Κεφάλαιο
 11

Δυναμική ελαστική ανάλυση με χρονοϊστορία επιταχύνσεων

Σύνοψη

Στο παράδειγμα του Κεφαλαίου 11 παρουσιάζεται η προσομοίωση της δυναμικής ελαστική ανάλυσης απλού φορέα, με φόρτιση χρονοϊστορία επιταχύνσεων. Τα βασικά αντικείμενα που αναπτύσσονται στο συγκεκριμένο Κεφάλαιο είναι: εναλλακτικές δυνατότητες καθορισμού μάζας σε φορέα, μέθοδοι δυναμικής ανάλυσης φορέα με χρονοϊστορία φόρτισης, χρονοϊστορίες επιταχύνσεων και σχετικές βάσεις δεδομένων πραγματικών καταγραφών, απόσβεση τύπου Rayleigh, επιλογή χρονικού βήματος κατά τη μέθοδο απευθείας ολοκλήρωσης στο χρόνο, ανάγνωση αποτελεσμάτων με μορφή χρονοϊστορίας απόκρισης.

Προαπαιτούμενη γνώση

Απαιτούνται βασικές γνώσεις αντοχής υλικών και στατικής επίλυσης φορέων, γνώσεις δυναμικής των κατασκευών, εφαρμογή του παραδείγματος που αναπτύσσεται στο Κεφάλαιο 3, όπως και επιμέρους γνώσεις που διδάχθηκαν στο πλαίσιο των προηγούμενων Κεφαλαίων του συγγράμματος.

11.1. Δεδομένα παραδείγματος

Ζητείται η δυναμική ελαστική ανάλυση του φορέα του Κεφαλαίου 3 (Σχήμα 3.1) για τη χρονοϊστορία επιταχύνσεων του σεισμού της Loma Prieta (1989) στο San Francisco (αρχείο oak_whaf-1.th από τη βιβλιοθήκη επιταχυνσιογραφημάτων του προγράμματος).

11.2. Υπολογισμός και ανάθεση μάζας στον φορέα

Καθώς ο φορέας της ανάλυσης βασίζεται στο πλαίσιο του Κεφαλαίου 3, αρχικά γίνεται άνοιγμα του συγκεκριμένου αρχείου και αποθήκευσή του ως Chapter 11.SDB.

Όπως έγινε σαφές κατά την ιδιομορφική και τη δυναμική φασματική ανάλυση μιας κατασκευής, οι οποίες παρουσιάστηκαν στο Κεφάλαιο 9, για την εκπόνηση οποιασδήποτε δυναμικής ανάλυσης θα πρέπει να προσδιοριστεί και να ανατεθεί η μάζα στον φορέα. Όπως προέκυψε από τις Εξισώσεις 9.5 και 9.6 (οι εξισώσεις εντός του κειμένου σε απόκρυψη), ο υπολογισμός των μαζών στην περίπτωση τελευταίου ορόφου κατασκευής (εδώ πρόκειται για μονώροφο φορέα) γίνεται από συνδυασμό των κατακόρυφων φορτίων G+0.3Q.

Στον φορέα του παραδείγματος που εξετάζεται, υπολογίζεται το συνολικό φορτίο από το συνδυασμό G+0.3Q=20+0.3∙10=23kN/m. Το συνολικό φορτίο στη δοκό μήκους 5m είναι ίσο με 23∙5=115kΝ και αντιστοιχεί σε 115/9.81=11.72t μάζας. Η μάζα θεωρείται συγκεντρωμένη στο μέσον της δοκού, καθώς στο επίπεδο του ορόφου υπάρχει πλάκα οπλισμένου σκυροδέματος με εξασφαλισμένη διαφραγματική λειτουργία (EC8 §4.3.1(4)).

Για να ανατεθεί η μάζα στο μέσον της δοκού, θα πρέπει στη συγκεκριμένη θέση να δημιουργηθεί κόμβος. Αυτό γίνεται με επιλογή της δοκού και διαίρεση της σε δυο ίσα τμήματα, με την εντολή Edit → Edit Lines → Divide Frames (Number of Frames=2, Last/First Length Ratio=1). Υπενθυμίζεται πως για να είναι ορατοί οι κόμβοι στην επιφάνεια εργασίας, θα πρέπει από την εντολή View → Set Display Options να απενεργοποιηθεί η επιλογή Joints: Invisible.

Στη συνέχεια, επιλέγοντας τον κόμβο που δημιουργήθηκε στο μέσον της δοκού, ορίζεται στη διεύθυνση Χ η μάζα 11.72t μέσω της εντολής Assign → Joint → Masses (Σχήμα 11.1). Η μάζα που έχει ανατεθεί στον φορέα μπορεί να εμφανιστεί στην επιφάνεια σχεδίασης ανά πάσα στιγμή, με χρήση της εντολής Display → Show Misc Assigns → Joint... (Masses) (Σχήμα 11.2). Επίσης, ο ορισμός της μάζας σε κάποιο κόμβο μπορεί να εμφανιστεί με δεξί click στην καρτέλα Assignments του κόμβου (Σχήμα 11.3).

Σχήμα 11.1 Ανάθεση μάζας στον κόμβο στο κέντρο της δοκού.

