Εισαγωγή

Ο άνθρωπος αρχίζει να αποκτά γνώση για τον φυσικό κόσμο γύρω του, από τη στιγμή που αρχίζει να καταγράφει τα φυσικά φαινόμενα και να τα επεξεργάζεται ανάλογα με τις ικανότητές του. Η γνώση αυτή προέρχεται από την παρατήρηση και αυξάνεται συνεχώς μέχρι σήμερα (η καύση ενός κορμού δέντρου, ο βρασμός ενός υγρού, η ηλέκτριση με τριβή, οι κινήσεις των αστέρων). Η μεγάλη στιγμή είναι όταν ο άνθρωπος, με δική του πρωτοβουλία, αποφασίζει να αναπαραστήσει ο ίδιος μια μεταβολή, δηλαδή να κάνει πείραμα. (Για το πού και πότε έγινε αυτό υπάρχουν πολλές απόψεις που δεν εμπίπτουν, όμως, στον σκοπό αυτού του βιβλίου.)

Στις μέρες μας η γνώση για τον φυσικό κόσμο έχει δύο πηγές: α) την παρατήρηση, β) το πείραμα. Γενικά, μπορούμε να πούμε ότι οι σκοποί ενός πειράματος είναι:

η ανάλυση δεδομένων, η εξαγωγή συμπερασμάτων και η διατύπωση μιας (ίσως προσωρινής) θεωρίας που περιλαμβάνει τους νόμους στους οποίους υπακούν τα φαινόμενα του πειράματος,

η σχεδίαση και διεξαγωγή πειράματος με σκοπό την επαλήθευση μιας προτεινόμενης θεωρίας η οποία ισχυρίζεται ότι μπορεί να ερμηνεύσει κάποια φαινόμενα ή παρατηρήσεις (Καραμπαρμπούνης κ.ά., 2012).

Σήμερα στα Εκπαιδευτικά Ιδρύματα υπάρχουν ερευνητικά εργαστήρια που εξυπηρετούν τους παραπάνω σκοπούς. Παράλληλα, υπάρχουν και τα εκπαιδευτικά εργαστήρια Φυσικής που απευθύνονται σε νέους και ίσως άπειρους από πειραματικές διεργασίες φοιτητές, οπότε οι στόχοι τους διαφέρουν από αυτούς των ερευνητικών εργαστηρίων. Σε γενικές γραμμές οι στόχοι ενός εκπαιδευτικού εργαστηρίου Φυσικής είναι:

η γνωριμία με μερικά από τα όργανα του εργαστηρίου,
η εξάσκηση στη μεθοδολογία εκτέλεσης ενός πειράματος και στην επαλήθευση μερικών γνωστών νόμων της Φυσικής,
η κατανόηση της αβεβαιότητας (σφάλμα) που υπάρχει σε κάθε μέτρηση,
η παρουσίαση του τελικού αποτελέσματος, ώστε να περιλαμβάνει τις αβεβαιότητες του πειράματος,
η σύγκριση των αποτελεσμάτων με την ήδη γνωστή αληθινή/παραδεκτή τιμή του μετρούμενου μεγέθους, όπως αυτή προκύπτει από τη σχετική βιβλιογραφία,
η δημιουργία γραφικών παραστάσεων και η παρουσίαση των πειραματικών αποτελεσμάτων.

Το εργαστήριο Φυσικής για το οποίο γίνεται λόγος στο συγκεκριμένο βιβλίο διαρκεί δύο διδακτικές ώρες και υλοποιείται μία φορά την εβδομάδα στη διάρκεια ενός εξαμήνου. Το εξάμηνο (ιδανικά) αποτελείται από 14 εβδομάδες. Βασική μας θέση στη λειτουργία του συγκεκριμένου εργαστηρίου είναι οι φοιτητές που το παρακολουθούν να έρχονται σε επαφή τόσο με απλά όργανα, όσο και με σύγχρονες ψηφιακές συσκευές μέτρησης. Επίσης, με την απλοποιημένη Θεωρία Σφαλμάτων που παρουσιάζουμε, ελπίζουμε να γίνει μια καλή αρχή στο σημαντικό θέμα της αμφιβολίας για κάθε πειραματικό αποτέλεσμα. Αργότερα, αξιοποιώντας πιο σύνθετες μαθηματικές γνώσεις, οι φοιτητές μπορούν, αν θέλουν, να προχωρήσουν σε επιστημονικά και ερευνητικά εργαστήρια.

Αβεβαιότητα μετρήσεων

Μια εργασία στο εργαστήριο Φυσικής είναι η μέτρηση ενός μεγέθους, δηλαδή η σύγκρισή του με ένα ομοειδές μέγεθος που γίνεται με τη βοήθεια ενός κατάλληλου οργάνου. Το αποτέλεσμα της μέτρησης δίνεται από το όργανο. Το όργανο μπορεί να είναι αναλογικό ή ψηφιακό. Εσύ βλέπεις και καταγράφεις την απάντηση η οποία είναι ένα αποτέλεσμα συνεργασίας του παρατηρητή με το χρησιμοποιούμενο όργανο. Από αυτή τη συνεργασία προκύπτουν οι αβεβαιότητες της μέτρησης, αυτό που ισοδύναμα θα ονομάζουμε σφάλμα της μέτρησης.

