Chapter

Στο παρόν κεφάλαιο θα μιλήσουμε για την αξία του χρήματος στον χρόνο, θα γνωρίσουμε τα βασικότερα χρηματοοικονικά παράγωγα, τα οποία θα αποτελέσουν το κεντρικό αντικείμενο του βιβλίου. Θα γνωρίσουμε επίσης το αξίωμα της Μαθηματικής Χρηματοοικονομίας που είναι η αρχή της μη επιτηδειότητας (principle of no arbitrage). Αυτό το αξίωμα είναι το βασικό εργαλείο που θα χρησιμοποιήσουμε στη μελέτη των παραγώγων. Για παρόμοιο υλικό μπορείτε να δείτε και την αναφορά [ Musiela97 ].

1.2 Η αξία του χρήματος στον χρόνο

Γνωρίζουμε από την εμπειρία μας ότι οι τράπεζες πληρώνουν τόκους στους καταθέτες τους και χρεώνουν τόκους σε όσους δανείζονται από αυτές. Κατά μια έννοια, ο τόκος είναι το ενοίκιο που εισπράττει κάποιος προκειμένου να παραχωρήσει ένα κεφάλαιο που του ανήκει για κάποια χρονική περίοδο. Στο τέλος της περιόδου, το κεφάλαιο του επιστρέφεται και γι' αυτό λέμε ότι η συγκεκριμένη επένδυση είναι χωρίς κίνδυνο (risk-free). Ο τόκος είναι το κέρδος που αποφέρει αυτή η επένδυση και το επιτόκιο (interest rate) είναι ο ρυθμός απόδοσής της. Προκειμένου να συγκρίνουμε διαφορετικές επενδύσεις, το επιτόκιο αναφέρεται πάντα σε ετήσια βάση.

Παράδειγμα 1.1

Πριν από έξι μήνες ανοίξατε λογαριασμό σε μια τράπεζα και καταθέσατε € 500. Σήμερα ο λογαριασμός σας πιστώθηκε με € 5 τόκο. Ο ρυθμός απόδοσης της επένδυσής σας είναι 1% ανά έξι μήνες, δηλαδή 2% ανά έτος. Επομένως, το επιτόκιο που σας πρόσφερε η τράπεζά σας ήταν 2%. Ένας φίλος σας τοποθέτησε σήμερα € 1.000 κλειστά, σε ένα προθεσμιακό λογαριασμό και σε δύο χρόνια θα έχει στον λογαριασμό του € 1.060. Ο ρυθμός απόδοσης της επένδυσής του είναι 6% ανά 2 έτη, δηλαδή 3% ανά έτος. Επομένως, το επιτόκιο που του πρόσφερε η τράπεζά του ήταν 3%.

Στο προηγούμενο παράδειγμα, προσέξτε ότι, αν δεν αποσύρετε τους τόκους που πιστώθηκαν στον λογαριασμό σας, σε έξι μήνες θα εισπράξετε τόκο και γι' αυτό το ποσόν. Ο λογαριασμός σας θα πιστωθεί σε αυτήν την περίπτωση με τόκο € 505$\times$ 2%/έτος $\times$ 0,5 έτος = € 5,05 και τελικά θα έχετε € 510,05. Βλέπουμε ότι, παρότι το επιτόκιο είναι 2%, η επένδυσή σας απέφερε κέρδος περισσότερο από 2% στη διάρκεια ενός έτους. Αυτό συνέβη γιατί ο τόκος που εισπράξατε στο εξάμηνο ανατοκίστηκε. Επομένως, προκειμένου να αξιολογήσουμε μακροπρόθεσμα την απόδοση μιας κατάθεσης, χρειάζεται να λάβουμε υπόψιν και πόσο συχνά αποφέρει τόκους.

Ας υποθέσουμε λοιπόν ότι μια τράπεζα προσφέρει επιτόκιο $r$ και πληρώνει τόκους $n$ φορές τον χρόνο. Ένα αρχικό κεφάλαιο $A(0)$ θα αποφέρει τόκους $A(0)\times \frac{r}{n}$ την πρώτη φορά που θα πληρωθούν τόκοι. Το συνολικό κεφάλαιο που θα βρίσκεται τότε στον λογαριασμό είναι

Αυτό θα λειτουργήσει ως αρχικό κεφάλαιο για τη δεύτερη περίοδο διάρκειας $\frac{1}{n}$ του έτους. Στο τέλος της δεύτερης περιόδου, μαζί με τους τόκους που θα πληρωθούν σε αυτήν την περίοδο, το κεφάλαιο θα έχει γίνει

\[ A\big(\frac{2}{n}\big)= A\big(\frac{1}{n}\big)\times\big(1+\frac{r}{n}\big)=A(0)\big(1+\frac{r}{n}\big)^2. \]

Εύκολα βλέπουμε ότι, αν ο χρόνος $t$, μετρημένος σε έτη, είναι πολλαπλάσιο της περιόδου ανατοκισμού $1/n$, τότε το αρχικό κεφάλαιο θα έχει ανατοκιστεί $nt$ φορές μέχρι το χρόνο $t$ και το κεφάλαιο στον λογαριασμό θα είναι

Αν επιχειρούσατε να αποσύρετε τα χρήματα σας κάποια χρονική στιγμή $t$ που δεν είναι πολλαπλάσιο του $\frac{1}{n}$, το κεφάλαιό σας θα είχε ανατοκιστεί $[nt]$ φορές. Μαζί με τους τόκους που αναλογούν μέχρι τη στιγμή $t$, τα χρήματα που θα παίρνατε θα ήταν

\begin{equation} Α(t)=A(0)\big(1+\frac{r}{n}\big)^{[nt]} \big(1+ r (t-\frac{[nt]}{n})\big). \end{equation}

Η ακολουθία $n\mapsto \big(1+\frac{r}{n}\big)^{nt}\big(1+ r (t-\frac{[nt]}{n})\big)$ είναι αύξουσα. Αυτό δεν είναι ιδιαίτερα εύκολο να αποδειχθεί, αλλά διαισθητικά σημαίνει ότι όσο πιο συχνά ανατοκίζεται η κατάθεσή μας, τόσο μεγαλύτερη απόδοση έχει. Υπάρχει όμως ένα όριο στην αύξηση αυτής της απόδοσης. Όταν $n\to\infty$, όταν δηλαδή ο ανατοκισμός είναι συνεχής, η αρχική μας επένδυση $A(0)$ θα έχει αξία

τη χρονική στιγμή $t$. Παρότι ο συνεχής ανατοκισμός (continuous compounding) είναι πρακτικά ανέφικτος, πρόκειται για ένα χρήσιμο θεωρητικό εργαλείο που οδηγεί στην απλοποίηση εκφράσεων όπως η (1.1). Επιπλέον, για οποιοδήποτε σχήμα ανατοκισμού με επιτόκιο $r_1$, υπάρχει ένα ισοδύναμο επιτόκιο $r$, το οποίο με συνεχή ανατοκισμό δίνει την ίδια απόδοση στο τέλος κάθε περιόδου ανατοκισμού. Προκειμένου να βρούμε το επιτόκιο $r$ αρκεί να λύσουμε την εξίσωση

\[ \big(1+\frac{r_1}{n}\big)=e^{\frac{r}{n}} \Leftrightarrow r=n\log(1+\frac{r_1}{n}\big). \]

Για το λόγο αυτό, θα ακολουθήσουμε σε όλο το βιβλίο τη σύμβαση ότι ο ανατοκισμός είναι συνεχής. Ένας καταθετικός λογαριασμός με συνεχή ανατοκισμό που προσφέρει επιτόκιο $r$ είναι το παράδειγμα που μπορείτε να έχετε στο μυαλό σας για την έννοια του προϊόντος χωρίς κίνδυνο με σταθερό επιτόκιο.

Ορισμός 1.1

Ονομάζουμε προϊόν χωρίς κίνδυνο (risk-free asset) με σταθερό επιτόκιο $r$ ένα προϊόν η αξία του οποίου μεταβάλλεται στον χρόνο σύμφωνα με τη σχέση

\[ A(t)=A(0)e^{rt}. \]

Ένα βασικό χαρακτηριστικό του προϊόντος χωρίς κίνδυνο είναι ότι γνωρίζουμε σήμερα την αξία που θα έχει στο μέλλον. Μπορούμε με αυτόν τον τρόπο να συγκρίνουμε ποσά που καταβάλλονται σε διαφορετικές χρονικές στιγμές, αν μπορούμε να δανείζουμε και να δανειζόμαστε χωρίς κίνδυνο με επιτόκιο $r$. Ένα ευρώ σήμερα θα πρέπει να έχει την ίδια αξία με $e^{rT}$ ευρώ, τα οποία πρόκειται να καταβληθούν κάποια μελλοντική χρονική στιγμή $T$. Αυτό συμβαίνει γιατί, αν είχατε ένα ευρώ σήμερα, θα μπορούσατε να το επενδύσετε χωρίς κίνδυνο και να εισπράξετε $e^{rT}$ ευρώ τη χρονική στιγμή $T$. Αντίστοιχα, ένα ποσόν $A$, το οποίο θα πληρωθεί κάποια μελλοντική χρονική στιγμή $T$, είναι ισοδύναμο με ένα ποσόν $Ae^{-rT}$ σήμερα. Για το λόγο αυτό, όταν μπορούμε να δανείζουμε και να δανειζόμαστε με σταθερό επιτόκιο $r$, λέμε ότι η παρούσα αξία (present value) ενός ποσού $A$, το οποίο πρόκειται να καταβληθεί τη χρονική $Τ$, είναι $Ae^{-rT}$.

Ένα απλό ομόλογο (zero-coupon bond), με χρόνο ωρίμανσης (maturity) $T$ και τιμή όψεως $A$, δίνει στον κάτοχό του το δικαίωμα να εισπράξει από τον εκδότη του ομολόγου το ποσόν $A$, στον χρόνο $T$. Ο κάτοχος του ομολόγου λέμε ότι έχει τη θετική θέση (long position) σε αυτή τη συμφωνία, ενώ ο εκδότης του ομολόγου λέμε ότι έχει την αρνητική θέση (short position).

Είναι προφανές ότι ο εκδότης του ομολόγου δεν έχει κανένα λόγο να πάρει την αρνητική θέση σε αυτήν τη συμφωνία, αν δεν εισπράξει σήμερα ένα ποσόν από τον κάτοχο του ομολόγου. Η τιμή που συμφωνείται να καταβληθεί σήμερα, για ένα ομόλογο με ωρίμανση $T$ και τιμή όψεως 1, είναι η παρούσα αξία αυτού του ομολόγου και τη συμβολίζουμε με $B(0,T)$. Αντίστοιχα, ένα ομόλογο με την ίδια ωρίμανση και τιμή όψεως $A$ έχει παρούσα αξία $A\times B(0,T)$.

