Κεφάλαιο

Προσομοίωση τοιχώματος με χρήση γραμμικών πεπερασμένων στοιχείων

Σύνοψη

Στο παράδειγμα του Κεφαλαίου 6 παρουσιάζεται η προσομοίωση επίπεδου τοιχώματος με χρήση γραμμικών πεπερασμένων στοιχείων. Τα βασικά αντικείμενα που αναπτύσσονται στο συγκεκριμένο Κεφάλαιο είναι: χρήση υφιστάμενου προσομοιώματος για δημιουργία νέου φορέα, αναπαραγωγή γεωμετρίας και χαρακτηριστικών τμήματος φορέα, γενικό σύστημα συντεταγμένων, προσομοίωση επίπεδου τοιχώματος με χρήση γραμμικών πεπερασμένων στοιχείων, προβλήματα κατά την ανάγνωση αποτελεσμάτων σε τοπικούς άξονες στοιχείων, εναλλακτική προσομοίωση στερεού βραχίονα τοιχώματος.

Προαπαιτούμενη γνώση

Απαιτούνται βασικές γνώσεις αντοχής υλικών και στατικής επίλυσης φορέων, γνώσεις συμπεριφοράς τοιχωμάτων οπλισμένου σκυροδέματος και ικανότητα ανάγνωσης και κατανόησης σχετικών επιστημονικών κειμένων, όπως και πλήρης κατανόηση των αντικειμένων που αναπτύχθηκαν στα προηγούμενα Κεφάλαια του συγγράμματος.

6.1. Δεδομένα παραδείγματος

Ζητείται η επίλυση του επίπεδου πλαισίου που περιγράφεται στο Σχήμα 6.1, με χρήση ισοδύναμης πλαισιακής προσομοίωσης (γραμμικά πεπερασμένα στοιχεία) για το τοίχωμα διαστάσεων 25/200. Η επίλυση να γίνει για τον συνδυασμό αστοχίας κατακόρυφων φορτίων και τον σεισμικό συνδυασμό φόρτισης με βάση τα παρακάτω δεδομένα:

Η οριζόντια δύναμη Ε θεωρείται σεισμικό φορτίο, το κατανεμημένο φορτίο G μόνιμη δράση και το Q μεταβλητή δράση.
Να ληφθεί υλικό με μέτρο ελαστικότητας E=2.8∙10⁷ kPa, λόγο Poisson=0.0, αβαρές και με μηδενική πυκνότητα.
Οι διατομές των δομικών στοιχείων από οπλισμένο σκυρόδεμα να ληφθούν σε στάδιο ΙΙ (ρηγματωμένες διατομές).
Στο επίπεδο της δοκού νοείται όροφος με πλάκα οπλισμένου σκυροδέματος.

Σχήμα 6.1 Επίπεδος φορέας οπλισμένου σκυροδέματος με τοίχωμα.

6.2. Εισαγωγή της γεωμετρίας του φορέα

Παρατηρείται πως η γεωμετρία του πλαισίου, οι διατομές, η κατανεμημένη φόρτιση και το υλικό είναι ίδια με αυτά του παραδείγματος που παρουσιάστηκε στο Κεφάλαιο 3, με τη διαφορά πως ο νέος φορέας έχει ένα επιπλέον άνοιγμα και η οριζόντια δύναμη Ε έχει διαφορετική τιμή. Κατά συνέπεια, κρίνεται σκόπιμο να γίνει εκμετάλλευση του παραδείγματος του Κεφαλαίου 3 για την εισαγωγή του νέου φορέα.

Με το File → Open γίνεται άνοιγμα του αρχείου του Κεφαλαίου 3 (Chapter 03.sdb), ενώ στη συνέχεια το αρχείο αποθηκεύεται ως (Save As..) με την ονομασία Chapter 06.sdb.

Για την τροποποίηση της γεωμετρίας του φορέα θα πρέπει η δοκός και το δεξιά υποστύλωμα να αντιγραφούν μια φορά, μετατοπισμένα προς τα δεξιά κατά 5m σε σχέση με το αρχικό πλαίσιο. Ο τρόπος αναπαραγωγής που θα χρησιμοποιηθεί κρίνεται σκόπιμο να διατηρήσει όλα τα δεδομένα (υλικό, διατομή, φορτία) στο νέο τμήμα φορέα που θα δημιουργηθεί. Για τον λόγο αυτόν κρίνεται περισσότερο κατάλληλη η εντολή Replicate.

Επιλέγεται η δοκός, ο δεξιά στύλος και οι δυο κόμβοι του στύλου (Σχήμα 6.2) και στη συνέχεια ενεργοποιείται η εντολή Edit → Replicate (Σχήμα 6.3). Στο παράθυρο που εμφανίζεται ορίζεται πόσες φορές θα γίνει η αντιγραφή (Number=1 στο παρόν), όπως και η επιθυμητή απόσταση που αφορά (5m κατά Χ). Δίνεται η δυνατότητα στον μελετητή, μέσω της εντολής Modify/Show Replicate Options (Σχήμα 6.4), να επιλέξει τις συγκεκριμένες ιδιότητες που επιθυμεί να αντιγραφούν κατά τη διαδικασία στα νέα στοιχεία που θα προκύψουν. Παρατηρείται πως δεν είναι επιλεγμένο το πεδίο Constraints (καρτέλα Assignments), με αποτέλεσμα για τους κόμβους που θα αναπαραχθούν να μην υπάρχει τυχόν αντίστοιχη ιδιότητα των αρχικών κόμβων, όπως π.χ. η ιδιότητα διαφράγματος στον κόμβο οροφής. Αν συνεπώς δεν γίνει επιλογή του Constraint στο τρέχον παράθυρο, τότε το διάφραγμα θα πρέπει να ανατεθεί σε επόμενο βήμα στον νέο κόμβο ορόφου που θα δημιουργηθεί. Στην καρτέλα Loads and Design εμφανίζονται επιλογές αναπαραγωγής για στοιχεία φόρτισης και διαστασιολόγησης του φορέα, όπου φαίνεται με τις τρέχουσες επιλογές πως το κατανεμημένο φορτίο δοκού θα αναπαραχθεί αυτόματα (Distributed στο Σχήμα 6.5). Με το τέλος της διαδικασίας και διπλό ΟΚ εμφανίζεται ο φορέας στη νέα του μορφή (Σχήμα 6.6). Για τη σωστή εμφάνιση του φορέα, είναι πιθανόν να απαιτηθεί ανανέωση της εικόνας του κάθε παραθύρου με την εντολή View → Refresh Window, ή απλώς χρησιμοποιώντας τα εργαλεία 3-d και xz για την τρισδιάστατη και την επίπεδη όψη αντίστοιχα.

