Chapter

Θα αρχίσουμε τώρα να κάνουμε υποθέσεις για τη δυναμική των πρωτογενών προϊόντων και θα ερευνήσουμε αν με αυτές τις επιπλέον υποθέσεις μπορούμε να εξαγάγουμε ακριβέστερα συμπεράσματα για την τιμολόγηση παραγώγων βάσει της αρχής της μη επιτηδειότητας. Σκοπός μας είναι να φτάσουμε στην ανάλυση υποδειγμάτων που θεωρούνται ρεαλιστικά για τις πραγματικές αγορές. Θα φτάσουμε σε αυτήν βήμα βήμα, ξεκινώντας από ένα πολύ απλό υπόδειγμα που θα χρησιμοποιήσουμε στη συνέχεια σαν δομικό στοιχείο για την κατασκευή πιο σύνθετων. Παρόμοιο υλικό μπορείτε να βρείτε εδώ και στις αναφορές [ Williams06 ], [ Musiela97 ], [ Ross11 ], [ Shreve04 ] και [ Cvitanic04 ].

2.2 Το διωνυμικό υπόδειγμα μιας περιόδου

Κάθε ρεαλιστικό υπόδειγμα θα πρέπει να ενέχει την τυχαιότητα ως προς την χρονική εξέλιξη της αξίας του πρωτογενούς προϊόντος και να λαμβάνει υπ' όψιν την μεταβολή της αξίας του χρήματος με τον χρόνο. Το διωνυμικό υπόδειγμα (binomial model) μιας περιόδου έχει αυτά τα χαρακτηριστικά στην απλούστερη δυνατή μορφή. Η αγορά μας αποτελείται μόνο από το πρωτογενές προϊόν και ένα ομόλογο. Η τρέχουσα τιμή του προϊόντος είναι $S_{0}=s_{0}$ και μας ενδιαφέρει μόνο μια μεταγενέστερη χρονική στιγμή $T$. H $S_{T}$ θα είναι μια τυχαία μεταβλητή που μπορεί να λάβει μόνο δύο τιμές: την τιμή $s_{1}$ με πιθανότητα $p\ ( 0 < p < 1)$ ή την τιμή $s_{2}$ με πιθανότητα $1-p$. Ας υποθέσουμε ότι $s_{1}>s_{2}$. Είναι εύκολο να δείτε ότι η αρχή της μη επιτηδειότητας επιβάλλει κάποιους περιορισμούς στις τιμές που μπορεί να πάρει η $S_{T}$. Συγκεκριμένα,

Η αρχική αξία του ομολόγου θα είναι $e^{-rT}$, ενώ η αξία του στον χρόνο $T$ θα είναι 1.

Η απόδοση $f(S_{T})$ ενός ευρωπαϊκού παραγώγου επί αυτού του προϊόντος με χρόνο ωρίμανσης $T$ είναι κι αυτή μια τυχαία μεταβλητή, η οποία μπορεί να πάρει μόνο δύο τιμές: $f_{1}=f(s_{1})$ με πιθανότητα $p$ και $f_{2}=f(s_{2})$ με πιθανότητα $1-p$. Θα θέλαμε να τιμολογήσουμε ένα τέτοιο παράγωγο. Μια απλοϊκή προσέγγιση θα ήταν να το τιμολογήσουμε όσο είναι η σημερινή αξία της αναμενόμενης απόδοσής του στην ωρίμανση. Δηλαδή,

\begin{equation} A_{0}=e^{-rT}\EE^{p}[f(S_{T})]:=e^{-rT}(pf_{1}+(1-p)f_{2}). \end{equation}

Κάτι τέτοιο όμως μπορεί να επιτρέψει στρατηγικές επιτηδειότητας, όπως φαίνεται στο ακόλουθο παρά-δειγμα: Έστω $s_{0}= $ 80,\ s_{1}= $ 100,\ s_{2}= $ 70,\ p=\half,\ r=0$. Η αξία που θα δίνει ο παραπάνω τρόπος υπολογισμού σε ένα ευρωπαϊκό δικαίωμα αγοράς στην τιμή $ 90 (με απόδοση $f_{1}= $ (100-90)^{+}= $ 10,\ f_{2}= $ (70-90)^{+}=0$) είναι $A_{0}=\half $ 10+\half 0= $ 5$. Ας δούμε τώρα πώς μπορούμε να κατασκευάσουμε μια στρατηγική επιτηδειότητας, αν η τιμή διαπραγμάτευσης αυτού του παραγώγου στην αγορά ήταν $ 5. Φτιάχνουμε ένα χαρτοφυλάκιο που αποτελείται από αρνητική θέση σε 3 παράγωγα, θετική θέση στο προϊόν και δανεισμό (αρνητική θέση στο ομόλογο) $ 65. Η αρχική αξία αυτού του χαρτοφυλακίου είναι: $-3\times $ 5+ $ 80- $ 65=0$. Aν στον χρόνο $T$ το προϊόν πάρει την τιμή $s_{1}= $ 100$, η αξία του χαρτοφυλακίου μας θα είναι: $-3\times $ 10+ $ 100- $ 65= $ 5$. Αν πάλι το προϊόν πάρει την τιμή $s_{2}= $ 70$, τότε η αξία του χαρτοφυλακίου μας θα είναι: $-3\times 0+ $ 70- $ 65= $ 5$. Έχουμε δηλαδή κέρδος $ $ 5$ χωρίς κίνδυνο. Αυτό συμβαίνει γιατί, όπως θα δούμε, η αρχή της μη επιτηδειότητας επιβάλλει μια τιμή για κάθε παράγωγο στα πλαίσια του διωνυμικού υποδείγματος που στο παράδειγμά μας δεν είναι $ $ 5$. Στο τέλος αυτού του κεφαλαίου θα ξέρουμε πώς να υπολογίσουμε την θεωρητικά δίκαιη αυτή τιμή και πώς να κατασκευάσουμε μια στρατηγική επιτηδειότητας, αν η τιμή διαπραγμάτευσης είναι διαφορετική.