Στην ουσία, ο εκδότης ενός απλού ομολόγου δανείζεται σήμερα ένα ποσόν $A\times B(0,T)$ από τον αγοραστή του ομολόγου και αναλαμβάνει την υποχρέωση να επιστρέψει στον κάτοχο του ομολόγου το ποσόν $A$, τη συμφωνημένη χρονική στιγμή $T$. Αυτός είναι και ο τρόπος που συνήθως δανείζονται χρήματα τα κράτη και κάποιοι μεγάλοι οικονομικοί οργανισμοί. Αυτή η πράξη δανεισμού υποννοεί ένα συμφωνημένο σταθερό επιτόκιο $r$ για τη χρονική περίοδο $(0,Τ)$, που μπορεί να υπολογιστεί από τη σχέση

Τα απλά ομόλογα μας επιτρέπουν επομένως να συγκρίνουμε ποσά που καταβάλλονται σε διαφορετικές χρονικές στιγμές, χωρίς να κάνουμε την υπόθεση ότι το επιτόκιο παραμένει σταθερό ή ότι είναι εκ των προτέρων γνωστό. Πράγματι, αν στην αγορά υπάρχουν προς διαπραγμάτευση ομόλογα με ωρίμανση $T$, η παρούσα αξία ενός ποσού $A$ που θα καταβληθεί τη χρονική στιγμή $T$ είναι $A\times B(0,T)$.

Τα ομόλογα είναι προϊόντα που μπορεί κανείς να διαπραγματευτεί και η αξία τους αλλάζει στον χρόνο, με τρόπο που δεν μπορούμε εν γένει να προβλέψουμε. Αν $ 0 < t < T$, συμβολίζουμε με $B(t,T)$ την αξία ενός ομολόγου με ωρίμανση $T$ και τιμή όψεως 1 κατά τη χρονική στιγμή $t$. Αυτή δεν μπορεί να είναι γνωστή σήμερα, σε κάθε περίπτωση όμως υποννοεί ότι το ισοδύναμο σταθερό επιτόκιο δανεισμού $r(t,T)$ για την περίοδο $(t,T)$ είναι τέτοιο ώστε

Για τις ανάγκες αυτών των εισαγωγικών σημειώσεων, στις αγορές που θα θεωρήσουμε θα υπάρχει πάντα ένα προϊόν χωρίς κίνδυνο με σταθερό επιτόκιο $r$, το οποίο μπορούμε είτε να αγοράζουμε είτε να πουλάμε. Ο προσεκτικός αναγνώστης θα παρατηρήσει όμως ότι στα περισσότερα επιχειρήματα μπορεί κανείς να αντικαταστήσει τον προεξοφλητικό παράγοντα (discounting factor) $e^{-rT}$ από τον $B(0,Τ)$.

Κλείνουμε αυτήν την παράγραφο με μια σημείωση. Στην πραγματικότητα, τα προϊόντα χωρίς κίνδυνο και τα ομόλογα είναι προϊόντα με κίνδυνο. Υπάρχει πάντα ο κίνδυνος να μην σας επιστραφεί ποτέ ένα ποσόν που δανείσατε ή ένα απλό ομόλογο να μην πληρώσει την τιμή όψεως (να κουρευτεί). Ο κίνδυνος αυτός είναι το αντικείμενο μελέτης της Θεωρίας Κινδύνου και συνήθως αντανακλάται στο ύψος του επιτοκίου δανεισμού. Σε αυτές τις σημειώσεις θα προσποιηθούμε ότι δεν υπάρχει, γιατί σκοπός μας είναι να μελετήσουμε τις αγορές των παραγώγων.

1.3 Τα βασικά χρηματοοικονομικά παράγωγα

Τα παράγωγα προϊόντα (derivative securities) είναι συμβόλαια που καθορίζουν μια συμφωνία, η οποία πρόκειται να υλοποιηθεί στο μέλλον και η αξία της οποίας εξαρτάται από κάποιο άλλο προϊόν, που θα το ονομάζουμε πρωτογενές (underlying asset). Για το λόγο αυτό ονομάζονται και εξαρτώμενες απαιτήσεις (contingent claims). Το πρωτογενές προϊόν (από το οποίο εξαρτάται η αξία του παραγώγου) μπορεί να είναι μια μετοχή, ένα ξένο νόμισμα, ένα αγαθό (π.χ. πετρέλαιο), ένας χρηματιστηριακός δείκτης, ένα ομόλογο, ακόμα κι ένα άλλο παράγωγο προϊόν.

Ας δούμε μερικά παραδείγματα παραγώγων.

Ένα προθεσμιακό συμβόλαιο (forward contract), με χρόνο ωρίμανσης $Τ$ και τιμή παράδοσης (delivery price) $Κ$, είναι μια συμφωνία για την αγορά του πρωτογενούς προϊόντος στον χρόνο $Τ$ έναντι τιμήματος $Κ$. Ο αγοραστής λέμε ότι έχει τη θετική θέση (long position), ενώ ο πωλητής την αρνητική θέση (short position). Η αξία της συμφωνίας αυτής στην ωρίμανση εξαρτάται από την αξία $S_{T}$ που θα έχει τότε το πρωτογενές προϊόν. Η απόδοση του προθεσμιακού συμβολαίου στην ωρίμανση για τον κάτοχο της θετικής θέσης είναι $S_{T}-K$ και μπορεί να είναι θετική ή αρνητική.
Ένα ευρωπαϊκό δικαίωμα αγοράς (european call option), με χρόνο ωρίμανσης $Τ$ και τιμή άσκησης (strike price) $Κ$, δίνει στον κάτοχό του (θετική θέση) το δικαίωμα να αγοράσει από τον αντισυμβαλλόμενο (αρνητική θέση) το πρωτογενές προϊόν στον χρόνο $Τ$ έναντι τιμήματος $Κ$. Ο λογικός επενδυτής με θετική θέση θα ασκήσει το δικαίωμα αγοράς μόνο όταν η τιμή $S_T$ του πρωτογενούς προϊόντος στην ωρίμανση είναι μεγαλύτερη του $Κ$. Επομένως, η απόδοση για τον κάτοχο ενός ευρωπαϊκού δικαιώματος αγοράς στην ωρίμανση είναι $(S_{T}-K)^{+}=\max\{S_{T}-K,0\}$ και είναι πάντοτε μη αρνητική.

Ένα αμερικανικό δικαίωμα αγοράς (american call option) διαφέρει από το αντίστοιχο ευρωπαϊκό στο ότι μπορεί να ασκηθεί οποιαδήποτε στιγμή μέχρι και την ωρίμανσή του.

Ένα ευρωπαϊκό δικαίωμα πώλησης (european put option), με χρόνο ωρίμανσης $Τ$ και τιμή άσκησης $Κ$, δίνει στον κάτοχό του (θετική θέση) το δικαίωμα να πουλήσει στον αντισυμβαλλόμενο (αρνητική θέση) το πρωτογενές προϊόν στον χρόνο $Τ$ έναντι τιμήματος $Κ$. Ο λογικός επενδυτής με θετική θέση θα ασκήσει το δικαίωμα πώλησης μόνο όταν η τιμή του πρωτογενούς προϊόντος στην ωρίμανση είναι μικρότερη του $Κ$. Επομένως η απόδοση για τον κάτοχο ενός ευρωπαϊκού δικαιώματος πώλησης στην ωρίμανση είναι $(Κ-S_{T})^{+}$ και είναι πάντοτε μη αρνητική.

Όπως και στην περίπτωση των δικαιωμάτων αγοράς, ένα αμερικανικό δικαίωμα πώλησης διαφέρει από το αντίστοιχο ευρωπαϊκό στο ότι μπορεί να ασκηθεί οποιαδήποτε στιγμή μέχρι και την ωρίμανσή του. Περισσότερα παραδείγματα θα δούμε στην πορεία του μαθήματος.

Η διαπραγμάτευση των παραγώγων γίνεται είτε μέσω Χρηματιστηρίων είτε απ' ευθείας (over the counter) μεταξύ των ενδιαφερόμενων πλευρών (συνήθως αξιόπιστων χρηματοοικονομικών οργανισμών). Στην Ελλάδα, η αγορά παραγώγων λειτουργεί από το 1997. Στις Ηνωμένες Πολιτείες Αμερικής, ο τζίρος της αγοράς παραγώγων μετοχών ξεπερνά αυτόν της αγοράς των ίδιων των μετοχών. Τι είναι λοιπόν αυτό που κάνει έναν επενδυτή να στραφεί στην αγορά παραγώγων? Η συνηθισμένη απάντηση σε αυτήν την ερώτηση είναι ``η κερδοσκοπία και η αντιστάθμιση του κινδύνου'' (speculation and hedging). Ας προσπαθήσουμε να το καταλάβουμε μέσα από τα ακόλουθα δύο παραδείγματα.

Παράδειγμα 1.2 Ένας επενδυτής πιστεύει ότι η αξία της μετοχής μιας εταιρείας $X$ πρόκειται να ανέβει σημαντικά μέσα στον επόμενο μήνα και θέλει να επενδύσει στη μετοχή αυτή. Η τιμή της μετοχής σήμερα είναι € 10, ενώ στην αγορά διατίθεται προς € 2 ένα αμερικανικό δικαιώμα αγοράς της μετοχής της εταιρείας $X$, με ωρίμανση σε ένα μήνα και τιμή άσκησης € 10. Ο επενδυτής αποφασίζει να διαθέσει € 1.000 και εξετάζει δύο εναλλακτικές επενδυτικές στρατηγικές. Είτε θα αγοράσει 100 μετοχές της εταιρείας είτε θα αγοράσει το δικαιώμα αγοράς 500 μετοχών.

Ας δούμε τώρα τι θα συμβεί στις δύο περιπτώσεις, ανάλογα με το αν η πεποίθηση του επενδυτή επαληθευτεί ή όχι. Αν η τιμή της μετοχής παραμείνει διαρκώς κάτω από τα € 10, τότε στην πρώτη περίπτωση θα διατηρήσει την αξία των μετοχών του, ενώ στη δεύτερη θα χάσει όλη του την επένδυση, αφού δεν θα μπορέσει να ασκήσει το δικαίωμα που έχει αγοράσει. Αυτή ακριβώς η μεγαλύτερη έκθεση σε κίνδυνο είναι και ο λόγος που ένα δικαίωμα αγοράς της μετοχής κοστίζει πάντα λιγότερο από ότι η ίδια η μετοχή.

Αν από την άλλη πλευρά η αξία της μετοχής όντως ανέβει, τότε κάθε επιπλέον ευρώ ανόδου στην αξία της μετοχής θα αποφέρει στον επενδυτή € 100, αν έχει επενδύσει στη μετοχή, και € 500, αν έχει επενδύσει στο παράγωγό της. Αν για παράδειγμα η τιμή της μετοχής ανέβει στα € 15, τότε στην πρώτη περίπτωση η αξία των μετοχών του επενδυτή θα είναι € 1500, αποφέροντάς του κέρδος 50%. Στη δεύτερη περίπτωση, χρησιμοποιώντας το δικαίωμα, μπορεί να αγοράσει 500 μετοχές της εταιρείας προς € 10 και να τις πουλήσει άμεσα στην τιμή διαπραγμάτευσής τους ( € 15). Αυτό θα του αποφέρει € 5/μετοχή$\times$ 500 μετοχές = € 2500 και κέρδος 150% επί της αρχικής του επένδυσης. Βλέπουμε ότι, ενώ η επένδυση στο δικαίωμα αγοράς ενέχει μεγαλύτερο κίνδυνο, αφήνει μεγαλύτερο περιθώριο κέρδους, αν η πεποίθηση του επενδυτή επαληθευτεί. Αυτό είναι ένα παράδειγμα χρήσης παραγώγων για κερδοσκοπία. Θα πρέπει όμως κανείς να έχει κατά νου ότι τα παράγωγα είναι όπως τα παίγνια μηδενικού αθροίσματος. Το κέρδος του ενός συμβαλλόμενου είναι η ζημιά του άλλου. Στην αγορά των παραγώγων, συνήθως οι άλλοι είναι μεγάλοι οργανισμοί που μπορούν με τις κινήσεις τους να επηρεάσουν την αγορά.

