10 Πεπερασμένα στοιχεία στις πολλές διαστάσεις 10.2 Η μέθοδος Galerkin για ελλειπτικά προβλήματα 10.4 Άλλες μέθοδοι και προβλήματα

10.3 Η εξίσωση της θερμότητας

Έστω $\Omega$ ένα φραγμένο χωρίο στον $\mathbb{R}^{d}$ , $d=2$ ή 3. Αναζητούμε μια πραγματική συνάρτηση $u=u(x,t)$ , $x\in\bar{\Omega},t\in[0,T]$ , $T>0$ , τέτοια ώστε

\left\{\begin{aligned}\displaystyle u_{t}(x,t)-\Delta u(x,t)&\displaystyle=f(x% ,t),&&\displaystyle\quad x\in\Omega,\ t\in[0,T],\\ \displaystyle u(x,t)&\displaystyle=0,&&\displaystyle\quad x\in\partial\Omega,% \ t\in[0,T],\\ \displaystyle u(x,0)&\displaystyle=u^{0}(x),&&\displaystyle\quad x\in\bar{% \Omega},\end{aligned}\right.

(10.27)

όπου $f=f(x,t)$ είναι μια πραγματική συνάρτηση στο $\Omega\times[0,T]$ και η αρχική συνθήκη $u^{0}$ είναι, επίσης, μια πραγματική συνάρτηση στο $\bar{\Omega}$ . Θα υποθέσουμε ότι το πρόβλημα αρχικών και συνοριακών τιμών (10.27) έχει μοναδική και αρκετά ομαλή λύση, έτσι ώστε να ισχύουν οι εκτιμήσεις που παρουσιάζονται στη συνέχεια.

Για τις ανάγκες της εφαρμογής της μεθόδου Galerkin ή πεπερασμένων στοιχείων θα υποθέσουμε ότι έχουμε μια διαμέριση του $\Omega$ με παράμετρο διαμέρισης $h$ και μια οικογένεια υποχώρων πεπερασμένης διάστασης $\{S_{h}^{r}\}$ του $H_{0}^{1}(\Omega)$ με $r$ ακέραιο $r\geq 2$ , οι οποίοι ικανοποιούν την ιδιότητα (10.24).

Στο αντίστοιχο πρόβλημα της θερμότητας που μελετήσαμε στο Κεφάλαιο 6 θεωρήσαμε τον τελεστή της ελλειπτικής προβολής, βλ. (6.9), ο οποίος είχε σημαντικό ρόλο στη μελέτη του σφάλματος των μεθόδων που παρουσιάσαμε. Τώρα ο τελεστής της ελλειπτικής προβολής ορίζεται ως εξής: Για $v\in H^{1}(\Omega)$ η ελλειπτική προβολή του $v$ στον χώρο $S_{h}^{r}$ ορίζεται ως η γραμμική απεικόνιση $R_{h}:H^{1}(\Omega)\to S_{h}^{r}$ , έτσι ώστε

(\nabla R_{h}v,\nabla\chi)=(\nabla v,\nabla\chi),\quad\forall\chi\in S_{h}^{r}.

(10.28)

Είναι προφανές ότι η ελλειπτική προβολή είναι καλά ορισμένη και ικανοποιεί τη σχέση $\|\nabla R_{h}v\|\leq\|\nabla v\|$ , για $v\in H^{1}(\Omega)$ . Οι ιδιότητες προσέγγισης της ελλειπτικής προβολής αποδεικνύονται στην παρακάτω πρόταση.

Λήμμα 10.2.

Έστω ότι $v\in H^{s}(\Omega)\cap H^{1}_{0}(\Omega)$ με $2\leq s\leq r$ . Τότε υπάρχει μια σταθερά $C$ ανεξάρτητη του $v$ και του $h$ , τέτοια ώστε

\|R_{h}v-v\|+h\|\nabla(R_{h}v-v)\|\leq Ch^{s}\|v\|_{s},\quad 2\leq s\leq r.

(10.29)

Proof.