Σχήμα 11.2 Εντολή εμφάνισης της μάζας στην επιφάνεια σχεδίασης.

Σχήμα 11.3 Εμφάνιση μάζας στην επιφάνεια σχεδίασης (αριστερά) ή στις ιδιότητες του κόμβου (δεξιά).

Εναλλακτικές δυνατότητες καθορισμού μάζας σε φορέα (εμφάνιση/απόκρυψη κειμένου)

11.3. Ορισμός δυναμικής ανάλυσης με χρονοϊστορία επιταχύνσεων

Η δυναμική ανάλυση με χρονοϊστορία επιταχύνσεων αφορά την καταγραφή της απόκρισης ενός φορέα όταν σε αυτόν επιβληθεί ως δύναμη το επιταχυνσιογράφημα ενός σεισμού, η πραγματική δηλαδή σεισμική κίνηση κατά τη διάρκεια του σεισμικού γεγονότος. Τέτοιας μορφής επιταχυνσιογραφήματα υπάρχουν τόσο από καταγραφές πραγματικών σεισμών όσο και τεχνητά, με κατάλληλα χαρακτηριστικά για την αντιμετώπιση συγκεκριμένων προβλημάτων. Η δυναμική ανάλυση με χρονοϊστορίες επιταχύνσεων προβλέπεται από τους Κανονισμούς και ως μια συμπληρωματική διαδικασία σχεδιασμού, υπό κατάλληλες πάντα προϋποθέσεις (Εθνικό Προσάρτημα του EC8 §4.3.3.1(4), όπως ίσχυε και στον ΕΑΚ 2000 §3.1.2[2]). Ειδικά στην περίπτωση του EC8, η συμπληρωματική χρήση ανάλυσης με επιταχυνσιογραφήματα αφορά τη θεώρηση μη-γραμμικής συμπεριφοράς της κατασκευής και θα αναλυθεί περαιτέρω στο Κεφάλαιο 13.

Σημειώνεται πως, ανάλογα με τη μέθοδο δυναμικής ανάλυσης που θα χρησιμοποιηθεί, ενδέχεται να απαιτείται ο προσδιορισμός των ιδιομορφών του φορέα πριν τον ορισμό της δυναμικής ανάλυσης με επιταχυνσιογράφημα. Συνεπώς, στη διαδικασία που ακολουθεί συμπεριλαμβάνεται και ο ορισμός μιας ιδιομορφικής ανάλυσης.

Μέθοδοι δυναμικής ανάλυσης φορέα με χρονοϊστορία φόρτισης (εμφάνιση/απόκρυψη κειμένου)

Χρονοϊστορίες επιταχύνσεων και σχετικές βάσεις δεδομένων πραγματικών καταγραφών (εμφάνιση/απόκρυψη κειμένου)

11.3.1. Εισαγωγή συνάρτησης χρονοϊστορίας

Ο ορισμός της δυναμικής ανάλυσης με επιταχυνσιογράφημα στο SAP 2000, απαιτεί αρχικά τη δημιουργία της χρονοϊστορίας και στη συνέχεια τον καθορισμό του τύπου της φόρτισης που αυτή συνεπάγεται για τον φορέα, σε μια διαδικασία δυο βημάτων.

Για τις ανάγκες του τρέχοντος παραδείγματος, θα χρησιμοποιηθεί μια χρονοϊστορία από τη βιβλιοθήκη του προγράμματος και συγκεκριμένα το αρχείο OAK_WHAF-1.TH (θέση Oakland Outer Harbor Wharf Station) που αποτελεί καταγραφή επιταχύνσεων του σεισμού της Loma Prieta (1989) στο San Francisco (βόρεια Καλιφόρνια), με μέγεθος σεισμού Mw=6.9 και μέγιστη εδαφική επιτάχυνση (PGA: Peak Ground Acceleration) ίση με 0.29g. Ο τρόπος με τον οποίο δίνονται οι συγκεκριμένες χρονοϊστορίες είναι σε 8 στήλες τιμών επιτάχυνσης, με σταθερό δεδομένο χρονικό βήμα.

Από το Define → Functions → Time History επιλέγεται στο Choose Function Type to Add το Function from File (προσθήκη χρονοϊστορίας από αρχείο), όπως φαίνεται στο Σχήμα 11.6. Επιλέγοντας Add New Function και μετά Browse, γίνεται αναζήτηση του αρχείου της χρονοϊστορίας από τη θέση εγκατάστασης του προγράμματος στον υπολογιστή (συνήθως σε φάκελο με την ονομασία Time History Functions, όπου για να εμφανιστούν τα αρχεία πρέπει να επιλεγεί το All files στον τύπο αρχείου). Επιλέγεται το επιθυμητό αρχείο, με Open γίνεται μεταφορά στο παράθυρο εισαγωγής της χρονοϊστορίας, ενώ στη συνέχεια καθορίζονται οι απαιτούμενες παράμετροι ώστε να γίνει η σωστή ανάγνωσή του.

Με την επιλογή View File (Σχήμα 11.7) γίνεται άνοιγμα του αρχείου της χρονοϊστορίας και εμφανίζεται η μορφή των δεδομένων (Σχήμα 11.8). Παρατηρείται πως οι δυο πρώτες σειρές του αρχείου περιέχουν πληροφορίες, οι οποίες θα χρησιμεύσουν για το σωστό ορισμό των παραμέτρων εισαγωγής του στο πρόγραμμα.

