6 Εξίσωση θερμότητας: Πεπερασμένα στοιχεία 6 Εξίσωση θερμότητας: Πεπερασμένα στοιχεία 6.2 Πεπλεγμένη μέθοδος του Euler

6.1 Ημιδιακριτό πρόβλημα

Θεωρούμε το πρόβλημα αρχικών και συνοριακών τιμών για την εξίσωση της θερμότητας με ομογενείς συνοριακές συνθήκες Dirichlet (5.1), δηλαδή ζητούμε μια συνάρτηση $u:[0,L]\times[0,T]\to\mathbb{R}$ η οποία ικανοποιεί

\begin{split}\displaystyle u_{t}(x,t)&\displaystyle=u_{xx}(x,t),\qquad x\in[0,% L],\ t\in[0,T],\\ \displaystyle u(0,t)&\displaystyle=u(L,t)=0,\quad t\in[0,T],\\ \displaystyle u(x,0)&\displaystyle=g(x),\qquad\qquad x\in[0,L],\end{split}

(6.1)

όπου $L>0$ , $g\in C[0,L]$ .

Έστω μια διαμέριση του $[0,L]$ , με $0=x_{0}<x_{1}<\dots<x_{N+1}=L$ , με βήμα $h=L/(N+1)$ , $N\geq 1$ . Θεωρούμε και πάλι τον χώρο συναρτήσεων $V$ , βλ. π.χ. (4.4), που αποτελείται από τις συνεχείς συναρτήσεις οι οποίες είναι κατά τμήματα $C^{1}$ συνεχείς και μηδενίζονται στα άκρα του $[0,L]$ . Επίσης, συμβολίζουμε με $(\cdot,\cdot)$ το εσωτερικό γινόμενο

(f,g)=\int_{0}^{L}f(x)g(x)\,dx,

και με $\|\cdot\|$ την αντίστοιχη παραγόμενη νόρμα.

Για μια συνάρτηση $v\in V$ θεωρούμε το εσωτερικό γινόμενο και ως προς τα δύο μέλη της εξίσωσης (6.1), οπότε έχουμε την ακόλουθη μεταβολική μορφή του προβλήματος (6.1): Ζητείται $u(\cdot,t)$ , $t\in[0,T]$ , τέτοια ώστε

\begin{split}\displaystyle(u_{t}(\cdot,t),v)+(u_{x}(\cdot,t),v^{\prime})=0,% \quad\forall v\in V,\quad u(\cdot,0)&\displaystyle=g.\end{split}

(6.2)

Αν θεωρήσουμε τώρα έναν υπόχωρο $V_{h}$ του $V$ και ακολουθήσουμε ανάλογα βήματα όπως στο Κεφάλαιο 4, προκύπτει μια προσέγγιση $u_{h}(\cdot,t)\in V_{h}$ , $t\in[0,T]$ , της $u(\cdot,t)$ η οποία αποτελεί λύση ενός νέου πρόβληματος, του λεγομένου ημιδιακριτού προβλήματος του (6.2).

Ως $V_{h}$ μπορούμε, παραδείγματος χάριν, να θεωρήσουμε τον χώρο των συνεχών συναρτήσεων που είναι κατά τμήματα γραμμικά πολυώνυμα και μηδενίζονται στα άκρα του $[0,L]$ , δηλαδή

V_{h}=\{\chi\in C_{0}[0,L]:\chi|_{[x_{j},x_{j+1}]}\in\mathbb{P}_{1},\ j=0,% \dots,N\}.

(6.3)

Ορίζουμε τότε ως ημιδιακριτή λύση τη $u_{h}(\cdot,t)\in V_{h}$ , $t\in[0,T]$ , τέτοια ώστε

\begin{split}\displaystyle(u_{h,t}(\cdot,t),\chi)+(u_{h,x}(\cdot,t),\chi^{% \prime})=0,\quad\forall\chi\in V_{h},\quad u_{h}(\cdot,0)&\displaystyle=g_{h},% \end{split}

(6.4)

όπου $g_{h}\in V_{h}$ μια προσέγγιση της $g$ .