Η απόδειξη γίνεται με ανάλογο τρόπο όπως στο Λήμμα 6.9, βλ. π.χ. (Larsson and Thomée, (2009), Johnson, (1987)) ∎

10.3.1 Ημιδιακριτή προσέγγιση Galerkin

Για μια συνάρτηση $v\in H^{1}_{0}(\Omega)$ θεωρώντας το εσωτερικό γινόμενο και ως προς τα δύο μέλη της (10.27) και ολοκληρώνοντας κατά μέρη παίρνουμε τη μεταβολική μορφή του προβλήματος

(u_{t}(\cdot,t),v)+(\nabla u(\cdot,t),\nabla v)=(f(\cdot,t),v),\quad\forall v% \in H^{1}_{0}(\Omega),\ t\in[0,T].

(10.30)

Στη συνέχεια, οδηγούμαστε στο αντίστοιχο ημιδιακριτό πρόβλημα στον $S_{h}^{r}$ : Ζητείται $u_{h}(t)=u_{h}(\cdot,t)\in S_{h}^{r}$ , $t\in[0,T]$ , τέτοια ώστε

\left\{\begin{aligned}\displaystyle(u_{ht}(\cdot,t),\chi)+(\nabla u_{h}(\cdot,% t),\nabla\chi)&\displaystyle=(f(\cdot,t),\chi),\ \forall\chi\in S_{h}^{r},\;t% \in[0,T],\\ \displaystyle u_{h}(0)&\displaystyle=u_{h}^{0},\end{aligned}\right.

(10.31)

όπου $u_{h}^{0}$ είναι μια προσέγγιση του $u^{0}$ από τον $S_{h}^{r}$ την οποία θα επιλέξουμε αργότερα. Αν $\{\phi_{i}\}_{i=1}^{N}$ με $N=\mathrm{dim}(S_{h}^{r})$ , είναι μια βάση του $S_{h}^{r}$ και

u_{h}(x,t)=\sum_{j=1}^{N}\alpha_{j}(t)\phi_{j}(x),\quad u_{h}^{0}(x)=\sum_{j=1% }^{N}\gamma_{j}\phi_{j}(x),

τότε, όπως και στην Παράγραφο 6.1, το (10.31) είναι ισοδύναμο με ένα γραμμικό σύστημα συνήθων διαφορικών εξισώσεων. Έτσι, παίρνουμε το ανάλογο πρόβλημα της (6.6)

\begin{cases}\mathcal{M}{\alpha}^{\prime}(t)+\mathcal{S}\alpha(t)=F(t),&t\in[0% ,T],\\ \alpha(0)=\Gamma,&\end{cases}

(10.32)

όπου οι πίνακες μάζας $\mathcal{M}$ και ακαμψίας $\mathcal{S}$ είναι οι $N\times N$ πίνακες με στοιχεία $\mathcal{M}_{ij}=(\phi_{j},\phi_{i})$ και $\mathcal{S}_{ij}=(\nabla\phi_{j},\nabla\phi_{i})$ , $\,i,j=1,\ldots,N$ , αντίστοιχα, $\alpha(t)=(\alpha_{1}(t),\dots,\alpha_{N}(t))^{T}$ , $\Gamma=(\gamma_{1},\dots,\gamma_{N})^{T}$ , $F(t)=(F_{1}(t),\dots,F_{N}(t))^{T}$ , με $F_{i}(t)=(f(\cdot,t),\phi_{i}),\,i=1,\ldots,N$ . Τόσο ο πίνακας μάζας $\mathcal{M}$ όσο και ο πίνακας ακαμψίας $\mathcal{S}$ είναι συμμετρικοί και θετικά ορισμένοι πίνακες και ειδικότερα ο $\mathcal{M}$ αντιστρέφεται, το οποίο οδηγεί στη μονοσήμαντη λύση του (10.32).

Με ανάλογο τρόπο όπως και στην Παράγραφο 6.1 μπορούμε να αποδείξουμε το ακόλουθο θεώρημα, για την απόδειξη του οποίου παραπέμπουμε στα (Larsson and Thomée, (2009), Johnson, (1987)).

Θεώρημα 10.3.