Παράδειγμα 1.3 Μια ελληνική εταιρεία υπογράφει ένα συμβόλαιο για την αγορά ενός μηχανήματος από μια αμερικανική κατασκευάστρια. Η τελευταία αναλαμβάνει να παραδώσει το μηχάνημα σε ένα χρόνο, έναντι $ 100.000. Η τρέχουσα ισοτιμία είναι € 1= $ 1,10112. Η ελληνική εταιρεία βρίσκει την τιμή του μηχανήματος συμφέρουσα, αλλά ανησυχεί για την ισοτιμία { $ / € } που θα ισχύει σε ένα χρόνο. Προκειμένου να καταρτίσει τον προϋπολογισμό της, θα ήθελε να εξασφαλίσει ότι δεν θα πληρώσει πάνω από € 90.000 για το μηχάνημα. Ένα ευρωπαϊκό δικαίωμα αγοράς $ 100.000, με ωρίμανση σε ένα χρόνο και τιμή άσκησης € 90.000, θα μπορούσε να φανεί πολύ χρήσιμο. Αν σε ένα χρόνο η ισοτιμία $ / € έχει υπερβεί τα 0,90 € / $ , η εταιρεία θα μπορεί να ασκήσει το δικαίωμα αγοράς και να λάβει $ 100.000 έναντι € 90.000. Αν πάλι η ισοτιμία έχει μείνει κάτω από 0,90 € / $ , η εταιρεία μπορεί να ανταλλάξει ευρώ προς αμερικανικά δολλάρια στην τρέχουσα ισοτιμία. Αυτό είναι ένα παράδειγμα χρήσης παραγώγων για την αντιστάθμιση του κινδύνου από τις μεταβολές της αξίας του πρωτογενούς προϊόντος, το οποίο στο συγκεκριμένο παράδειγμα είναι ένα ξένο συνάλλαγμα.

Είναι σαφές ότι ένα προϊόν, όπως το δικαίωμα αγοράς ή πώλησης, μόνο θετικό μπορεί να αποβεί στον κάτοχό του. Είναι λοιπόν εύλογο ότι ο κάτοχος του δικαιώματος θα πρέπει να καταβάλει στον αντισυμβαλλόμενό του ένα αρχικό τίμημα προκειμένου να το αποκτήσει. Το αν υπάρχει κάποιο τίμημα που μπορεί να θεωρηθεί δίκαιο και το ποιο ακριβώς είναι αυτό είναι ένα μη τετριμμένο πρόβλημα. Στο μεγαλύτερο μέρος των σημειώσεων θα ασχοληθούμε με την τιμολόγηση χρηματοοικονομικών παραγώγων. Το βασικό εργαλείο που χρησιμοποιούμε είναι η αρχή της μη επιτηδειότητας (principle of no arbitrage), η οποία αποτελεί το αντικείμενο της επόμενης παραγράφου.

1.4 H αρχή της μη επιτηδειότητας

Η αρχή της μη επιτηδειότητας αξιώνει ότι δεν μπορεί να υπάρξει δυνατότητα κέρδους χωρίς την ανάληψη ρίσκου. Μπορεί κανείς να επιχειρηματολογήσει γιατί είναι εύλογο να έχουν αυτήν την ιδιότητα οι πραγματικές αγορές, τουλάχιστον όταν αυτές βρίσκονται σε ισορροπία. Ας υποθέσουμε για παράδειγμα ότι, στη διατραπεζική αγορά οι τρέχουσες ισοτιμίες μεταξύ ευρώ, αμερικανικού δολλαρίου και στερλίνας είναι $ 1= € 0,90817, € 1 = £ 0,70095 και £ 1 = $ 1,60211. Αυτός ο συνδυασμός ισοτιμιών συνιστά μια δυνατότητα κέρδους χωρίς ρίσκο. Μια ευρωπαϊκή τράπεζα θα μπορούσε αρχικά να αγοράσει £ 700,95 προς € 1.000. Στη συνέχεια θα μπορούσε να ανταλλάξει τις στερλίνες με $700,95\times 1,60211 = 1123$ αμερικανικά δολλάρια. Με αυτά θα μπορούσε να αγοράσει € 1.019,87, εξασφαλίζοντας κέρδος € 19,87 για κάθε € 1.000 επένδυσης. Καθένας που θα αντιλαμβανόταν αυτή την ευκαιρία θα ήθελε φυσικά να την εκμεταλλευτεί. Θα δημιουργείτο έτσι αυξημένη ζήτηση για την αγορά στερλινών με ευρώ, για την αγορά δολλαρίων με στερλίνες και για την αγορά ευρώ με δολλάρια, οδηγώντας στη μείωση των αντίστοιχων ισοτιμιών μέχρι την εξάλειψη αυτής της δυνατότητας κέρδους, οπότε θα είχαμε αποκατάσταση της ισορροπίας. Στα Χρηματοοικονομικά Μαθηματικά δεχόμαστε την αρχή της μη επιτηδειότητας ως αξίωμα.

Συνήθως μια αγορά μοντελοποιείται από ένα χώρο πιθανότητας, τα σημεία του οποίου αντιπροσωπεύουν τα δυνατά σενάρια εξέλιξης της αγοράς. Οι τιμές των διαφόρων προϊόντων είναι στοχαστικές διαδικασίες, ορισμένες σε αυτόν τον χώρο πιθανότητας. Οι στατιστικές ιδιότητες που τους αποδίδουμε αντανακλούν την πεποίθηση που υπάρχει για τη δυναμική τους. Τέτοια υποδείγματα έχουν προταθεί πολλά και θα δούμε αρκετά. Κάποια από αυτά είναι εύχρηστα αλλά μάλλον απλοϊκά, άλλα είναι περισσότερο ρεαλιστικά αλλά τεχνικά δυσκολότερα στην ανάλυσή τους. Η τιμολόγηση παραγώγων βασίζεται στην αρχή της μη επιτηδειότητας, αλλά εξαρτάται εν γένει και από τις λεπτομέρειες του υποδείγματος αγοράς που υιοθετούμε. Θα αναβάλουμε για το επόμενο κεφάλαιο την αυστηρή μαθηματική περιγραφή τέτοιων υποδειγμάτων και θα ασχοληθούμε εδώ με τους περιορισμούς που επιβάλλονται από την αρχή της μη επιτηδειότητας, χωρίς να κάνουμε καμία υπόθεση για τη δυναμική της αγοράς.

Η ακόλουθη πρόταση είναι άμεση συνέπεια της αρχής της μη επιτηδειότητας και θα μας φανεί χρήσιμη.

Πρόταση 1.1

α) Αν τη στιγμή $T\ge 0$ ένα χαρτοφυλακίο $A$ έχει σε κάθε πιθανό ενδεχόμενο μη αρνητική αξία, τότε η αρχική του αξία πρέπει να είναι μη αρνητική. Συγκεκριμένα,

\[ V_{T}(A)\ge 0 \implies V_{0}(A)\ge 0. \]

β) Αν τη στιγμή $T\ge 0$ η αξία ενός χαρτοφυλακίου $A$ είναι σε κάθε πιθανό ενδεχόμενο τουλάχιστον όση η αξία ενός χαρτοφυλακίου $B$, τότε η αρχική αξία του $A$ πρέπει να είναι τουλάχιστον όση αυτή του $B$. Συγκεκριμένα,

\[ V_{T}(A)\ge V_{T}(B)\implies V_{0}(A)\ge V_{0}(B). \]

γ) Αν τη στιγμή $T\ge 0$ η αξία ενός χαρτοφυλακίου $A$ ταυτίζεται με την αξία ενός χαρτοφυλακίου $B$ σε κάθε πιθανό ενδεχόμενο, τότε η αρχική αξία των $A$ και $B$ πρέπει να είναι η ίδια. Συγκεκριμένα,

\[ V_{T}(A)= V_{T}(B)\implies V_{0}(A)= V_{0}(B). \]

Παρατήρηση 1.1 Στη διατύπωση της Πρότασης 1.1 θα πρέπει να δώσουμε προσοχή στη σημασία της φράσης ``σε κάθε πιθανό ενδεχόμενο'' . Εν γένει, ένα χαρτοφυλάκιο αποτελείται από τίτλους, η αξία των οποίων στον χρόνο $T$ δεν μας είναι σήμερα γνωστή, αλλά εξαρτάται από το τι θα συμβεί στην αγορά μέχρι τη στιγμή $T$. Για να χρησιμοποιήσουμε την παραπάνω πρόταση θα πρέπει να εξασφαλίσουμε ότι οι προϋποθέσεις της ικανοποιούνται ανεξάρτητα από τι μπορεί να συμβεί στην αγορά μέχρι τον χρόνο $T$. Αυτό θα γίνει πιο κατανοητό στο επόμενο κεφάλαιο, όταν θα μοντελοποιήσουμε τα δυνατά σενάρια εξέλιξης της αγοράς ως σημεία ενός χώρου πιθανότητας, οπότε η $V_{T}(A)$ θα είναι μια τυχαία μεταβλητή. Λέγοντας $V_{T}(A)\ge 0$ θα εννοούμε ότι αυτή η τυχαία μεταβλητή είναι μη αρνητική με πιθανότητα 1. Αν αυτό συμβαίνει, η αρχή της μη επιτηδειότητας επιβάλλει στην αρχική αξία του χαρτοφυλακίου, η οποία είναι ένα συγκεκριμένο ποσό, να είναι μη αρνητική.

Παρατήρηση 1.2 Το αντίστροφο της παραπάνω πρότασης δεν ισχύει. Για παράδειγμα, ας υποθέσουμε ότι στην αγορά υπάρχει μια μετοχή αξίας € 10 και ότι η αξία ενός δικαιώματος αγοράς της μετοχής, με ωρίμανση $T$ και τιμή άσκησης € 12, είναι € 2. Αν θεωρήσουμε ένα χαρτοφυλάκιο που περιλαμβάνει τη μετοχή και αρνητική θέση σε πέντε δικαιώματα αγοράς της μετοχής, τότε η αρχική αξία αυτού του χαρτοφυλακίου είναι μηδενική. Η αξία όμως του χαρτοφυλακίου τη στιγμή $T$ θα είναι $V_{T}=S_{T}-5(S_{T}-$ € 12$)^{+}$. Είναι φανερό ότι το πρόσημο της $V_{T}$ εξαρτάται από την αξία $S_{T}$ της μετοχής στον χρόνο $T$.