Στο συγκεκριμένο σημείο απαιτείται προσοχή, καθώς, ανάλογα με το μέγεθος γραμματοσειράς στο πρόγραμμα που γίνεται η επισκόπηση του αρχείου, ενδέχεται να μην είναι ευκρινές ότι οι πληροφορίες εμπεριέχονται σε δυο μόλις σειρές κειμένου. Για να σιγουρευτεί ο χρήστης για τον αριθμό των σειρών που αφορούν οι πληροφορίες, θα πρέπει είτε να χρησιμοποιήσει μια αρκετά μικρή γραμματοσειρά είτε να ζητήσει μορφοποίηση του κειμένου δίχως αναδίπλωση του στο μέγεθος της σελίδας (No word wrap).

Από τις πληροφορίες που ενσωματώνονται στο αρχείο, ενδιαφέρουν το χρονικό βήμα (εδώ 0.020s) και οι μονάδες των τιμών επιτάχυνσης (εδώ cm/s2). Συνεπώς ο ορισμός των διαφόρων παραμέτρων στο Σχήμα 11.7 γίνεται ως εξής:

Αφού οριστούν πλήρως τα πεδία που προσδιορίζουν τη μορφή του αρχείου δεδομένων, το διάγραμμα της χρονοϊστορίας μπορεί να εμφανιστεί με την επιλογή Display Graph. Τέλος, στο πεδίο Function Name ορίζεται το επιθυμητό όνομα για τη χρονοϊστορία. Όλες οι παραπάνω εντολές, όπως και το διάγραμμα που προκύπτει, φαίνονται στο Σχήμα 11.7. Το φάσμα απόκρισης επιταχύνσεων της συγκεκριμένης χρονοϊστορίας, για τιμή απόσβεσης 5%, εμφανίζεται στο Σχήμα 11.9 (υπολογισμός φάσματος με άλλο λογισμικό). Ο υπολογισμός του φάσματος απόκρισης της χρονοϊστορίας που τέθηκε ως φόρτιση μπορεί να γίνει και από το πρόγραμμα SAP 2000, μετά το πέρας της ανάλυσης, από την εντολή Define → Show Response Spectrum Curves και τη θεώρηση κόμβου στη βάση του πλαισίου.

Θεώρηση χρονοϊστορίας τιμών κατά την προσομοίωση (εμφάνιση/απόκρυψη κειμένου)

Σχήμα 11.6 Ορισμός χρονοϊστορίας από αρχείο στο SAP 2000 (Time History Function From File).

Σχήμα 11.7 Καθορισμός παραμέτρων για την εισαγωγή του επιταχυνσιογραφήματος από αρχείο δεδομένων.

Σχήμα 11.8 Εμφάνιση αρχείου δεδομένων της χρονοϊστορίας (εδώ εμφανίζεται τμήμα του αρχείου, με τιμές επιτάχυνσης σε 8 στήλες ανά συγκεκριμένο χρονικό βήμα).

Σχήμα 11.9 Φάσμα απόκρισης επιταχύνσεων επιλεγμένης χρονοϊστορίας (ο υπολογισμός του φάσματος έγινε με άλλο λογισμικό).

11.3.2. Ορισμός ιδιομορφικής ανάλυσης

Ο ορισμός της ιδιομορφικής ανάλυσης, η οποία προηγείται της δυναμικής ανάλυσης με χρονοϊστορία, μπορεί να γίνει από το Define → Load Cases με προσθήκη νέας φορτιστικής κατάστασης με την εντολή Add New Load Case. Η νέα φορτιστική κατάσταση θα είναι τύπου Modal (Load Case Type), όπως παρουσιάζεται στο Σχήμα 11.10. Υπάρχει η προεπιλεγμένη τιμή 12 για τον αριθμό των ζητούμενων ιδιομορφών, οι οποίες υπέρ-αρκούν για το συγκεκριμένο φορέα, καθώς υπάρχει μόνο ένας δυναμικός βαθμός ελευθερίας (μάζα μόνο σε έναν κόμβο και σε μια διεύθυνση).

Σημειώνεται πως σε κάθε εισαγωγή έτοιμου φορέα από τη βιβλιοθήκη του προγράμματος, υπάρχει ήδη μια προεπιλεγμένη ιδιομορφική ανάλυση με την ονομασία MODAL, η οποία θα μπορούσε να χρησιμοποιηθεί για τους παραπάνω σκοπούς αν δεν έχει διαγραφεί σε προηγούμενο στάδιο (εδώ αφορά την ενδεχόμενη διαγραφή της ιδιομορφικής ανάλυσης κατά την εφαρμογή του παραδείγματος του Κεφαλαίου 3). Στην περίπτωση ασφαλώς που μια τέτοια ανάλυση περιελάμβανε λιγότερες ιδιομορφές από τους δυναμικούς βαθμούς ελευθερίας του φορέα, τότε θα μπορούσε να τροποποιηθεί με Modify/Show.