Ο συνδυασμός ανθρώπου ‒ οργάνου ‒ περιβάλλοντος έχει ως αποτέλεσμα να διαφέρουν μεταξύ τους οι μετρήσεις του ίδιου μεγέθους στο ίδιο πείραμα. Έτσι, σου δημιουργείται η αίσθηση του σφάλματος, δηλαδή της διαφοράς μεταξύ της μέτρησης που έκανες και της αληθινής τιμής του ίδιου μεγέθους. Στο εκπαιδευτικό εργαστήριο Φυσικής η αληθινή τιμή με το σφάλμα της υπάρχει, επειδή κάποιος άλλος την έχει υπολογίσει πριν από εσένα ή επειδή δέχεσαι ότι υπάρχει, οπότε την ονομάζεις αποδεκτή τιμή. Η πραγματική τιμή δεν είναι δυνατόν να προσδιοριστεί σε μία σειρά μετρήσεων και έτσι προσεγγίζεται με τη μέση τιμή της και με το σφάλμα της.

Παράδειγμα:
Θέλεις να μετρήσεις την περίοδο ενός μαθηματικού εκκρεμούς με ένα χρονόμετρο. Σύντομα βλέπεις ότι οι μετρήσεις διαφέρουν μεταξύ τους. Γιατί συμβαίνει αυτό; Σε αυτό το αποτέλεσμα έχουν συμβάλει πολλοί παράγοντες:

ο άνθρωπος: αντανακλαστικά κτλ,
το όργανο: είναι καλά ρυθμισμένο, έχει κάποια μικρή βλάβη, μετάθεση του μηδενός κτλ,
το περιβάλλον: δονήσεις, ρεύματα αέρα ή ηλεκτρικά, πάτωμα αγώγιμο ή μονωτικό κτλ.

Τους πιθανούς τύπους σφαλμάτων και τους τρόπους αντιμετώπισής τους θα τους γνωρίσεις παρακάτω.

Είδη σφαλμάτων

Ακούσια λάθη

Είναι τα σφάλματα που οφείλονται στον παρατηρητή ο οποίος πιθανόν:

Παρατηρεί άλλο και καταχωρεί άλλο.
Ακούει άλλο και καταχωρεί άλλο.
Κάνει λάθος στις πράξεις.
Κάνει σφάλμα παράλλαξης.
(Σφάλμα παράλλαξης είναι αυτό που συμβαίνει όταν σε ένα αναλογικό όργανο κοιτάμε τη βελόνα υπό λάθος γωνία. Διαβάζουμε ή εκτιμούμε έτσι ένα λάθος αριθμό. Διόρθωση: κοιτάζουμε κάθετα την κλίμακα ή βάζουμε ένα καθρεφτάκι και φροντίζουμε να συμπίπτει η βελόνα με το είδωλό της.)

Στη συνέχεια, θα δούμε τις δύο κατηγορίες σφαλμάτων που συναντάμε κάθε φορά που κάνουμε μια πειραματική μέτρηση. Ειδική αναφορά θα γίνει στα συστηματικά σφάλματα κατά την ανάγνωση μιας κλίμακας οργάνου, αναλογικού και ψηφιακού.

Συστηματικά σφάλματα

Είναι τα σφάλματα που δημιουργούν διαφορές μεταξύ της μέτρησης που κάνουμε και της αληθινής τιμής. Επηρεάζουν την ακρίβεια (accuracy) (Johnson, 1994) της μέτρησης, έννοια που σχολιάζεται στο Παράρτημα Β΄ του παρόντος βιβλίου. Τα συστηματικά σφάλματα:

Μπορεί να είναι σταθερά, οπότε επηρεάζουν κατά τον ίδιο τρόπο κάθε επόμενη μέτρηση.
π.χ. Λάθος βαθμονόμησης οργάνων, μία τσίχλα κάτω από τη ζυγαριά, μετάθεση του μηδενός στο όργανο, ηθελημένη απλούστευση θεωρίας σχετικής με το πείραμα.
Μπορεί να αλλάζουν κατά τη διάρκεια του πειράματος.
π.χ. Η ειδική θερμότητα του υλικού.

Η βελτίωση των συστηματικών σφαλμάτων απαιτεί εμπειρία και καλή γνώση της λειτουργίας κάθε οργάνου. Στο εκπαιδευτικό εργαστήριο η βελτίωσή τους επαφίεται στο προσωπικό. Στα δικά μας πειράματα τα συστηματικά σφάλματα θα τα θεωρούμε αμετάβλητα.

Τυχαία ή στατιστικά σφάλματα

Υποθέτουμε ότι τα ακούσια λάθη και τα συστηματικά σφάλματα έχουν, κατά το δυνατόν, βελτιωθεί και αρχίζεις να κάνεις τις μετρήσεις του μεγέθους με σκοπό τον προσδιορισμό της παραδεκτής/αληθινής τιμής του. Παρατηρείς ότι οι μετρήσεις -οι περισσότερες- διαφέρουν μεταξύ τους. Τα σφάλματα αυτά δεν μπορείς να τα αποδώσεις σε κάποια συγκεκριμένη αιτία. Δεν είναι τα ίδια κάθε φορά, είναι τυχαία.
Οφείλονται σε πολλούς λόγους, όπως:

στην ευαισθησία που διαθέτουν τα όργανα για την παρακολούθηση των μεταβολών που συμβαίνουν στο πείραμα,
σε ένα φαινόμενο που λέγεται ηλεκτρονικός θόρυβος (το οποίο δεν είναι θέμα του παρόντος βιβλίου).