Ας δούμε τώρα πώς, χρησιμοποιώντας την Πρόταση 1.1, μπορούμε να εξαγάγουμε χρήσιμα συμπεράσματα για την αρχική αξία των παραγώγων που γνωρίσαμε στην προηγούμενη παράγραφο.

Πρόταση 1.2

Η αξία $F(S_0,T,K)$ ενός προθεσμιακού συμβολαίου με ωρίμανση $T$ και τιμή παράδοσης $K$ είναι

\[ F(S_{0},T,K)=S_{0}-KB(0,T)=S_{0}-Ke^{-rT}. \]

Απόδειξη: H απόδοση ενός προθεσμιακού συμβολαίου στην ωρίμανση είναι $S_{T}-K$. Θεωρούμε ένα χαρτοφυλάκιο $A$ που αποτελείται από το πρωτογενές προϊόν και αρνητική θέση σε ένα ομόλογο όψεως $K$ και ωρίμανσης $T$. Θεωρούμε επίσης χαρτοφυλάκιο $B$ που αποτελείται από ένα προθεσμιακό συμβόλαιο με χρόνο ωρίμανσης $T$ και τιμή παράδοσης $K$. Η αξία του χαρτοφυλακίου $A$ στην ωρίμανση είναι $S_{T}-Κ$. Επομένως, είναι ίση με την αξία του $B$, ανεξάρτητα από την τιμή που μπορεί να έχει η $S_T$. Σύμφωνα με την αρχή της μη επιτηδειότητας τα δύο χαρτοφυλάκια πρέπει να έχουν την ίδια αρχική αξία. Η τρέχουσα αξία του $Α$ όμως είναι $S_0-K\,B(0,T)$.

Παρατήρηση 1.3

Η αρχική αξία του προθεσμιακού συμβολαίου είναι μηδενική, όταν η τιμή παράδοσης είναι $K_{f}=S_{0}e^{rT}$. Αν σε ένα προθεσμιακό συμβόλαιο συμφωνηθεί η $K_f$ ως τιμή παράδοσης, οι συμβαλλόμενοι δεν χρειάζεται να ανταλλάξουν χρήματα κατά την υπογραφή του. Η $K_f$ ονομάζεται προθεσμιακή τιμή (forward price) του συμβολαίου και είναι η τιμή παράδοσης που συνήθως χρησιμοποιείται στην πράξη.

Ας εξετάσουμε τώρα την περίπτωση ενός ευρωπαϊκού δικαιώματος αγοράς.

Πρόταση 1.3

Η αξία $c(S_0,T,K)$ ενός ευρωπαϊκού δικαιώματος αγοράς με ωρίμανση $T$ και τιμή άσκησης $K$ ικανοποιεί τις ανισότητες

\[ \big(S_0-K\,B(0,T)\big)^+\le c(S_{0},T,K)\le S_{0}. \]

Απόδειξη: Θεωρούμε χαρτοφυλάκιο $A$, αποτελούμενο από ένα ευρωπαϊκό δικαίωμα αγοράς με χρόνο ωρίμανσης $T$ και τιμή άσκησης $K$. Είδαμε ότι η αξία αυτού του χαρτοφυλακίου στην ωρίμανση είναι $V_{T}(A)=(S_{T}-K)^{+}\ge 0$. Θα συμβολίζουμε την αρχική του αξία με $c(S_{0},T,K)$. Aπό την Πρόταση 1.1, θα πρέπει $c(S_{0},T,K)\ge 0$. Έστω τώρα χαρτοφυλάκιο $B$ που αποτελείται από ένα προθεσμιακό συμβόλαιο για την αγορά του πρωτογενούς προϊόντος με χρόνο ωρίμανσης $T$ και τιμή παράδοσης $K$. Η απόδοση του χαρτοφυλακίου $B$ στην ωρίμανση είναι $V_{T}(B)=S_{T}-K\le (S_{T}-K)^{+}=V_{T}(A)$, ανεξάρτητα από την τιμή που μπορεί να έχει η $S_T$. Επομένως, η αρχική αξία του $B$ δεν μπορεί να υπερβαίνει την αρχική αξία του $A$. Έχουμε λοιπόν ότι $c(S_{0},T,K)\ge S_{0}-KΒ(0,Τ)$ και τελικά

\[ c(S_{0},T,K)\ge\max\{S_{0}-K\,Β(0,Τ),0\}=\big(S_{0}-K\,Β(0,Τ)\big)^{+}. \]

Έστω τώρα χαρτοφυλάκιο $B'$ που περιλαμβάνει μόνο το πρωτογενές προϊόν. H αξία του χαρτοφυλακίου $B'$ στην ωρίμανση είναι $S_{T}$ και είναι μεγαλύτερη από $(S_{T}-K)^{+}$. Από την Πρόταση 1.1 η αρχική αξία του $B'$ είναι τουλάχιστον όση του δικαιώματος αγοράς, επομένως $c(S_0,T,K)\le S_0$.

\[ Κ_{1}\le K_{2}\Longrightarrow (S_T-K_1)^+\ge (S_T-K_2)^+,\ \forall S_T\ge 0\Longrightarrow c(S_{0},T,K_{1})\ge c(S_{0},T,K_{2}). \]

Περισσότερες σχέσεις που επιβάλλει η αρχή της μη επιτηδειότητας στη ``δίκαιη'' τιμή των ευρωπαϊκών δικαιωμάτων αγοράς θα δούμε στις ασκήσεις.

Πρόταση 1.4

\ [Ισοτιμία ευρωπαϊκών δικαιωμάτων αγοράς και πώλησης (put-call parity)]. Οι αρχικές αξίες $c(S_0,T,K)$ και $p(S_0,T,K)$ των ευρωπαϊκών δικαιωμάτων αγοράς και πώλησης συνδέονται με τη σχέση

\begin{equation} F(S_{0},T,K)=S_{0}-KΒ(0,Τ)=c(S_{0},T,K)-p(S_{0},T,K). \end{equation}

Απόδειξη: Από την ταυτότητα $x=x^{+}-x^{-}=x^{+}-(-x)^{+}$, η οποία ισχύει για κάθε $x\in\R$, έχουμε ότι:

Θεωρούμε χαρτοφυλάκιο $A$, το οποίο αποτελείται από ένα προθεσμιακό συμβόλαιο, και χαρτοφυλάκιο $B$, το οποίο αποτελείται από ένα ευρωπαϊκό δικαίωμα αγοράς και μια αρνητική θέση σ' ένα ευρωπαϊκό δικαίωμα πώλησης. Όλα τα παραπάνω παράγωγα έχουν χρόνο ωρίμανσης $T$ και τιμή άσκησης $K$. Από την παραπάνω ισότητα οι αποδόσεις των δύο χαρτοφυλακίων στην ωρίμανση συμπίπτουν. Από την αρχή της μη επιτηδειότητας οι αρχικές τους αξίες πρέπει επομένως να είναι ίσες.

Παρατήρηση 1.4

Με βάση την ισοτιμία ευρωπαϊκών δικαιωμάτων αγοράς και πώλησης, οι εκτιμήσεις που κάναμε για την $c(S_{0},T,K)$ στην Πρόταση (1.3) αυτόματα οδηγούν σε αντίστοιχες εκτιμήσεις για την $p(S_{0},T,K)$. Συγκεκριμένα,

\[ (K\,Β(0,Τ)-S_{0})^{+}\le p(S_{0},T,K)\le K\,Β(0,Τ). \]

Υποθέσαμε παραπάνω ότι η κατοχή του πρωτογενούς προϊόντος (στο χαρτοφυλάκιο $A$) δεν συνεπάγεται κάποιο κόστος ή όφελος. Σε κάποιες περιπτώσεις αυτό δεν είναι ακριβές. Για παράδειγμα, μια μετοχή μπορεί να πληρώσει μέρισμα στους κατόχους της κάποια στιγμή πριν την ωρίμανση, ένα αγαθό μπορεί να επιφέρει κάποιο κόστος αποθήκευσης ή ένα ξένο συνάλλαγμα μπορεί να αποφέρει τόκους. Τα επιπλέον έσοδα ή έξοδα από την κατοχή του πρωτογενούς προϊόντος δεν αφορούν φυσικά τους κατόχους παραγώγων, γι' αυτό και η αξία ενός παραγώγου σε μια τέτοια περίπτωση είναι διαφορετική.

Ας δούμε για παράδειγμα πώς αλλάζει η αξία ενός προθεσμιακού συμβολαίου, αν το πρωτογενές προϊόν είναι η μετοχή μιας εταιρείας, η οποία αποδίδει στους κατόχους της μέρισμα $D$ ανά μετοχή στον χρόνο $ t < T $. Με τη διανομή του μερίσματος, η αξία της εταιρείας θα μειωθεί κατά το κεφάλαιο που μοίρασε στους μετόχους της. Επειδή η αξία μιας μετοχής αντιπροσωπεύει ένα μέρος της αξίας της εταιρείας, αυτόματα η αξία κάθε μετοχής θα μειωθεί κατά $D$. Έτσι, ο κάτοχος μιας μετοχής, ακριβώς πριν τη διανομή του μερίσματος θα έχει μια μετοχή αξίας $S_{t-}$, ενώ ακριβώς μετά θα έχει μια μετοχή αξίας $S_{t+}=S_{t-}-D$ και μετρητά $D$. Αν λοιπόν το χαρτοφυλάκιο $A$ περιέχει αρχικά τη μετοχή, αρνητική θέση σε ένα ομόλογο όψεως $K$ και ωρίμανσης $T$, καθώς και αρνητική θέση σ' ένα ομόλογο όψεως $D$ και ωρίμανσης $t$, το μέρισμα που θα λάβουμε θα καλύψει ακριβώς την υποχρέωσή μας στο ομόλογο που ωριμάζει τη στιγμή $t$. Η αξία του χαρτοφυλακίου μας στον χρόνο $T$ θα είναι επομένως $V_{T}(A)= S_{T}-K$. Από την αρχή της μη επιτηδειότητας, η αρχική αξία ενός προθεσμιακού συμβολαίου με ωρίμανση $T$ και τιμή άσκησης $K$ είναι ίση με αυτήν του χαρτοφυλακίου $A$. Επομένως,

Ομοίως, η σχέση ισοτιμίας των ευρωπαϊκών δικαιωμάτων αγοράς και πώλησης γίνεται

1.5 Σύνθεση παραγώγων ευρωπαϊκού τύπου

Ένα παράγωγο ονομάζεται ευρωπαϊκού τύπου, αν η αξία του στην ωρίμανση $T$ εξαρτάται μόνο από την τιμή που λαμβάνει το πρωτογενές προϊόν στην ωρίμανση. Επομένως, η αξία ενός παραγώγου ευρωπαϊκού τύπου είναι της μορφής $f(S_{T})$, για κάποια συνάρτηση $f: \RR_{+}\to\RR$. Ένας επενδυτής που επιθυμεί να επενδύσει σε παράγωγα του πρωτογενούς προϊόντος θα ήθελε να επιλέξει τη συνάρτηση απόδοσης $f$ που ταιριάζει στις ανάγκες του. Από την άλλη, είναι κατανοητό ότι δεν μπορούν να υπάρχουν στην αγορά έτοιμα παράγωγα για κάθε συνάρτηση απόδοσης $f$. Στην παράγραφο αυτή θα δούμε πώς μπορούμε να συνθέσουμε ένα παράγωγο, να κατασκευάσουμε δηλαδή ένα χαρτοφυλάκιο με την επιθυμητή απόδοση $f$, χρησιμοποιώντας απλά παράγωγα όπως αυτά που είδαμε στην Παράγραφο 1.3.