Στη συνέχεια, ως $V_{h}$ θα θεωρήσουμε τον χώρο των κατά τμήματα γραμμικών συναρτήσεων (6.3) όμως τα συμπεράσματα που έπονται επεκτείνονται ανάλογα και για άλλους υπόχωρους του $V$ . Είδαμε στο Λήμμα 4.2 ότι οι συναρτήσεις $\{\phi_{j}\}_{j=1}^{N}$ της (4.15) αποτελούν μια βάση του χώρου $V_{h}$ . Οπότε, επειδή $u_{h}(\cdot,t)\in V_{h}$ , υπάρχουν $\alpha_{j}(t)$ , $t\in[0,T]$ , τέτοια ώστε

u_{h}(x,t)=\sum_{j=1}^{N}\alpha_{j}(t)\phi_{j}(x),\quad x\in[0,L],\ t\in[0,T].

Τότε, το πρόβλημα (6.4) γράφεται ισοδύναμα

\left\{\begin{aligned}\displaystyle\sum_{j=1}^{N}\alpha_{j}^{\prime}(t)(\phi_{% j},\chi)+\sum_{j=1}^{N}\alpha_{j}(t)(\phi_{j}^{\prime},\chi^{\prime})&% \displaystyle=0,\quad\forall\chi\in V_{h},\\ \displaystyle\alpha_{j}(0)&\displaystyle=\gamma_{j},\quad j=1,\dots,N,\end{% aligned}\right.

όπου $g_{h}=\sum_{j=1}^{N}\gamma_{j}\phi_{j}$ . Στη συνέχεια, επιλέγοντας ως $\chi=\phi_{i}$ , $i=1,\dots,N$ , λαμβάνουμε

\left\{\begin{aligned}\displaystyle\sum_{j=1}^{N}\alpha_{j}^{\prime}(t)(\phi_{% j},\phi_{i})+\sum_{j=1}^{N}\alpha_{j}(t)(\phi_{j}^{\prime},\phi_{i}^{\prime})&% \displaystyle=0,\quad i=1,\dots,N,\\ \displaystyle\alpha_{j}(0)&\displaystyle=\gamma_{j},\quad j=1,\dots,N.\end{% aligned}\right.

(6.5)

Μπορούμε να δούμε τώρα ότι η (6.5) γράφεται και ως πρόβλημα αρχικών τιμών για ένα γραμμικό σύστημα συνήθων διαφορικών εξισώσεων,

\mathcal{M}\alpha^{\prime}(t)+\mathcal{S}\alpha(t)=0,\quad t\in[0,T],\quad% \text{με }\alpha(0)=\Gamma,

(6.6)

όπου $\mathcal{M}$ και $\mathcal{S}$ είναι $N\times N$ πίνακες με στοιχεία $\mathcal{M}_{ij}=(\phi_{j},\phi_{i})$ και $\mathcal{S}_{ij}=(\phi_{j}^{\prime},\phi_{i}^{\prime})$ , $\,i,j=1,\ldots,N$ , αντίστοιχα, $\alpha(t)=(\alpha_{1}(t),\dots,\alpha_{N}(t))^{T}$ και $\Gamma=(\gamma_{1},\dots,\gamma_{N})^{T}$ . Ο πίνακας $\mathcal{M}$ καλείται πίνακας μάζας και ο πίνακας $\mathcal{S}$ πίνακας ακαμψίας. Μπορούμε να παρατηρήσουμε ότι και οι δύο πίνακες $\mathcal{M}$ και $\mathcal{S}$ είναι συμμετρικοί. Επίσης, είναι και θετικά ορισμένοι. Πράγματι, αν $w=(w_{1},\dots,w_{N})^{T}\in\mathbb{R}^{N}$ , τότε

w^{T}\mathcal{M}w=\|v\|^{2}\geq 0\text{ και }w^{T}\mathcal{S}w=\|v^{\prime}\|^% {2}\geq 0,\quad\text{ όπου }v=\sum_{i=1}^{N}w_{i}\phi_{i}.

