Ορίζεται συνεπώς η ανάλυση NL-GRAVM ως η αρχική κατάσταση πάνω στην οποία θα εφαρμοστεί η χρονοϊστορία επιταχύνσεων, επιτυγχάνοντας έτσι τη συνύπαρξη των κατακόρυφων φορτίων στην κατασκευή (πεδίο Continue From State at End of Modal History).

Καθώς ο στόχος του συγκεκριμένου παραδείγματος είναι η ανελαστική ανάλυση του φορέα, ζητήθηκε στα δεδομένα η χρήση ενός πολλαπλασιαστή 5 για τη συγκεκριμένη χρονοϊστορία, προκειμένου να ενισχυθεί η μέγιστη επιτάχυνση και να δώσει πλαστικοποίηση σε κάποια από τα δομικά στοιχεία. Ο τελικός πολλαπλασιαστής που θα χρησιμοποιηθεί στο πεδίο Scale Factor θα πρέπει να ισούται με 0.05, καθώς πρέπει να ληφθεί υπόψη και η μετατροπή των μονάδων της χρονοϊστορίας από cm/s2 σε m/s2 (υπενθυμίζεται πως οι τιμές επιταχύνσεων στο αρχείο από το οποίο έγινε εισαγωγή της χρονοϊστορίας δινόταν σε cm/s2).

Από την επιλογή Show Advanced Load Parameters εμφανίζονται περισσότερες δυνατότητες καθορισμού της δυναμικής ανάλυσης. Σημειώνεται πως ο χρόνος έναρξης του σεισμικού φορτίου (Arrival Time) ορίζεται στα 0.0s, δεν απαιτείται δηλαδή καθορισμός χρονικής στιγμής που να περιλαμβάνει και τη διάρκεια επιβολής των κατακόρυφων φορτίων, καθώς η ανάλυση ξεκινά αυτόματα με αρχικές συνθήκες που έχουν προκύψει από την φορτιστική κατάσταση NL-GRAVM.

Ιδιαίτερη προσοχή δίνεται στον προσδιορισμό του χρονικού βήματος, στο πεδίο Output Time Step Size. Με βάση τα όσα αναφέρθηκαν στο Κεφάλαιο 11, το χρονικό βήμα θα πρέπει να αποτελεί πολλαπλάσιο ή υποπολλαπλάσιο του βήματος με το οποίο δόθηκε η συνάρτηση της χρονοϊστορίας. Υπενθυμίζεται πως πρόκειται για το χρονικό βήμα εμφάνισης των αποτελεσμάτων και όχι το χρονικό βήμα που χρησιμοποιείται στην εσωτερική διαδικασία της επίλυσης, το οποίο καθορίζεται με διαφορετικό τρόπο από το πρόγραμμα ώστε να επιτυγχάνεται σύγκλιση στην περίπτωση ανελαστικής συμπεριφοράς. Στο συγκεκριμένο παράδειγμα ορίζεται χρονικό βήμα ίσο με 0.005s. Συχνά χρειάζεται επαναληπτική διαδικασία ανάλυσης με διαφορετικό χρονικό βήμα, προκειμένου να εξεταστεί κατά πόσον επιτυγχάνεται σύγκλιση και υπάρχει συνέπεια των αποτελεσμάτων κατά τις διαδοχικές αναλύσεις.

Ο συντελεστής απόσβεσης διατηρείται στην προεπιλεγμένη από το πρόγραμμα τιμή, ίσος με 0.05 (5%). Υπενθυμίζεται πως στη συγκεκριμένη μέθοδο είναι δυνατή η χρήση ενιαίου συντελεστή απόσβεσης για όλες τις ιδιομορφές.

Σχήμα 13.13 Δυναμική ανελαστική ανάλυση για τη σεισμική φόρτιση λαμβάνοντας υπόψη τη δράση των κατακόρυφων φορτίων (μέθοδος επαλληλίας ιδιομορφών).

Παράμετροι ανελαστικής συμπεριφοράς κατά τη μέθοδο επαλληλίας ιδιομορφών (εμφάνιση/απόκρυψη κειμένου)

13.6.4. Ορισμός δυναμικής ανελαστικής ανάλυσης με επιταχυνσιογράφημα (μέθοδος απευθείας ολοκλήρωσης στο χρόνο)

Εναλλακτικά της προηγούμενης μεθόδου, η δυναμική ανελαστική ανάλυση με χρονοϊστορία επιταχύνσεων μπορεί να επιτευχθεί και με χρήση της μεθόδου απευθείας ολοκλήρωσης στο χρόνο (direct integration method). Στοιχεία της μεθόδου δυναμικής ελαστικής ανάλυσης με απευθείας ολοκλήρωση στο χρόνο παρουσιάστηκαν στο Κεφάλαιο 11. Εκτός από την περίπτωση των μη-γραμμικών συνδέσμων (Links), η συγκεκριμένη μέθοδος ανάλυσης, σύμφωνα με τα όσα αναφέρονται στο εγχειρίδιο χρήσης του προγράμματος, μπορεί να χρησιμοποιηθεί και με χρήση των πλαστικών αρθρώσεων (Hinges). Καθώς η προτεινόμενη μέθοδος ανελαστικής ανάλυσης στο SAP 2000 είναι αυτή της επαλληλίας ιδιομορφών, η χρήση της μεθόδου απευθείας ολοκλήρωσης στο χρόνο απαιτεί ιδιαίτερη προσοχή και αναλυτικούς ελέγχους για την επίτευξη σύγκλισης κατά την επισκόπηση των αποτελεσμάτων. Παρακάτω δίνονται κάποιες πρόσθετες πληροφορίες στην περίπτωση που ο μελετητής επιλέξει να χρησιμοποιήσει και αυτή τη μέθοδο ανάλυσης.