Όπως προέκυψε κατά την επισκόπηση των παραμέτρων της εντολής Replicate, υπάρχει δυνατότητα αναπαραγωγής των διαφόρων στοιχείων με τα φορτία τους. Θα πρέπει συνεπώς να δοθεί προσοχή, ώστε στην αρχική επιλογή των στοιχείων προς αναπαραγωγή να μην επιλεγεί ο αριστερά κόμβος της δοκού, καθώς εάν μεταφερθούν όλες του οι ιδιότητες σε νέα θέση υπάρχει κίνδυνος να μεταφερθεί και το προϋπάρχον φορτίο των 100kN κατά 5m δεξιά, κάτι το οποίο δεν συμβαδίζει με τα δεδομένα του νέου παραδείγματος.

Διαδικασία αναπαραγωγής γεωμετρίας και χαρακτηριστικών τμήματος φορέα (εμφάνιση/απόκρυψη κειμένου)

Σχήμα 6.2 Επιλογή στοιχείων για αντιγραφή.

Σχήμα 6.3 Αντιγραφή (αναπαραγωγή) τμήματος του φορέα κατά X με την εντολή Replicate.

Σχήμα 6.4 Επισκόπηση των επιλογών της εντολής Replicate (καρτέλα Assignments).

Σχήμα 6.5 Επισκόπηση των επιλογών της εντολής Replicate (καρτέλα Loads and Design).

Σχήμα 6.6 Εμφάνιση της νέας γεωμετρίας φορέα.

6.3. Έλεγχος ιδιοτήτων νέων στοιχείων και τροποποίηση καννάβου

Κατά την αντιγραφή στοιχείων του φορέα, ζητήθηκε η αναπαραγωγή των ιδιοτήτων και φορτίων διαφόρων στοιχείων. Η αναπαραγωγή των ιδιοτήτων της στήριξης είναι εμφανές ότι πραγματοποιήθηκε, καθώς και ο νέος κόμβος στη βάση του δεξιά υποστυλώματος έχει όμοια στήριξη (όμοιους δεσμευμένους βαθμούς ελευθερίας) με αυτόν που είχε επιλεγεί προς αντιγραφή. Αντίθετα, ο δεξιά κόμβος οροφής που δημιουργήθηκε δεν περιλαμβάνεται στο διάφραγμα με τους υπόλοιπους κόμβους ορόφου, όπως μπορεί να φανεί με δεξί click στον κόμβο από την καρτέλα Assignments (το πεδίο Constraints είναι κενό). Η συγκεκριμένη ιδιότητα θα δοθεί σε επόμενο στάδιο της προσομοίωσης (δίχως να απαγορεύεται η ανάθεσή της και στο συγκεκριμένο σημείο).

Ο έλεγχος των ιδιοτήτων και των φορτίων του φορέα μπορεί να επιταχυνθεί αν ζητηθεί στο δεξί παράθυρο η εμφάνιση συγκεκριμένων παραμέτρων. Από την εντολή View → Set Display Options μπορεί να επιλεγεί η εμφάνιση του τύπου της κάθε διατομής (ενεργοποίηση Sections στο πεδίο Frames/Cables/Tendons). Αντίστοιχα, από το Display → Show Load Assigns → Frame/Cable/Tendon επιλέγονται ενδεικτικά τα μόνιμα κατανεμημένα φορτία G. Το τελικό αποτέλεσμα φαίνεται στο Σχήμα 6.7, επιβεβαιώνοντας ότι τόσο η φόρτιση της δοκού όσο και η διατομή του υποστυλώματος έχουν αναπαραχθεί σωστά στα νέα στοιχεία που δημιουργήθηκαν. Η επιστροφή στην προηγούμενη όψη του φορέα, δίχως να εμφανίζονται τα φορτία και το είδος των διατομών, μπορεί να επιτευχθεί με αποεπιλογή των Sections από την εντολή View → Set Display Options και εμφάνιση της απαραμόρφωτης γραμμής φορέα από την εντολή Display → Show Undeformed Shape.

Σχήμα 6.7 Έλεγχος αναπαραγωγή ιδιοτήτων και φορτίων στα νέα στοιχεία του φορέα.

Όπως φαίνεται στο Σχήμα 6.6, στη νέα γεωμετρία του φορέα η αρχή των αξόνων έχει μείνει στην προηγούμενη θέση της, στο μέσον του αρχικού πλαισίου, ενώ δεν έχει δημιουργηθεί βοηθητική γραμμή καννάβου πίσω από το νέο υποστύλωμα.