Έστω $u$ και $u_{h}$ οι λύσεις των προβλημάτων (10.27) και (10.31), αντίστοιχα. Τότε,

\|u_{h}(t)-u(t)\|\leq\|u_{h}^{0}-u^{0}\|+Ch^{r}\left(\|u^{0}\|_{r}+\int_{0}^{t% }\|u_{t}\|_{r}\,ds\right),\quad t\geq 0,

(10.33)

για κάποια σταθερά $C$ ανεξάρτητη του $h$ .

Παρατήρηση 10.2.

Είναι δυνατόν να επιλέξουμε την αρχική τιμή $u_{h}^{0}$ , έτσι ώστε $\|u_{h}^{0}-u^{0}\|\leq Ch^{r}$ , με σταθερά $C$ ανεξάρτητη του $h$ , διατηρώντας με αυτό τον τρόπο την τάξη $r$ του σφάλματος στη σχέση (10.33). Μπορούμε, για παράδειγμα, να πάρουμε $u_{h}^{0}=R_{h}u^{0}$ ή να επιλέξουμε ως $u_{h}^{0}$ την $L_{2}$ προβολή του $u^{0}$ στον $S_{h}^{r}$ . Και στις δύο περιπτώσεις $\|u_{h}^{0}-u^{0}\|\leq Ch^{r}\|u^{0}\|_{r}$ .

10.3.2 Πλήρως διακριτές προσεγγίσεις Galerkin

Για τη λύση του γραμμικού συστήματος συνήθων διαφορικών εξισώσεων (10.31) είναι απαραίτητο να διακριτοποιήσουμε τη χρονική μεταβλητή $t$ , όπου μπορούμε να χρησιμοποιήσουμε π.χ. την πεπλεγμένη μέθοδο του Euler ή τη μέθοδο Crank–Nicolson.

Για έναν φυσικό αριθμό $M\geq 1$ θέτουμε $k=T/M$ και $t^{n}=nk,n=0,1$ , $\ldots$ , $M$ . Η πεπλεγμένη μέθοδος του Euler για τη διακριτοποίηση στον χρόνο του ημιδιακριτού σχήματος (10.31) ορίζεται ως εξής: για $n=1,2,\ldots,M$ , αναζητούμε προσεγγίσεις $U^{n}\in S_{h}^{r}$ των $u_{h}(t^{n})$ που ορίζονται από τις σχέσεις

\left(\frac{U^{n}-U^{n-1}}{k},\chi\right)+(\nabla U^{n},\nabla\chi)=(f^{n},% \chi),\quad\forall\chi\in S_{h}^{r},\quad U^{0}=u_{h}^{0},

(10.34)

με $f^{n}=f(\cdot,t^{n})$ . Αν $\{\phi_{j}\}_{j=1}^{N}$ είναι μια βάση του $S_{h}^{r}$ και $U^{n}=\sum_{j=1}^{N}\alpha_{j}^{n}\phi_{j}$ , με $\alpha^{n}=(\alpha_{1}^{n},\ldots,\alpha_{N}^{n})^{T}\in\mathbb{R}^{N}$ , για $n\geq 0$ , τότε οι σχέσεις (10.34) είναι ισοδύναμες με το γραμμικό σύστημα εξισωσεων

(\mathcal{M}+k\mathcal{S})\alpha^{n}=\mathcal{M}\alpha^{n-1}+kF^{n-1},\quad n% \geq 1,

(10.35)

όπου $F^{n}=(F_{1}^{n},\ldots,F_{N}^{n})^{T}$ , με $F^{n}_{i}=(f^{n},\phi_{i})$ , $1\leq i\leq N$ . Επειδή ο $\mathcal{M}+k\mathcal{S}$ είναι συμμετρικός και θετικά ορισμένος, είναι αντιστρέψιμος και, άρα, τα $\alpha^{n}$ , $n\geq 1$ προσδιορίζονται μοναδικά και κατ’ επέκταση οι $U^{n}$ . Για την επίλυση του (10.35) μπορούν να εφαρμοσθούν διάφορες μέθοδοι, συνήθως χρησιμοποιείται είτε η ανάλυση Cholesky είτε η (προρυθμισμένη) μέθοδος των συζυγών κλίσεων. Με ανάλογο τρόπο όπως και στην Παράγραφο 6.2 μπορούμε να αποδείξουμε το ακόλουθο θεώρημα, για την απόδειξη του οποίου παραπέμπουμε στα (Larsson and Thomée, (2009), Johnson, (1987)).