Για να τιμολογήσουμε ένα παράγωγο με απόδοση $f$ θα κατασκευάσουμε ένα χαρτοφυλάκιο αποτελούμενο από $\phi$ μέρη του πρωτογενούς προϊόντος και $\psi$ ομόλογα έτσι ώστε η αξία του χαρτοφυλακίου στον χρόνο $T$ να ταυτίζεται με την αξία του παραγώγου, ανεξάρτητα από την τιμή της (τυχαίας μεταβλητής) $S_{T}$. Δηλαδή, $\phi S_{T}+\psi=f(S_{T})$. Στο διωνυμικό υπόδειγμα που μελετάμε αυτό ισοδυναμεί με το ακόλουθο σύστημα εξισώσεων:

\[ \begin{cases} \phi s_{1}+\psi &=f_{1}\\ \phi s_{2}+\psi &=f_{2}. \end{cases} \]

Το σύστημα αυτό λύνεται για κάθε ($f_{1},f_{2}$) και η λύση του δίνεται από τις

\begin{equation} \phi=\frac{f_{1}-f_{2}}{s_{1}-s_{2}}, \qquad \psi=\frac{s_{1}f_{2}-s_{2}f_{1}}{s_{1}-s_{2}}. \end{equation}

Αφού το χαρτοφυλάκιο αυτό έχει την ίδια αξία με το παράγωγο στον χρόνο $T$, από την αρχή της μη επιτηδειότητας θα πρέπει να έχουν και την ίδια αρχική αξία. Επομένως η θεωρητικά δίκαιη τιμή του παραγώγου είναι

και αντικαθιστώντας τα $\phi,\psi$ από την (2.3) παίρνουμε

\begin{equation} f_{0}=e^{-rT}\left(qf_{1}+(1-q)f_{2}\right)=e^{-rT}\EE^{q}[f(S_{T})], \end{equation}

Εδώ αξίζει να κάνουμε μερικές σημαντικές παρατηρήσεις.

Παρατήρηση 2.1

Από την (2.1), η οποία είναι συνέπεια της αρχής της μη επιτηδειότητας, έχουμε ότι $ 0 < q < 1$.

Παρατήρηση 2.2 Προσέξτε την ομοιότητα της (2.4) με την (2.2). Μπορεί η δίκαιη αρχική αξία του παραγώγου να είναι η παρούσα αξία της αναμενόμενης απόδοσής του, αυτή όμως η αναμενόμενη απόδοση πρέπει να υπολογιστεί ως προς το μέτρο που αποδίδει πιθανότητα $q$ στο ενδεχόμενο το πρωτογενές προϊόν να πάρει την τιμή $s_{1}$ και $1-q$ στο ενδεχόμενο το πρωτογενές προϊόν να πάρει την τιμή $s_{2}$. Όπως φαίνεται από την (2.5), το $q$ αυτό δεν εξαρτάται από την πιθανότητα $p$ που το μοντέλο μας αποδίδει στο ενδεχόμενο το πρωτογενές προϊόν να πάρει την τιμή $s_{1}$.

Παρατήρηση 2.3

Το ίδιο το πρωτογενές προϊόν μπορεί να εκληφθεί σαν παράγωγο με συνάρτηση απόδοσης $f(S_{T})=S_{T}$. Εφαρμόζοντας την (2.4) σε αυτήν την περίπτωση έχουμε ότι

\begin{equation} S_{0}=e^{-rT}\EE^{q}[S_{T}]. \end{equation}

Είναι εύκολο να δείτε ότι η παραπάνω σχέση είναι ισοδύναμη με την (2.5) και επομένως ορίζει το μέτρο πιθανότητας ως προς το οποίο υπολογίζεται η αναμενόμενη τιμή στην (2.4). H ιδιότητα αυτή διέπει όλα τα υποδείγματα που θα μελετήσουμε και είναι το σημείο αφετηρίας της σύγχρονης προσέγγισης στην τιμολόγηση παραγώγων. Θα καλούμε τα μέτρα πιθανότητας που ικανοποιούν την (2.6) αδιάφορα κινδύνου (risk-neutral).

Συνοψίζοντας όσα είδαμε στα πλαίσια του διωνυμικού υποδείγματος μιας περιόδου έχουμε:

Ας δούμε τέλος πώς μπορούμε να κατασκευάσουμε μια στρατηγική επιτηδειότητας, αν η τιμή διαπραγμάτευσης ενός παραγώγου $F_{0}$ είναι διαφορετική από τη θεωρητικά δίκαιη $f_{0}$. Συνθέτουμε ένα χαρτοφυλάκιο $X$ που αποτελείται από το παράγωγο, αρνητική θέση στο χαρτοφυλάκιο που το αναπαράγει και μετρητά $f_{0}-F_{0}$. H αρχική αξία του $X$ είναι μηδενική. Από την κατασκευή του χαρτοφυλακίου αυτού, η αξία του $X$ στον χρόνο $T$ θα είναι

Παίρνοντας θετική ή αρνητική θέση στο $X$, ανάλογα αν η $f_{0}$ είναι μεγαλύτερη ή μικρότερη της $F_{0}$, έχουμε μια στρατηγική επιτηδειότητας.

Το χαρακτηριστικό του χαρτοφυλακίου του προηγούμενου παραδείγματος είναι ότι, αν και περιέχει το παράγωγο, η απόδοσή του δεν εξαρτάται από την έκβαση της τιμής του προϊόντος με κίνδυνο. Μια τέτοια στρατηγική ονομάζεται αντιστάθμιση του κινδύνου (hedging) και το χαρτοφυλάκιο που την υλοποιεί αντισταθμιστικό (replicating portfolio).

2.3 Το υπόδειγμα Arrow-Debreu

Στο γενικότερο υπόδειγμα μιας περιόδου θα θεωρήσουμε $N$ προϊόντα, εκ των οποίων το πρώτο είναι πάντα ομόλογο. Οι αρχικές τιμές των προϊόντων θα περιγράφονται από ένα διάνυσμα $p\in\RR^{N},\, p^{\top}=(p_{1}, p_{2}, \ldots, p_{N}),$ όπου $p_{\alpha}=S_{\alpha}(0)$ είναι η αρχική αξία του προϊόντος $\alpha$ για $\alpha=1,\ldots, N$. Και πάλι μας ενδιαφέρει μόνο μια μεταγενέστερη στιγμή $T$ στην οποία η αγορά μας μπορεί να βρεθεί σε $M$ δυνατές καταστάσεις. Οι καταστάσεις αυτές περιγράφονται από ένα $N\times M$ πίνακα $D$. Κάθε μια από τις $M$ στήλες του $D$ περιγράφει τις τιμές των $N$ προϊόντων στην αντίστοιχη κατάσταση. Έτσι,

\[ D=\left (\begin{array} {cccc} 1 &1 &\ldots &1\\ D_{21} &D_{22} &\ldots &D_{2M}\\ \vdots &\vdots &\ddots &\vdots\\ D_{N1} &D_{N2} &\ldots &D_{NM} \end{array} \right) \]

όπου $D_{k}^{\top}=(D_{1k},D_{2k},\ldots,D_{Nk})$ είναι οι τιμές των $N$ προϊόντων στην κατάσταση $k$. Επειδή η τελική αξία του ομολόγου είναι 1 σε όλες τις τελικές καταστάσεις, έχουμε πάντοτε $D_{1k}=1$, για κάθε $k=1,\ldots,M$. Αντίστοιχα, επειδή η αρχική του ομολόγου είναι $e^{-rT}$, έχουμε $p_{1}=e^{-rT}$.

Μπορούμε να αποδώσουμε πιθανότητα $\pi_k>0, k=1,\ldots, M$ στο ενδεχόμενο η αγορά μας να βρεθεί στην $k$-οστή κατάσταση στον χρόνο $T$, οπότε η αξία των προϊόντων $S(T)$ θα είναι ένα τυχαίο διάνυσμα στον $\RR^{N}$ που παίρνει την τιμή $D_{k}$ με πιθανότητα $\pi_{k}$.