Γενικό σύστημα συντεταγμένων (εμφάνιση/απόκρυψη κειμένου)

Η θέση του κάθε κόμβου, άρα και γραμμικού στοιχείου, στον φορέα, ορίζεται πάντα από τις συντεταγμένες του, βάσει ενός γενικού συστήματος συντεταγμένων που στα περισσότερα προγράμματα είναι άμεσα ορατό στον χρήστη. Σε αρκετές περιπτώσεις ενδέχεται να τεθεί ζήτημα μετακίνησης της αρχής του καθορισμένου συστήματος συντεταγμένων, για διευκόλυνση της εισαγωγής των δεδομένων αλλά και της διαχείρισης του φορέα. Από την εμπειρία των συγγραφέων, το καταλληλότερο σημείο ως αρχή ενός συστήματος συντεταγμένων θεωρείται αυτό που βρίσκεται σε κατακόρυφο επίπεδο στη στάθμη 0.0m, ενώ σε κάτοψη η θέση του είναι τέτοια ώστε όλοι οι κόμβοι της κάτοψης του προσομοιώματος να έχουν θετικές συντεταγμένες. Στην περίπτωση του SAP 2000, το σημείο αυτό είναι στο κάτω αριστερά σημείο του φορέα σε κάτοψη, στη στάθμη Z=0.0m.

Καθώς τις περισσότερες φορές δεν είναι δυνατή η μετακίνηση της αρχής των αξόνων, θα πρέπει να γίνει μετακίνηση ολόκληρου του φορέα ως προς αυτήν. Θα πρέπει βεβαίως στη συνέχεια να γίνει κατάλληλη προσαρμογή των βοηθητικών γραμμών καννάβου, για να ανταποκρίνονται στις νέες θέσεις των δομικών στοιχείων. Σημειώνεται πως η εμφάνιση/απόκρυψη της αρχής των αξόνων και των γραμμών καννάβου γίνεται από την εντολή View → Show Axis και Show Grid αντίστοιχα.

Προκειμένου η αρχή των αξόνων να τοποθετηθεί στη βάση του αριστερά υποστυλώματος, θα πρέπει να μετακινηθεί ολόκληρος ο φορέας προς τα δεξιά (+X). Επιλέγεται ολόκληρος ο φορέας (Ctrl+Α ή εντολή Select → Select All), και με την εντολή Edit → Move ζητείται μετακίνηση +2.5m κατά X (Σχήμα 6.8). Παρατηρείται πως πλέον η βάση του αριστερά υποστυλώματος συμπίπτει με την αρχή του συστήματος συντεταγμένων, οι θέσεις όμως των γραμμών του καννάβου χρειάζονται διόρθωση.

Σχήμα 6.8 Μετακίνηση του φορέα κατά Χ.

Καθώς είναι γνωστή η γεωμετρία του φορέα, οι θέσεις των γραμμών του καννάβου μπορούν να επικαιροποιηθούν από την εντολή Define → Coordinate Systems/Grids (Σχήμα 6.9), όπου ζητείται τροποποίηση του υφιστάμενου καννάβου (Modify/Show System για το σύστημα Global). Στο παράθυρο που εμφανίζεται μπορούν να τεθούν οι νέες τιμές των γραμμών καννάβου (πεδίο Ordinate στην περιοχή X Grid Data), ενώ είναι προαιρετικός ο καθορισμός ονομασίας για την κάθε γραμμή (πεδίο Grid ID), όπως φαίνεται στο Σχήμα 6.10. Από το Bubble Loc. μπορεί να ελεγχθεί το χρώμα εμφάνισης των γραμμών καννάβου, ενώ στο πεδίο Bubble Size καθορίζεται το μέγεθος των κύκλων και των γραμμάτων αρίθμησης της κάθε γραμμής. Με διαδοχικά OK γίνεται επιστροφή στην επιφάνεια εργασίας όπου έχει επιτευχθεί η τελική εικόνα του καννάβου που φαίνεται στο Σχήμα 6.11.

Σχήμα 6.9 Εντολή τροποποίησης της θέσης βοηθητικών γραμμών καννάβου.

Σχήμα 6.10 Τροποποίηση θέσης βοηθητικών γραμμών καννάβου κατά X και προσθήκη νέας βοηθητικής γραμμή.

Σχήμα 6.11 Τελική εικόνα φορέα με διορθωμένη θέση αξόνων και γραμμών καννάβου.

6.4. Προσομοίωση τοιχώματος με γραμμικά στοιχεία και ορισμός διατομών

Σύμφωνα με την περιγραφή του φορέα, στη θέση του μεσαίου κατακόρυφου στοιχείου υπάρχει τοίχωμα διαστάσεων 25x200cm. Η συνήθης προσομοίωση τοιχωμάτων με χρήση γραμμικών στοιχείων (ισοδύναμη πλαισιακή προσομοίωση, όπως εμφανίζεται στο Σχήμα 6.12), αφορά τη χρήση ενός κατακόρυφου γραμμικού στοιχείου στο μέσον του τοιχώματος (ισοδύναμος στύλος), το οποίο συνδέεται στις παρειές του τοιχώματος με τα υπόλοιπα στοιχεία του φορέα (δοκούς, υποστυλώματα) με τη βοήθεια οριζόντιων στοιχείων ειδικών ιδιοτήτων (στερεοί βραχίονες) στα επίπεδα των ορόφων (Αβραμίδης, 2001∙ Αβραμίδης, Αθανατοπούλου, Αναστασιάδης, & Μορφίδης, 2005∙ Αβραμίδης, Αθανατοπούλου, Μορφίδης, & Σέξτος, 2011∙ Κίρτας & Λιαλιαμπής, 2013). Οι στερεοί βραχίονες έχουν πλασματικά αυξημένες τιμές γεωμετρικών χαρακτηριστικών, ώστε να εμφανίζονται πρακτικά ως ατενείς, άκαμπτοι και άτμητοι σε σχέση με τα γειτονικά τους στοιχεία.