Στο σημείο αυτό θα δανειστούμε λίγες χρήσιμες γνώσεις από τη στατιστική θεωρία. Αυτή θα μας δώσει έναν τύπο που προσδιορίζει το εύρος μιας περιοχής τιμών μέσα στην οποία υπάρχει η αληθινή τιμή με συγκεκριμένη πιθανότητα. Σύμφωνα με τη συγκεκριμένη θεωρία, όταν κάνεις Ν ανεξάρτητες μετρήσεις, οι τιμές ακολουθούν μια κατανομή που περιγράφεται από μια συνάρτηση F(x) την οποία ονομάζουμε συνάρτηση κατανομής Gauss. Υποθέτουμε ότι οι μετρήσεις παρουσιάζουν μόνο τυχαία σφάλματα και ότι τα συστηματικά σφάλματα δεν καλύπτουν τα τυχαία. Αν ορίσουμε το \(\overline{x}=\frac{x_{1}+x_{2}+x_{3}+...+x_{N}}{N}\),τότε η γραφική παράσταση της F(x) είναι η Εικόνα Εισ.1.
Χωρίς απόδειξη, αναφέρουμε ότι στη γραφική παράσταση:

Το γινόμενο F(x) dx δίνει την πιθανότητα να βρίσκεται η μέτρηση μέσα στο διάστημα x και x+dx.
Το ολοκλήρωμα στο πεδίο τιμών του x δίνει πιθανότητα 1, δηλαδή η αληθινή τιμή υπάρχει στο πεδίο ορισμού με πιθανότητα 100%.
Το ολοκλήρωμα της F(x) με όρια \(s=\pm \sqrt{\frac{\sum_{i=1}^{N}(x_{1}-\overline{x})^2}{N-1}}\)δίνει μια περιοχή στην οποία υπάρχει η αληθινή τιμή με πιθανότητα 68%. Το s λέγεται Τυπική Απόκλιση (ΤΑ). Στη διεθνή βιβλιογραφία η ΤΑ συμβολίζεται είτε με το σ (σίγμα) είτε με το αγγλικό s από τον όρο standard deviation (Taylor, 1997).

Αν, αντί για Ν μετρήσεις μία (1) φορά, κάνεις Ν μετρήσεις Ν φορές, το Μέσο Σφάλμα της Μέσης Τιμής (ΜΣΜΤ) ορίζει περιοχή με μικρότερο εύρος, αλλά με την ίδια πιθανότητα 68%, και δίνεται από τον τύπο: \[\sigma =\pm \sqrt{\frac{\sum_{i=1}^{N}(x_{1}-\overline{x})^2}{N\cdot (N-1)}}\]

(Εισ.1)

Παρατήρηση:

Στη βιβλιογραφία το ΜΣΜΤ συμβολίζεται με το \(\sigma _{\overline{x}}\)
Για λόγους γραμματοσειράς εμείς θα συμβολίζουμε το ΜΣΜΤ με το σ (σίγμα).

Εικόνα Εισ.1 Κατανομή Gauss

Στον Πίνακα Εισ.1 βλέπουμε τις πιθανότητες που αντιστοιχούν σε περιοχές της κανονικής κατανομής.

\(\overline{x}\pm \sigma \)	68%
\(\overline{x}\pm 2\sigma \)	95,5%
\(\overline{x}\pm 3\sigma \)	99,7%
\(\overline{x}\pm 5\sigma \)	99,99%

Πίνακας Εισ.1 Πιθανότητες και σ.

Σφάλμα ανάγνωσης κλίμακας οργάνου

Στο εργαστήριο Φυσικής υπάρχουν ψηφιακά και αναλογικά όργανα. Η ανάγνωση της κλίμακας και των δύο παρουσιάζει κάποια αβεβαιότητα που θα την ονομάζουμε σφάλμα ανάγνωσης. Η εκτίμηση αυτού του σφάλματος σε συνδυασμό με την ακρίβεια του οργάνου επηρεάζουν την ακρίβεια ενός πειράματος. Κάθε όργανο έχει τη δική του ακρίβεια η οποία εξαρτάται από την κατασκευή του, και είναι συνήθως γραμμένη σε κάποιο σημείο του οργάνου. Το σφάλμα ανάγνωσης το εκτιμά ο παρατηρητής ανάλογα με κάθε όργανο. Συνοπτικά, μπορούμε να πούμε ότι το σφάλμα ανάγνωσης του οργάνου προκύπτει από δύο παράγοντες: α) τον παρατηρητή, β) το συγκεκριμένο όργανο.

Σφάλμα ανάγνωσης σε αναλογικό όργανο

Η ακρίβεια του οργάνου είναι η μικρότερη υποδιαίρεση της κλίμακας που φέρει το όργανο. Στην Εικόνα Εισ.2 η ακρίβεια είναι 1 Ν.

Εικόνα Εισ.2 Κλίμακα αναλογικού οργάνου.