Η ιδιομορφική ανάλυση μπορεί να εκτελεστεί πριν την ολοκλήρωση της προσομοίωσης του φορέα, αρκεί να έχουν οριστεί πλήρως οι μάζες και η δυσκαμψία (διατομές, υλικά) του φορέα. Συνεπώς, ακόμη και σε αυτό το στάδιο, είναι δυνατή μια πρώτη ανάλυση η οποία θα δώσει κάποιες λεπτομέρειες για τα ιδιομορφικά χαρακτηριστικά του φορέα που ενδεχομένως χρησιμοποιηθούν στη συνέχεια. Από την ανάλυση προκύπτει ιδιοπερίοδος Τ=0.14375s για τον φορέα όπως φαίνεται στο Σχήμα 11.11 (εμφάνιση από το Display → Show Deformed Shape όπου επιλέγεται το Modal). Στη συνέχεια το αρχείο ξεκλειδώνεται (Options → Unlock Model) προκειμένου να συνεχιστεί ο καθορισμός των υπόλοιπων στοιχείων της προσομοίωσης. Από την επισκόπηση του φάσματος απόκρισης επιταχύνσεων που ορίστηκε στο Σχήμα 11.9, η συγκεκριμένη τιμή ιδιοπεριόδου αντιστοιχεί σε φασματική επιτάχυνση 4.13m/s2 (0.42g) για το πλαίσιο που προσομοιώνεται.

Σχήμα 11.10 Ορισμός ιδιομορφικής ανάλυσης φορέα (αρκεί μια μόνο ζητούμενη ιδιομορφή για το συγκεκριμένο πλαίσιο –εδώ ζητούνται 12).

Σχήμα 11.11 Εμφάνιση θεμελιώδους ιδιομορφής του πλαισίου που αναλύεται (Τ=0.14375s).

11.3.3. Ορισμός δυναμικής ελαστικής ανάλυσης με επιταχυνσιογράφημα (μέθοδος επαλληλίας ιδιομορφών)

Η πρώτη μέθοδος που χρησιμοποιείται στο παράδειγμα για δυναμική ελαστική ανάλυση με χρήση επιταχυνσιογραφήματος, είναι η μέθοδος επαλληλίας των ιδιομορφών. Η νέα φορτιστική κατάσταση ορίζεται από την εντολή Define → Load Cases με το Add New Load Case και τύπο ανάλυσης Time History (Load Case Type). Όπως παρουσιάζεται στο Σχήμα 11.12, η επιβαλλόμενη φόρτιση είναι τύπου Accel (επιτάχυνση) κατά Χ (U1), ενώ χρησιμοποιείται η χρονοϊστορία OAKLWHAF-1 που ορίστηκε σε προηγούμενο βήμα. Καθώς η συγκεκριμένη χρονοϊστορία ορίστηκε σε μονάδες cm/s2, τίθεται συντελεστής 0.01 (Scale factor) ώστε να γίνει η μετατροπή σε m/s2 (οι μονάδες της χρονοϊστορίας φαίνονται στις πρώτες σειρές του αρχείου του επιταχυνσιογραφήματος που παρουσιάζεται στο Σχήμα 11.8).

Όπως φαίνεται από τις επιπλέον παραμέτρους καθορισμού της ανάλυσης (Show Advanced Load Parameters), υπάρχει δυνατότητα να ξεκινήσει η εφαρμογή της χρονοϊστορίας στον φορέα σε χρονική στιγμή μεταγενέστερη του t=0, ενώ η επιβολή της μπορεί να δοθεί υπό γωνία σε σχέση με τους υφιστάμενους άξονες.

Ο τύπος της ανάλυσης που ορίζεται αντιστοιχεί σε γραμμική ελαστική ανάλυση (Linear), ενώ στο παρόν επιλέγεται η μέθοδος ανάλυσης με επαλληλία ιδιομορφών (Modal), στην οποία δίνεται σταθερή απόσβεση ίση με 5% από το Modal Damping-Constant at 0.05 (συνήθης τιμή απόσβεσης για φορείς οπλισμένου σκυροδέματος). Στην ανάλυση δίνεται η ονομασία OAKLANDM (το Μ συμβολίζει το Modal, ακριβώς λόγω της μεθόδου επαλληλίας ιδιομορφών που υιοθετείται).

Η διάρκεια της συγκεκριμένης χρονοϊστορίας είναι 40s, όπως προκύπτει από τα 2000 σημεία ανά 0.02sec (Σχήμα 11.8). Στα πεδία Number of Output Time Steps και Output Time Step Size καθορίζεται η πυκνότητα των αποτελεσμάτων που θα προκύψουν μέσω της επιλογής του χρονικού βήματος. Το χρονικό αυτό βήμα πρέπει να είναι αρκετά μικρό, ώστε να περιγράφεται με ακρίβεια το φαινόμενο, όχι όμως περισσότερο από όσο χρειάζεται καθώς ενδέχεται να δημιουργήσει αρχεία αποτελεσμάτων μεγάλου μεγέθους. Συχνά ορίζεται χρονικό βήμα αντίστοιχο με αυτό της χρονοϊστορίας, ενώ τιμή βήματος μεταξύ 0.005-0.01s είναι συνήθως επαρκής, ιδιαίτερα για τη μέθοδο επαλληλίας των ιδιομορφών όπου η ακρίβεια των αποτελεσμάτων δεν σχετίζεται άμεσα με το χρονικό βήμα της ανάλυσης. Εδώ τίθενται ενδεικτικά 4000 βήματα με χρονικό βήμα ίσο με 0.01s. Θα μπορούσαν αντίστοιχα να δοθούν 2000 βήματα ανά 0.02s, ώστε ο συνολικός χρόνος που προκύπτει να ισούται με την διάρκεια της χρονοϊστορίας. Σε κάθε περίπτωση, θα πρέπει το χρονικό βήμα που επιλέγεται να είναι πολλαπλάσιο ή υποπολλαπλάσιο του χρονικού βήματος της χρονοϊστορίας, όπως προτείνεται στο εγχειρίδιο χρήσης του προγράμματος.