Προσομοίωση επίπεδου τοιχώματος με χρήση γραμμικών πεπερασμένων στοιχείων (εμφάνιση/απόκρυψη κειμένου)

Η χρήση της ισοδύναμης πλαισιακής προσομοίωσης των τοιχωμάτων συναντάται στα περισσότερα στατικά πακέτα λογισμικού, λόγω της απλότητας στη σύλληψη και τις χαμηλές απαιτήσεις σε δυνατότητες προσομοίωσης, αλλά και λόγω αποτελεσματικότητας στις συνήθεις περιπτώσεις τοιχωμάτων. Η συγκεκριμένη προσέγγιση θεωρείται επαρκώς ακριβής όταν χρησιμοποιείται σε τοιχώματα με προέχουσα καμπτική συμπεριφορά (τοιχώματα σημαντικού ύψους, ενδεικτικά με λόγο ύψους προς πλάτος >2), ενώ είναι λιγότερο αποτελεσματική σε τοιχώματα με διατμητική συμπεριφορά (χαμηλά τοιχώματα ή τοιχώματα σημαντικού μήκους). Η ισοδύναμη πλαισιακή προσομοίωση περιλαμβάνει:

ένα κατακόρυφο γραμμικό στοιχείο (ισοδύναμος στύλος) στο κέντρο της διατομής του τοιχώματος,
οριζόντια βοηθητικά στοιχεία (στερεοί βραχίονες) στα επίπεδα των ορόφων, τα οποία εκτείνονται από το κέντρο της διατομής του τοιχώματος (κόμβος ισοδύναμου στύλου σε κάθε όροφο) έως τις παρειές του.

Το κατακόρυφο γραμμικό στοιχείο στο κέντρο του τοιχώματος συχνά καλείται ως ισοδύναμος στύλος, και έχει χαρακτηριστικά διατομής (δυστένεια, δυσκαμψία, δυστρεψία) όμοια με τη διατομή του τοιχώματος που αναπαριστά. Στην περίπτωση απλών τοιχωμάτων σταθερού πάχους, για την προσομοίωση του συγκεκριμένου γραμμικού στοιχείου συνηθίζεται η χρήση ορθογωνικής διατομής με τις διαστάσεις του πραγματικού τοιχώματος.

Τα οριζόντια βοηθητικά στοιχεία, που καλύπτουν την απόσταση μεταξύ του ισοδύναμου στύλου στο κέντρο του τοιχώματος και των παρειών του, συχνά καλούνται ως στερεοί βραχίονες, καθώς οι περισσότερες ιδιότητες τους είναι σημαντικά μεγαλύτερες από αυτές των κλασικών δομικών στοιχείων. Πιο συγκεκριμένα, στην περίπτωση απλών, επίπεδων τοιχωμάτων, τα στοιχεία αυτά μπορούν να έχουν πολύ μεγαλύτερη τιμή (ενδεικτικά 1000 φορές) δυστένειας, δυσκαμψίας και δυστμησίας των αντίστοιχων χαρακτηριστικών των λοιπών στοιχείων. Με τον τρόπο αυτόν προσομοιώνεται πρακτικά η συμπεριφορά του κορμού του τοιχώματος από τη μια παρειά στην απέναντι, διευκολύνοντας τη σύνδεση με τα υπόλοιπα γραμμικά στοιχεία.

Αναφορικά με τη δυστρεψία του στερεού βραχίονα, απαιτείται διαφορετική θεώρηση στην περίπτωση τοιχωμάτων σύνθετης διατομής π.χ. τύπου πυρήνα (Αβραμίδης, 2001∙ Ξενίδης, Αβραμίδης, & Τριαματάκη, 1998), όπως θα αναλυθεί εκτενέστερα στο Κεφάλαιο 9. Για να αποφευχθεί η δημιουργία σύγχυσης, καθώς, κατά την άποψη των συγγραφέων, αντίστοιχη απαίτηση δημιουργείται και κατά την εγκάρσια σύνδεση τοιχωμάτων με δοκούς στα άκρα τους, κρίνεται σκόπιμο η τιμή της δυστρεψίας του στερεού βραχίονα να τίθεται σε όλες τις περιπτώσεις τοιχωμάτων με πεπερασμένη τιμή που προκύπτει από τον παρακάτω υπολογισμό:

J = α t^{3} h_{}_{} ό π ο υ_{}_{} α = \frac{1}{3} [1 - (\frac{192 \cdot t}{π^{5} \cdot h}) \cdot \tanh (\frac{π \cdot h}{2 \cdot t})]

(6.1)

Στην προηγούμενη εξίσωση h είναι το ύψος από το μέσον του προηγούμενου ορόφου έως το μέσον του επόμενου, ενώ t είναι το πάχος του τοιχώματος. Επισημαίνεται πως ο όρος tanh αφορά την υπερβολική εφαπτομένη του επόμενου κλάσματος (και όχι την εφαπτομένη του ύψους h όπως συχνά παρερμηνεύεται).

Διαδραστικό Αντικείμενο 6.1

Εφαρμογή

Υπολογισμός δυστρεψίας στερεού βραχίονα τοιχώματος

Δεδομένα:

Πάχος τοιχώματος t = m

Ύψος από μέσον σε μέσον ορόφου h = m

Αποτελέσματα:

Συντελεστής α =

Δυστρεψία βραχίονα J = m⁴

Με τη συγκεκριμένη εφαρμογή μπορεί να γίνει ο υπολογισμός της δυστρεψίας του στερεού βραχίονα που αποτελεί μέρος της προσομοίωσης τοιχώματος με χρήση γραμμικών στοιχείων.