Θεώρημα 10.4.

Έστω $U^{n}$ , $u(t)=u(\cdot,t)$ οι λύσεις των (10.34), (10.27), αντίστοιχα. Τότε υπάρχει θετική σταθερά $C$ , ανεξάρτητη των $h$ και $k$ , τέτοια ώστε

\begin{split}\displaystyle\max_{0\leq n\leq M}\|U^{n}-u(t^{n})\|&\displaystyle% \leq\|u_{h}^{0}-u^{0}\|+Ch^{r}\left[\|u^{0}\|_{r}+\int_{0}^{T}\|u_{t}\|_{r}\,% ds\right]\\ &\displaystyle\quad+Ck\int_{0}^{T}\|u_{tt}\|\,ds.\end{split}

(10.36)

Στη συνέχεια, μπορούμε να θεωρήσουμε και τη μέθοδο των Crank–Nicolson για τη διακριτοποίηση του ημιδιακριτού σχήματος (10.31). Έτσι, αναζητούμε προσεγγίσεις $U^{n}\in S_{h}^{r}$ των $u_{h}(t^{n})$ , $n=0,1,\dots,M$ , τέτοιες ώστε

\begin{split}\displaystyle\left(\frac{U^{n}-U^{n-1}}{k},\chi\right)+(\nabla U^% {n-1/2},\nabla\chi)&\displaystyle=(f^{n-1/2},\chi),\quad\forall\chi\in S_{h}^{% r},\\ \displaystyle U^{0}&\displaystyle=u_{h}^{0},\end{split}

(10.37)

όπου $U^{n-1/2}=(U^{n}+U^{n-1})/2$ και $f^{n-1/2}=f(\cdot,t^{n}-\frac{k}{2})$ . Με ανάλογο τρόπο, όπως προηγουμένως για την πεπλεγμένη μέθοδο του Euler μπορούμε να θεωρήσουμε το ανάλογο γραμμικό σύστημα με το (10.35). Έτσι, οι (10.37) είναι ισοδύναμες με το γραμμικό σύστημα

\left(\mathcal{M}+\frac{k}{2}\mathcal{S}\right)\alpha^{n}=\left(\mathcal{M}-% \frac{k}{2}\mathcal{S}\right)\alpha^{n-1}+kF^{n-1/2},\quad n\geq 1,

(10.38)

όπου $F^{n-1/2}=(F_{1}^{n-1/2},\ldots,F_{N}^{n-1/2})^{T}$ , με $F^{n-1/2}_{i}=(f^{n-1/2},\phi_{i})$ , $1\leq i\leq N$ . Εύκολα μπορούμε να δούμε ότι ο πίνακας $\mathcal{M}+\frac{k}{2}\mathcal{S}$ είναι συμμετρικός και θετικά ορισμένος, οπότε το σύστημα εξισώσεων (10.38) έχει μοναδική λύση. Με ανάλογο τρόπο, όπως και στην Παράγραφο 6.3, μπορούμε να αποδείξουμε το ακόλουθο θεώρημα, για την απόδειξη του οποίου παραπέμπουμε στα (Larsson and Thomée, (2009), Johnson, (1987)).

Θεώρημα 10.5.

Έστω $U^{n},u(t)=u(\cdot,t^{n})$ οι λύσεις των προβλημάτων (10.27), (10.37), αντίστοιχα. Τότε υπάρχει θετική σταθερά $C$ , ανεξάρτητη των $h$ και $k$ , τέτοια ώστε

\begin{split}\displaystyle\max_{0\leq n\leq M}\|U^{n}-u(t^{n})\|&\displaystyle% \leq\|u_{h}^{0}-u^{0}\|+Ch^{r}\left[\|u^{0}\|_{r}+\int_{0}^{T}\|u_{t}(s)\|_{r}% \,ds\right]\\ &\displaystyle\qquad+Ck^{2}\int_{0}^{T}(\|u_{ttt}(s)\|_{r}+\|\Delta u_{tt}(s)% \|_{r})\,ds.\end{split}

(10.39)