Σχήμα 11.12 Καθορισμός παραμέτρων δυναμικής ανάλυσης χρονοϊστορίας τιμών με τη μέθοδο επαλληλίας ιδιομορφών.

11.3.4. Ορισμός δυναμικής ελαστικής ανάλυσης με επιταχυνσιογράφημα (μέθοδος απευθείας ολοκλήρωσης στο χρόνο)

Εναλλακτικά της προηγούμενης μεθόδου, η δυναμική ανάλυση με χρονοϊστορία επιταχύνσεων μπορεί να επιτευχθεί και με χρήση της μεθόδου απευθείας ολοκλήρωσης στο χρόνο (direct integration method). Η εξέταση της συγκεκριμένης εναλλακτικής μεθόδου στο παρόν, έχει ως στόχο τη συγκριτική αξιολόγηση των αποτελεσμάτων των δυο μεθόδων. Στην ανάλυση αυτή δίνεται η ονομασία OAKLANDDI (το DI συμβολίζει το Direct Integration, ακριβώς λόγω της μεθόδου που επιλέγεται για τη δεύτερη ανάλυση). Στο Σχήμα 11.13 παρουσιάζονται οι τιμές που τίθενται στα διάφορα πεδία, στο παράθυρο ορισμού της ανάλυσης.

Θα πρέπει να σημειωθεί πως η ορθότητα προσδιορισμού της απόκρισης κατά τη συγκεκριμένη μέθοδο εξαρτάται άμεσα από το χρονικό βήμα εκτέλεσης της ανάλυσης. Κατά συνέπεια, τίθεται ένα επαρκώς μικρό βήμα Δt=0.005s, το οποίο αντιστοιχεί σε 8000 βήματα ανάλυσης για τη χρονοϊστορία συνολικής διάρκειας 40s.

Κατά τον ορισμό της συγκεκριμένης ανάλυσης, παρατηρείται πως δεν υπάρχει απαίτηση να βασιστεί πάνω σε κάποια προϋπάρχουσα ιδιομορφική ανάλυση, σε αντίθεση με την μέθοδο επαλληλίας των ιδιομορφών που εξετάστηκε προηγουμένως. Επίσης, διαπιστώνεται πως στις παραμέτρους της ανάλυσης αλλάζει ο τρόπος ορισμού της απόσβεσης (Damping). Συγκεκριμένα χρησιμοποιείται απόσβεση τύπου Rayleigh, η οποία ορίζεται με τη χρήση των δυο συντελεστών του Σχήματος 11.14, με τρόπο ώστε να ισοδυναμεί με την απόσβεση 5% που τέθηκε κατά την ανάλυση με επαλληλία ιδιομορφών.

Σχήμα 11.13 Καθορισμός παραμέτρων δυναμικής ανάλυσης με επιταχυνσιογράφημα, με τη μέθοδο της απευθείας ολοκλήρωσης στο χρόνο.

Σχήμα 11.14 Καθορισμός παραμέτρων απόσβεσης τύπου Rayleigh.

Απόσβεση τύπου Rayleigh (εμφάνιση/απόκρυψη κειμένου)

Επιλογή χρονικού βήματος κατά τη μέθοδο απευθείας ολοκλήρωσης στο χρόνο (εμφάνιση/απόκρυψη κειμένου)

Οι παράμετροι που συνδέονται με την ολοκλήρωση στο χρόνο (Time Integration) καθορίζουν τη μορφή των αλγορίθμων ολοκλήρωσης (ρητών ή πεπλεγμένων). Η παρουσίαση περαιτέρω πληροφοριών αναφορικά με τα θεωρητικά στοιχεία της μεθόδου είναι εκτός του στόχου του συγγράμματος, ενώ περισσότερα στοιχεία μπορούν να βρεθούν στη βιβλιογραφία που παρατέθηκε στις προηγούμενες παραγράφους.

11.4. Ορισμός συνδυασμών φόρτισης δυναμικών αναλύσεων με χρονοϊστορία

Καθώς οι αναλύσεις του παραδείγματος είναι γραμμικές-ελαστικές, τα αποτελέσματα από τη συνδυασμένη δράση του σεισμού με τα κατακόρυφα φορτία είναι δυνατό να προκύψουν με συνδυασμό των αποτελεσμάτων των επιμέρους αναλύσεων, χρησιμοποιώντας την αντίστοιχη δυνατότητα του προγράμματος από το Define → Load Combinations. Στο παράθυρο που ανοίγει, εμφανίζονται οι υφιστάμενοι συνδυασμοί από το παράδειγμα του Κεφαλαίου 3 (υπενθυμίζεται πως οι συνδυασμοί SEISMIC+ και SEISMIC- αφορούν την ταυτόχρονη δράση κατακόρυφων φορτίων με την, στατικού τύπου, οριζόντια φόρτιση Ε του συγκεκριμένου παραδείγματος).