Ένα από τα προβλήματα που διαπιστώνεται κατά την παραπάνω επιλογή προσομοίωσης, αφορά τη σύνδεση των δοκών που χαρακτηρίζονται από πεπερασμένες τιμές γεωμετρικών ιδιοτήτων με τους βραχίονες στους οποίους τίθενται ιδιαίτερα υψηλές τιμές των αντίστοιχων χαρακτηριστικών. Τέτοιες συνδέσεις κρύβουν τον κίνδυνο αριθμητικών ασταθειών κατά την ανάλυση, ενώ συχνά οδηγούν σε διαφοροποίηση της τιμής των εντατικών μεγεθών στο άκρο της δοκού. Εναλλακτικά των απολύτως μεγάλων τιμών γεωμετρικών παραμέτρων, σε αρκετά εμπορικά πακέτα στατικής ανάλυσης επιλέγεται για τους βραχίονες η χρήση διατομής με γεωμετρικά χαρακτηριστικά δοκού ύψους ίσου με το h της προηγούμενης εξίσωσης (από μέσον σε μέσον διαδοχικών ορόφων). Με τον τρόπο αυτόν, ο στερεός βραχίονας προσομοιώνεται πάλι με υψηλές τιμές δυσκαμψίας, δυστμησίας, δυστένειας και δυστρεψίας, που όμως εμφανίζουν συσχέτιση με την πραγματική γεωμετρία του τμήματος τοιχώματος που προσομοιώνουν.

Σχήμα 6.12 Προσομοίωση τοιχώματος με χρήση συνδυασμού γραμμικών στοιχείων (περισσότερες πληροφορίες μπορούν να αναζητηθούν στους Κίρτας & Λιαλιαμπής, 2013).

Επισημαίνεται πως η επιλογή της ισοδύναμης πλαισιακής προσομοίωσης με χρήση γραμμικών στοιχείων δεν είναι η ενδεδειγμένη στο συγκεκριμένο παράδειγμα, καθώς ο λόγος ύψους προς πλάτους του τοιχώματος είναι αρκετά μικρός (τιμή <2). Επιλέχθηκε όμως αυτό το απλό παράδειγμα για την παρουσίαση της μεθόδου, καθώς κρίθηκε σκόπιμο να γίνει χρήση του απλούστερου δυνατού φορέα, ώστε να δοθεί έμφαση στην προσέγγιση προσομοίωσης που ακολουθείται και όχι στην εισαγωγή των λοιπών δεδομένων που απαιτούνται.

Η δυστρεψία του στερεού βραχίονα υπολογίζεται από την Εξίσωσης 6.1 (για εμφάνιση της εξίσωσης απαιτείται η εμφάνιση του σχετικού κειμένου) για το τοίχωμα του παραδείγματος ως εξής:

α = \frac{1}{3} [1 - (\frac{192 \cdot 0.25 m}{π^{5} \cdot 1.5 m}) \cdot \tanh (\frac{π \cdot 1.5 m}{2 \cdot 0.25 m})] = 0.298477

(6.2)

J = 0.298477 \cdot {(0.25 m)}^{3} \cdot 1.5 m = 0.006996 m^{4}

(6.3)

Κατά τον καθορισμό των χαρακτηριστικών του στερεού βραχίονα, θα πρέπει να δοθεί ιδιαίτερη προσοχή στο μηδενισμό της μάζας και του ίδιου βάρους της διατομής. Ακόμη και στην περίπτωση που είναι επιθυμητό τα δομικά στοιχεία να εμπεριέχουν το ίδιο βάρος τους, η μάζα και το βάρος του τοιχώματος θα συμπεριληφθούν στο κατακόρυφο γραμμικό στοιχείο του κορμού. Θα πρέπει συνεπώς, οι ιδιότητες της διατομής του βραχίονα να αποκλείουν την εισαγωγή πρόσθετων βαρών στον φορέα.

Για την προσομοίωση του κορμού του τοιχώματος αρκεί η εισαγωγή μιας ορθογωνικής διατομής κατάλληλων διαστάσεων (Define → Section Properties → Frame Sections και προσθήκη ορθογωνικής διατομής της ομάδας Concrete), όπως φαίνεται στο Σχήμα 6.13. Το μήκος του τοιχώματος (διάσταση κατά X) τίθεται στο πεδίο Depth και το πάχος (διάσταση κατά Y) στο πεδίο Width, σύμφωνα με όσα αναφέρονται στο Παράρτημα Α. Στους συντελεστές τροποποίησης γεωμετρικών χαρακτηριστικών δίνεται η απομείωση για καμπτικά και διατμητικά χαρακτηριστικά λόγω ρηγματωμένων διατομών που ορίζει ο EC8 §4.3.1(7), ίση με το μισό της αρχικής τους τιμής, βάσει και του σχετικού Πίνακα Β.1 που περιλαμβάνεται στο Παράρτημα Β. Για τον κορμό του τοιχώματος ακολουθείται η επιλογή της απομείωσης στο 10% της τιμής της αρηγμάτωτης διατομής του ΕΑΚ 2000 §3.2.3(2), παρά την έλλειψη σχετικής πρόβλεψης στον EC8, σύμφωνα με αιτιολογημένη σύσταση από τους Αβραμίδη και συνεργάτες (2011). Η πυκνότητα και το ειδικό βάρος της διατομής μηδενίζονται, καθώς τα ίδια βάρη του φορέα θεωρείται πως συμπεριλαμβάνονται στα κατανεμημένα φορτία δοκών.

Σχήμα 6.13 Καθορισμός διατομής τοιχώματος και απομείωση ιδιοτήτων λόγω ρηγμάτωσης.