Υποθέτουμε επιπλέον ότι μπορούμε να πάρουμε θετική ή αρνητική θέση σε κάθε προϊόν της αγοράς χωρίς περιορισμούς ως προς το μέγεθος της θέσης. Έτσι, ένα χαρτοφυλάκιο περιγράφεται από ένα διάνυσμα $\theta\in\RR^{N}$ τα στοιχεία του οποίου είναι η θέση μας σε κάθε προϊόν. Η αρχική αξία ενός χαρτοφυλακίου $\theta$ είναι επομένως $\theta\cdot S(0)=\sum_{\alpha}\theta_{\alpha}p_{\alpha}$, ενώ η αξία του στον χρόνο $T$ (=$\theta\cdot S(T)$) είναι μια τυχαία μεταβλητή. Στο ενδεχόμενο που το σύστημα βρεθεί στην κατάσταση $k\ (k=1,\ldots,M)$, η αξια του χαρτοφυλακίου $\theta$ είναι $(D^{\top}\theta)_{k}:=\sum_{\alpha}\theta_{\alpha}D_{\alpha k}$.
Για παράδειγμα, στο διωνυμκό υπόδειγμα που μελετήσαμε έχουμε $p^{\top}=(e^{-rT},s_{0})$,

$\pi_{1}=p$, $\pi_{2}=1-p$, ενώ ένα χαρτοφυλάκιο από $\phi$ μέρη του πρωτογενούς προϊόντος και $\psi$ ομόλογα περιγράφεται από το διάνυσμα $\theta=(\psi,\phi)$.

Παρακάτω θα γράφουμε $u\ge 0$ (αντίστοιχα $>0$) για ένα διάνυσμα $u$, αν όλες οι συνιστώσες του είναι μη αρνητικές (αντίστοιχα θετικές).

Η αρχή της μη επιτηδειότητας αξιώνει ότι δεν μπορεί να υπάρξει δυνατότητα κέρδους χωρίς την ανάληψη κινδύνου. Με τον συμβολισμό που αναπτύξαμε η αρχή της μη επιτηδειότητας στο υπόδειγμα Arrow-Debreu μπορεί να διατυπωθεί ως

\begin{equation} (D^{\top}\theta)\ge 0 \text{ και }\theta\cdot p=0 \implies (D^{\top}\theta)=0. \end{equation}

Στις Ασκήσεις θα δούμε ότι η (2.7) συνεπάγεται την ακόλουθη προτάση, την οποία χρησιμοποιήσαμε στο προηγούμενο κεφάλαιο:

Πρόταση 2.1 Έστω ότι ο πίνακς $D$ και το διάνυσμα $p$ ικανοποιούν την (2.7). Τότε,
α. Αν $(D^{\top}\theta)\ge 0$, τότε $\theta\cdot p\ge 0$.
β. Αν $(D^{\top}\theta)= 0$, τότε $\theta\cdot p= 0$.

Μια ενδιαφέρουσα ισοδύναμη διατύπωση της αρχής της μη επιτηδειότητας προσφέρει το ακόλουθο Θεώρημα.

Θεώρημα 2.1 Η συνθήκη (2.7) ικανοποιείται τότε και μόνο, όταν το γραμμικό σύστημα $Du=p$ έχει λύση $u\in\RR^{M}$ με $u>0$.

Απόδειξη: Ας υποθέσουμε πρώτα ότι το παραπάνω σύστημα έχει λύση $u>0$ και ας θεωρήσουμε ένα χαρτοφυλάκιο $\theta\in\RR^{N}$ τέτοιο ώστε $(D^{\top}\theta)\ge 0$ και $\theta\cdot p= 0$. Τότε,

Εφόσον όμως $(D^{\top}\theta)\ge 0$ και $u>0$, ο μόνος τρόπος ώστε $(D^{\top}\theta)\cdot u=0$ είναι να έχουμε $D^{\top}\theta=0$.

Για την αντίστροφη κατεύθυνση θα υποθέσουμε ότι η (2.7) ικανοποιείται και θα αποδείξουμε ότι το σύστημα $Du=p$ έχει λύση $u>0$. Η ύπαρξη λύσης του παραπάνω συστήματος είναι σχετικά εύκολο να δειχθεί. Πράγματι, αν ${\cal N}(D^{\top})$ είναι ο πυρήνας του $D^{\top}$ και $\langle p\rangle$ είναι ο γραμμικός χώρος διάστασης 1 που παράγει το διάνυσμα $p$ τότε η πρόταση (2.1β) δίνει ότι

\[ {\cal N}(D^{\top})\subset\langle\, p\,\rangle ^{\perp} \text{ και άρα } p\in{\cal N}(D^{\top})^{\perp}=\mathfrak{I}\mathfrak{m}(D). \]

Είναι σημαντικά δυσκολότερο να δείξουμε ότι υπάρχει θετική λύση. Αυτό απαιτεί την επίκληση του Θεωρήματος του διαχωρίζοντος υπερεπιπέδου (separating hyperplane theorem) (2.4) που αποδεικνύεται στην Παράγραφο 2.4. Έστω λοιπόν $L$ η εικόνα του $\langle\, p\,\rangle^\perp$ κάτω από τον μετασχηματισμό $D^{\top},$ δηλαδή

Είναι εύκολο να δούμε ότι ο $L$ είναι ένας γραμμικός υπόχωρος του $\RR^{M}$, ενώ το $C$ είναι ένα μη κενό, κυρτό και συμπαγές υποσύνολο του $\RR^{M}$. Επιπλέον, από την (2.7) έχουμε ότι $L\cap C=\emptyset$. Το Θεώρημα 2.4 εξασφαλίζει την ύπαρξη ενός $x^{*}\in\RR^{M}$ τέτοιου ώστε

Εφόσον για $k=1,2,\ldots,M$, το μοναδιαίο διάνυσμα $e_{k}$ ανήκει στο $C$, έχουμε $x_{k}^{*}=x^{*}\cdot e_{k}>0$. Επιπλέον, κάθε διάνυσμα κάθετο στο $p$ είναι και κάθετο στο $Dx^{*}$, αφού αν $\theta\cdot p=0$ τότε

\[ (Dx^{*})\cdot\theta=x^{*}\cdot(D^{\top}\theta)=0, \text{ διότι } D^{\top}\theta\in L. \]

Επομένως, $Dx^{*}=\lambda p$ για κάποιο $\lambda\in\RR$. Το $\lambda$ αυτό μπορεί να υπολογιστεί ως εξής. Σύμφωνα με την παραδοχή που έχουμε κάνει, το πρώτο προϊόν είναι ομόλογο με αρχική αξία $p_{1}=e^{-rT}$ και τελική αξία 1 σε όλες τις δυνατές καταστάσεις. Εξισώνοντας τις πρώτες συντεταγμένες των $Dx^{*}$ και $\lambda p$ λαμβάνουμε

\[ \lambda p_{1}=\lambda e^{-rT}=(Dx^{*})_{1}=\sum_{k=1}^{M}D_{1k}x_{k}^{*}=\sum_{k=1}^{M}x_{k}=:\xnorm{1}{x^{*}}. \]

Συνεπώς $\lambda=\xnorm{1}{x^{*}}e^{rT}$ και άρα το διάνυσμα

είναι λύση του γραμμικού συστήματος $Du=p$ με $u>0$.