Αν και τα ευρωπαϊκά δικαιώματα αγοράς ή πώλησης είναι απλά χρηματιστηριακά προϊόντα, εντούτοις αρκούν για να συνθέσουμε πρακτικά οποιοδήποτε ευρωπαϊκό παράγωγο με τον ίδιο χρόνο ωρίμανσης. Μπορείτε εύκολα να δείτε ότι, αν η $f$ έχει παραγώγους μέχρι και δεύτερης τάξης, τότε για κάθε $x\ge 0$ έχουμε:

\begin{equation} f(x)=f(0)+f'(0)x+\int_0^\infty(x-y)^{+}f''(y)\ dy. \end{equation}

Επομένως, για οποιαδήποτε τιμή $S_T$ του πρωτογενούς προϊόντος έχουμε

\begin{equation} f(S_T)=f(0)+f'(0)S_T+\int_0^\infty(S_T-y)^{+}f''(y)\ dy. \end{equation}

Βλέπουμε ότι η απόδοση του παραγώγου στην ωρίμανση είναι ίδια με αυτήν ενός χαρτοφυλακίου που αποτελείται από ένα ομόλογο όψεως $f(0)$, $f'(0)$ μέρη του πρωτογενούς προϊόντος και ευρωπαϊκά δικαιώματα αγοράς όλων των δυνατών τιμών άσκησης. Αν γνωρίζουμε την αρχική αξία των ευρωπαϊκών δικαιωμάτων αγοράς, μπορούμε να υπολογίσουμε και την αρχική αξία του παραγώγου, ως

Είναι ενδιαφέρον ότι, όταν η $f$ είναι μια κυρτή συνάρτηση η (1.4) παραμένει σε ισχύ, αν ερμηνεύσουμε την $f''$ με την έννοια των κατανομών. Μπορούμε έτσι να συνθέσουμε παράγωγα, των οποίων η απόδοση είναι γραμμικός συνδυασμός κυρτών συναρτήσεων, όπως είναι για παράδειγμα κάθε τμηματικά γραμμική συνάρτηση. Σε αυτήν την περίπτωση η (1.4) γίνεται

\begin{equation} f(S_T)=f(0)+f'_{+}(0)S_T+\sum_{y>0} (S_T-y)^{+} \big(f'_{+}(y)-f'_{-}(y)\big). \end{equation}

Παράδειγμα 1.4

Θέλουμε να σχεδιάσουμε ένα ευρωπαϊκό παράγωγο του οποίου η απόδοση έχει ως εξής.

\[ f(S_{T}) =\begin{cases} S_{T}, &0\le S_{T}\le K\\ K, &K\le S_{T}\le 9K\\ 10K-S_{T}, &9K\le S_{T}\le 10K\\ 0, &S_{T}\ge 10K. \end{cases} \]

Η απόδοση του παραγώγου είναι τμηματικά γραμμική. Έχουμε $f(0)=0$, $f'_{+}(0)=1$ και για $y>0$ $ f'_{+}(y)\neq f'_{-}(y)$ μόνο αν $y\in\{K,9K,10K\}$. Από την 1.5 έχουμε

\[ f(S_T)=S_T-(S_T-K)^{+}-(S_T-9K)^{+}+(S_T-10K)^{+}. \]

Βλέπουμε λοιπόν ότι το παράγωγο που θέλουμε να συνθέσουμε είναι ουσιαστικά ένα χαρτοφυλάκιο το οποίο αποτελείται από το πρωτογενές προϊόν, ένα ευρωπαϊκό δικαίωμα αγοράς με τιμή άσκησης $10K$ και αρνητική θέση σε ευρωπαϊκά δικαιώματα αγοράς με τιμές άσκησης $K$ και $9Κ$. Από την αρχή της μη επιτηδειότητας, η αρχική αξία αυτού του χαρτοφυλακίου θα είναι

\[ V_{0}=S_{0}+c(S_{0},T,10K)-c(S_{0},T,K)-c(S_{0},T,9K). \]

Παράδειγμα 1.5

Θεωρήστε ένα παράγωγο με συνάρτηση απόδοσης

\[ f ( S_{T} ) = \begin{cases} 0, & S_{T} < K \\ 1 , & S_{T} \ge K. \end{cases} \]

Η απόδοση δεν είναι συνεχής συνάρτηση, επομένως δεν μπορεί να γραφεί ως γραμμικός συνδυασμός κυρτών συναρτήσεων. Οι κυρτές συναρτήσεις είναι συνεχείς, αν παίρνουν πεπερασμένες τιμές. Θα προσεγγίσουμε την $f$ με συνεχείς, τμηματικά γραμμικές συναρτήσεις. Μπορούμε εύκολα να ελέγξουμε την ακόλουθη ανισότητα, που ισχύει για κάθε $h>0$.

\[ \frac{(x-(K-h))^{+}-(x-K)^{+}}{h}\le f(x)\le \frac{(x-K)^{+}-(x-(K+h))^{+}}{h}. \]

Από την αρχή της μη επιτηδειότητας θα πρέπει να έχουμε:

\[ \frac{c(S_{0},T,K-h)-c(S_{0},T,K)}{h}\le V_{0}(f)\le \frac{c(S_{0},T,K)-c(S_{0},T,K+h)}{h}. \]

Αν μπορούμε να υπολογίσουμε την αξία ενός ευρωπαϊκού δικαιώματος αγοράς και αυτή είναι παραγωγίσιμη ως προς την τιμή άσκησης, παίρνοντας $h\to 0$, έχουμε

\[ V_{0}(f)=-\frac{\partial c(S_{0},T,K)}{\partial K}. \]

Η αξία ενός ευρωπαϊκού δικαιώματος αγοράς $c(S_0,T,K)$ εξαρτάται από το υπόδειγμα που θα χρησιμοποιήσουμε για την τιμολόγηση. Ανεξάρτητα από το υπόδειγμα όμως, η σημερινή αξία του παραγώγου του παραδείγματος θα δίνεται από την παράγωγο της $c$ ως προς την τιμή άσκησης.

1.6 Συμβόλαια μελλοντικής εκπλήρωσης (future contracts)

Ένα συμβόλαιο μελλοντικής εκπλήρωσης, όπως και ένα προθεσμιακό συμβόλαιο, είναι μια συμφωνία για την αγοραπωλησία καθορισμένης ποσότητας ενός προϊόντος, σε καθορισμένο χρόνο, έναντι καθορισμένου τιμήματος.

Η βασικότερη διαφορά μεταξύ προθεσμιακών συμβολαίων και συμβολαίων μελλοντικής εκπλήρωσης είναι ότι, ενώ στα προθεσμιακά συμβόλαια το συμφωνηθέν τίμημα καταβάλεται εξ' ολοκλήρου στην ωρίμανση, στα συμβόλαια μελλοντικής εκπλήρωσης το τίμημα καταβάλλεται σταδιακά, όσο το συμβόλαιο είναι σε ισχύ, και στην ωρίμανση το προϊόν πωλείται στην τιμή διαπραγμάτευσής του. Θα εξηγήσουμε τον τρόπο με ένα παράδειγμα, καλό είναι όμως να διαβάσετε από τα βιβλία [ Hull11 ] ή [ Jarrow99 ] τις λεπτομέρειες.

Έστω ότι στις 12 Οκτωβρίου ο Α συμφωνεί να αγοράσει από τον Β ποσότητα Υ του προϊόντος Χ. Η αγορά θα γίνει στις 30 Νοεμβρίου έναντι τιμήματος $f_{0}$. Τα συμβόλαια μελλοντικής εκπλήρωσης είναι τυποποιημένα. Έτσι, συμβόλαια για την ίδια ποσότητα και τον ίδιο χρόνο παράδοσης συνάπτονται και μεταξύ άλλων επενδυτών. Ας υποθέσουμε λοιπόν ότι στις13 Οκτωβρίου η τελευταία τιμή που συμφωνήθηκε για ένα τέτοιο συμβόλαιο είναι $f_{1}>f_{0}$. Τότε ο Α, του οποίου η θέση απέκτησε αξία σε σχέση με την προηγούμενη μέρα, λαμβάνει από τον Β τη διαφορά $f_{1}-f_{0}$. Ομοίως, αν $f_{0}>f_{1}$ o B λαμβάνει από τον Α $f_{0}-f_{1}$. Η διαδικασία αυτή καλείται καθημερινή αποτίμηση (marking-to-market) και οι πληρωμές πραγματοποιούνται μέσω λογαριασμών πίστωσης (margin accounts), που οι συμβαλλόμενοι είναι υποχρεωμένοι να διατηρούν πάνω από κάποιο καθορισμένο υπόλοιπο. Αυτή η διαδικασία επαναλαμβάνεται καθημερινά. Στο τέλος της $n-$οστής ημέρας, ποσόν $f_{n-1}-f_{n}$ (θετικό ή αρνητικό) μεταφέρεται από το λογαριασμό του Α σ' αυτόν του Β, ώσπου στην ημερομηνία παράδοσης ο Α αγοράζει το προϊόν από τον Β στην τρέχουσα τιμή του προϊόντος $S_{Ν}$. Το άθροισμα των ενδιάμεσων πληρωμών από τον Α στον Β είναι τηλεσκοπικό και ισούται με $f_{0}-f_{Ν}$, όπου $Ν$ είναι το πλήθος των ημερών μέχρι την ωρίμανση. Από την αρχή της μη επιτηδειότητας θα πρέπει $f_{N}=S_{N}$. Μαζί με την τελική πληρωμή $S_{N}$, o A θα έχει καταβάλλει στον Β συνολικά ποσό $f_{0}-f_{N}+S_N=f_0$, το οποίο είναι και το συμφωνηθέν τίμημα.

Ο λόγος ύπαρξης αυτής της διαδικασίας καθημερινής καταβολής της διαφοράς στη μελλοντική τιμή, είναι η ελαχιστοποίηση του κινδύνου από την πτώχευση ενός από τους δύο συμβαλλόμενους. Γι' αυτό και τα συμβόλαια μελλοντικής εκπλήρωσης είναι προσβάσιμα σε ιδιώτες επενδυτές, σε αντίθεση με τα προθεσμιακά συμβόλαια που συνάπτονται συνήθως μόνο στη διατραπεζική αγορά.