Για τον ορισμό του στερεού βραχίονα επιλέγεται η χρήση της διατομής τύπου General, η οποία επιτρέπει τον απευθείας καθορισμό των χαρακτηριστικών της δυσκαμψίας, δυστένειας κτλ, δίχως να απαιτείται προηγουμένως η επιλογή συγκεκριμένου σχήματος και διαστάσεων διατομής. Η διατομή αυτή μπορεί να βρεθεί στην ομάδα διατομών Other, ενώ ορίζεται σύμφωνα με το Σχήμα 6.14. Η τιμή 100 που τίθεται σε όλα τα πεδία ελαστικής συμπεριφοράς είναι ιδιαίτερα υψηλή σε σχέση με τα πραγματικά γεωμετρικά χαρακτηριστικά άλλων δομικών στοιχείων. Εξαίρεση αποτελεί το πεδίο όπου καθορίζεται η τιμή της δυστρεψίας της διατομής (Torsional constant), ίση με 0.006996m⁴ σύμφωνα με την Εξίσωση 6.3.

Οι διαστάσεις που φαίνονται στο επόμενο βήμα ορισμού της διατομής βραχίονα, μετά το πρώτο OK, δεν επηρεάζουν τη συμπεριφορά του και παραμένουν ως έχουν (αριστερά τμήμα του Σχήματος 6.15). Επιλέγεται το υλικό του φορέα, ενώ στον καθορισμό των συντελεστών τροποποίησης ιδιοτήτων (Modifiers στο δεξί τμήμα του Σχήματος) μηδενίζονται η μάζα και το βάρος της διατομής. Δεν θεωρείται σκόπιμος ο καθορισμός συντελεστών απομείωσης καθώς έχουν τεθεί τεχνητά μεγάλες τιμές των γεωμετρικών παραμέτρων, εκτός από την περίπτωση της δυστρεψίας όπου έχει οριστεί πεπερασμένη τιμή. Παρόλο που η προηγούμενη σύσταση του ΕΑΚ 2000 προέβλεπε απομείωση της δυστρεψίας στο 0.1 της αρηγμάτωτης διατομής, επιλέγεται μια τιμή στο 0.5 της αρχικής τιμής όμοια με την απομείωση της δυσκαμψίας που προτείνει ο EC8. Αυτό συμβαίνει καθώς η δυστρεψία του βοηθητικού, «μη πραγματικού», στοιχείου του βραχίονα, δεν σχετίζεται τόσο με τη δυστρεψία του τμήματος του τοιχώματος που υποκαθιστά, αλλά περισσότερο με μια μορφή κάμψης του.

Σχήμα 6.14 Καθορισμός γεωμετρικών χαρακτηριστικών διατομής στερεού βραχίονα.

Σχήμα 6.15 Απομείωση γεωμετρικών ιδιοτήτων στερεού βραχίονα.

Για τη δημιουργία των τμημάτων του στερεού βραχίονα στο επίπεδο του ορόφου, θα πρέπει οι υφιστάμενες δοκοί να διαιρεθούν σε επιμέρους τμήματα. Αυτό γίνεται, χωριστά για την κάθε δοκό, από την εντολή Edit → Edit Lines → Divide Frames, όπου στο πεδίο Last/First Length Ratio (λόγος μήκους τελευταίου/πρώτο τμήμα) τίθεται τιμή 0.25 για την αριστερά δοκό (Σχήμα 6.16) και 4.0 για τη δεξιά. Πλέον, η κάθε δοκός έχει διακριτοποιηθεί σε επιμέρους τμήματα, οπότε μπορεί να ανατεθεί στα ενδιάμεσα γραμμικά στοιχεία η διατομή του βραχίονα που δημιουργήθηκε προηγουμένως (Assign → Frame → Frame Sections → BRAXIONAS). Με τον ίδιο τρόπο μπορεί να ανατεθεί η διατομή του τοιχώματος στο μεσαίο κατακόρυφο γραμμικό στοιχείο (TOIXEIO). Η τελική εικόνα του φορέα τόσο στο επίπεδο όσο και σε τρισδιάστατη απεικόνιση, φαίνεται στα Σχήματα 6.17 και 6.18 αντίστοιχα. Παρατηρείται πως η διατομή του στερεού βραχίονα (τύπου General), αποδίδεται τρισδιάστατα με τη χρήση ενός συμβατικού ορθογωνικού σχήματος.

Σχήμα 6.16 Διαίρεση αριστερά δοκού σε δυο τμήματα (για τη δεξιά δοκό τίθεται Last/First=4).

Σχήμα 6.17 Τελική εικόνα του φορέα στο επίπεδο, μετά την ανάθεση των διατομών τοιχώματος και στερεού βραχίονα.

Σχήμα 6.18 Τρισδιάστατη απεικόνιση του φορέα.

6.5. Ορισμός φορτίων

Καθώς για την εισαγωγή του φορέα χρησιμοποιήθηκε ο φορέας προηγούμενου Κεφαλαίου, τα κατανεμημένα φορτία στο επίπεδου του ορόφου έχουν ήδη ανατεθεί στις δοκούς. Η εμφάνιση όμως της κατανεμημένης φόρτισης του φορέα (Display → Show Load Assigns → Frame/Cable/Tendon για κάποιο από τα φορτία G ή Q), δείχνει πως το κατανεμημένο φορτίο συνεχίζεται και πάνω στο στερεό βραχίονα που αποτελεί μέρος του δομικού στοιχείου του τοιχώματος. Απαιτείται συνεπώς η αφαίρεση της κατανεμημένης φόρτισης από το συγκεκριμένο τμήμα. Αυτό επιτυγχάνεται με την επιλογή των τμημάτων του βραχίονα και την ανάθεση (Assign → Frame Loads → Distributed) μηδενικού κατανεμημένου φορτίου (Uniform Load=0) διαδοχικά στις μορφές φόρτισης G και Q (Σχήμα 6.19). Επισημαίνεται πως κάθε φορά θα πρέπει να ολοκληρώνεται, με ΟΚ, η τροποποίηση του φορτίου στην κάθε μορφή φόρτισης, πριν γίνει η ίδια διαδικασία και για την άλλη μορφή. Για την επιτυχή αντικατάσταση του υφιστάμενου φορτίου με μηδενικό, είναι απαραίτητο να είναι ενεργοποιημένη η επιλογή Replace Existing Loads (αντικατάσταση υφισταμένων φορτίων).