Δημιουργούνται δυο νέοι συνδυασμοί που περιλαμβάνουν την ανάλυση με το επιταχυνσιογράφημα και τα κατακόρυφα φορτία που δρουν στον φορέα, όπως φαίνεται στο Σχήμα 11.16 (ένας συνδυασμός για τη μέθοδο επαλληλίας των ιδιομορφών και ένας για τη μέθοδο της απευθείας ολοκλήρωσης στο χρόνο).

Σχήμα 11.16 Συνδυασμοί φόρτισης κατακόρυφων δράσεων με δυναμική ανάλυση χρονοϊστορίας.

11.5. Ανάλυση φορέα και ανάγνωση αποτελεσμάτων

Ο φορέας είναι πλέον έτοιμος για ανάλυση, κάτι που γίνεται με την εντολή Analyze → Run Analysis και Run Now. Καθώς η διαδικασία περιλαμβάνει ανάλυση με χρονοϊστορίες σημαντικού αριθμού βημάτων, ο χρόνος ολοκλήρωσης αναμένεται να είναι μεγαλύτερος από τις απλές αναλύσεις στατικού τύπου.

11.5.1. Εμφάνιση αποτελεσμάτων χρονοϊστοριών φόρτισης

Η εμφάνιση των αποτελεσμάτων της ανάλυσης, σε συγκεκριμένη χρονική στιγμή της φόρτισης, μπορεί να γίνει με τις κλασσικές εντολές Display → Show Deformed Shape για τις μετακινήσεις και Display → Show Forces/Stresses → Frames/Cables για τα αναπτυσσόμενα εντατικά μεγέθη. Η στιγμή της φόρτισης καθορίζεται από την επιλογή Time, ενώ υπάρχει πάντα η δυνατότητα εμφάνισης της περιβάλλουσας μέγιστων τιμών (Envelope). Τα παραπάνω αφορούν την απόκριση σε χρονοϊστορίες φόρτισης, δεν ισχύουν όμως στην περίπτωση συνδυασμών με άλλους τύπους φορτίων (π.χ. με τα κατακόρυφα).

Τα αναλυτικά αποτελέσματα σε μορφή χρονοϊστοριών απόκρισης εμφανίζονται από την εντολή Display → Show Plot Functions (Σχήμα 11.17). Στο παράθυρο που εμφανίζεται από το Define Plot Functions.., καθορίζεται το στοιχείο (κόμβος ή γραμμικό στοιχείο) και το μέγεθος απόκρισης τα οποία θα αποτυπωθούν στη χρονοϊστορία αποτελεσμάτων (Σχήμα 11.18 αριστερά). Δίνονται οι παρακάτω δυνατότητες:

Για την εμφάνιση της χρονοϊστορίας μετακίνησης ενός κόμβου επιλέγεται η εντολή Add Joint Disps/Forces. Στη συνέχεια, από το Add Plot Function.., καθορίζεται το ζητούμενο μέγεθος απόκρισης (εδώ μετακίνηση Displ) στον ζητούμενο κόμβο (π.χ. τον κόμβο 5 που βρίσκεται στο μέσον του ζυγώματος), όπως και η διεύθυνση της εν λόγω μετακίνησης.

Σχήμα 11.17 Εντολές εμφάνισης χρονοϊστορίας μεγέθους απόκρισης.

Σχήμα 11.18 Καθορισμός στοιχείου (κόμβου-γραμμικού στοιχείου) και ζητούμενου μεγέθους απόκρισης.

Με ΟΚ το ζητούμενο μέγεθος απόκρισης εμφανίζεται στο αρχικό παράθυρο, όπως φαίνεται στο Σχήμα 11.19. Για την επισκόπηση της χρονοϊστορίας μετακίνησης, το επιθυμητό στοιχείο/κόμβος μεταφέρεται με το Add στη δεξιά στήλη (Vertical Functions: μέγεθος στον κατακόρυφο άξονα της ζητούμενης χρονοϊστορίας), επιβεβαιώνεται ότι στο Horizontal Plot Function υπάρχει το ΤΙΜΕ (οριζόντιος άξονας της ζητούμενης χρονοϊστορίας που πρέπει να αφορά τον χρόνο) και αφού οριστεί η επιθυμητή ανάλυση χρονοϊστορίας (Analysis Case) επιλέγεται το Display.

Σχήμα 11.19 Προετοιμασία παραμέτρων εμφάνισης της χρονοϊστορίας μετακίνησης του κόμβου 5.

Στο Σχήμα 11.20 παρουσιάζονται τα διαγράμματα μετακίνησης του κόμβου 5 για τις δυο μεθόδους ανάλυσης. Παρατηρείται ότι τα αποτελέσματα είναι πολύ κοντά μεταξύ τους, σχεδόν ταυτόσημα, όπως προκύπτει και από τις μέγιστες και ελάχιστες τιμές που εμφανίζονται στην λεζάντα, στο δεξί τμήμα του κάθε παραθύρου.