Δυναμική ανελαστική ανάλυση με μέθοδο απευθείας ολοκλήρωσης στο χρόνο (εμφάνιση/απόκρυψη κειμένου)

13.6.5. Ορισμός πρόσθετων δυναμικών αναλύσεων

Στις προηγούμενες παραγράφους περιγράφηκε η διαδικασία ορισμού της δυναμικής ανελαστικής ανάλυσης, με τρόπο ώστε να λαμβάνονται υπόψη και τα κατακόρυφα φορτία που ασκούνται στον φορέα, όπως άλλωστε συμβαίνει στην πραγματικότητα κατά τη σεισμική καταπόνηση μιας κατασκευής. Για λόγους ελέγχου της ορθότητας των ανελαστικών αναλύσεων, συνηθίζεται ο ορισμός πρόσθετων δυναμικών ελαστικών και ανελαστικών αναλύσεων δίχως τη συνύπαρξη των κατακόρυφων φορτίων, ώστε να εκτιμηθεί ο βαθμός ανελαστικής συμπεριφοράς του φορέα και να οδηγήσει σε αποτελεσματικότερη εξαγωγή συμπερασμάτων από τις διάφορες συγκρίσεις.

Στο συγκεκριμένο παράδειγμα ορίζεται μια επιπλέον δυναμική ανελαστική ανάλυση χρονοϊστορίας με ονομασία NL-OAKLANDM (Σχήμα 13.16), που αφορά τη μέθοδο επαλληλίας των ιδιομορφών και είναι παρόμοια με αυτή που αναπτύχθηκε στην παράγραφο 13.6.3 δίχως όμως την ύπαρξη των κατακόρυφων φορτίων (επιλέγεται Zero Initial Conditions – Start From Unstressed State για μηδενικές αρχικές συνθήκες).

Παράλληλα, για την επισκόπηση των αποτελεσμάτων του επιταχυνσιογραφήματος σε συνθήκες ελαστικής απόκρισης φορέα, τροποποιούνται οι δυο υφιστάμενες καταστάσεις δυναμικής ελαστικής ανάλυσης OAKLANDM και OAKLANDDI που προϋπήρχαν από το αρχείο του Κεφαλαίου 11, θέτοντας πολλαπλασιαστή Scale Factor=0.05 ώστε να είναι συγκρίσιμες με τα αποτελέσματα των ανελαστικών αναλύσεων που ορίστηκαν προηγουμένως.

Σχήμα 13.16 Δυναμική ανελαστική ανάλυση για τη σεισμική φόρτιση (δίχως κατακόρυφα φορτία) με τη μέθοδο επαλληλίας των ιδιομορφών.

13.7. Ανάλυση φορέα και ανάγνωση αποτελεσμάτων

Ο φορέας είναι πλέον έτοιμος για ανάλυση από την εντολή Analyze → Run Analysis και Run Now. Καθώς η διαδικασία περιλαμβάνει ανελαστικές αναλύσεις με χρονοϊστορία μεγάλου αριθμού βημάτων, ο χρόνος ολοκλήρωσης αναμένεται να είναι σημαντικός, αναλόγως και του βαθμού πλαστικοποίησης του φορέα.

Τα αποτελέσματα των δυναμικών αναλύσεων εμφανίζονται αναλυτικά από το Display → Show Plot Functions, όμοια με την περίπτωση δυναμικής ελαστικής ανάλυσης (Κεφάλαιο 11, §11.5.1), ενώ με την επιλογή Define Plot Functions μπορούν να καθοριστούν τα προς εμφάνιση μεγέθη. Κατά τη δυναμική ανελαστική ανάλυση διαπιστώνονται οι εξής διαφοροποιήσεις:

Ενδεικτικά, τα αποτελέσματα της αναπτυσσόμενης ροπής στο αριστερά άκρο της δοκού (στοιχείο BL όπου ζητείται Relative Distance=0) σε μορφή χρονοϊστορίας, καθορίζονται σύμφωνα με το Σχήμα 13.17. Οι σχετικές χρονοϊστορίες αναπτυσσόμενης ροπής που προκύπτουν στην περίπτωση της ελαστικής και ανελαστικής ανάλυσης με το σεισμικό φορτίο (δίχως τα κατακόρυφα φορτία), παρουσιάζονται αντίστοιχα στα Σχήματα 13.18 και 13.19. Παρατηρούνται τα εξής:

Σχήμα 13.17 Καθορισμός χρονοϊστορίας αναπτυσσόμενης ροπής στο αριστερά άκρο της δοκού BL (Relative Distance=0).