Αντίστοιχη διαδικασία γίνεται και για την τροποποίηση της οριζόντιας φόρτισης, οπότε επιλέγεται ο αριστερά κόμβος ορόφου στον οποίον ανατίθεται τιμή οριζόντιου φορτίου 1000kN για τη μορφή φόρτισης Ε (Assign → Joint Loads → Forces).

Σχήμα 6.19 Μηδενισμός κατανεμημένου φορτίου G για το τμήμα του στερεού βραχίονα.

6.6. Ορισμός διαφράγματος

Στο επίπεδο της δοκού αναφέρεται η ύπαρξη πλάκας οπλισμένου σκυροδέματος, οπότε θεωρείται διαφραγματική λειτουργία όμοια με το Κεφάλαιο 3. Καθώς όμως έχουν δημιουργηθεί νέοι κόμβοι στο προσομοίωμα, είναι σκόπιμο να ενσωματωθούν στο ήδη υφιστάμενο διάφραγμα. Αυτό γίνεται με επιλογή των κόμβων (μπορούν να επιλεγούν όλοι οι κόμβοι του ορόφου, ασχέτως αν ήδη ανήκουν στο συγκεκριμένο διάφραγμα), οπότε με την εντολή Assign → Joint → Constraints τους ανατίθεται το ήδη υπάρχον DIAPH1_3.

6.7. Προσδιορισμός θέσης υπολογισμού αποτελεσμάτων

Για να την πύκνωση των θέσεων ελέγχου των αποτελεσμάτων, αφού επιλεγεί όλος ο φορέας (με Ctrl+A ή το εργαλείο All της κατακόρυφης σειράς εργαλείων στο αριστερά μέρος της οθόνης), με την εντολή Assign → Frame → Output Stations επιλέγεται η τιμή 9 και ανατίθεται με ΟΚ στα γραμμικά στοιχεία του φορέα.

6.8. Ανάλυση φορέα

Καθώς ο φορέας είναι επίπεδος, με φόρτιση που προκαλεί καταπόνηση εντός του xz επιπέδου, αρκεί η ανάλυση στο επίπεδο που έχει ήδη τεθεί από τον προηγούμενο φορέα, μέσω της επιλογής Analyze → Set Analysis Options (XZ Plane).

Ο φορέας είναι πλέον έτοιμος για ανάλυση, κάτι που γίνεται με την εντολή Analyze → Run Analysis και Run Now.

6.9 Αποτελέσματα προσομοίωσης τοιχώματος με γραμμικά στοιχεία

6.9.1. Παραμορφωμένη γραμμή φορέα και μετακινήσεις κόμβων

Από την εντολή Display → Show Deformed Shape, επιλέγεται η εμφάνιση της παραμορφωμένης γραμμής του φορέα για το συνδυασμό φόρτισης SEISMIC+ (G+0.3Q+E), όπου και καταγράφονται οι μετατοπίσεις του αριστερά κόμβου (Σχήμα 6.20). Είναι εμφανής στη μορφή της παραμορφωμένης κατάστασης του φορέα, αλλά και με τη λειτουργία Start Animation, η σημαντικά μεγαλύτερη δυσκαμψία στο τμήμα του στερεού βραχίονα.

Σχήμα 6.20 Παραμορφωμένη γραμμή φορέα για συνδυασμό φόρτισης SEISMIC+ (G+0.3Q+E).

Πολυμεσικό Αντικείμενο 6.1	Video

Το συγκεκριμένο πολυμεσικό αντικείμενο εμφανίζει παραστατικά την εικόνα της παραμόρφωσης του φορέα για τον σεισμικό συνδυασμό δράσης SEISMIC+. Σημειώνεται πως η πλήρης κίνηση που εμφανίζεται δεν είναι ακριβής, καθώς στον συγκεκριμένο συνδυασμό δρουν στην πραγματικότητα φορτία προς τη μια μόνο κατεύθυνση, γίνεται όμως εύκολα αντιληπτή η αυξημένη δυσκαμψία των τμημάτων βραχίονα στο τοίχωμα.

6.9.2. Αντιδράσεις στις στηρίξεις

Για την εμφάνιση των αντιδράσεων στήριξης του φορέα, επιλέγεται η τρισδιάστατη όψη του προκειμένου να είναι δυνατή η εμφάνιση του διανύσματος της ροπής στη βάση του (ροπή κάμψης γύρω από τον άξονα Υ). Οι αντιδράσεις στήριξης εμφανίζονται με την εντολή Display → Show Forces/Stresses → Joints (Σχήμα 6.21) οπότε και επιλέγεται ενδεικτικά ο συνδυασμός φόρτισης SEISMIC+ (G+0.3Q+E). Με την επιλογή Show Results as Arrows οι αντιδράσεις εμφανίζονται με διανυσματική μορφή (3-d όψη, Σχήμα 6.22), ενώ αν δεν γίνει η συγκεκριμένη επιλογή εμφανίζονται με απλή παράθεση τιμών (απαραίτητο όταν επιλέγεται 2d όψη για την εμφάνιση της ροπής, όπως φαίνεται στο Σχήμα 6.23). Επισημαίνεται η διανυσματική απόδοση της ροπής με βέλος με διπλή απόληξη στο Σχήμα της 3-d όψης. Επίσης, σημειώνεται η μεγάλη τιμή της ροπής που παραλαμβάνει το τοίχωμα (2145.05kNm) έναντι των άλλων κατακόρυφων στοιχείων.