Εδώ θα ασχοληθούμε περισσότερο με την τιμολόγηση των συμβολαίων μελλοντικής εκπλήρωσης βάσει της αρχής της μη επιτηδειότητας. Oι στρατηγικές επιτηδειότητας που έχουμε θεωρήσει ως τώρα συνίστανται στη σύνθεση αρχικά ενός χαρτοφυλακίου με μηδενική αξία που σε μια μελλοντική στιγμή $Τ$ θα έχει θετική απόδοση, ανεξάρτητα από την κίνηση του πρωτογενούς προϊόντος. Αυτή είναι μια απλοϊκή στρατηγική όμως, αφού δεν αξιοποιούμε τη δυνατότητα να μεταβάλλουμε το χαρτοφυλάκιό μας, χρησιμοποιώντας την πληροφορία που παρέχει η τιμή του υποκείμενου προϊόντος μέχρι εκείνη τη στιγμή. Θα μπορούσαμε για παράδειγμα, την πρώτη στιγμή που η τιμή μιας μετοχής πέσει κάτω από ένα προκαθορισμένο επίπεδο, να αλλάξουμε τη θέση μας, αγοράζοντας τη μετοχή με χρήματα από το λογαριασμό μετρητών του χαρτοφυλακίου μας. Μια τέτοια συναλλαγή προφανώς δεν μεταβάλλει την αξία του χαρτοφυλακίου τη στιγμή που διεκπεραιώνεται.

Ορισμός 1.2 Ένα χαρτοφυλάκιο που εξελίσσεται στον χρόνο με μια σειρά από συναλλαγές, οι οποίες εξαρτώνται μόνο από την πληροφορία που είναι διαθέσιμη ως τη στιγμή που συντελούνται και δεν μεταβάλουν την αξία του χαρτοφυλακίου τη στιγμή που συντελούνται, ονομάζεται αυτοχρηματοδοτούμενο (self-financing).

Ένα αυτοχρηματοδοτούμενο χαρτοφυλάκιο με μηδενική αρχική αξία και θετική απόδοση στον χρόνο $Τ$, προσφέρει μια στρατηγική επιτηδειότητας. Θεωρώντας αυτοχρηματοδοτούμενα χαρτοφυλάκια, η αρχή της μη επιτηδειότητας επιβάλλει περισσότερους περιορισμούς στην τιμολόγηση παραγώγων. Χρησιμοποιώντας ένα αυτοχρηματοδοτούμενο χαρτοφυλάκιο, θα δείξουμε την ακόλουθη πρόταση.

Πρόταση 1.5 Αν το επιτόκιο είναι σταθερό, τότε η θεωρητικά δίκαιη μελλοντική τιμή $f_0$ που συμφωνείται σε ένα συμβολαίο μελλοντικής εκπλήρωσης ταυτίζεται με την αντίστοιχη προθεσμιακή τιμή.

Απόδειξη: Έστω $r$ o τόκος που αντιστοιχεί σε κεφάλαιο 1 το οποίο έχει επενδυθεί χωρίς κίνδυνο για μία ημέρα. Θέτουμε $\Lambda=1+r$. Συνθέτουμε ένα χαρτοφυλάκιο που αρχικά αποτελείται από θετική θέση σε $\Lambda$ συμβόλαια μελλοντικής εκπλήρωσης με ωρίμανση έπειτα από $N$ μέρες και μελλοντική τιμή $f_{0}$, από αρνητική θέση σε $\Lambda^{N}$ προθεσμιακά συμβόλαια στην προθεσμιακή τιμή $K_f$ με την ίδια ωρίμανση και από ένα λογαριασμό χωρίς κίνδυνο και αρχικά χωρίς χρήματα. Η αρχική αξία ενός τέτοιου χαρτοφυλακίου είναι 0. Στο τέλος κάθε μέρας, τα κέρδη ή οι ζημιές από τη μεταβολή της μελλοντικής τιμής επενδύονται στον λογαριασμό ή καλύπτονται από αυτόν. Επιπλέον, αυξάνουμε τη θέση μας στα συμβόλαια μελλοντικής εκπλήρωσης, με συμφωνίες στην τρέχουσα μελλοντική τιμή, ώστε να έχουμε συνολικά $\Lambda$ φορές περισσότερα από όσα την προηγούμενη μέρα. Αυτή η αλλαγή θέσης δεν μεταβάλλει την αξία του χαρτοφυλακίου τη στιγμή που συντελείται, αφού τα συμβόλαια μελλοντικής εκπλήρωσης έχουν μηδενική αξία, όταν υπογράφονται. Επομένως το χαρτοφυλάκιό μας είναι αυτοχρηματοδοτούμενο.

Στο τέλος της πρώτης μέρας θα μεταφέρουμε ποσό $\Lambda (f_{1}-f_{0})$ στον άνευ κινδύνου λογαριασμό. Επιπλέον, θα έχουμε θετική θέση σε $\Lambda^{2}$ συμβόλαια μελλοντικής εκπλήρωσης και αρνητική θέση σε $\Lambda^{N}$ προθεσμιακά συμβόλαια.

Στο τέλος της δεύτερης μέρας το ποσό στον άνευ κινδύνου λογαριασμό θα τοκιστεί, ενώ θα μεταφέρουμε σε αυτόν και τα κέρδη (ζημιές) από τα $\Lambda^{2}$ συμβόλαια μελλοντικής εκπλήρωσης που κατέχουμε. Το χαρτοφυλάκιό μας θα αποτελείται λοιπόν από $\Lambda^{2}(f_{2}-f_{0})$ στον λογαριασμό χωρίς κίνδυνο, αρνητική θέση σε $\Lambda^{N}$ προθεσμιακά συμβόλαια, ενώ τώρα θα έχουμε αυξήσει τη θέση μας στα συμβόλαια μελλοντικής εκπλήρωσης σε $\Lambda^{3}$.

Στην ημερομηνία ωρίμανσης θα έχουμε λοιπόν $\Lambda^{N}(f_{N}-f_{0})=\Lambda^{N}(S_{N}-f_{0})$ σε μετρητά, αρνητική θέση σε $\Lambda^{N}$ προθεσμιακά συμβόλαια (με απόδοση $-\Lambda^{N}(S_{N}-K_{f})$) και $\Lambda^{N}$ συμβόλαια μελλοντικής εκπλήρωσης χωρίς αξία, αφού στην παράδοση του προϊόντος καταβάλεται η τρέχουσα τιμή του. Η συνολική απόδοση του χαρτοφυλακίου μας θα είναι λοιπόν $V_{T}=\Lambda^{N}(K_{f}-f_{0})$ και συνεπώς, αν $K_{f}\neq f_{0}$, το χαρτοφυλάκιό μας (ή αρνητική θέση σε αυτό) θα συνιστούσε στρατηγική επιτηδειότητας.

Παρατήρηση 1.5 Με το ίδιο ουσιαστικά επιχείρημα, μπορούμε να δείξουμε ότι η θεωρητικά δίκαιη μελλοντική τιμή ταυτίζεται με την προθεσμιακή τιμή και στην περίπτωση που το επιτόκιο μεταβάλλεται καθημερινά, αλλά με τρόπο που είναι γνωστός εξ' αρχής και δεν εξαρτάται από τις μεταβολές της μελλοντικής τιμής. Αποδείξτε το.

1.7 Αμερικανικά δικαιώματα αγοράς/πώλησης

Θα προσπαθήσουμε τώρα να εξαγάγουμε περιορισμούς που η αρχή της μη επιτηδειότητας επιβάλλει στην αρχική αξία $C(S_{0},T,K)$ ενός αμερικανικού δικαιώματος αγορας. Οι παρακάτω ανισότητες είναι εύκολο να αποδειχθούν από την πρόταση 1.1.

Είναι φανερό ότι ένα αμερικανικό δικαίωμα θα πρέπει να αξίζει τουλάχιστον όσο το αντίστοιχο ευρωπαϊκό, αφού το αμερικανικό μπορεί να ασκηθεί οποιαδήποτε στιγμή μέχρι την ωρίμανση, ενώ το ευρωπαϊκό μόνο στην ωρίμανση. Είναι ενδιαφέρον ότι μπορούμε να αποδείξουμε το ακόλουθο Θεώρημα.

Θεώρημα 1.1

Αν η κατοχή του πρωτογενούς προϊόντος δεν έχει κόστος και δεν αποφέρει έσοδα, οι αξίες ενός ευρωπαϊκού και ενός αμερικανικού δικαιώματος αγοράς είναι ίσες. Δηλαδή

\begin{equation} C(S_{0},T,K)= c(S_{0},T,K). \end{equation}

Η απόδειξη του άνω φράγματος στην (1.6) είναι πολύ ενδιαφέρουσα. Συνήθως αποδεικνύουμε ανισότητες επιτηδειότητας κατασκευάζοντας ένα αυτοχρηματοδοτούμενο χαρτοφυλάκιο που έχει σε κάθε πιθανό ενδεχόμενο μη αρνητική τελική αξία, συμπεραίνοντας έτσι ότι η αρχική αξία αυτού του χαρτοφυλακίου πρέπει να είναι μη αρνητική. Εδώ θέλουμε ένα άνω φράγμα για την αρχική αξία του αμερικανικού δικαιώματος αγοράς. Θα θέλαμε λοιπόν να κατασκευάσουμε ένα δυναμικό αυτοχρηματοδοτούμενο χαρτοφυλάκιο που αρχικά περιέχει (ανάμεσα σε άλλα προϊόντα) και μια αρνητική θέση στο αμερικανικό δικαίωμα αγοράς και του οποίου η τελική αξία είναι οπωσδήποτε μη αρνητική. Τώρα όμως τα πιθανά ενδεχόμενα εξέλιξης της αγοράς μέχρι τη στιγμή $T$ περιλαμβάνουν όλους τους τρόπους που ο κάτοχος της θετικής θέσης στο αμερικανικό δικαίωμα μπορεί να επιλέξει να το ασκήσει. Θα πρέπει λοιπόν το αυτοχρηματοδοτούμενο χαρτοφυλάκιο που θα κατασκευάσουμε να έχει μη αρνητική τελική αξία, όπως κι αν ασκηθεί το δικαίωμα.