Το σφάλμα ανάγνωσης το αποφασίζει ο παρατηρητής, και εξαρτάται από την κατασκευή της κλίμακας του οργάνου και την εμπειρία του παρατηρητή. Στην παραπάνω κλίμακα το σφάλμα μπορεί να είναι \( \pm\) 0,2 N, οπότε γράφεις (5,4 \(\pm \)0,2) N με περιοχή αβεβαιότητας (5,2–5,6) Ν (όχι καλή απάντηση), ή μπορείς να γράψεις \(\pm \)0,1 Ν με περιοχή αβεβαιότητας (5,3–5,5) Ν (καλύτερη απάντηση ως προς την προηγούμενη).

Νομίζουμε ότι δεν υπάρχουν γενικοί κανόνες υπολογισμού αυτού του σφάλματος. Απαιτείται εξάσκηση και πείρα. Συμβουλευτείτε τον καθηγητή του εργαστηρίου. Για όλους τους παραπάνω λόγους, το σφάλμα ανάγνωσης θεωρείται στατιστικό σφάλμα (σε περίπτωση πολλών μετρήσεων), ενώ η ακρίβεια του οργάνου θεωρείται συστηματικό σφάλμα.

Σφάλμα ανάγνωσης σε ψηφιακό όργανο

Υποθέτουμε ότι η ένδειξη του οργάνου παραμένει σταθερή, οπότε την καταχωρείς. Ως σφάλμα ανάγνωσης αυτής της μέτρησης θεωρείς ότι είναι το μισό (1/2) της μικρότερης μεταβολής που μπορεί να κάνει το τελευταίο ψηφίο της κλίμακας.

Παράδειγμα:
Αν διαβάζεις 1,22 s, τότε υποθέτεις (ή ελέγχεις αν μπορείς) ότι η μικρότερη μεταβολή είναι \(\pm \)0,01s. Άρα, λαμβάνεις ως σφάλμα της ανάγνωσης το \(\pm \) 0,005s και γράφεις (1,220\(\pm \)0,005)s

Παρατήρηση: Ναι, έβαλες ένα ψηφίο το οποίο δε διάβασες στη μέτρηση, γιατί το σφάλμα του οργάνου υπαγορεύει την ακρίβεια. Στον ψηφιακό παλμογράφο η μικρότερη υποδιαίρεση αλλάζει ανάλογα και με την κλίμακα ανά υποδιαίρεση.

Περίπτωση: Όταν η ένδειξη του οργάνου δεν παραμένει σταθερή, αλλά αλλάζει μόνο το τελευταίο ψηφίο, τότε θεωρείς το σφάλμα στατιστικό. Παίρνεις μερικές ενδείξεις από αυτές που δείχνει το όργανο και υπολογίζεις τη μέση τιμή τους. Ως μέτρηση θεωρείς τη μέση τιμή αυτών των ενδείξεων, και την καταχωρείς.

Σημαντικά Ψηφία (ΣΨ)

Γενικά μιλώντας, όλοι οι αριθμοί έχουν τη δική τους σημασία χωρίς να υπάρχουν ανάμεσά τους σημαντικοί και ασήμαντοι. Στις Φυσικές Επιστήμες, όμως, οι αριθμοί που αναφέρονται σε μια μέτρηση προκύπτουν από τη συνεργασία οργάνου και ανθρώπου κατά τη διαδικασία αυτής της μέτρησης.

Γνωρίζουμε ότι κάθε πειραματική μέτρηση έχει μια αβεβαιότητα/σφάλμα που προκύπτει από το ίδιο το όργανο και τον άνθρωπο. Η αβεβαιότητα αυτή εκφράζεται με το πλήθος των ψηφίων τα οποία χρησιμοποιούμε στην απάντηση αυτή. Μπορούμε να συμφωνήσουμε ότι το πλήθος των ΣΨ του αριθμού της απάντησης εκφράζει το μέτρο της ακρίβειας της πειραματικής μέτρησης.

Κάθε πειραματική αβεβαιότητα/σφάλμα θα γράφεται με ένα ΣΨ, μη μηδενικό

Σημείωση:

Η ακρίβεια του οργάνου είναι δεδομένη και καθορίζεται από τον κατασκευαστή. Η ακρίβεια της μέτρησης εκφράζεται από το σχετικό σφάλμα της μέτρησης (βλ. Εισαγωγή, Σχετικό Σφάλμα μέτρησης), και είναι συνδυαστικό αποτέλεσμα οργάνου και παρατηρητή.

Κανόνες καθορισμού των ΣΨ μιας μέτρησης

Για αριθμούς μικρότερους της μονάδας τα μηδενικά που είναι αριστερά από το πρώτο μη μηδενικό ψηφίο δεν λογαριάζονται ως ΣΨ.
π.χ.: 0,03= 3∙10^-3 → 1 ΣΨ
. Για ακέραιους αριθμούς ως τελευταίο ΣΨ λαμβάνεται το δεξιότερο μη μηδενικό ψηφίο, δηλαδή δεν λαμβάνεις υπόψη σου τα μηδενικά που ακολουθούν.
π.χ.: 1940 → 3 ΣΨ
Για οποιοδήποτε αριθμό αποφασίζεις πόσα ΣΨ πρέπει να έχει, τον γράφεις ως δεκαδικό με τα ΣΨ που θέλεις, πολλαπλασιασμένο με την αντίστοιχη δύναμη του 10.
π.χ.: 973, (1,33∙10^-6), (0,000373= 3,73∙10^-4), (0,955=9,55∙10^-1), 7,55 → 3 ΣΨ
Με καλή γνώση του φορητού υπολογιστικού μηχανήματος (scientific calculator) που όλοι διαθέτετε, ο αριθμός των ΣΨ καθορίζεται πολύ εύκολα (αρκεί να έχεις αποφασίσει πόσα ΣΨ πρέπει να έχει η μέτρηση).
π.χ.: 49700=4,97∙10⁴→ 3 ΣΨ
49700= 4,970∙10⁴ → 4 ΣΨ

Συνοψίζοντας, τα ΣΨ είναι ο αριθμός των ψηφίων μιας μέτρησης που γνωρίζουμε με απόλυτη βεβαιότητα.