Επίσης, μπορούμε να θεωρήσουμε και την άμεση μέθοδο του Euler για τη διακριτοποίηση του ημιδιακριτού σχήματος (10.31). Έτσι, αναζητούμε προσεγγίσεις $U^{n}\in S_{h}^{r}$ των τιμών $u(t^{n})=u(\cdot,t^{n})$ για $n\geq 0$ οι οποίες ικανοποιούν

	$\displaystyle\left(\frac{U^{n}-U^{n-1}}{k},\chi\right)+(\nabla U^{n-1},\nabla\chi)$	$\displaystyle=(f^{n-1},\chi),\ \forall\chi\in S_{h}^{r},$		(10.40)
	$\displaystyle U^{0}$	$\displaystyle=u_{h}^{0}.$		(10.40)

Χρησιμοποιώντας τον συμβολισμό προηγούμενων παραγράφων, βλέπουμε ότι ο προσδιορισμός του $U^{n}$ για $n\geq 1$ , δεδομένου του $U^{n-1}$ , απαιτεί τη λύση του γραμμικού συστήματος

\mathcal{M}\alpha^{n}=(\mathcal{M}-k\mathcal{S})\alpha^{n-1}=kF^{n-1},\quad n% \geq 1.

(10.41)

Το σύστημα αυτό έχει μοναδική λύση, μια και ο πίνακας μάζας $\mathcal{M}$ είναι συμμετρικός και θετικά ορισμένος.

Για να δείξουμε την ευστάθεια και τη σύγκλιση της μεθόδου είναι απαραίτητη η υπόθεση ότι οι συναρτήσεις του $S_{h}^{r}$ ικανοποιούν μια αντίστροφη ανισότητα, ανάλογη της (6.41), έτσι υποθέτουμε ότι

\|\nabla\chi\|\leq C_{\ast}h^{-1}\|\chi\|,\quad\chi\in S_{h}^{r},

(10.42)

για κάποια σταθερά $C_{\ast}$ ανεξάρτητη των $\chi$ και $h$ .

Αν $\Omega\subset\mathbb{R}^{2}$ είναι ένα πολυγωνικό χωρίο και υποθέσουμε ότι ο τριγωνισμός $\mathcal{T}_{h}$ του $\Omega$ είναι ημιομοιόμορφος, δηλαδή ότι υπάρχει σταθερά $\nu$ ανεξάρτητη του τριγωνισμού, τέτοια ώστε

\frac{h}{h_{K}}\leq\nu,\quad\forall\,K\in\mathcal{T}_{h},

όπου $h=\max_{K}h_{K}$ , και θεωρήσουμε τον χώρο $S_{h}^{2}$ των κατά τμήματα γραμμικών πολυωνύμων στον $\mathcal{T}_{h}$ , τότε ο $S_{h}^{2}$ ικανοποιεί την (10.42). Ο ενδιαφερόμενος αναγνώστης μπορεί να βρει την απόδειξη της αντίστροφης ανισότητας στο βιβλίου του Ciarlet (Ciarlet, (2002)).

Έστω τώρα ότι

\frac{k}{h^{2}}\leq\frac{2}{C_{\ast}^{2}},

(10.43)

τότε για το σφάλμα της άμεσης μεθόδου του Euler έχουμε το ακόλουθο αποτέλεσμα:

Θεώρημα 10.6.

Έστω $u$ και $U^{n}$ οι λύσεις των προβλημάτων (10.27) και (10.40), αντίστοιχα. Υποθέτουμε ότι ισχύουν οι σχέσεις (10.42) και (10.43). Τότε υπάρχει θετική σταθερά $C$ , ανεξάρτηση των $h$ και $k$ τέτοια ώστε,

	$\displaystyle\max_{0\leq n\leq M}\\|U^{n}-u(t^{n})\\|\leq\\|u_{h}^{0}-u^{0}\\|+$	$\displaystyle Ch^{r}\left[\\|u^{0}\\|_{r}+\int_{0}^{T}\\|u_{t}(s)\\|_{r}\,ds\right]$
		$\displaystyle\quad+Ck\int_{0}^{T}\\|u_{tt}(s)\\|_{r}\,ds.$