Σχήμα 13.18 Ροπή στο αριστερά άκρο της δοκού (ελαστική ανάλυση OAKLANDM δίχως κατακόρυφα φορτία).

Σχήμα 13.19 Ροπή στο αριστερά άκρο της δοκού (ανελαστική ανάλυση NL-OAKLANDM δίχως κατακόρυφα φορτία).

Σχήμα 13.20 Ροπή στο αριστερά άκρο της δοκού (ανελαστική ανάλυση NL-OAKLANDM-GQ με κατακόρυφα φορτία).

Ένα πολύ ενδιαφέρον στοιχείο, που μπορεί να εμφανιστεί σε μορφή διαγράμματος, είναι ο βαθμός πλαστικοποίησης στις πλαστικές αρθρώσεις. Η εμφάνιση των σχετικών διαγραμμάτων απαιτεί τον καθορισμό της αναπτυσσόμενης ροπής (Σχήμα 13.21, αριστερά) και της πλαστικής στροφής (Σχήμα 13.21, δεξιά) εντός του εξεταζόμενου στοιχείου συνδέσμου (Link). Στη συνέχεια, ορίζοντας στον οριζόντιο άξονα (Horizontal Plot Function) αντί του χρόνου (TIME) το μέγεθος της αναπτυσσόμενης πλαστικής στροφής στον σύνδεσμο, και στον κατακόρυφο άξονα (Vertical Functions) την αναπτυσσόμενη ροπή κάμψης στον σύνδεσμο (Σχήμα 13.22), προκύπτει η εικόνα του Σχήματος 13.23.

Οι βρόχοι που σχηματίζονται στο διάγραμμα καμπτικής ροπής – πλαστικής στροφής, όπως ενδεικτικά φαίνεται για την περίπτωση της σεισμικής φόρτισης δίχως κατακόρυφες δράσεις στο Σχήμα 13.23, είναι γνωστοί ως βρόχοι υστέρησης. Παρατηρείται πως η ανελαστική παραμόρφωση της διατομής ακολουθεί τη μορφή υστερητικής συμπεριφοράς που ορίστηκε στο στοιχείο συνδέσμου (Σχήμα 13.8). Η μέγιστη τιμή πλαστικής στροφής ισούται με 0.00267rad, επιβεβαιώνοντας πως η διατομή βρίσκεται ακόμη κοντά στο όριο διαρροής, καθώς το όριο αστοχίας εντοπίζεται σε πολύ μεγαλύτερα επίπεδα πλαστικής στροφής (0.025rad σύμφωνα με τον Πίνακα 13.1).

Σημειώνεται πως η αναπτυσσόμενη ροπή στο στοιχείο LinkBL του Σχήματος 13.23 θα πρέπει να συμπίπτει με την αναπτυσσόμενη ροπή στο αριστερό άκρο της δοκού που παρουσιάστηκε στο Σχήμα 13.19, κάτι που αποτελεί και έναν έλεγχο της σύγκλισης η οποία πρέπει να έχει επιτευχθεί κατά την ανελαστική ανάλυση.

Μια εποπτικότερη εικόνα των βρόχων μπορεί να προκύψει με την εξαγωγή των τιμών σε αρχείο txt (εντολή File → Print Tables to File.. στο παράθυρο του Σχήματος 13.23) και επεξεργασία τους σε κατάλληλο λογισμικό. Στο Σχήμα 13.24 γίνεται η σύγκριση των βρόχων υστέρησης για τις περιπτώσεις δυναμικής ανελαστικής ανάλυσης με και χωρίς τον ταυτόχρονο υπολογισμό των κατακόρυφων φορτίων. Η διαφοροποίηση που επέρχεται λόγω της μόνιμης δράσης των κατακόρυφων φορτίων στους αναπτυσσόμενους βρόχους υστέρησης είναι εμφανής.

Σχήμα 13.21 Ορισμός αναπτυσσόμενης καμπτικής ροπής (αριστερά) και πλαστικής στροφής (δεξιά) στο στοιχείο συνδέσμου (Link).

Σχήμα 13.22 Τροποποίηση διαγράμματος με αλλαγή των μεγεθών απόκρισης σε κάθε άξονα για την εμφάνιση βρόχων υστέρησης.

Σχήμα 13.23 Βρόχοι αναπτυσσόμενης ροπής - πλαστικής στροφής στο σύνδεσμό στο αριστερά άκρο της δοκού (ανελαστική ανάλυση NL-OAKLANDM δίχως κατακόρυφα φορτία).

Σχήμα 13.24 Σύγκριση βρόχων υστέρησης στη διατομή στο αριστερά άκρο της δοκού για δυναμική ανελαστική ανάλυση με και χωρίς τα κατακόρυφα φορτία.

Βιβλιογραφικές αναφορές Κεφαλαίου 13