Θεωρούμε χαρτοφυλάκιο Α που αποτελείται αρχικά από μια αρνητική θέση σε ένα αμερικανικό δικαίωμα αγοράς, από το πρωτογενές προϊόν, από ένα ευρωπαϊκό δικαίωμα πώλησης με ωρίμανση $T$ και τιμή άσκησης $K$ και από μία αρνητική θέση σε ένα ομόλογο όψεως $K$ και ωρίμανσης $T$. Στο ενδεχόμενο που το αμερικανικό δικαιώμα ασκηθεί σε κάποιο χρόνο $\tau\le T$, θα πουλήσουμε το προϊόν του χαρτοφυλακίου μας έναντι ποσού $K$. Η αξία του ποσού αυτού στον χρόνο $T$ υπερκαλύπτει την αρνητική θέση στο ομόλογο, οπότε στην ωρίμανση το χαρτοφυλάκιό μας θα έχει μη αρνητικό υπόλοιπο σε μετρητά και το δικαίωμα πώλησης, συνεπώς θα έχει μη αρνητική αξία.
Αν το αμερικανικό δικαίωμα δεν ασκηθεί ποτέ (και αφού δεν ασκείται ούτε στην ωρίμανσή του αυτό συνεπάγεται ότι $S_{T}\le K$), τότε στην ωρίμανση ασκούμε το ευρωπαϊκό δικαίωμα πώλησης, πουλάμε το προϊόν του χαρτοφυλακίου μας έναντι $K$ και καλύπτουμε την αρνητική θέση στο ομόλογο, οπότε η αξία της θέσης μας είναι μηδενική. Σε κάθε περίπτωση λοιπόν η αξία του χαρτοφυλακίου μας στην ωρίμανση είναι μη αρνητική. Από την άλλη το χαρτοφυλάκιό μας είναι αυτοχρηματοδοτούμενο, συνεπώς μη αρνητική θα είναι και η αρχική του αξία. Έτσι,

όπου η τελευταία ισότητα προκύπτει από την ισοτιμία των ευρωπαϊκών δικαιωμάτων αγοράς και πώλησης (1.2) που έχουμε αποδείξει.

Παρατήρηση 1.6 Από την 1.6 προκύπτει ότι, για ένα προϊόν που η κατοχή του δεν αποφέρει έσοδα και δεν έχει κόστος, η βέλτιστη στρατηγική για ένα κάτοχο αμερικάνικου δικαιώματος αγοράς είναι να ΜΗΝ το ασκήσει πρώιμα

Είναι πολύ διδακτικό να δοκιμάσετε την περίπτωση που το πρωτογενές προϊόν αποδίδει μέρισμα $D$ στον χρόνο $ t < T$. Μπορείτε να αποδείξετε τότε ότι το χαρτοφυλάκιο της παραπάνω απόδειξης έχει αυστηρά θετική αξία. Η ιδέα είναι η εξής. Αν το αμερικανικό δικαίωμα ασκηθεί πριν πληρωθεί το μέρισμα, τα έσοδα μας από την πώληση (επενδυμένα χωρίς κίνδυνο μέχρι το χρόνο $T$) υπερκαλύπτουν την αρνητική μας θέση στο ομόλογο. Αν πάλι το δικαίωμα ασκηθεί μετά το χρόνο πληρωμής του μερίσματος, με την ίδια στρατηγική θα έχουμε στην ωρίμανση τουλάχιστον το μέρισμα και τους τόκους επ' αυτού. Χρησιμοποιήστε τώρα την σχέση ισοτιμίας των ευρωπαϊκών δικαιωμάτων αγοράς και πώλησης στην περίπτωση που έχουμε μέρισμα και συμπεράνετε ότι

Ας δούμε τώρα τι γίνεται στην περίπτωση των αμερικανικών δικαιωμάτων πώλησης. Οι επόμενες ανισότητες για την αρχική αξία $P(S_{0},T,K)$ ενός αμερικανικού δικαιώματος πώλησης είναι εύκολο να αποδειχθούν:

Σε αντίθεση με όσα είδαμε για το αμερικανικό δικαίωμα αγοράς, στην περίπτωση του αμερικανικού δικαιώματος πώλησης είναι δυνατόν η πρώιμη εξάσκησή του να είναι καλύτερη στρατηγική από την αναμονή μέχρι την ωρίμανση. Αν ένας κάτοχος αμερικανικού δικαιώματος πώλησης ενός προϊόντος με τρέχουσα τιμή $S_{0}<Κ$ το ασκήσει αμέσως, η θέση του στην ωρίμανση θα έχει αξία $(K-S_{0})e^{rT}$. Αν πάλι δεν το ασκήσει πριν την ωρίμανση, η τελική του θέση θα έχει αξία $(K-S_{T})^{+}\le K$. Aν λοιπόν το $S_{0}$ είναι κατάλληλα μικρό [$S_{0}\le K(1-e^{-rT})$], τότε σίγουρα η άμεση άσκηση είναι προτιμότερη από την αναμονή μέχρι την ωρίμανση.

Θεώρημα 1.2

Στην περίπτωση των αμερικανικών δικαιωμάτων η ισοτιμία αγοράς πώλησης (για προϊόντα που η κατοχή τους δεν επιφέρει κόστος ή έσοδα) εκφράζεται μέσω της ακόλουθης διπλής ανισότητας:

\begin{equation} S_{0}-K\le C(S_{0},T,K)-P(S_{0},T,K)\le S_{0}-Ke^{-rT}. \end{equation}

Απόδειξη: Το δεξί μέλος προκύπτει άμεσα από τις σχέσεις (1.6), (1.7) και τη σχέση ισοτιμίας των αντίστοιχων ευρωπαϊκών δικαιωμάτων. Για το αριστερό μέλος, θεωρήστε ένα χαρτοφυλάκιο που αρχικά περιέχει ένα αμερικανικό δικαίωμα αγοράς, αρνητική θέση σ' ένα αμερικανικό δικαίωμα πώλησης, ένα ποσόν $K$ επενδεδυμένο χωρίς κίνδυνο και αρνητική θέση στο πρωτογενές προϊόν. Ακολουθούμε τώρα την εξής στρατηγική.
Αν το αμερικανικό δικαίωμα πώλησης (στο οποίο έχουμε αρνητική θέση) ασκηθεί (στον χρόνο $\tau\le T$), χρησιμοποιούμε μέρος από τα μετρητά μας για να κάνουμε την αγορά στην παραδοτέα τιμή $K$ και με την αγορά αυτή καλύπτουμε την αρνητική μας θέση στο προϊόν. Έτσι η θέση μας στην ωρίμανση θα αποτελείται από το δικαίωμα αγοράς και ένα ποσόν $Ke^{rT}(1-e^{-r\tau})\ge 0$, συνεπώς θα έχει μη αρνητική αξία.

Αν το αμερικανικό δικαίωμα πώλησης δεν ασκηθεί ποτέ, αυτό συνεπάγεται ότι $S_{T}>K$. Σ' αυτήν την περίπτωση ασκούμε το δικαίωμα αγοράς που κατέχουμε στην ωρίμανση, καλύπτουμε την αρνητική μας θέση στο πρωτογενές προϊόν και μας μένουν $K(e^{rT}-1)$ σε μετρητά.
Σε κάθε περίπτωση η αξία του (αυτοχρηματοδοτούμενου) χαρτοφυλακίου μας στον χρόνο $T$ είναι μη αρνητική, οπότε και η αρχική του αξία πρέπει να είναι μη αρνητική και λαμβάνουμε το αριστερό μέλος της (1.8) .

Κλείνοντας αυτό το κεφάλαιο αξίζει να υπενθυμίσουμε ότι στα μέχρι τώρα απoτελέσματά μας δεν έχουμε κάνει κάποια υπόθεση για τη δυναμική του πρωτογενούς προϊόντος. Τα αποτελέσματα αυτά παραμένουν συνεπώς σε ισχύ οποιοδήποτε υπόδειγμα αγοράς κι αν υιοθετήσουμε. Στο επόμενο κεφάλαιο θα εξετάσουμε τέτοια υποδείγματα και θα δούμε πώς, με αυτή την επιπλέον υπόθεση, μπορούμε να εξαγάγουμε ακριβέστερα συμπεράσματα για την τιμολόγηση παραγώγων.

1.8 Ασκήσεις

Άσκηση 1.1 Πριν από 90 ημέρες αγοράσαμε ένα προθεσμιακό συμβόλαιο για την αγορά μιας μετοχής. Η ωρίμανση του συμβολαίου είναι σε 10 ημέρες και η παραδοτέα τιμή είναι € 50,25, αλλά δεν επιθυμούμε πια να αποκτήσουμε τη μετοχή. Για την πώλησή της εισερχόμαστε σ' ένα νέο προθεσμιακό συμβόλαιο, παίρνοντας αρνητική θέση. Έστω € 45 η τρέχουσα τιμή της μετοχής και 4,75% το ετήσιο επιτόκιο (με συνεχή απόδοση). Είναι γνωστό ότι η μετοχή δεν αποδίδει μέρισμα.
α) Ποια είναι η προθεσμιακή τιμή για το νέο συμβόλαιο;
β) Ποια είναι η τελική μας θέση, όταν ωριμάσουν τα δυο συμβόλαια;
γ) Ποια είναι η σημερινή αξία της θέσης μας;

Άσκηση 1.2 Τα παράγωγα προϊόντα βασίζονται σε πρωτογενή προϊόντα που είναι ανταλλάξιμα και αυτό έχει σημασία όπως δείχνει το ακόλουθο σενάριο. Ο διευθυντής μιας ξενοδοχειακής μονάδας στην Κορνουάλη έχει παρατηρήσει ότι οι επισκέπτες του ξενοδοχείου μειώνονται, όταν ο καιρός είναι βροχερός. Για να αντισταθμίσει τον κίνδυνο μειωμένου τζίρου εξ' αιτίας ενός βροχερού καλοκαιριού θέλει να συνάψει την 1η Μαΐου μια συμφωνία με ωρίμανση την 31η Αυγούστου και απόδοση $V_T=A(h_T-k)$, όπου $h_T$ είναι το ύψος της ετήσιας βροχόπτωσης στις 31 Αυγούστου, $k$ είναι ένα προσυμφωνημένο ύψος και $A$ μια σταθερά (με μονάδες £/cm). Έτσι, αν βρέξει πολύ θα έχει να λάβει χρήματα από το συμβόλαιο. Έχοντας διαβάσει λίγο Χρηματοοικονομία, παρατηρεί ότι η συμφωνία είναι ένα προθεσμιακό συμβόλαιο επί του ύψους της βροχόπτωσης, και σκέφτεται ότι η αξία της την 1η Μαΐου θα πρέπει να είναι $V_0=A\big(h_0-kB(0,T)\big)$. Εσείς συμφωνείτε μ' αυτό και γιατί?

Άσκηση 1.3 Μια μετοχή έχει τρέχουσα τιμή € 50,25 και πρόκειται να αποδώσει μέρισμα € 2 ανά μετοχή σε 2 μήνες. Το ετήσιο επιτόκιο είναι σταθερό 5% υπολογισμένο με συνεχή απόδοση. Για ποια τιμή του $K$ είναι ίσες οι σημερινές αξίες των ευρωπαϊκών δικαιωμάτων αγοράς και πώλησης με ωρίμανση σε 6 μήνες και τιμή άσκησης $K$?