Προβλήματα κατά την ανάγνωση αποτελεσμάτων σε τοπικούς άξονες στοιχείων (εμφάνιση/απόκρυψη κειμένου)

Σχήμα 6.21 Εμφάνιση αντιδράσεων στις στηρίξεις για τον συνδυασμό SEISMIC+ (G+0.3Q+E).

Σχήμα 6.22 Αντιδράσεις στις στηρίξεις με διανυσματική μορφή σε 3-d απεικόνιση (ενεργό Show Results as Arrows) για συνδυασμό φόρτισης SEISMIC+ (G+0.3Q+E).

Σχήμα 6.23 Αντιδράσεις στις στηρίξεις με παράθεση τιμών σε 2d απεικόνιση (ανενεργό Show Results as Arrows) για συνδυασμό φόρτισης SEISMIC+ (G+0.3Q+E).

6.9.3. Διαγράμματα εντατικών μεγεθών

Κατά τα γνωστά, τα διαγράμματα εντατικών μεγεθών εμφανίζονται από την εντολή Display → Show Forces/stresses → Frames/Cables. Επιλέγεται ενδεικτικά η εμφάνιση των καμπτικών ροπών Moment 3-3 για τον συνδυασμό φόρτισης KATAKORYFA (1.35G+1.50Q), που παρουσιάζεται στο Σχήμα 6.24. Το διάγραμμα ροπών στο μήκος του στερεού βραχίονα δεν έχει κάποια φυσική σημασία και αγνοείται. Στη λεπτομέρεια εμφανίζεται η ροπή στο άκρο της αριστερά δοκού, στο σημείο σύνδεσης με το στερεό βραχίονα.

Σχήμα 6.24 Διάγραμμα ροπών για συνδυασμό φόρτισης KATAKORYFA (1.35G+1.50Q).

6.9.4. Πινακοποιημένα αποτελέσματα και αξιολόγηση

Στον Πίνακα 6.1 παρουσιάζονται επιλεγμένα αποτελέσματα από την προσομοίωση που προηγήθηκε, όπου ο στερεός βραχίονας προσομοιώθηκε με πολύ μεγάλες τιμές γεωμετρικών χαρακτηριστικών εκτός της δυστρεψίας (Στερεός βραχίονας Α). Παράλληλα, εμφανίζονται συγκριτικά τα αντίστοιχα αποτελέσματα εναλλακτικής προσομοίωσης του στερεού βραχίονα του τοιχώματος (Στερεός βραχίονας Β), με τη χρήση ορθογωνικής διατομής ύψους από μέσον σε μέσον ορόφου, όπως αναφέρθηκε νωρίτερα. Παρατηρείται πως τα δυο προσομοιώματα είναι πρακτικά ισοδύναμα, εκτός της ροπής στο άκρο της δοκού όπου εμφανίζεται μια σχετική διαφορά της τάξης του 10-20%, η οποία σχετίζεται με τα σχόλια που έγιναν στην αντίστοιχη παράγραφο του Κεφαλαίου.

Μέγεθος	Μετακίνηση κόμβου (G+0.3Q+E)	Ροπή βάσης τοιχώματος (G+0.3Q+E)	Τέμνουσα βάσης τοιχώματος (G+0.3Q+E)	Ροπή άκρου δοκού (G+0.3Q+E)	Ροπή άκρου δοκού (1.35G+1.5Q)
Στερεός βραχίονας Α	0.00333m	-2145.05kNm	-901.16kN	-249.99kNm	-77.04kNm
Στερεός βραχίονας Β	0.00344m	-2203.69kNm	-901.54kN	-216.70kNm	-57.83kNm
Απόκλιση	3.30%	2.73%	0.04%	13.32%	24.94%

Πίνακας 6.1 Συγκριτική παρουσίαση αποτελεσμάτων ανάλυσης για διαφορετική επιλογή προσομοίωσης του στερεού βραχίονα.

Βιβλιογραφικές αναφορές Κεφαλαίου 6

Αβραμίδης, Ι. Ε. (2001). Αριθμητικές Μέθοδοι Ανάλυσης Κατασκευών. Εισαγωγή στη μέθοδο των πεπερασμένων στοιχείων και στις μεθόδους προσομοίωσης κατασκευών. Θεσσαλονίκη: Πανεπιστημιακές Σημειώσεις, Εκδόσεις Αϊβάζη.
Αβραμίδης, Ι., Αθανατοπούλου, Α., Αναστασιάδης, Κ., & Μορφίδης, Κ. (2005). Πρότυπα αριθμητικά παραδείγματα ανάλυσης κατασκευών. Θεσσαλονίκη: Εκδόσεις Αϊβάζη.
Αβραμίδης, Ι., Αθανατοπούλου, Α., Μορφίδης, Κ., & Σέξτος, Α. (2011). Αντισεισμικός σχεδιασμός κτιρίων Ο/Σ και αριθμητικά παραδείγματα ανάλυσης & διαστασιολόγησης σύμφωνα με τους Ευρωκώδικες. Θεσσαλονίκη.
Κίρτας, Ε., & Λιαλιαμπής, Ι. (2013). Σημειώσεις θεωρίας: Ειδικά Κεφάλαια Στατικής. Σέρρες: Τμήμα Πολιτικών Δομικών Έργων, Τ.Ε.Ι. Σερρών.
Ξενίδης, Χ., Αβραμίδης, Ι., & Τριαματάκη, Μ. (1998). Συγκριτική αξιολόγηση απλοποιημένων προσομοιωμάτων για πυρήνες κτιρίων Ο/Σ υπό στατική και δυναμική φόρτιση. Τεχνικά Χρονικά, Επιστημονική Έκδοση του TEE, Ι,18(3), 9-25.