Σημαντικά ψηφία και στρογγυλοποίηση

Όταν γράφεις το αποτέλεσμα μιας μέτρησης στο εργαστήριο Φυσικής, υπάρχουν τουλάχιστον δύο περιπτώσεις:

Ο αριθμός που γράφεις να εκφράζει το αποτέλεσμα μιας μέτρησης που έκανες με όργανο του εργαστηρίου.
Ο αριθμός αυτός να έχει προκύψει έπειτα από μαθηματικούς υπολογισμούς που έκανες χρησιμοποιώντας τα αποτελέσματα των μετρήσεων.

Είναι πιθανόν τα αποτελέσματα που προκύπτουν από μαθηματικούς υπολογισμούς να έχουν μεγαλύτερο πλήθος ΣΨ από αυτά που εκφράζουν τις πειραματικές συνθήκες (δηλαδή τα όργανα και τον παρατηρητή). Πρέπει λοιπόν να στρογγυλοποιήσεις τους αριθμούς αυτούς.

Βήμα 1ο: Στρογγυλοποιείς το σφάλμα και κρατάς ένα ΣΨ (εκτός αν αυτό είναι το 1 ή το 2, οπότε κρατάς δύο ΣΨ).

Βήμα 2ο: Παίρνεις τη μέση τιμή των μετρήσεων και την στρογγυλοποιείς, έτσι ώστε το τελευταίο ψηφίο της να είναι της ίδιας τάξης μεγέθους με το σφάλμα.

Παράδειγμα:
Αν δx=0,01 mm, τότε \(\mathrm{\overline{x}}\)=4,57 mm, οπότε γράφεις x\(\pm \) δx = (4,57\(\pm \)0,01) mm.

Αν θέλεις να διώξεις έναν από τους αριθμούς 1, 2, 3, 4, τότε το προηγούμενο ψηφίο παραμένει ως έχει.
Αν ο αριθμός που πρέπει να φύγει είναι ένας από τους 6, 7, 8, 9, τότε το προηγούμενο ψηφίο αυξάνεται κατά μία μονάδα.
Αν ο αριθμός αυτός είναι το 5, τότε κάνεις ή την πρώτη ή τη δεύτερη κίνηση (υπάρχει στατιστική ισορροπία).

Σχετικό σφάλμα μέτρησης

Όπως είδαμε, όταν γράφουμε την απάντηση x\(\pm \)δx, το Απόλυτο Σφάλμα δx μπορεί είτε να είναι το Μέγιστο Σφάλμα του οργάνου είτε να το υπολογίζεις με τύπο της στατιστικής (το σ). Και στις δύο περιπτώσεις το δx καθορίζει μια περιοχή, τις ιδιότητες της οποίας έχουμε ήδη αναφέρει.

Ένα άλλο σημαντικό μέγεθος είναι αυτό που ορίζεται από τη σχέση:\[\Sigma _{\sigma \chi }=\frac{\delta \mathrm{x}}{\mathrm{x}}100\%\]

(Εισ.2)

και ονομάζεται σχετικό σφάλμα της μέτρησης επί τοις % ή σχετική αβεβαιότητα της μέτρησης επί τοις %. Το μέγεθος αυτό ανάγει το σφάλμα στη μονάδα του μεγέθους και όχι στο μέτρο του μεγέθους, δηλαδή είναι ανεξάρτητο από το μέτρο του μεγέθους και γι’ αυτό το λόγο εκφράζει την ακρίβεια της μέτρησης. Το μέγεθος αυτό δεν έχει μονάδες, είναι ποσοστό.

Παράδειγμα:
Υπολογίζεις τη μάζα ενός σώματος με δύο τρόπους και βρίσκεις:

1^ος τρόπος: (40\(\pm \)1) kg με Σσχ= 2,5%.
2^ος τρόπος: (40\(\pm \)2) kg με Σσχ= 5%.

Συμπέρασμα: Ο πρώτος τρόπος είναι πιο ακριβής από τον δεύτερο.

pdf: Άμεσες μετρήσεις

Βίντεο: Άμεσες μετρήσεις

Βίντεο Εισ.1 Παρουσίαση των άμεσων μετρήσεων.

Μέτρηση ενός μεγέθους

Άμεση μέτρηση ενός μεγέθους

Στην άμεση μέτρηση, αφού επιλέξεις το κατάλληλο όργανο για το μέγεθος το οποίο θέλεις να μετρήσεις, κάνεις τη μέτρηση απευθείας με το όργανο και την καταχωρείς μαζί με τα αντίστοιχα σφάλματά της.