Εφόσον $u> 0$, μπορούμε να φανταστούμε ότι τα $q_{k}$ ορίζουν ένα νέο μέτρο πιθανότητας $q$, το οποίο αποδίδει πιθανότητα $q_{k}$ στο ενδεχόμενο που η αγορά βρεθεί στην κατάσταση $k$ στον χρόνο $T$. Όπως και στο διωνυμικό υπόδειγμα μιας περιόδου, οι πιθανότητες αυτές δεν έχουν καμιά σχέση και δεν πρέπει να συγχέονται με τις πιθανότητες $\pi_{k}$ που αποδίδει το μοντέλο μας σε αυτά τα ενδεχόμενα. Επιπλέον, οι υπόλοιπες εξισώσεις του γραμμικού συστήματος ($\alpha=2,3,\ldots,N$) γράφονται ως εξής:

\[ \sum_{k=1}^{M}D_{\alpha k}u_{k}=p_{\alpha}\Leftrightarrow e^{-rT}\sum_{k=1}^{M}q_{k}D_{\alpha k}=p_{\alpha} \Leftrightarrow e^{-rT}\EE^{q}[S_{\alpha}(T)]=S_{\alpha}(0),\qquad \alpha=2,3,\ldots,N. \]

Το $q$ είναι λοιπόν ένα αδιάφορο κινδύνου μέτρο πιθανότητας. Εφόσον $u>0$, έχουμε ακόμα ότι $q_{k}>0\Leftrightarrow \pi_{k}>0$. Όταν συμβαίνει αυτό, λέμε ότι τα μέτρα πιθανότητας $\pi$ και $q$ είναι ισοδύναμα και γράφουμε $q\sim\pi$. Μπορούμε τώρα να επαναδιατυπώσουμε το Θεώρημα 2.1 ως εξής.

Θεώρημα 2.2 Η αρχή της μη επιτηδειότητας ικανοποιείται τότε και μόνο, όταν υπάρχει ένα αδιάφορο κινδύνου μέτρο πιθανότητας $q$ τέτοιο ώστε $q\sim\pi$.

Γιατί να προτιμήσουμε αυτήν τη διατύπωση; Οι έννοιες του αδιάφορου κινδύνου μέτρου πιθανότητας και της ισοδυναμίας δυο μέτρων μπορούν να οριστούν για κάθε υπόδειγμα που θα εξετάσουμε. Έτσι, η διατύπωση στο Θεώρημα 2.2 είναι καθολική για όλα τα υποδείγματα, ενώ αντίθετα η διατύπωση στο θεώρημα 2.1 αναφέρεται αποκλειστικά στο υπόδειγμα Arrow-Debreu.

Έχοντας προσδιορίσει σαφώς τους περιορισμούς που οφείλει να πληροί το μοντέλο μας ώστε να ικανοποιείται η αρχή της μη επιτηδειότητας, θα στρέψουμε τώρα την προσοχή μας στην τιμολόγηση παραγώγων των προϊόντων της αγοράς μας. Η απόδοση ενός τέτοιου παραγώγου στον χρόνο $T$ θα είναι συνάρτηση των τιμών των πρωτογενών προϊόντων στον χρόνο $T$ και θα περιγράφεται από ένα διάνυσμα $f\in\RR^{M}: f^{\top}=(f_{1},\ldots,f_{M})$, όπου $f_{k}$ θα είναι η απόδοση του παραγώγου, αν η αγορά βρεθεί στην κατάσταση $k$. Αν θέλουμε να αναπαραγάγουμε την απόδοση του παραγώγου αυτού, πρέπει να βρούμε ένα χαρτοφυλάκιο, δηλαδή ένα $\theta\in\RR^{N}$, που η αξία του σε κάθε μια από τις $M$ καταστάσεις ταυτίζεται με την αξία του χαρτοφυλακίου, δηλαδή

\begin{equation} \sum_{\alpha=1}^{N} \theta_{\alpha}D_{\alpha k}=f_{k}, \qquad k=1,\ldots,M. \end{equation}

Αυτό είναι ένα γραμμικό σύστημα ($D^{\top}\theta=f$) με $M$ εξισώσεις και $N$ αγνώστους. Αν το σύστημα αυτό έχει λύση $\theta\in\RR^{N}$, τότε η αρχική αξία του παραγώγου επιβάλλεται από την αρχή της μη επιτηδειότητας και πρέπει να ταυτίζεται με την αρχική αξία του χαρτοφυλακίου που αναπαράγει την απόδοσή του, δηλαδή $V_{0}(f)=\theta\cdot p$.

Παράδειγμα 2.1 Θεωρήστε ένα υπόδειγμα αγοράς μιας περιόδου με

\[ p=\left (\begin{array} {c}0,9\\ 8\\ 6 \end{array} \right) \text{ και } D=\left (\begin{array} {cccc} 1 &1 & 1 &1\\ 10 & 10 & 6 & 6\\ 8 & 5 & 8 & 5 \end{array} \right). \]

Παρατηρήστε ότι έχουμε δύο προϊόντα με κίνδυνο καθένα από τα οποία ακολουθεί το διωνυμικό υπόδειγμα. Για παράδειγμα, το δεύτερο προϊόν της αγοράς έχει σημερινή αξία 8, ενώ στον χρόνο $T$ η αξία του είναι είτε 10 (καταστάσεις 1 και 2) είτε 6 (καταστάσεις 3 και 4). Θέλουμε να τιμολογήσουμε ένα παράγωγο για το οποίο $f^{\top}=(13,16,5,8)$. Είναι εύκολο να δείτε ότι το σύστημα $D^{\top}\theta=f$ έχει μοναδική λύση με $\theta^{\top}=(1,2,-1),$ άρα η αρχική αξία αυτού του παραγώγου είναι $V_{0}=1\times 0,9+8\times 2+6\times (-1)=10,9$. Προσέξτε και πάλι ότι οι πιθανότητες $\pi_{k}$ δεν παίζουν ρόλο στην τιμολόγηση του παραγώγου.

