3.5 Συνοριακές συνθήκες Neumann

Θεωρούμε και πάλι έναν φυσικό αριθμό $N$ και μια διαμέριση του διαστήματος $[a,b]$ από $N+2$ ισαπέχοντα σημεία , όπου $h=x_{i+1}-x_i$, $i=0,\mathrm{\dots },N$. Στα σημεία $x_i$, $i=1,\mathrm{\dots },N$, θα ισχύει η (3.2) και σκοπός μας είναι και πάλι να κατασκευάσουμε προσεγγίσεις $U_i$ των τιμών $u(x_i)$, χρησιμοποιώντας την (3.6). Όμως, σε αντίθεση, με τη μέθοδο πεπερασμένων διαφορών που είδαμε στην Παραγράφο 3.1, για το πρόβλημα (3.1), δεν γνωρίζουμε τις τιμές $u(x_0)$ και $u(x_{N+1})$. Έτσι, τώρα θα χρειαστούμε δύο επιπλέον εξισώσεις εκτός από τις (3.6), για να υπολογίσουμε τα $U_i$, $i=0,\mathrm{\dots },N+1$.

Ένας τρόπος για να το κάνουμε αυτό είναι να θεωρήσουμε ότι η $u$ επεκτείνεται άρτια αριστερά του $a$ και δεξιά του $b$, δηλαδή $u(a+h)=u(a-h)$ και $u(b-h)=u(b+h)$, $h>0$. Ο λόγος που θεωρούμε άρτια επέκταση είναι διότι αν π.χ. η $u$ είναι άρτια γύρω από το $a$, τότε $u^{\prime }(a)={lim}_{h\to 0}(u(a+h)-u(a-h))/(2h)=0$. Επομένως, η προσέγγιση της $u^{\prime \prime }(a)$, ${\delta }_{h,2}^{c}u(a)$ γίνεται

$${\delta }_{h,2}^{c}u(a)=\frac{u(a+h)-2u(a)+u(a-h)}{h^2}=2\frac{u(a+h)-u(a)}{h^2}.$$

Ανάλογα, παίρνουμε

$${\delta }_{h,2}^{c}u(b)=2\frac{u(b-h)-u(b)}{h^2}.$$

Άρα, χρησιμοποιώντας τις παραπάνω προσεγγίσεις ${\delta }_{h,2}^{c}u(a)$ και ${\delta }_{h,2}^{c}u(b)$ στην (3.39), έχουμε

$$\begin{array}{c}\hfill -2\frac{u(x_1)-u(x_0)}{h^2}+q(x_0)u(x_0)=f(x_0)+{\eta }_0,\\ \hfill -2\frac{u(x_N)-u(x_{N+1})}{h^2}+q(x_{N+1})u(x_{N+1})=f(x_{N+1})+{\eta }_{N+1},\end{array}$$

(3.40)

όπου

$$|{\eta }_i|\le \frac{h}{3}\underset{a\le x\le b}{\max }|u^{(3)}(x)|,i=0,N+1.$$

(3.41)

Συνεπώς, οι δύο επιπλέον σχέσεις που συμπληρώνουν τις (3.6) εδώ είναι

Για να κατασκευάσουμε λοιπόν προσεγγίσεις $U_i$ της λύσης $u$ του προβλήματος (3.39) στα σημεία $x_i$, $i=0,\mathrm{\dots },N+1$, θεωρούμε τις ακόλουθες εξισώσεις

	$-{\displaystyle \frac{U_{i+1}-2U_i+U_{i-1}}{h^2}}+q(x_i)U_i$	$=f(x_i),i=1,\mathrm{\dots },N,$		(3.42)
	$-2{\displaystyle \frac{U_1-U_0}{h^2}}+q(x_0)U_0$	$=f(x_0),$		(3.43)
	$-2{\displaystyle \frac{U_N-U_{N+1}}{h^2}}+q(x_{N+1})U_{N+1}$	$=f(x_{N+1}).$		(3.44)

Επομένως, αν συμβολίσουμε με $U\in {ℝ}^{N+2}$ το διάνυσμα με συνιστώσες $U_0,\mathrm{\dots }$, $U_{N+1}$, $U={(U_0,\mathrm{\dots },U_{N+1})}^T$, μπορούμε να γράψουμε το νέο σύστημα εξισώσεων ισοδύναμα ως

$$(A+h^{2}Q)U=h^{2}F,$$

(3.45)

όπου $A$ είναι ο $(N+2)\times (N+2)$ πίνακας

$Q$ είναι ένας διαγώνιος $(N+2)\times (N+2)$ πίνακας με στοιχεία $q(x_i)$, $i=0,\mathrm{\dots },N+1$, στη διαγώνιο και $F={(f(x_0),\mathrm{\dots },f(x_{N+1}))}^T$. Εύκολα βλέπουμε ότι ο πίνακας $A+h^{2}Q$ είναι τριδιαγώνιος με αυστηρά κυριαρχική διαγώνιο, διότι $q_{\min }>0$, και άρα αντιστρέφεται. Συνεπώς, το γραμμικό σύστημα (3.45) έχει μοναδική λύση.

Λόγω των (3.3) και (3.41) για το τοπικό σφάλμα διακριτοποίησης της μεθόδου (3.42)–(3.44) έχουμε ότι ισχύει το ακόλουθο λήμμα,

Επομένως λόγω του Λήμματος 3.5, αν η ακριβή λύση $u$ είναι αρκετά ομαλή, τότε το σφάλμα διακριτοποίησης ${\eta }_i$ τείνει στο μηδέν καθώς το $h$ τείνει στο μηδέν. Επομένως ισχύει ότι η μέθοδος πεπερασμένων διαφορών (3.42)–(3.44) είναι συνεπής.

Με όμοια επιχειρήματα όπως και στην περίπτωση του Θεωρήματος 3.1, προκύπτει και η ευστάθεια της μεθόδου για το πρόβλημα (3.39).

Στη συνέχεια, δείχνουμε τη σύγκλιση της μεθόδου (3.42)–(3.44) στην ακριβή λύση του (3.39).

Παρατήρηση: Η ανισότητα (3.48) που προκύπτει στο Θεώρημα 3.5 είναι διαφορετική από την αντίστοιχη του Θεωρήματος 3.2, ως προς την τάξη του $h$. Αυτό οφείλεται στον τρόπο απόδειξης του θεωρήματος. Στην πραγματικότητα μπορούμε να αποδείξουμε ότι και για το πρόβλημα (3.39) ισχύει, βλ. π.χ. (Ακρίβης και Δουγαλής, (2005), Ακρίβης και Δουγαλής, (2013)),

$$\underset{0\le i\le N+1}{\max }|U_i-u(x_i)|\le C{h}^2.$$

(3.49)

Η απόδειξη αυτής της νέας ανισότητας είναι πιο πολύπλοκη, γίνεται χρησιμοποιώτας ανάλογα επιχειρήματα όπως στη Παράγραφο 3.4 και δεν είναι στους σκοπούς αυτών των σημειώσεων να δείξουμε την (3.49).