3 Πρόβλημα δύο σημείων 3.2 Επίλυση τριδιαγώνιου γραμμικού συστήματος 3.4 Μέθοδος ενέργειας

3.3 Σύγκλιση της μεθόδου πεπερασμένων διαφορών

Σε αυτή την παράγραφο θα δείξουμε ότι η λύση $U$ του γραμμικού συστήματος (3.8) προσεγγίζει το αντίστοιχο διάνυσμα των τιμών της ακριβούς λύσης $u$ , με συνιστώσες τις τιμές $u(x_{1}),\dots,u(x_{N})$ .

Ορισμός 3.3.

Έστω $H$ ένας πραγματικός γραμμικός χώρος και $\phi$ μια απεικόνιση $\phi:H\to\mathbb{R}$ . Η $\phi$ καλείται νόρμα στον $H$ , αν ικανοποιεί τις ακόλουθες ιδιότητες

\begin{split}&\displaystyle\text{Για }v\in H,\phi(v)=0,\text{ αν και μόνο αν }% v=0,\\ &\displaystyle\phi(\lambda v)=|\lambda|v,\quad\forall\lambda\in\mathbb{R},\ v% \in H,\\ &\displaystyle\phi(v+w)\leq\phi(v)+\phi(w).\end{split}

(3.19)

Είναι απλό να δούμε ότι η απεικόνιση $\phi(v)=\max_{1\leq i\leq N}|v_{i}|$ , όπου $v\in\mathbb{R}^{N}$ , αποτελεί μια νόρμα στον $\mathbb{R}^{N}$ .

Ορισμός 3.4.

Μια αριθμητική μέθοδος για το πρόβλημα 3.1 λέγεται ευσταθής, αν μια νόρμα της αριθμητικής λύσης φράσσεται από μια σταθερά επί μια ποσότητα που εξαρτάται μόνο από τα δεδομένα του προβλήματος.

Στο ακόλουθο θεώρημα δείχνουμε την ευστάθεια της λύσης του (3.6)–(3.7).

Θεώρημα 3.1.

Έστω $U_{i}$ , $i=0,\dots,N+1$ , η λύση του προβλήματος (3.6)–(3.7), και $q_{\min}>0$ . Τότε, υπάρχει σταθερά $C$ ανεξάρτητη του $h$ , τέτοια ώστε

\max_{0\leq i\leq N+1}|U_{i}|\leq C\max_{x\in[a,b]}|f(x)|.

(3.20)

Απόδειξη.

Γράφουμε τη σχέση (3.6) στη μορφή

(2+h^{2}q(x_{i}))U_{i}=U_{i+1}+U_{i-1}+h^{2}f(x_{i}),\quad 1\leq i\leq N.

Στη συνέχεια, επειδή $q_{\min}>0$ , η παραπάνω ισότητα δίνει, για κάθε $i=1,\dots,N$ ,

\begin{split}\displaystyle(2+h^{2}q_{\min})|U_{i}|&\displaystyle\leq|U_{i+1}|+% |U_{i-1}|+h^{2}|f(x_{i})|\\ &\displaystyle\leq 2\max_{0\leq i\leq N+1}|U_{i}|+h^{2}\max_{x\in[a,b]}|f(x)|.% \end{split}

Επομένως,

(2+h^{2}q_{\min})\max_{1\leq i\leq N}|U_{i}|\leq 2\max_{0\leq i\leq N+1}|U_{i}% |+h^{2}\max_{x\in[a,b]}|f(x)|,

η οποία εύκολα δίνει τη ζητούμενη εκτίμηση (3.20). ∎

Παρατήρηση 3.2.

Η ευστάθεια του αριθμητικού σχήματος είναι μια εσωτερική ιδιότητα του σχήματος, δηλαδή δεν έχει σχέση με το συγκεκριμμένο πρόβλημα που θέλουμε να λύσουμε. Χρησιμοποιώντας το Θεώρημα 3.1 μπορούμε να αποδείξουμε ότι το γραμμικό σύστημα (3.8) έχει μοναδική λύση. Αν θεωρήσουμε το αντίστοιχο ομογενές γραμμικό σύστημα, τότε σύμφωνα με το Θεώρημα 3.1, οδηγούμαστε στο συμπέρασμα ότι η μοναδική λύση είναι η μηδενική λύση $U_{i}=0$ , $i=0,\dots,N+1$ .

Στη συνέχεια, χρησιμοποιώντας την ευστάθεια και τη συνέπεια του αριθμητικού σχήματος (3.6)–(3.7), δείχνουμε τη σύγκλισή του.

Θεώρημα 3.2.

Έστω $U_{i}$ , $i=0,\dots,N+1$ , η λύση του προβλήματος (3.6)–(3.7), και $u$ η λύση του προβλήματος (3.1), με $u\in C^{4}[a,b]$ . Τότε, αν $q_{\min}>0$ , υπάρχει μια σταθερά $C$ , ανεξάρτητη του $h$ , τέτοια ώστε

\max_{0\leq i\leq N+1}|U_{i}-u(x_{i})|\leq Ch^{2}.

(3.21)

Απόδειξη.

Θέτουμε $E_{i}=U_{i}-u(x_{i})$ , $i=0,\dots,N+1$ , όπου λόγω των σχέσεων $U_{0}=u(a)=0$ και $U_{N+1}=u(b)=0$ , έχουμε $E_{0}=E_{N+1}=0$ . Αφαιρούμε τώρα κατά μέλη τις (3.6) και (3.3), οπότε παίρνουμε

E_{i+1}-(2+q(x_{i})h^{2})E_{i}+E_{i-1}=h^{2}\eta_{i},\quad i=1,\dots,N.

(3.22)

Θέτουμε τώρα $\bar{E}=\max_{1\leq i\leq N}|E_{i}|$ , $\bar{\eta}=\max_{1\leq i\leq N}|\eta_{i}|$ και επειδή $q_{\min}>0$ , από την (3.22) προκύπτει

(2+q_{\min}h^{2})|E_{i}|\leq 2\bar{E}+h^{2}\bar{\eta}.

Συνεπώς

q_{\min}h^{2}\max_{1\leq i\leq N}|E_{i}|\leq h^{2}\bar{\eta},

η οποία λόγω του Λήμματος 3.1 δίνει τη ζητούμενη ανισότητα. ∎

Παράδειγμα 3.2.

Θεωρούμε και πάλι το πρόβλημα του Παραδείγματος 3.1 και υπολογίζουμε το σφάλμα $\bar{E}=\max_{0\leq i\leq N+1}|U_{i}-u(x_{i})|$ , με $h=1/(N+1)$ και $h=0.1,0.05,0.0250,0.0125$ . Στον Πίνακα 3.2 βλέπουμε το σφάλμα $\bar{E}$ και την αντίστοιχη προσεγγιστική τάξη ακρίβειας $p$ , όπου παρατηρούμε ότι φαίνεται να τείνει στο δύο, καθώς το $h$ ελαττώνεται.

$h$	$\bar{E}$	$p$
0.1000	0.00077
0.0500	0.00020	1.948
0.0250	0.00005	2.005
0.0125	0.00001	2.001

Πίνακας 3.2: Τo σφάλμα

\bar{E}=\max_{0\leq i\leq N+1}|U_{i}-u(x_{i})|

της λύσεως του (3.18) στο Παράδειγμα 3.1, όπου

h=1/(N+1)

, και η κατά προσέγγιση τάξη ακρίβειας

p