1η περίπτωση: Μία (1) μέτρηση
Αν κάνεις μία (1) μόνο μέτρηση, θα γράψεις το αποτέλεσμά σου x \(\pm \) δx, όπου:
x = το αποτέλεσμα της μέτρησης,
δx = το μέγιστο σφάλμα του οργάνου που χρησιμοποίησες.

Παράδειγμα:
Στην Εικόνα Εισ.3 το μέγιστο σφάλμα αυτού του οργάνου, σε μια πρώτη εκτίμηση, είναι δx=0,2°C.

Εικόνα Εισ.3 Κλίμακα αναλογικού θερμομέτρου.

Για σένα η θερμοκρασία είναι το x = 18,6°C.
Μέσα στο διάστημα 18,4–18,8°C είσαι 100% βέβαιος ότι υπάρχει και η αληθινή τιμή της θερμοκρασίας (αν δεν είναι 18,6°C).
Κάθε άλλη μέτρηση του ίδιου μεγέθους στις ίδιες συνθήκες πρέπει να περιέχεται μέσα στο διάστημα αυτό.

Εδώ πρέπει να πούμε ότι το μέγιστο σφάλμα του οργάνου μπορεί να εκτιμηθεί διαφορετικά από κάθε παρατηρητή. Αν εκτιμήσεις ότι το απόλυτο σφάλμα είναι δx = 0,1°C, η απάντηση θα είναι (18,6 \(\pm \) 0,1)°C. Άρα, η περιοχή αβεβαιότητας θα είναι από 18,5–18,7°C.

2η περίπτωση: Πολλές μετρήσεις
Αν μετρήσεις το ίδιο μέγεθος πολλές φορές και κάνεις Ν μετρήσεις, x₁, x₂, x₃, ...., x_N, τότε γράφεις το αποτέλεσμά σου με τη μορφή: \(\mathrm{\overline{x}}\)\(\pm \) δx, όπου το \(\mathrm{\overline{x}}\)είναι η μέση τιμή των μετρήσεων, δηλαδή \[\overline{X}=\frac{X_{1}+X_{2}+X_{3}+...+X_{N}}{N}\]

(Εισ.3)

Έκανες Ν μετρήσεις, επειδή το έκρινες αναγκαίο.
Αυτή είναι η δική σου απάντηση για το μέγεθος.
Αυτή είναι για σένα η πιθανή τιμή.
Αυτή είναι για σένα η καλύτερη εκτίμηση για την αληθινή τιμή του μεγέθους.
Η αληθινή τιμή είναι μια εξιδανίκευση. Είναι αυτή που πλησιάζει την τιμή του μεγέθους μετά από πολλές μετρήσεις.

Το μέγεθος δx είναι το Απόλυτο Σφάλμα. Εμείς ως δx θα χρησιμοποιούμε το μέσο σφάλμα της μέσης τιμής (ΜΣΜΤ) των μετρήσεων που δίνεται από τη σχέση: \[\sigma_\overline{x} =\pm \sqrt{\frac{(x_{1}-\overline{x})^2+(x_{2}-\overline{x})^2+...+(x_{N}-\overline{x})^2}{N\cdot (N-1)}}\]

(Εισ.4)

Παρατήρηση: Για λόγους ευκολίας γραφής αντί για \(\sigma_\overline{x}\) θα γράφουμε σ.

Βίντεο: Μέση τιμή - Μέσο σφάλμα

Βίντεο Εισ.2 Υπολογισμός μέσης τιμής και μέσου σφάλματος με την αριθμομηχανή των Windows7.

Τι σημαίνει ο τρόπος γραφής \(\mathrm{\overline{x}}\)\(\pm \)σ ;
Απάντηση:
Σύμφωνα με τις μετρήσεις που έκανες, το \(\mathrm{\overline{x}}\) είναι η καλύτερη απάντηση για το μέγεθος που μέτρησες. Είναι η καλύτερη τιμή, σύμφωνα με τις δικές σου μετρήσεις. Με βάση την κατανομή Gauss, μέσα στην περιοχή \(\mathrm{\overline{x}-\sigma}\) έως \(\mathrm{\overline{x}+\sigma}\) βρίσκεται το 68% των μετρήσεων που έκανες. Αν κάνεις μια νέα μέτρηση, αυτή έχει πιθανότητα 68% να βρίσκεται μέσα στο συγκεκριμένο διάστημα. Παράλληλα, σημαίνει ότι υπάρχει πιθανότητα 68% η αληθινή τιμή να βρίσκεται στο ίδιο διάστημα. Στην περιοχή \(\mathrm{\overline{x}}\pm 2\sigma \) ισχύουν τα ίδια με πιθανότητα 95% (Taylor, 1997).
Παρατήρηση: Ο τύπος (Εισ.4) με τον οποίο υπολογίζουμε το ΜΣΜΤ έχει και αυτός πιθανότητα σφάλματος. Αυτή η πιθανότητα εξαρτάται από τον αριθμό Ν των μετρήσεων. Αυτό το σφάλμα του σφάλματος υπολογίζεται από τη σχέση: \[\pm\frac{\sigma_\overline{x}}{\sqrt{2\cdot (N-1)}}\]

για Ν=10 το σφάλμα του είναι 24%
για Ν=50 το σφάλμα του \(\sigma_\overline{x}\) είναι 10%
για Ν=300 το σφάλμα του \(\sigma_\overline{x}\) είναι 4%
για Ν=1000 το σφάλμα του \(\sigma_\overline{x}\) είναι 2%

Στα εκπαιδευτικά εργαστήρια το Ν είναι, συνήθως, Ν \(\leq \) 10, οπότε το σφάλμα στον υπολογισμό του \(\sigma_\overline{x}\) είναι σημαντικό. Γι αυτό, οι τελικές τιμές των σφαλμάτων πρέπει να δίνονται με ένα (1) σημαντικό ψηφίο.

