Περιεχόμενα - Εισαγωγή στη Θεωρία Ομάδων Παράρτημα B Στοιχεία από τη Θεωρία Αριθμών Παράρτημα Δ Στοιχεία από τη Γραμμική Άλγεβρα

Παράρτημα ΓΣτοιχεία από την Άλγεβρα

Δακτύλιος (ring) $R=(R,+,\cdot)$ είναι ένα μη κενό σύνολο με δύο πράξεις την πρόσθεση: $"+"$ και τον πολλαπλασιασμό $"\cdot"$ έτσι, ώστε

i.

η $(R,+)$ είναι προσθετική αβελιανή ομάδα
ii.

η $(R,\cdot)$ είναι ημιομάδα
iii.

$\alpha(\beta+\gamma)=\alpha\beta+\alpha\gamma$ , $(\beta+\gamma)\alpha=\beta\alpha+\gamma\alpha$

Αν η $(R,\cdot)$ είναι αντιμεταθετική ημιομάδα, τότε ο δακτύλιος $R$ λέγεται αντιμεταθετικός.

Αν η $(R,\cdot)$ είναι μονοειδές, τότε το μοναδιαίο στοιχείο του $R$ συμβολίζεται με $1$ .

Αν η $(R/\{0\},\cdot)$ είναι ομάδα, τότε ο δακτύλιος $R$ λέγεται δακτύλιος με διαίρεση (division ring).

Ένας αντιμεταθετικός δακτύλιος με διαίρεση λέγεται σώμα (field).

Έστω $R$ ένας δακτύλιος με μοναδιαίο στοιχείο 1, ένα στοιχείο $\alpha$ του $R$ λέγεται μονάδα (unit) αν υπάρχει στοιχείο $\beta\;\in\;R$ τέτοιο ώστε $\alpha\beta=1$ . Έτσι σε ενα δακτύλιο με διαίρεση κάθε μη μηδενικό στοιχείο είναι μονάδα.

Είναι εύκολο να αποδειχτεί ότι σε ένα δακτύλιο με μοναδιαίο στοιχείο:

i.

Αν $\alpha\beta=1$ , $\alpha,\beta\;\in\;R$ , τότε $\beta\alpha=1$ .
ii.

Το σύνολο των μονάδων του $R$ αποτελεί πολλαπλασιαστική ομάδα.

Ένα μη κενό υποσύνολο $S$ του δακτυλίου $(R,+,\cdot)$ λέγεται υποδακτύλιος (subring) του $R,$ αν το $(S,+,\cdot)$ είναι επίσης δακτύλιος. Ανάλογα ορίζεται το υπόσωμα (subfield) σώματος.

Ένα σώμα λέγεται πρώτο σώμα αν δεν έχει γνήσια υποσώματα.

Θεώρημα C.1

$(\alpha)$ Κάθε πρώτο σώμα είναι ισόμορφο με το σώμα $\mathbb{Q}$ των ρητών αριθμών ή το σώμα $\mathbb{Ζ}_{p}$ των κλάσεων υπολοίπων $m o d p$ . $(\beta)$ Κάθε σώμα περιέχει ισόμορφα ένα μόνο πρώτο σώμα.

Ορισμός C.1

Ένα σώμα που περιέχει ισόμορφα το $\mathbb{Q}$ είναι χαρακτηριστικής μηδέν (characteristic zero), ενώ αν περιέχει ισόμορφα το $\mathbb{Ζ}_{p}$ είναι χαρακτηριστικής (characteristic) $p$ .

Έτσι ένα σώμα $F$ με πεπερασμένο πλήθος στοιχείων αναγκαστικά περιέχει ισόμορφα το $\mathbb{Ζ}_{p}$ , δηλαδή είναι ένας $\mathbb{Ζ}_{p}$ -διανυσματικός χώρος πεπερασμένης διάστασης, έστω $n$ . Άρα το $F$ περιέχει $p^{n}$ στοιχεία.

Ένα σώμα $F$ με πεπερασμένο πλήθος στοιχείων λέγεται πεπερασμένο (finite) σώμα.

Έστω $K$ , $L$ σώματα ώστε $K\subseteq L.$ Αυτομορφισμός του $L$ λέγεται μία συνάρτηση $f:L\to L$ αμφιμονότιμη και επί τέτοια ώστε $f(x+y)=f(x)+f(y)$ και $f(xy)=f(x)f(y)$ για όλα τα $x,y\;\in\;L.$ Το σύνολο όλων των αυτομορφισμών του $L$ συμβολίζεται με $Aut(L)$ και

Aut_{K}(L):=\{f\;\in\;Aut(L):f(k)=k,\;\forall k\;\in\;K\}.