Μια καλύτερη σύγκριση μεταξύ των αποτελεσμάτων επιτυγχάνεται με την ταυτόχρονη απεικόνιση των δυο χρονοϊστοριών σε κοινό διάγραμμα. Με την εντολή File → Print Tables to File... στο Σχήμα 11.20, γίνεται εξαγωγή των τιμών της κάθε χρονοϊστορίας μετακινήσεων γίνεται σε αρχείο μορφής *.txt. Στη συνέχεια, μπορεί να χρησιμοποιηθεί πρόγραμμα υπολογιστικών φύλλων για το άνοιγμα των αρχείων και την δημιουργία του κοινού διαγράμματος (Σχήμα 11.21). Παρατηρείται ότι τα αποτελέσματα από τις δυο αναλύσεις πρακτικά ταυτίζονται.

Σχήμα 11.20 Εμφάνιση της χρονοϊστορίας μετακίνησης του κόμβου 5 για την ανάλυση με επαλληλία ιδιομορφών (πάνω) και με απευθείας ολοκλήρωση στο χρόνο (κάτω).

Σχήμα 11.21 Εμφάνιση της χρονοϊστορίας μετακίνησης του κόμβου 5 για τις δυο μεθόδους ανάλυσης σε κοινό διάγραμμα (κάτω: λεπτομέρεια για το χρονικό διάστημα 10-15s).

Με αντίστοιχη διαδικασία μπορούν να αποτυπωθούν σε διάγραμμα χρονοϊστορίας και τα υπόλοιπα μεγέθη απόκρισης, όπως π.χ. καμπτικές ροπές σε διάφορες διατομές του φορέα, επιταχύνσεις κτλ. Έτσι, στο Σχήμα 11.22 εμφανίζεται η καμπτική ροπή της δοκού στο αριστερά άκρο (Frame 4), ζητώντας Add Frame Forces και επιλέγοντας Moment 3-3 (για αρχή δοκού επιλέγεται Relative Distance=0). Με τον ίδιο τρόπο μπορεί να ζητηθεί η εμφάνιση της χρονοϊστορίας φόρτισης (Load functions), της τέμνουσας βάσης (Base functions) κτλ.

Κατά την εμφάνιση των διαφόρων χρονοϊστοριών απόκρισης, παρατηρείται πως τα αποτελέσματα αφορούν μόνο τη φόρτιση βάσει του επιταχυνσιογραφήματος και όχι τον συνδυασμό που δημιουργήθηκε μαζί με τα κατακόρυφα φορτία.

Σχήμα 11.22 Εμφάνιση της χρονοϊστορίας ροπής στο αριστερά άκρο της δοκού (Frame 4 – Relative distance 0) για τη μέθοδο επαλληλίας ιδιομορφών.

11.5.2. Εμφάνιση αποτελεσμάτων συνδυασμών φόρτισης

Η εμφάνιση αποτελεσμάτων από τη συνδυασμένη δράση των χρονοϊστοριών φόρτισης με τα κατακόρυφα φορτία είναι δυνατή μόνο ως περιβάλλουσες τιμές (μέγιστες και ελάχιστες τιμές), με χρήση της εντολής Display → Show Forces/Stresses για τον κάθε συνδυασμό φόρτισης.

Στο Σχήμα 11.23 φαίνεται το διάγραμμα ροπών λόγω μόνο της σεισμικής καταπόνησης, δίχως τα κατακόρυφα φορτία (φόρτιση OAKLANDM), με συνέπεια το μηδενισμό της ροπής περίπου στο μέσον της δοκού. Παρατηρούνται θετικές και αρνητικές τιμές σε κάθε θέση, λόγω της εναλλαγής της φοράς της σεισμικής κίνησης (δεν υπάρχει προφανώς ακριβής συμμετρία καθώς το επιταχυνσιογράφημα φόρτισης δεν είναι συμμετρικό). Οι τιμές της ροπής από το συγκεκριμένο διάγραμμα βρίσκονται σε συμφωνία με τη χρονοϊστορία ροπών για τη θέση στο αριστερά άκρο της δοκού (Σχήμα 11.22).

Αντίθετα, στο Σχήμα 11.24 όπου συμπεριλαμβάνονται και τα κατακόρυφα φορτία (συνδυασμός EARTHQM), υπάρχει μόνιμα θετική ροπή στο άνοιγμα της δοκού. Παράλληλα, η διαφορά μεταξύ των μέγιστων θετικών και αρνητικών ροπών είναι σημαντική σε όλα τα δομικά στοιχεία, καθώς τα κατακόρυφα φορτία δημιουργούν ροπές σταθερού προσήμου στον φορέα.

Σχήμα 11.23 Περιβάλλουσα ροπών για τη φόρτιση OAKLANDM και λεπτομέρεια διαγραμμάτων δοκού στο αριστερό της τμήμα (μόνο σεισμικά φορτία – μέθοδος επαλληλίας ιδιομορφών).

Σχήμα 11.24 Περιβάλλουσα ροπών για τον συνδυασμό EARTHQM και λεπτομέρεια διαγραμμάτων δοκού στο αριστερό της τμήμα (κατακόρυφα και σεισμικά φορτία της μεθόδου επαλληλίας ιδιομορφών).