Ακόμα εύκολα βλέπουμε από την παραπάνω σχέση ότι αν $w^{T}\mathcal{M}w=0$ ή $w^{T}\mathcal{S}w=0$ , τότε $w=0$ . Συνεπώς, ο $\mathcal{M}$ είναι αντιστρέψιμος, βλ. π.χ. (Ακρίβης και Δουγαλής, (2015)), οπότε το σύστημα διαφορικών εξισώσεων (6.6) γράφεται

\alpha^{\prime}(t)+\mathcal{M}^{-1}\mathcal{S}\alpha(t)=0,\quad t\in[0,T],% \quad\text{με }\alpha(0)=\Gamma,

το οποίο λύνεται μονοσήμαντα.

Στη συνέχεια, θα δείξουμε την ευστάθεια του ημιδιακριτού προβλήματος (6.4).

Θεώρημα 6.1.

Έστω $u_{h}(\cdot,t)$ , $t\in[0,T]$ , η λύση του (6.4). Τότε

\|u_{h}(t)\|\leq\|g_{h}\|,\quad\forall t\in[0,T].

(6.7)

Απόδειξη.

Επιλέγοντας $\chi=u_{h}(\cdot,t)$ στην (6.4), έχουμε

(u_{h,t}(\cdot,t),u_{h}(\cdot,t))+(u_{h,x}(\cdot,t),u_{h,x}(\cdot,t))=0.

(6.8)

Παρατηρούμε τώρα ότι $\dfrac{1}{2}\dfrac{d}{dt}(\|u_{h}(\cdot,t)\|^{2})=(u_{h,t}(\cdot,t),u_{h}(% \cdot,t))$ , οπότε η (6.8) γίνεται

\dfrac{1}{2}\dfrac{d}{dt}(\|u_{h}(\cdot,t)\|^{2})+\|u_{h,x}(\cdot,t)\|^{2}=0.

Συνεπώς,

\dfrac{d}{dt}(\|u_{h}(\cdot,t)\|^{2})\leq 0,

από όπου εύκολα προκύπτει η ζητούμενη (6.7). ∎

Θα θεωρήσουμε τώρα μια προβολή $R_{h}:V\to V_{h}$ η οποία ορίζεται με τον ακόλουθο τρόπο

((R_{h}v)^{\prime},\chi^{\prime})=(v^{\prime},\chi^{\prime}),\quad\forall\chi% \in V_{h}.

(6.9)

Η προβολή $R_{h}$ καλείται ελλειπτική προβολή ή προβολή Ritz.

Λήμμα 6.1.

Έστω $v\in C^{2}_{0}[0,L]$ . Η προβολή $R_{h}$ ορίζεται μονοσήμαντα και ικανοποιεί τη σχέση

\|R_{h}v-v\|+h\|R_{h}v^{\prime}-v^{\prime}\|\leq Ch^{2}\|v^{\prime\prime}\|.

(6.10)

Απόδειξη.

Θέτουμε $w=-v^{\prime\prime}$ και θεωρούμε το ακόλουθο βοηθητικό πρόβλημα

-v^{\prime\prime}(x)=w(x),\quad x\in[0,L],\quad v(0)=v(L)=0.

Εύκολα βλέπουμε τώρα ότι η $R_{h}v$ όπως ορίστηκε στην (6.9) είναι η λύση με τη μέθοδο των πεπερασμένων στοιχείων από τον χώρο $V_{h}$ . Τότε, σύμφωνα με το Θεώρημα 4.2, έχουμε ότι ισχύει η ζητούμενη (6.10). ∎

Λήμμα 6.2.

Έστω $u\in C^{2}([0,L]\times[0,T])$ η λύση του (6.1) και $R_{h}u(\cdot,t)$ , $t\in[0,T]$ , η ελλειπτική προβολή της $u$ που ορίζεται από την (6.9). Τότε υπάρχει σταθερά $C$ , τέτοια ώστε

\|R_{h}u(\cdot,t)-u(\cdot,t)\|+\|(R_{h}u)_{t}(\cdot,t)-u_{t}(\cdot,t)\|\leq Ch% ^{2},\quad t\in[0,T].

(6.11)

Απόδειξη.