Παρατήρηση 2.4

Το γραμμικό σύστημα $D^{\top}\theta=f$ ενδέχεται να μην έχει μονοσήμαντη λύση. Επομένως είναι δυνατόν να υπάρχουν διαφορετικά χαρτοφυλάκια που αναπαράγουν την απόδοση του παραγώγου. Σε αυτήν την περίπτωση δεν έχει σημασία ποιo από αυτά θα χρησιμοποιήσουμε για να ορίσουμε την αρχική αξία του παραγώγου, καθώς όλα τα χαρτοφυλάκια που αναπαράγουν την απόδοση του παραγώγου έχουν την ίδια αρχική αξία. Αυτός ο ισχυρισμός είναι συνέπεια της αρχής της μη επιτηδειότητας και μπορούμε να τον αποδείξουμε ως εξής. Γνωρίζουμε ότι από την αρχή της μη επιτηδειότητας υπάρχει $u\in\RR^{M}$ ώστε $Du=p$. Επομένως, αν $D^{\top}\theta_{1}=D^{\top}\theta_{2}=f$, έχουμε:

\[ (\theta_{1}-\theta_{2})\cdot p=(\theta_{1}-\theta_{2})\cdot (Du)= D^{\top}(\theta_{1}-\theta_{2})\cdot u=0. \]

Παράδειγμα 2.2

Θεωρήστε ένα υπόδειγμα αγοράς μιας περιόδου με

\[ p=\left (\begin{array} {c}0,9\\ 8\\ 6 \\ 10, 9\end{array} \right) \text{ και } D=\left (\begin{array} {cccc} 1 &1 & 1 &1\\ 10 & 10 & 6 & 6\\ 8 & 5 & 8 & 5\\ 13 &16& 5 & 8 \end{array} \right). \]

Παρατηρήστε τώρα ότι η αγορά μας είναι η ίδια του προηγούμενου παραδείγματος με την προσθήκη του παραγώγου που τιμολογήσαμε στα προς διαπραγμάτευση προϊόντα. Κάθε παράγωγο που μπορεί να αναπαραχθεί με ένα χαρτοφυλάκιο $\theta$, όπου $\theta^{\top}=(\theta_{1},\theta_{2},\theta_{3},\theta_{4})$, μπορεί επίσης να αναπαραχθεί και από το χαρτοφυλάκιο $\tilde{\theta}$ με $\tilde{\theta}^{\top}=(\theta_{1}+\theta_{4},\theta_{2}+2\theta_{4},\theta_{3}-\theta_{4},0)$. Αυτό συμβαίνει γιατί το παράγωγο του προηγούμενου παραδείγματος μπορεί, όπως είδαμε, να συντεθεί από τα άλλα προϊόντα. Προσέξτε επίσης ότι

\begin{eqnarray*} \tilde{\theta}\cdot p &=&0,9\times(\theta_{1}+\theta_{4})+8\times(\theta_{2}+2\theta_{4})+ 6\times(\theta_{3}-\theta_{4})+10,9\times 0\\ &=&0,9\times\theta_{1}+8\times\theta_{2}+6\times\theta_{3}+10,9\times\theta_{4}\\ &=&\theta\cdot p. \end{eqnarray*}

Από τη Γραμμική Άλγεβρα γνωρίζουμε ότι το γραμμικό σύστημα $D^{\top}\theta=f$ έχει λύση $\theta\in\RR^{N}$ για κάθε $f\in\RR^{M}$, αν και μόνο αν η τάξη του πίνακα $D$ είναι $M$. Σε αυτήν την περίπτωση κάθε παράγωγο μπορεί να αναπαραχθεί και να τιμολογηθεί, οπότε η αγορά που περιγράφει το μοντέλο μας είναι πλήρης. Στην αντίθετη περίπτωση, υπάρχουν παράγωγα για τα οποία το σύστημα (2.8) δεν έχει λύση και η αρχή της μη επιτηδειότητας δεν αρκεί για να προσδιορίσουμε την αξία του παραγώγου. Και πάλι όμως η αρχή της μη επιτηδειότητας μπορεί να δώσει εκτιμήσεις για την αρχική αξία του παραγώγου. Πιο συγκεκριμένα, αν ένα χαρτοφυλάκιο έχει σε όλες τις δυνατές τελικές καταστάσεις μεγαλύτερη αξία από αυτήν του παραγώγου, τότε η αρχική αξία του παραγώγου δεν μπορεί να ξεπερνά αυτή του χαρτοφυλακίου:

\[ \sum_{\alpha=1}^{N}\theta_{\alpha}D_{\alpha k}\ge f_{k},\ \forall k\in\{1,2,\ldots,M\} \Longrightarrow V_{0}(f)\le \theta\cdot p. \]

Επομένως, αν ${\cal M}_{+}=\{\theta\in\RR^{N}:\ \sum_{\alpha=1}^{N}\theta_{\alpha}D_{\alpha k}\ge f_{k},\ \forall k\in\{1,2,\ldots,M\}\} =\{\theta\in\RR^{N}:\ D^{\top}\theta\ge f\}$, τότε

\begin{equation} V_{0}(f)\le \min_{\theta\in{\cal M}_{+}}\ \theta\cdot p. \end{equation}

\[ \max_{u_{k}\ge 0}\ u_{k}\left(f_{k}-\sum_{\alpha=1}^{N}\theta_{\alpha}D_{\alpha k}\right) =\begin{cases} 0, &\text{αν } f_{k}\le\sum_{\alpha=1}^{N}\theta_{\alpha}D_{\alpha k}\\ +\infty, &\text{διαφορετικά. } \end{cases} \]

Η δεύτερη ισότητα προκύπτει από εφαρμογή του θεωρήματος δυϊσμού του γραμμικού προγραμματισμού. Η προτελευταία ισότητα προκύπτει όπως και η πρώτη, αφού

\[ \min_{\theta\in\RR^{N}}\ \sum_{\alpha=1}^{N}\theta_{\alpha}\left(p_{\alpha}-\sum_{k=1}^{M}u_{k}D_{\alpha k}\right)= \begin{cases} 0, &\text{αν }Du=p,\\ -\infty, &\text{διαφορετικά.} \end{cases} \]

Παρατηρήστε ότι το εφικτό σύνολο ${\cal I}$ του δυϊκού προγράμματος είναι ακριβώς τα αδιάφορα κινδύνου μέτρα πιθανότητας, ενώ η αντικειμενική συνάρτηση $q\cdot f$ είναι η αναμενόμενη (κάτω από το $q$) απόδοση του παραγώγου στον χρόνο $T$. Επιπλέον, το σύνολο ${\cal I}$ είναι μη κενό και συμπαγές. Επομένως, το ελάχιστο στην (2.9) λαμβάνεται για κάποιο $\theta\in{\cal M}_{+}$ και ισούται με τη λύση του δυϊκού προβλήματος,

Με τον ίδιο τρόπο μπορούμε να πάρουμε ένα κάτω φράγμα για την αρχική αξία του παραγώγου:

Βλέπουμε λοιπόν ότι, ακόμη και σε μια μη πλήρη αγορά, η αρχή της μη επιτηδειότητας επιβάλλει περιορισμούς στην αρχική αξία ενός παραγώγου. Είναι εύλογο να διερευνήσουμε αν οι παραπάνω εκτιμήσεις είναι οι ακριβέστερες που μπορεί να πάρει κανείς. Η απάντηση σε αυτό το ερώτημα είναι θετική.