11.5.3. Εξαγωγή πλήρων χρονοϊστοριών απόκρισης

Όπως παρουσιάστηκε στο Κεφάλαιο 9, με χρήση της εντολής Display → Show Tables και επιλογή των επιθυμητών μεγεθών απόκρισης και φορτιστικών καταστάσεων, τα τελικά αποτελέσματα μπορούν να εμφανιστούν σε μορφή πινάκων και να εξαχθούν για περαιτέρω επεξεργασία στο Excel.

Αντίστοιχη δυνατότητα υπάρχει και για χρονοϊστορίες απόκρισης, όπου από το πλήκτρο Modify/Show Options προσφέρονται οι εξής επιλογές (Σχήμα 11.25):

Η δεύτερη επιλογή (Step-by-Step) μπορεί να δώσει τη χρονοϊστορία απόκρισης σε μορφή λίστας τιμών (ενδεικτικά μετακινήσεις κόμβων στο Σχήμα 11.26), αντίστοιχα με τη διαδικασία που περιγράφηκε κατά την επισκόπηση μεμονωμένων χρονοϊστοριών απόκρισης του φορέα (επιλογή File → Print Tables to File... στο Σχήμα 11.20). Το πλεονέκτημα της διαδικασίας που περιγράφεται εδώ, είναι η εξαγωγή χρονοϊστοριών για πολλά μεγέθη ή θέσεις απόκρισης ταυτοχρόνως.

Σχήμα 11.25 Προσφερόμενες δυνατότητες εμφάνισης αποτελεσμάτων χρονοϊστορίας κατά τη διαδικασία παρουσίασης πινακοποιημένων αποτελεσμάτων ανάλυσης.

Σχήμα 11.26 Εμφάνιση της πλήρους χρονοϊστορίας μετακινήσεων σε μορφή λίστας τιμών (διακρίνονται τα αποτελέσματα της μετατόπισης του κόμβου 5 για τα πρώτα χρονικά βήματα).

11.5.4. Προσδιορισμός τέμνουσας βάσης

Η μάζα του φορέα προσδιορίστηκε στην αρχή του Κεφαλαίου ίση με 11.72t, ενώ η θεμελιώδης ιδιοπερίοδος του μονοβάθμιου πλαισίου υπολογίστηκε κατά την ιδιομορφική ανάλυση ίση με 0.14375s. Από την επισκόπηση του φάσματος απόκρισης για το επιταχυνσιογράφημα που αποτελεί τη σεισμική φόρτιση του φορέα (Σχήμα 11.9), προέκυψε φασματική επιτάχυνση περίπου ίση με 4.13m/s2. Συνεπώς η σεισμική δύναμη (τέμνουσα βάσης) που αναμένεται να αναπτυχθεί στο πλαίσιο μπορεί να υπολογιστεί ως:

F = m ⋅ S a = 11.72 ⋅ 4.13 = 48.40 k N MathType@MTEF@5@5@+=feaagCart1ev2aaatCvAUfeBSjuyZL2yd9gzLbvyNv2CaerbuLwBLnhiov2DGi1BTfMBaeXatLxBI9gBaerbd9wDYLwzYbItLDharqqtubsr4rNCHbGeaGqiFu0Je9sqqrpepC0xbbL8F4rqqrFfpeea0xe9Lq=Jc9vqaqpepm0xbba9pwe9Q8fs0=yqaqpepae9pg0FirpepeKkFr0xfr=xfr=xb9adbaqaaeGaciGaaiaabeqaamaabaabaaGcbaGaamOraiabg2da9iaad2gacqGHflY1caWGtbWaaSbaaSqaaiaadggaaeqaaOGaeyypa0JaaGymaiaaigdacaGGUaGaaG4naiaaikdacqGHflY1caaI0aGaaiOlaiaaigdacaaIZaGaeyypa0JaaGinaiaaiIdacaGGUaGaaGinaiaaicdacaWGRbGaamOtaaaa@4D35@ (11.2)

Από την εντολή Display → Show Tables μπορεί να εμφανιστεί η συνολική σεισμική δύναμη που αναπτύσσεται στον φορέα, επιλέγοντας Analysis Results → Structure Output → Base Reactions, αλλά και τις κατάλληλες φορτιστικές καταστάσεις που αντιστοιχούν σε χρονοϊστορία φόρτισης. Με την παραπάνω διαδικασία προκύπτει πίνακας αποτελεσμάτων, με τη μέγιστη τιμή οριζόντιας δύναμης να εμφανίζεται ίση με 47.83kN για τη μέθοδο επαλληλίας ιδιομορφών και 49.15kN για τη μέθοδο απευθείας ολοκλήρωσης στο χρόνο.

Παρατηρείται πως στην περίπτωση του μονοβάθμιου φορέα, η τιμή της σεισμικής δύναμης που εκτιμήθηκε αντιστοιχεί όντως σε αυτήν που αναπτύχθηκε στη βάση του πλαισίου. Στην περίπτωση βεβαίως που εξετάζεται πολυβάθμιος φορέας, η συγκεκριμένη διαδικασία είναι περισσότερο πολύπλοκη.

Βιβλιογραφικές αναφορές Κεφαλαίου 11