Από τον ορισμό της $R_{h}$ (6.9) και το γεγονός ότι $u\in C^{2}([0,L]\times[0,T])$ μπορούμε να δούμε ότι $R_{h}u_{t}=(R_{h}u)_{t}$ . Πράγματι,

	$\displaystyle((R_{h}u_{t})_{x},\chi^{\prime})$	$\displaystyle=((u_{t})_{x},\chi^{\prime})=(\dfrac{\partial}{\partial t}(u_{x})% ,\chi^{\prime})=\dfrac{\partial}{\partial t}(u_{x},\chi^{\prime})$
		$\displaystyle=\dfrac{\partial}{\partial t}((R_{h}u)_{x},\chi^{\prime})=(\dfrac% {\partial}{\partial t}((R_{h}u)_{x}),\chi^{\prime})=((R_{h}u)_{t})_{x},\chi^{% \prime}).$

Επομένως, λόγω του Λήμματος 6.1, παίρνουμε την επιθυμητή (6.11). ∎

Θεώρημα 6.2.

Έστω $u\in C^{2}([0,L]\times[0,T])$ η λύση της (6.1) με $g\in C^{2}[0,L]$ και $u_{h}$ η λύση της (6.4) με $g_{h}=R_{h}g$ . Τότε, υπάρχει σταθερά $C$ , ανεξάρτητη του $h$ , τέτοια ώστε

\max_{0\leq t\leq T}\|u_{h}(\cdot,t)-u(\cdot,t)\|\leq Ch^{2}.

(6.12)

Απόδειξη.

Έστω $W(x,t)=R_{h}u(x,t)$ . Συμβολίζουμε με $\rho(t)=W(\cdot,t)-u(\cdot,t)$ και $\vartheta(t)=u_{h}(\cdot,t)-W(\cdot,t)$ , οπότε $u_{h}(\cdot,t)-u(\cdot,t)=\vartheta(t)+\rho(t)$ . Λόγω του Λήμματος 6.1, έχουμε ότι

\|\rho(t)\|\leq Ch^{2}.

(6.13)

Στη συνέχεια, μπορούμε να δούμε ότι η $\vartheta$ ικανοποιεί την ακόλουθη σχέση

		$\displaystyle(\vartheta_{t}(t),\chi)+(\vartheta_{x}(t),\chi^{\prime})$
		$\displaystyle=(u_{h,t}(\cdot,t),\chi)+(u_{h,x}(\cdot,t),\chi^{\prime})-(W_{t}(% \cdot,t),\chi)-(W_{x}(\cdot,t),\chi^{\prime})$
		$\displaystyle=(u_{t}(\cdot,t),\chi)+(u_{x}(\cdot,t),\chi^{\prime})-(W_{t}(% \cdot,t),\chi)-(W_{x}(\cdot,t),\chi^{\prime})$
		$\displaystyle=-(\rho_{t}(t),\chi)+(u_{x}(\cdot,t)-W_{x}(\cdot,t),\chi^{\prime}% )=-(\rho_{t}(t),\chi).$

Επομένως

(\vartheta_{t}(t),\chi)+(\vartheta_{x}(t),\chi^{\prime})=-(\rho_{t}(t),\chi).

(6.14)

Επιλέγοντας τώρα $\chi=\vartheta(t)$ , έχουμε

(\vartheta_{t}(t),\vartheta(t))+\|\vartheta_{x}(t)\|^{2}=-(\rho_{t}(t),% \vartheta(t)).

(6.15)

Επειδή $\dfrac{1}{2}\dfrac{d}{dt}\|\vartheta(t)\|^{2}=(\vartheta_{t}(t),\vartheta(t))$ , η (6.15) γίνεται

\dfrac{d}{dt}\|\vartheta(t)\|\,\|\vartheta(t)\|\leq\|\rho_{t}(t)\|\,\|% \vartheta(t)\|,

(6.16)

οπότε

\dfrac{d}{dt}\|\vartheta(t)\|\leq\|\rho_{t}(t)\|.

(6.17)

Ολοκληρώνοντας στη συνέχεια στο $[0,t]$ , παίρνουμε

\|\vartheta(t)\|\leq\|\vartheta(0)\|+\int_{0}^{t}\|\rho_{t}(s)\|\,ds.

(6.18)

Η ζητούμενη σχέση τώρα έπεται άμεσα από το γεγονός ότι $\theta(0)=0$ , την (6.13) και το Λήμμα 6.2. ∎