Έμμεση μέτρηση ενός μεγέθους

Στην έμμεση μέτρηση ενός μεγέθους δεν μετράμε το μέγεθος απευθείας με κάποιο όργανο, αλλά το υπολογίζουμε με τη βοήθεια κάποιου μαθηματικού τύπου ο οποίος περιέχει μεγέθη που έχουμε ήδη μετρήσει.

Πώς γράφω το αποτέλεσμα σε μια έμμεση μέτρηση;
Απάντηση:
Με τη μορφή χ\(\pm \)δχ, όπου το χ θα βρεθεί από το μαθηματικό τύπο που περιγράφει το μέγεθος.

Για τον υπολογισμό του δχ θα διακρίνουμε περιπτώσεις ανάλογα με τον μαθηματικό τύπο από τον οποίο υπολογίζεις το μέγεθος. Οι πλέον συχνές περιπτώσεις που θα συναντήσεις στα πρώτα σου εργαστήρια είναι:

Γινόμενο π.χ. \(V={\alpha}\cdot{\beta}\cdot\gamma\)

Διαίρεση π.χ. \(V=\frac{\alpha}{\beta}\)

Δύναμη π.χ. \(V={\alpha}^3\cdot{\beta}\)

Άθροισμα – Διαφορά π.χ.\(V={\alpha}+{\beta}\) ή \(V={\alpha}-{\beta}\)

όπου οι μετρήσεις για τα α, β, γ έχουν δώσει τα αποτελέσματα \(\alpha \pm \delta \alpha \), \(\beta \pm \delta \beta\), \(\gamma\pm \delta \gamma\).
Ας δούμε λοιπόν τις περιπτώσεις:

Γινόμενο

Αν ένα μέγεθος V υπολογίζεται από τον τύπο \(V={\alpha}\cdot{\beta}\cdot\gamma\), τότε για να βρεις το V, πολλαπλασιάζεις τα μεγέθη α, β, γ. Για να βρεις το δV, εφαρμόζεις τον τύπο: \[\frac{\delta V}{V}=\frac{\delta\alpha }{\alpha}+\frac{\delta\beta }{\beta }+\frac{\delta\gamma }{\gamma }\]

(Εισ.5)

που λέει ότι το Μέγιστο Σχετικό Σφάλμα υπολογίζεται από το άθροισμα των σχετικών σφαλμάτων των μεγεθών α, β και γ.

Παράδειγμα:

Αν α=(7\(\pm \)1) mm, β=(12\(\pm \)1) mm, γ=(15\(\pm \)1) mm,
V=α∙β∙γ ⇒ V = 7∙12∙15 = 1260 mm³
και δV = 369 mm³
V\(\pm \)δV= (1260\(\pm \)369) mm³

Διαίρεση

Η διαίρεση είναι και αυτή γινόμενο, οπότε ισχύει πάλι ο ίδιος κανόνας. Αν \(V=\frac{\alpha}{\beta}\), τότε: \[\frac{\delta V}{V}=\frac{\delta\alpha }{\alpha}+\frac{\delta\beta }{\beta }\]

(Εισ.6)

δηλαδή και πάλι το Μέγιστο Σχετικό Σφάλμα υπολογίζεται από το άθροισμα των σχετικών σφαλμάτων των μεγεθών α, β.

Παράδειγμα:

α=(80\(\pm \)1)g, β=(20\(\pm \)1) cm
\[V=\frac{80g}{20cm}=4 \frac{g}{cm}\]

\(\frac{\delta V}{4}=\frac{1}{80}+\frac{1}{20}\), \(\delta V=0,3\frac{g}{cm}\)

Απάντηση:
(4,0\(\pm \)0,3) \(\frac{g}{cm}\) (το μέγεθος αυτό εκφράζει τη γραμμική πυκνότητα υλικού).

Δύναμη

Η δύναμη είναι επίσης γινόμενο: V=α³∙β ⇒\(V=\alpha \cdot \alpha \cdot \alpha \cdot \beta\). Άρα, \[\frac{\delta V}{V}=3\cdot \frac{\delta\alpha }{\alpha}+\frac{\delta\beta }{\beta }\]

(Εισ.7)

Αποδεικνύεται ότι και για αρνητικούς εκθέτες το Μέγιστο Σχετικό Σφάλμα γράφεται χωρίς το πρόσημο πλην.

Παράδειγμα:

\[V=\alpha^{-3}\cdot\beta \Rightarrow \frac{\delta V}{V}=3\cdot \frac{\delta\alpha }{\alpha}+\frac{\delta\beta }{\beta }\]

Άθροισμα-Διαφορά

Αν V=α+β, τότε δV=δα+δβ.
Αν V=α-β, τότε δV=δα+δβ (πάλι).

