Περιεχόμενα - Εισαγωγή στη Θεωρία Ομάδων

Παράρτημα ΒΣτοιχεία από τη Θεωρία Αριθμών

Θα αναφέρουμε στο παράρτημα αυτό όσα στοιχεία από την αριθμητική στο σύνολο των ακεραίων αριθμών χρησιμοποιούνται στην ανάπτυξη της θεωρίας ομάδων. Το σύνολο των φυσικών αριθμών ℕ καθώς και οι κατασκευές των συνόλων ℤ,ℚ,ℝ,ℂ θεωρούνται γνωστά.

Ο ακέραιος αριθμός β διαιρεί (divides) τον ακέραιο αριθμό α, αν υπάρχει ακέραιος αριθμός γ τέτοιος ώστε α=β⁢γ. Σε αυτή την περίπτωση λέμε ακόμα ότι ο α είναι πολλαπλάσιο (multiple) του β και συμβολίζουμε β|α. Είναι εύκολο να διαπιστωθεί ότι η διαιρετότητα είναι σχέση ισοδυναμίας στο ℤ.

Αν για τους ακεραίους α, β ισχύει α|β και β|α, τότε β=α⁢γ και α=β⁢δ, για κάποιους ακεραίους γ,δ και έτσι α=α⁢γ⁢δ. Από τον νόμο της απλοποίησης προκύπτει ότι, αν α≠0 τότε γ⁢δ=1, άρα γ=±1, δ=±1. Επομένως από τις σχέσεις α|β, β|α και α≠0 οδηγούμεθα στην β=±α.

Ένας ακέραιος αριθμός p λέγεται πρώτος (prime), αν p≠0,±1 και οι μόνοι διαιρέτες του είναι οι ±p, ±1. Αν ο p είναι πρώτος, τότε προκύπτει ότι και ο -p είναι πρώτος.

Θεώρημα B.1 (Το θεμελιώδες θεώρημα της αριθμητικής)

Κάθε ακέραιος αριθμός ≠0,1 γράφεται ως γινόμενο πρώτων ακέραιων όχι απαραίτητα διακεκριμένων. Η ανάλυση αυτή είναι ανεξάρτητη από την τάξη των παραγόντων και είναι μοναδική.

Ο μέγιστος κοινός διαιρέτης (greatest common divisor) των ακεραίων α, β συμβολίζεται (α,β) ή Μ.Κ.Δ. {α,β} είναι ο ακέραιος που ικανοποιεί τις σχέσεις:

  • i.

    (α,β)|α, (α,β)|β,

  • ii.

    Αν γ είναι ένας ακέραιος τέτοιος ώστε γ|α και γ|β, τότε γ|(α,β).

Το ελάχιστο κοινό πολλαπλάσιο (least common multiple) των ακεραίων α, β, συμβολίζεται [α,β] ή Ε.Κ.Π. {α,β}, είναι ο ακέραιος που ικανοποιεί τις σχέσεις:

  • i.

    α|[α,β], β|[α,β],

  • ii.

    αν δ είναι ένας ακέραιος τέτοιος, ώστε α|δ και β|δ, τότε [α,β]|δ.

Από το Θεώρημα B.1 αποδεικνύεται η ύπαρξη των αριθμών (α,β) και [α,β] και ακόμη ότι α⁢β=(α,β)⁢[α,β]

Θεώρημα B.2 (Ο Ευκλείδειος αλγόριθμος διαίρεσης στο ℤ)

Αν α,β∈ℤ και β≠0, τότε υπάρχουν ακέραιοι αριθμοί q, r τέτοιοι, ώστε 0≤r<|β| και α=β⁢q+r.