Πρόταση 2.2 Αν το αρχικό μας υπόδειγμα αγοράς ικανοποιεί την αρχή της μη επιτηδειότητας και $V_{0}^{\min}\neq V_{0}^{\max}$, τότε οποιαδήποτε αρχική αξία $v_{0}$ του παραγώγου στο διάστημα ($V_{0}^{\min},V_{0}^{\max}$) αποκλείει την ύπαρξη στρατηγικής επιτηδειότητας.

Απόδειξη: Διευρύνουμε την αγορά μας συμπεριλαμβάνοντας και το παράγωγο στα προϊόντα που είναι διαθέσιμα προς διαπραγμάτευση με αρχική τιμή $v_{0}$. Η διευρυμένη αυτή αγορά έχει διάνυσμα αρχικών τιμών και πίνακα τελικής κατάστασης

\[ \tilde{p}=\left (\begin{array} {c} e^{-rT}\\p_{2}\\ \vdots \\p_{N}\\ v_{0 }\end{array} \right)\in\RR^{N+1} \quad\text{και}\quad \tilde{D}=\left (\begin{array} {cccc} 1 &1 &\ldots &1\\ D_{21} &D_{22} &\ldots &D_{2M}\\ \vdots &\vdots &\ddots &\vdots\\ D_{N1} &D_{N2} &\ldots &D_{NM}\\ f_{1} &f_{2} &\ldots&f_{M} \end{array} \right)\in\Pi_{(N+1)\times M}, \]

αντίστοιχα. Θα δείξουμε ότι υπάρχει $u\in\RR^{M}$ τέτοιο ώστε $u>0$ και $\tilde{D}u=\tilde{p}$, οπότε από το Θεώρημα 2.1 δεν μπορεί να κατασκευαστεί στρατηγική επιτηδειότητας χρησιμοποιώντας τα προϊόντα της διευρυμένης αυτής αγοράς.

Πράγματι, εφόσον το ${\cal I}$ είναι συμπαγές υποσύνολο του $\RR^{M}$, το μέγιστο και το ελάχιστο στα δυϊκά προβλήματα που θεωρήσαμε παραπάνω λαμβάνονται, υπάρχουν δηλαδή $x,y\in\RR^{M}$ τέτοια ώστε $x,y\ge 0$, $Dx=Dy=p$ και

Επιπλέον, από την αρχή της μη επιτηδειότητας για το αρχικό μας υπόδειγμα, υπάρχει $w\in\RR^{M}$ με $w>0$ και $Dw=p$. Αν λοιπόν $v_{0}\in (V_{0}^{\min},V_{0}^{\max})$, υπάρχουν θετικές σταθερές $\alpha,\beta,\gamma$ τέτοιες ώστε $\alpha+\beta+\gamma=1$ και

\[ v_{0}=\alpha V_{0}^{\min} +\beta V_{0}^{\max}+\gamma (w\cdot f)=(\alpha x+\beta y+\gamma w)\cdot f. \]

Ορίζουμε τώρα $u=\alpha x+\beta y+\gamma w$. Είναι εύκολο να δει κανείς ότι $Du=p$ και $u>0$. Επιπλέον,

\[ \tilde{D}u=\left (\begin{array} {c}Du\\ f\cdot u\end{array} \right)=\left (\begin{array} {c}p\\ v_{0 }\end{array} \right)=\tilde{p}, \]

άρα στη διευρυμένη αγορά δεν υπάρχουν ευκαιρίες επιτηδειότητας.

Πόρισμα 2.1 Η αρχική αξία ενός παραγώγου καθορίζεται από την αρχή της μη επιτηδειότητας, αν και μόνο αν η $\EE^{q}[f(S(T))]$ έχει την ίδια τιμή για όλα τα αδιάφορα κινδύνου μέτρα πιθανότητας $q\in{\cal I}$.

Θεώρημα 2.3 Η αγορά που περιγράφει το υπόδειγμα Arrow-Debreu είναι πλήρης, αν και μόνο αν υπάρχει μοναδικό αδιάφορο κινδύνου μέτρο πιθανότητας.

Απόδειξη: Σύμφωνα με το προηγούμενο πόρισμα η αγορά είναι πλήρης, αν και μόνο αν τα $\sup_{q\in{\cal I}}\EE^{q}[f(S_{T})]$ και $\inf_{q\in{\cal I}}\EE^{q}[f(S_{T})]$ ταυτίζονται για κάθε $f\in\RR^{M}$. Όμως

\[ \sum_{k=1}^{M}q_{k}f_{k}=\sum_{k=1}^{M}\tilde{q}_{k}f_{k},\ \forall f\in\RR^{M}\Leftrightarrow q=\tilde{q}. \]

Επομένως, είναι ικανή και αναγκαία συνθήκη, προκειμένου η τιμή κάθε παραγώγου $f$ να καθορίζεται από την αρχή της μη επιτηδειότητας, να είναι μονοσύνολο το σύνολο ${\cal I}$.

Παράδειγμα 2.3 (Τριωνυμικό υπόδειγμα μιας περιόδου). Θεωρήστε ένα υπόδειγμα αγοράς μιας περιόδου με

\[ p=\left (\begin{array} {c}0,9\\ 9\end{array} \right) \text{ και } D=\left (\begin{array} {ccc} 1 &1 & 1 \\ 12 & 10 & 8\\ \end{array} \right). \]

Ας βρούμε πρώτα τα αδιάφορα κινδύνου μέτρα πιθανότητας $q$. Θα πρέπει:

\[ \begin{cases} \begin{array} {l} q_{1}+q_{2}+q_{3}=1\\ (12q_{1}+10q_{2}+8q_{3})\times 0,9=9 \end{array} \end{cases} \]

Η γενική λύση αυτού του συστήματος είναι $(q_{1},q_{2},q_{3})=(\frac{1-t}{2},t,\frac{1-t}{2})$ με $t\in\RR$. Για να έχουμε $q\ge 0$ θα πρέπει $t\in [0,1]$. Επομένως,

\[ {\cal I}=\Big\{\left (\begin{array} {c}(1-t)/2\\t\\(1-t)/ 2\end{array} \right): \ t\in[0,1]\Big\}. \]

Η αγορά αυτού του υποδείγματος ικανοποιεί την αρχή της μη επιτηδειότητας και δεν είναι πλήρης. Έστω τώρα ένα παράγωγο με διάνυσμα απόδοσης $f\in\RR^{3}$. Τότε, αν $q\in {\cal I}$ έχουμε

\[ \EE^{q}[f]=\frac{1-t}{2}f_{1}+tf_{2}+\frac{1-t}{2}f_{3}=\frac{f_{1}+f_{3}}{2}+t(f_{2}-\frac{f_{1}+f_{3}}{2}). \]

Ικανή και αναγκαία συνθήκη για να τιμολογείται ένα παράγωγο από την αρχή της μη επιτηδειότητας είναι να μην εξαρτάται από το $t$ η παραπάνω έκφραση. Επομένως, ένα παράγωγο με απόδοση $f$ μπορεί να τιμολογηθεί, αν και μόνο αν $f_{1}+f_{3}=2f_{2}$ και τότε η αρχική του αξία θα είναι $V_{0}(f)=0,9\times f_{2}$.

