9 Ελλειπτική εξίσωση: Πεπερασμένες διαφορές 9.1 Ελλειπτική εξίσωση 9.3 Άλλες μέθοδοι και προβλήματα

9.2 Σύγκλιση

Σε αυτήν την παράγραφο θα δείξουμε ότι οι συνιστώσες του διανύσματος $U$ που αποτελεί τη λύση του γραμμικού συστήματος (9.10) προσεγγίζουν τις αντίστοιχες συνιστώσες του διανύσματος της ακριβούς λύσης $u$ , $(u(x_{1},y^{1})$ , $\dots$ , $u(x_{N},y^{1})$ , $u(x_{1},y^{2})$ , $\dots$ , $u(x_{N},y^{2})$ , $\dots$ , $u(x_{1},y^{N})$ , $\dots$ , $u(x_{N},y^{N}))^{T}$ .

Με ανάλογο τρόπο όπως για το αντίστοιχο πρόβλημα στη μια διάσταση που είδαμε στο Κεφάλαιο 3 δείχνουμε την ευστάθεια και σύγκλιση της μεθόδου (9.5).

Θεώρημα 9.1.

Έστω $U\in\mathbb{R}^{N}$ η λύση του προβλήματος (9.5), με $U_{0}^{j}=U_{N+1}^{j}=U_{i}^{0}=U_{i}^{N+1}=0$ και $q_{\min}>0$ . Τότε, ισχύει η ακόλουθη ανισότητα

\max_{0\leq i,j\leq N+1}|U_{i}^{j}|\leq C\max_{(x,y)\in\Omega}|f(x,y)|.

(9.11)

Proof.

Για να δείξουμε αυτό το θεώρημα βασιζόμαστε στην αντίστοιχη απόδειξη του Θεωρήματος 3.1. Επομένως, γράφουμε τη σχέση (9.5) στη μορφή

(4+h^{2}q(x_{i}))U_{i}^{j}=U_{i+1}^{j}+U_{i-1}^{j}+U_{i}^{j+1}+U_{i}^{j-1}+h^{% 2}f(x_{i},y^{j}),\quad 1\leq i,j\leq N.

Στη συνέχεια, επειδή $q_{\min}>0$ , έχουμε

(4+h^{2}q_{\min})|U_{i}^{j}|\leq 4\max_{0\leq i,j\leq N+1}|U_{i}|+h^{2}\max_{(% x,y)\in\Omega}|f(x,y)|,

από την οποία εύκολα προκύπτει η ζητούμενη εκτίμηση (9.11). ∎

Στη συνέχεια, δείχνουμε τη σύγκλιση της μεθόδου (9.5).

Θεώρημα 9.2.

Έστω ότι η λύση $u$ του προβλήματος (9.1) είναι αρκετά ομαλή, $u\in C^{4}(\Omega)$ . Τότε, αν $q_{\min}=\min_{(x,y)\in\Omega}q(x,y)>0$ , υπάρχει μια σταθερά $C$ , ανεξάρτητη του $h$ , τέτοια ώστε

\max_{0\leq i,j\leq N+1}|U_{i}^{j}-u(x_{i},y^{j})|\leq Ch^{2}.

(9.12)

Proof.

Η απόδειξη προκύπτει με ανάλογο τρόπο όπως και η αντίστοιχη του Θεωρήματος 3.2. Θέτουμε $E_{i}^{j}=U_{i}^{j}-u(x_{i},y^{j})$ , $i,j=0,\dots,N+1$ , όπου λόγω των σχέσεων $U_{0}^{j}=U_{N+1}^{j}=U_{i}^{0}=U_{i}^{N+1}=0$ , έχουμε $E_{0}^{j}=E_{N+1}^{j}=E_{i}^{0}=E_{i}^{N+1}=0$ . Αφαιρούμε κατά μέλη τις (9.5) και (9.3), οπότε παίρνουμε για $i,j=1,\dots,N$ ,

(4+q(x_{i},y^{j})h^{2})E_{i}^{j}=E_{i}^{j+1}+E_{i}^{j-1}+E_{i+1}^{j}+E_{i-1}^{% j}+h^{2}\eta_{i}^{j},

(9.13)

όπου, λόγω του Λήμματος 2.2, έχουμε ότι

\max_{1\leq i\leq N}|\eta_{i}|\leq\frac{h^{2}}{12}\max_{a\leq x\leq b}|u^{(4)}% (x)|.

(9.14)

Θέτουμε τώρα $\bar{E}=\max_{1\leq i\leq N}|E_{i}|$ , $\bar{\eta}=\max_{1\leq i\leq N}|\eta_{i}|$ και επειδή $q_{\min}>0$ από την (3.22) προκύπτει

(2+q_{\min}h^{2})|E_{i}|\leq 2\bar{E}+h^{2}\bar{\eta}.

Συνεπώς

q_{\min}h^{2}\max_{1\leq i\leq N}|E_{i}|\leq h^{2}\bar{\eta},

η οποία λόγω της (9.14) δίνει τη ζητούμενη ανισότητα. ∎

Παρατήρηση 9.1.

Η υπόθεση ότι $q_{\min}>0$ στο Θεώρημα 9.2 γίνεται για καθαρά τεχνικούς λόγους που αφορούν την απόδειξη του θεωρήματος. Χρησιμοποιώντας παρόμοια επιχειρήματα όπως αυτά της μεθόδου ενέργειας στη Παράγραφο 3.4 μπορούμε να δείξουμε ανάλογα αποτελέσματα όπως αυτό του Θεωρήματος 9.2, βλ. π.χ. (Larsson and Thomée, (2009)).