Άσκηση 1.4 Ένα προθεσμιακό συμβόλαιο ενός έτους συνάπτεται επί μιας μετοχής. Η τρέχουσα τιμή της μετοχής είναι € 62 και είναι γνωστό ότι η μετοχή πληρώνει μερίσματα € 1 ανά μετοχή σε ένα μήνα και € 2 ανά μετοχή σε 7 μήνες. Οι τιμές ομολόγων όψεως € 1.000 είναι € 996,7 για 1 μήνα, € 974,1 για 7 μήνες και € 951,2 για 12 μήνες. Ποια είναι η προθεσμιακή τιμή της μετοχής;

Άσκηση 1.5 Την $1^{\eta}$ Σεπτεμβρίου μια εταιρεία Α σύναψε προθεσμιακό συμβόλαιο για την αγορά από την εταιρεία Β 1000 βαρελιών πετρελαίου την $30^{\eta}$ Δεκεμβρίου του ίδιου έτους. Η τρέχουσα τιμή του πετρελαίου είναι € 60 το βαρέλι και το μηνιαίο επιτόκιο είναι σταθερό και ίσο με 0,4% (με μηνιαίο ανατοκισμό).
α) Υπολογίστε την προθεσμιακή τιμή του συμβολαίου χωρίς να λάβετε υπ' όψιν το κόστος αποθήκευσης του πετρελαίου.
β) Υπολογίστε την προθεσμιακή τιμή του συμβολαίου, αν για την αποθήκευση του πετρελαίου απαιτείται μηνιαίο ενοίκιο € 1.000 πληρωτέο την $1^{\eta}$ κάθε μήνα.

Άσκηση 1.6 Η σημερινή συναλλαγματική ισοτιμία ευρώ και ελβετικού φράγκου είναι 0,6676 € /CHF. H τιμή ενός ομολόγου 180 ημερών με τιμή όψεως € 100 είναι € 98,0199. Η τιμή του αντίστοιχου ελβετικού ομολόγου όψεως 100 CHF είναι 98,5631CHF.
α) Βρείτε την προθεσμιακή τιμή του ελβετικού φράγκου για συμβόλαια με ωρίμανση σε 180 ημέρες.
β) Αν μπορείτε να συνάψετε συμβόλαια με προθεσμιακή τιμή 0,67 € /CHF, περιγράψτε μια στρατηγική επιτηδειότητας. Πόσα ευρώ θα κερδίζατε για ένα συμβόλαιο 1000CHF;

Άσκηση 1.7 Σε μια αγορά διατίθενται: α) μια μετοχή προς € 20, β) ένα ετήσιο ομόλογο όψεως € 1.000, προς € 960, γ) ένα ευρωπαϊκό δικαίωμα αγοράς της μετοχής με ωρίμανση σε 1 έτος και τιμή άσκησης € 25, προς € 4,40 και δ) ένα δικαίωμα πώλησης της μετοχής με ωρίμανση σε ένα έτος και τιμή άσκησης € 25, προς € 6. Κατασκευάστε μια στρατηγική επιτηδειότητας.

Άσκηση 1.8 Ένας επενδυτής περιμένει μια μεγάλη πληρωμή σε δυο μήνες και θα ήθελε να χρησιμοποιήσει τα χρήματα αυτά για να αγοράσει μετοχές μιας εταιρείας. Η τρέχουσα τιμή της μετοχής είναι € 25 αλλά ο επενδυτής ανησυχεί μήπως ανέβει μέσα στους επόμενους δυο μήνες. Η τράπεζά του προτείνει το ακόλουθο συμβόλαιο. Σε δυο μήνες, αν η μετοχή τιμάται πάνω από € 30, η τράπεζα θα του πληρώσει την διαφορά της τιμής της από τα € 30. Αν όμως η τιμή της μετοχής είναι κάτω από € 22, τότε ο επενδυτής θα πληρώσει στην τράπεζα τη διαφορά της τιμής της από τα € 22. Περιγράψτε ένα χαρτοφυλάκιο από ευρωπαϊκά δικαιώματα που υλοποιεί το παραπάνω συμβόλαιο.

Άσκηση 1.9 Υπολογίστε την αξία ενός προθεσμιακού συμβολαίου, με ωρίμανση $T$ και τιμή παράδοσης $K$, επί μιας μετοχής που πληρώνει μερίσματα $D_1, \ldots, D_k$ τις χρονικές στιγμές $t_1,\ldots,t_k$, με $t_1,\ldots,t_k\le T$.

Άσκηση 1.10 Ένα ευρωπαϊκό παράγωγο έχει απόδοση στην ωρίμανση που δίνεται από τη συνάρτηση

\[ f(S_{T}) =\begin{cases} 0, & S_{T}\le K_{1} \text{ ή } S_{T}\ge K_{4}\\ M\frac{S_{T}-K_{1}}{K_{2}-K_{1}}, & K_{1}\le S_{T}\le K_{2}\\ M, & K_{2}\le S_{T}\le K_{3}\\ M\frac{K_{4}-S_{T}}{K_{4}-K_{3}}, & K_{3}\le S_{T}\le K_{4}. \end{cases} \]

Συνθέστε ένα χαρτοφυλάκιο που αποτελείται από ευρωπαϊκά δικαιώματα μόνο και έχει την ίδια απόδοση. Στη συνέχεια υπολογίστε την αρχική αξία του παραγώγου και αποδείξτε ότι:

\[ \frac{c(S_{0},T,K_{1})-c(S_{0},T,K_{2})}{K_{2}-K_{1}}\ge\frac{c(S_{0},T,K_{3})-c(S_{0},T,K_{4})}{K_{4}-K_{3}}. \]

Άσκηση 1.11 Στο διευθύνοντα σύμβουλο μιας εταιρείας προτείνεται να αναλάβει υπουργικό αξίωμα. Όταν αυτός είχε προσληφθεί ως διευθύνων σύμβουλος, η εταιρεία του πρόσφερε ως κίνητρο απόδοσης ευρωπαϊκά δικαιώματα αγοράς της μετοχής της εταιρείας με χαμηλή τιμή άσκησης, τα οποία μπορεί μόνο να ασκήσει και όχι να πουλήσει. Τα δικαιώματα αυτά δεν έχουν φτάσει ακόμη στην ωρίμανση. Έτσι τώρα έχει προσωπικό συμφέρον στην εταιρεία, αφού όσο υψηλότερη είναι η τιμή της μετοχής της στην ωρίμανση τόσο μεγαλύτερο θα είναι το κέρδος του. Τίθεται λοιπόν ένα ηθικό ζήτημα σε συνδυασμό με την πρόθεσή του να αναλάβει υπουργικά καθήκοντα. Από την άλλη είναι παράλογο να του ζητηθεί να απεμπολήσει τα δικαιώματα αγοράς που κατέχει και που ήδη έχουν αποκτήσει μεγάλη αξία. Κάποιος σύμβουλός του του προτείνει να υπογράψει ένα προθεσμιακό συμβόλαιο ώστε να πουλήσει τις μετοχές που θα πάρει στην ωρίμανση ασκώντας τα δικαιώματα έναντι της προθεσμιακής τιμής $S_{0}e^{rT}$. Ο σύμβουλος ισχυρίζεται ότι έτσι θα είναι σαν να έχει πουλήσει τις μετοχές σήμερα και να έχει καταθέσει τη σημερινή τους αξία σε έναν λογαριασμό χωρίς κίνδυνο. Εσείς τι γνώμη έχετε; Aν ακολουθήσει τη συμβουλή, θα πάψει να έχει συμφέροντα στην αξία της μετοχής; Αν όχι, τι θα τον συνέφερε οικονομικά να συμβεί;

Άσκηση 1.12 α) Αποδείξτε ότι, αν η $f$ είναι δυο φορές παραγωγίσιμη συνάρτηση στο $[0,\infty)$, τότε για κάθε $x\ge 0$

\[ f(x)=f(0)+f'(0)x+\int_{0}^{\infty}(x-y)^{+}f''(y)\ dy. \]

β) Θεωρώντας γνωστή την τιμή όλων των ευρωπαϊκών δικαιωμάτων αγοράς με ωρίμανση στο χρόνο $T$, τιμολογήστε ένα ευρωπαϊκό παράγωγο με απόδοση στον χρόνο $T$ ίση με $S_{T}(2S_{0}-S_{T})$.

Άσκηση 1.13 Ένας επενδυτής συνάπτει ένα συμβόλαιο μελλοντικής εκλπήρωσης για την αγορά ενός προϊόντος προς € 29.200. H μελλοντική τιμή του συμβολαίου τις επόμενες πέντε μέρες κυμαίνεται ως εξής: 29.250, 29.300, 29.275, 29.225 και 29.250 (οι τιμές σε ευρώ). Αν το υπόλοιπο στον λογαριασμό περιθωρίου του επενδυτή είναι αρχικά € 2.000, περιγράψτε την κίνηση του λογαριασμού περιθωρίου τις επόμενες πέντε μέρες.

Άσκηση 1.14 Ένας επενδυτής επιθυμεί να αγοράσει από εσάς ένα παράγωγο μιας μετοχής με ωρίμανση σε 6 μήνες και τη διπλανή συνάρτηση απόδοσης. Η σημερινή τιμή της μετοχής είναι € 12, η αξία ενός 6μηνου ομολόγου όψεως € 100 είναι € 97,5 και στην αγορά διατίθενται και τα ακόλουθα ευρωπαϊκά δικαιώματα επί της μετοχής.

Τύπος Δικαιώματος	Ωρίμανση (μήνες)	Τιμή Άσκησης ( € )	Τιμή διαπραγμάτευσης ( € )
Αγοράς	6	13	0,2
Αγοράς	6	8	4,3
Πώλησης	6	8	0,1
Πώλησης	6	13	0.875

α) Συνθέστε ένα χαρτοφυλάκιο που αποτελείται από προϊόντα που είναι διαθέσιμα στην αγορά και έχει την ίδια απόδοση με το παραπάνω παράγωγο.
β) Μόλις πουλήσατε το παράγωγο προς € 17. Περιγράψτε πώς μπορείτε να πραγματοποιήσετε μια στρατηγική επιτηδειότητας και βρείτε το χωρίς κίνδυνο κέρδος σας από μια τέτοια συμφωνία.

Άσκηση 1.15 Αποδείξτε ότι

\[ p(S_{0},T,K)\le P(S_{0},T,K)\le p(S_{0},T,K)+ K(1-e^{-rT}). \]

Άσκηση 1.16 Αποδείξτε ότι, αν $K_{1}\le K_{2}$, τότε:

\[ P(S_{0},T,K_{1})\le P(S_{0},T,K_{2}) \le P(S_{0},T,K_{1})+(K_{2}-K_{1}). \]

Άσκηση 1.17 Είδαμε ότι, για μια μετοχή που δεν δίνει μέρισμα, η αξία $c(S_{0},T,K)$ ενός ευρωπαϊκού δικαιώματος αγοράς είναι ίση με την αξία $C(S_{0},T,K)$ του αντίστοιχου αμερικανικού δικαιώματος. Επομένως, αν $T_{1} \le T_{2}$ τότε

\[ c(S_{0},T_{1},K)\le c(S_{0},T_{2},K). \]

Μπορείτε να αποδείξετε αυτόν τον ισχυρισμό χωρίς να κάνετε χρήση της έννοιας των αμερικανικών δικαιωμάτων, αλλά με άμεση εφαρμογή της αρχής της μη επιτηδειότητας σε ένα κατάλληλο αυτοχρηματοδοτούμενο χαρτοφυλάκιο? Αποδείξτε το ίδιο αν η μετοχή πρόκειται να δώσει μέρισμα $D$ τη στιγμή $t$ με $ T_1 < t < T_2$.

1.1 Εισαγωγή