Έστω τώρα ένα ευρωπαϊκό δικαίωμα αγοράς με τιμή άσκησης 9, δηλαδή $f^{\top}=(3,1,0)$. Τότε

\[ \max_{q\in{\cal I}}\EE^{q}[f]=\max_{t\in [0,1]}\frac{3-t}{2}=\frac{3}{2} \]

και

\[ \min_{q\in{\cal I}}\EE^{q}[f]=\min_{t\in [0,1]}\frac{3-t}{2}=1. \]

Επομένως στο υπόδειγμα αυτό έχουμε τις εκτιμήσεις: $0,9\le c(9,T,9)\le 1,35$.

Συνοψίζοντας όσα είδαμε στο πλαίσιο του γενικού υποδείγματος μιας περιόδου των Arrow & Debreu έχουμε:

Τα παραπάνω συμπεράσματα που αποδείξαμε για υποδείγματα μιας περιόδου παραμένουν (στην ουσία τους) σε ισχύ και για πολύ γενικότερα υποδείγματα και αναφέρονται συνήθως ως το Θεμελιώδες Θεώρημα της τιμολόγησης παραγώγων (fundamental theorem of asset pricing).

Είδαμε στην Πρόταση 2.2 ότι, σε μια αγορά που δεν είναι πλήρης η αξία ενός παραγώγου δεν μπορεί να καθοριστεί από την αρχή της μη επιτηδειότητας, αλλά υπάρχει εν γένει ένα ολόκληρο διάστημα από τιμές που είναι συμβατές με την αρχή της μη επιτηδειότητας. Έχουν προταθεί διάφοροι τρόποι για τη συστηματική επιλογή μίας από τις δυνατές τιμές του παραγώγου. Ένας από τους πιο διαδεδομένους είναι χρήση των συναρτήσεων ωφέλειας (utility functions). Ο ενδιαφερόμενος αναγνώστης μπορεί να αναζητήσει περισσότερες πληροφορίες σε εισαγωγικό επίπεδο στο βιβλίο [ Cvitanic04 ].

Είπαμε στην αρχή του κεφαλαίου ότι σκοπός μας είναι να αναλύσουμε υποδείγματα που θεωρούνται ρεαλιστικά. Τα υποδείγματα μιας περιόδου που μελετήσαμε έχουν δυο βασικά μειονεκτήματα. Αφενός, τα προϊόντα που μοντελοποιούμε μπορούν να καταλήξουν μόνο σε ένα διακριτό σύνολο καταστάσεων. Αφετέρου, τα υποδείγματα μιας περιόδου δεν επιτρέπουν συναλλαγές μεταξύ της αρχικής και της τελικής κατάστασης. Έτσι, δεν μπορούμε να εξετάσουμε παράγωγα αμερικανικού τύπου, αλλά ούτε και να χρησιμοποιήσουμε δυναμικά αυτοχρηματοδοτούμενα χαρτοφυλάκια ώστε να αναπαραγάγουμε αποδόσεις ευρωπαϊκών παραγώγων. Στο επόμενο κεφάλαιο θα δούμε πώς μπορούμε να άρουμε τον τελευταίο περιορισμό.

2.4 Το Θεώρημα του διαχωρίζοντος υπερεπιπέδου

Θεώρημα 2.4

Έστω $C$ μη κενό, κυρτό και συμπαγές υποσύνολο του $\RR^{n}$. Αν $L$ είναι ένας γραμμικός υπόχωρος του $\RR^{n}$ και $L\cap C=\emptyset$, τότε υπάρχει ένα διάνυσμα $x_{*}\in\RR^{n}$ τέτοιο ώστε:

\[ y\cdot x_{*} =0\text{ για κάθε } y\in L \]

και

\[ u\cdot x_{*} >0\text{ για κάθε } u\in C. \]

Επομένως, το υπερεπίπεδο $H=\{u\in\RR^{N}: u\cdot x_{*}=0\}$ περιέχει τον $L$, ενώ το κυρτό σύνολο $C$ βρίσκεται εξ' ολοκλήρου στον έναν από τους δύο ημιχώρους που αφορίζονται από το $H$.

Απόδειξη: Θεωρούμε το σύνολο $G=C-L=\{x\in\RR^{n}:\ x=u-y,\ \text{ με } u\in C, y\in L\}$. Το $G$ είναι μη κενό και κυρτό (εύκολο), ενώ είναι και κλειστό. Πράγματι, έστω $x_{n}=u_{n}-y_{n}$ είναι μια ακολουθία στο $G$ τέτοια ώστε $x_{n}\to x$. Η $u_{n}$ είναι μια ακολουθία στο συμπαγές σύνολο $C$, επομένως υπάρχει συγκλίνουσα υπακολουθία της $u_{n_{k}}\to u\in C$. Η ακολουθία $y_{n_{k}}$ στον $L$ θα συγκλίνει επίσης, αφού $y_{n_{k}}=u_{n_{k}}-x_{n_{k}}\to u-x,$ ενώ $u-x\in L$, αφού ο $L$ ως υπόχωρος του $\RR^{n}$ είναι κλειστό σύνολο. Επομένως $x=u-(u-x)\in G$ και άρα το $G$ είναι κλειστό.

Έστω $x_{*}$ εκείνο το σημείο του $G$ με την ελάχιστη απόσταση από το μηδέν. $L\cap C=\emptyset\implies \|x_{*}\|>0$. Από την κυρτότητα του $G$, αν $x\in G$, τότε για κάθε $\alpha\in (0,1)$ έχουμε $\alpha x+(1-\alpha)x_{*}\in G$. Επομένως,

\[ 2(\|x_{*}\|^{2}-x\cdot x_{*})\le \alpha\|x-x_{*}\|^{2},\ \forall \alpha\in (0,1). \]

\begin{equation} x\cdot x_{*}\ge \|x_{*}\|^{2}>0,\ \forall x\in G. \end{equation}

Αν $u\in C$ τότε $u=u-0\in G$, επομένως από την (2.11) έχουμε $u\cdot x_{*}>0$.
Επιπλέον, αν $y\in L$ τότε για κάθε $\lambda\in\RR$ έχουμε $u-\lambda y\in G$ οπότε

Αυτό όμως μπορεί να συμβεί μόνο αν $y\cdot x_{*}=0$.