Εδώ η θεωρία λέει ότι το Απόλυτο Μέγιστο Σφάλμα του έμμεσου μεγέθους ισούται με το άθροισμα των απόλυτων σφαλμάτων των α και β, δηλαδή δV=δα+ δβ (πάντα)

Παράδειγμα:

Αν α=(62,8\(\pm \) 0,3) g, β=(15,4\(\pm \)0,2) g, τότε
V=62,8+15,4=78,2 g
δV=(0,3+0,2) g, δV=0,5 g
Απάντηση: (78,2\(\pm \)0,5) g
Αν V=α-β, τότε V=62,8-15,4=47,4 g
δV=(0,3+0,2) g, δV=0,5 g
Απάντηση: (47,4\(\pm \)0,5) g

Θα ανακεφαλαιώσουμε τις πρώτες γνώσεις για τη σημασία της σχετικής αβεβαιότητας με μια παλιά ερώτηση: αν τεντώσουμε μια αλυσίδα, σε ποιο σημείο θα σπάσει; Η απάντηση είναι: εκεί όπου υπάρχει ο πιο αδύναμος κρίκος. Με άλλα λόγια, πρέπει να βελτιώσεις την πιο ασθενή μέτρηση της διαδικασίας, δηλαδή αυτή με το μεγαλύτερο σχετικό σφάλμα, η οποία έχει και τη μεγαλύτερη συμμετοχή στον υπολογισμό της σχετικής αβεβαιότητας στο συγκεκριμένο πείραμα. Έτσι, η παρέμβαση αυτή θα γίνει αφορμή για ουσιαστικές σκέψεις πάνω στις αιτίες που συμβάλλουν στις αβεβαιότητες του πειράματος.

Παράδειγμα:
Για την πυκνότητα \[ρ=\frac{m}{V}\] ενός ομογενούς υλικού ισχύει: \[\frac{\delta\rho}{\rho}=\frac{\delta m}{m}+\frac{\delta V }{V}\] Όταν υπολογίσεις τις τιμές των κλασμάτων, θα μπορέσεις να αποφασίσεις με τι ποσοστό συμμετέχει το καθένα στη συνολική αβεβαιότητα, και να δεις πώς μπορείς να κάνεις βελτιώσεις όπου χρειάζεται.

Με τις σκέψεις αυτές ο υπολογισμός της σχετικής αβεβαιότητας αποκτά ένα πιο ουσιαστικό νόημα και δίνει άλλο ενδιαφέρον στις αλγεβρικές πράξεις που έκανες. Για την πρώτη επαφή με τα Σφάλματα θεωρούμε ότι είναι αρκετά μέχρι εδώ.

Για περίεργους και φιλομαθείς:
Αν θέλεις περισσότερα, βλ. Παράρτημα Α. Εκεί, με τη βοήθεια των Μερικών Παραγώγων, θα δεις τα γενικά θεωρήματα για Σύνθετες Συναρτήσεις. Είναι πιο εύκολο απ’ ό,τι φαντάζεσαι!

Τρόποι ελέγχου του αποτελέσματος

Για τον έλεγχο των αποτελεσμάτων θα χρησιμοποιήσουμε τρεις (3) τρόπους:

1ος τρόπος
Ένας απλός τρόπος για να ελέγξεις το αποτέλεσμά σου είναι να βρεις την επί τοις % διαφορά μεταξύ της αληθινής τιμής Χ_A και της δικής σου πειραματικής τιμής Χ_Π: \[X=\frac{\left | X_{A}-X_{\Pi } \right |}{X_{A}}100\%\]

(Εισ.8)

Όλες οι πειραματικές διατάξεις του εργαστηρίου δίνουν αποτελέσματα κάτω από το 10%. Αυτό βέβαια δεν είναι κανόνας, γιατί πολλά μπορούν να συμβούν κατά την πορεία των μετρήσεών σου. Συζητάς το αποτέλεσμα με τους διδάσκοντες του εργαστηρίου.

2ος τρόπος
Γράφεις τη δική σου απάντηση (Χ\(\pm \)δx). Η αληθινή τιμή είναι (Υ\(\pm \)δy). Αν τα δύο διαστήματα έχουν επικάλυψη, τότε λες ότι το αποτέλεσμα είναι αποδεκτό μέσα στα όρια των σφαλμάτων της μέτρησης.

Παράδειγμα:
Για κάποια πυκνότητα βρήκες (7,3\(\pm \)0,2) g/cm³ , ενώ η θεωρητική τιμή είναι (7,6\(\pm \)0,2) g/cm³.
Τα δύο διαστήματα, όπως φαίνεται στην Εικόνα Εισ.4, έχουν επικάλυψη τιμών. Άρα, η απάντησή σου είναι αποδεκτή.

Εικόνα Εισ.4 Διάστημα τιμών.

3ος τρόπος
Με το σχετικό σφάλμα της μέτρησης \(\overline{\mathrm{x}}\pm\Sigma _{\sigma \chi }\), μεταξύ δύο μετρήσεων του ιδίου μεγέθους πιο ακριβής είναι αυτή που έχει το μικρότερο σχετικό σφάλμα (με την προϋπόθεση ότι γίνονται κάτω από τις ίδιες συνθήκες).

pdf: Έμμεσες μετρήσεις

Βίντεο: Έμμεσες μετρήσεις

Βίντεο Εισ.3 Παρουσίαση των έμμεσων μετρήσεων.