2.5 Ασκήσεις

Άσκηση 2.1 Η τρέχουσα τιμή μιας μετοχής είναι € 50, ενώ η τιμή ενός ομολόγου έξι μηνών όψεως € 100 είναι € 96. Υποθέτουμε ότι σε έξι μήνες η τιμή της μετοχής θα είναι είτε € 60 είτε € 42. Βάσει του παραπάνω υποδείγματος:
α) Τιμολογήστε ένα ευρωπαϊκό δικαίωμα αγοράς εκατό μετοχών με ωρίμανση σε έξι μήνες και τιμή άσκησης € 48 ανά μετοχή.
β) Συνθέστε ένα χαρτοφυλάκιο από μετοχές και εξάμηνα ομόλογα, το οποίο έχει την ίδια απόδοση με το παραπάνω δικαίωμα.
γ) Τιμολογήστε ένα ευρωπαϊκό δικαίωμα πώλησης εκατό μετοχών με την ίδια ωρίμανση και τιμή άσκησης.
δ) Αν η τιμή διαπραγμάτευσης ενός δικαιώματος πώλησης όπως αυτό του ερωτήματος (γ) είναι € 23, κατασκευάστε μια στρατηγική επιτηδειότητας.

Άσκηση 2.2 Θεωρούμε την εξής αγορά μιας περιόδου με τρία προϊόντα και τέσσερις καταστάσεις. Το προϊόν 1 είναι ένα άνευ κινδύνου ομόλογο με $r=0$, το προϊόν 2 είναι μια μετοχή με αρχική τιμή 1, το προϊόν 3 είναι μια άλλη μετοχή με αρχική τιμή 1. Ας αριθμήσουμε τις 4 δυνατές τελικές καταστάσεις ως εξής:
1) και οι δυό μετοχές αξίζουν $1+\eps$ για κάποιο $\eps>0$
2) το προϊόν 2 αξίζει $1+\eps$ και το προϊόν 3 αξίζει $1-\eps$
3) το προϊόν 3 αξίζει $1+\eps$ και το προϊόν 2 αξίζει $1-\eps$
4) και οι δυο μετοχές αξίζουν $1-\eps$.

α. Γράψτε τον πίνακα $D$ των δυνατών τελικών καταστάσεων σύμφωνα με το υπόδειγμα Arrow-Debreu.
β. Βρείτε όλα τα μέτρα πιθανότητας $\pi$ στον χώρο των τελικών καταστάσεων για τα οποία

\[ \EE^{\pi}[X_{i}(T)]=e^{rT}X_{i}(0),\ i=1,2,3. \]

Με $X_{i}(0)$ (αντίστοιχα $X_{i}(Τ))$ συμβολίζουμε την αρχική (αντίστοιχα τελική) αξία του προϊόντος $i$.
γ. Έστω ένα παράγωγο με απόδοση $f_{k}$ στην τελική κατάσταση $k,\ k=1,2,3,4$. Ποια είναι η ελάχιστη και ποια η μέγιστη αρχική αξία που επιτρέπεται από την αρχή της μη επιτηδειότητας?
δ. Ποια παράγωγα μπορούν να τιμολογηθούν ακριβώς?
ε. Ποια είναι η ``δίκαιη'' αρχική αξία του παραγώγου με απόδοση $f_{k}=0,1k$ στην κατάσταση $k;$
στ. Βρείτε το χαρτοφυλάκιο που αναπαράγει την απόδοση αυτού του παραγώγου.

Άσκηση 2.3 Το κουπόνι στοιχήματος του ΟΠΑΠ της 24ης Οκτωβρίου δίνει τις ακόλουθες αποδόσεις για τον ποδοσφαιρικό αγώνα ΑΕΚ -Παναθηναϊκός. 1: 2,65- Χ: 3,05- 2: 2,45. Αυτό σημαίνει ότι στοίχημα € 1 σε νίκη της ΑΕΚ πληρώνει € 2,65 σε ενδεχόμενη νίκη της ΑΕΚ και 0 διαφορετικά, στοίχημα € 1 σε ισόπαλο αποτέλεσμα πληρώνει € 3,05 σε περίπτωση ισοπαλίας και 0 διαφορετικά, ενώ στοίχημα € 1 σε νίκη του Παναθηναϊκού πληρώνει € 2,45 σε ενδεχόμενη νίκη του Παναθηναϊκού και 0 διαφορετικά.
Θεωρήστε μια αγορά με τα εξής τρία προϊόντα: στοίχημα € 1 σε νίκη της ΑΕΚ, στοίχημα € 1 σε νίκη του Παναθηναϊκού και στοίχημα € 1 στην ισοπαλία. Γράψτε τον πίνακα $D$ των τελικών καταστάσεων κατά το υπόδειγμα Arrow-Debreu. Κατασκευάστε τώρα ένα χαρτοφυλάκιο με αρνητικές θέσεις σε όλα τα προϊόντα και αρχική αξία - € 100 τέτοιο ώστε η τελική του αξία να μην εξαρτάται από το αποτέλεσμα του αγώνα. Ποια είναι η τελική αξία αυτού του χαρτοφυλακίου? Είναι αυτό το χαρτοφυλάκιο μια στρατηγική επιτηδειότητας για το γραφείο στοιχημάτων?

Άσκηση 2.4 Σαν γενίκευση της προηγούμενης άσκησης, θεωρήστε μια αγορά που περιλαμβάνει ένα προϊόν χωρίς κίνδυνο με τελική αξία 1 και σημερινή αξία 1 (την αποχή από το στοίχημα) και τα τρία στοιχήματα με αποδόσεις: $1: p_{1}$, Χ$: p_{2}$, $2: p_{3}$. Βρείτε μια ικανή και αναγκαία συνθήκη ώστε στην αγορά αυτή να μην υπάρχει στρατηγική επιτηδειότητας.

Άσκηση 2.5 Στο υπόδειγμα Arrow-Debreu δείξτε ότι, αν για κάθε $\theta\in\RR^{N}$ τέτοιο ώστε $\theta\cdot p = 0$ και $D^{\top}\theta\ge 0$, έχουμε $D^{\top}\theta=0$, τότε

\[ D^{\top}\theta\ge 0\Longrightarrow \theta\cdot p \ge 0 \]

Άσκηση 2.6 Σε μια αγορά υπάρχουν τρία προϊόντα. Το πρώτο είναι χωρίς κίνδυνο και έχει σημερινή αξία $p_1=0,8$. Τα άλλα δύο είναι μετοχές με σημερινή αξία $p_2=8$ και $p_3=4,8$. Υποθέτουμε ότι μετά από κάποιο χρόνο η αγορά μπορεί να βρεθεί σε μια από τις ακόλουθες τέσσερις καταστάσεις.

Κατάσταση	Αξία προϊόντος 1	Αξία προϊόντος 2	Αξία προϊόντος 3
Α	1	10	8
Β	1	12	8
Γ	1	10	4
Δ	1	6	4

2.1 Εισαγωγή

2.2 Το διωνυμικό υπόδειγμα μιας περιόδου

2.3 Το υπόδειγμα Arrow-Debreu

2.4 Το Θεώρημα του διαχωρίζοντος υπερεπιπέδου

2.5 Ασκήσεις

2.6 Βιβλιογραφία