Περιεχόμενα - Εισαγωγή στη Θεωρία Ομάδων Παράρτημα Γ Στοιχεία από την Άλγεβρα Βιβλιογραφία

Παράρτημα ΔΣτοιχεία από τη Γραμμική Άλγεβρα

Έστω $K$ ένα σώμα. Μία προσθετική αβελιανή ομάδα $V$ λέγεται $K$ -διανυσματικός χώρος (vector space), αν υπάρχει μία πράξη

\begin{array}[]{ccccc}K\times V\longrightarrow V&&&&(\kappa,\upsilon)\mapsto% \kappa\upsilon\end{array}

(D.1)

τέτοια ώστε

(i).

$\kappa(\upsilon+\omega)=\kappa\upsilon+\kappa\omega$
(ii).

$(\kappa+\lambda)\upsilon=\kappa\upsilon+\lambda\upsilon$
(iii).

$(\kappa\lambda)\upsilon=\kappa(\lambda\upsilon)$
(iv).

$1\cdot\upsilon=\upsilon$ ,

όπου $\kappa,\lambda\;\in\;K$ , $\upsilon,\omega\;\in\;V$ και $1$ είναι το μοναδιαίο στοιχείο του $K$ .

Έστω $V$ ένας $K$ διανυσματικός χώρος. Το στοιχείο $\kappa_{1}\upsilon_{1}+\kappa_{2}\upsilon_{2}+...+\kappa_{n}\upsilon_{n}$ του $V$ , όπου $\kappa_{1},\kappa_{2},...,\kappa_{n}$ είναι στοιχεία του $K$ και $\upsilon_{1},\upsilon_{2},...,\upsilon_{n}$ είναι στοιχεία του $V$ , λέγεται γραμμικός συνδυασμός των στοιχείων $\upsilon_{1},\upsilon_{2},...,\upsilon_{n}$ του $V$ με συντελεστές από το $K$ . Το σύνολο όλων των γραμμικών συνδυασμών με συντελεστές από το $K$ αποδεικνύεται εύκολα ότι αποτελεί $K$ -διανυσματικό χώρο με τις ίδιες πράξεις του $V$ , δηλ. $K$ -υποχώρο του $V$ . Ο χώρος αυτός συμβολίζεται $\langle\upsilon_{1},\upsilon_{2},...,\upsilon_{n}\rangle$ και λέγεται χώρος παραγόμενος (generated) από τα $\upsilon_{1},\upsilon_{2},...,\upsilon_{n}$ . Τα στοιχεία $\upsilon_{1},\upsilon_{2},...,\upsilon_{n}$ του $V$ λέγονται γραμμικά ανεξάρτητα (linearly independent) αν από τη σχέση

\begin{array}[]{ccccc}\kappa_{1}\upsilon_{1}+\kappa_{2}\upsilon_{2}+...+\kappa% _{n}\upsilon_{n},&\text{ για }&\kappa_{1},\kappa_{2},...,\kappa_{n}\;\in\;K&% \Rightarrow&\kappa_{1}=\kappa_{2}=...=\kappa_{n}=0.\end{array}

(D.2)

Τα στοιχεία $\upsilon_{1},\upsilon_{2},...,\upsilon_{n}$ του $K$ -διανυσματικού χώρου $V$ αποτελούν βάση (basis) του $V$ αν είναι γραμμικά ανεξάρτητα και $V=\langle\upsilon_{1},\upsilon_{2},...,\upsilon_{n}\rangle$ . Ο φυσικός αριθμός $n$ λέγεται διάσταση (dimension) του $V$ και συμβολίζεται $[V:K]$ ή $dim_{K}V$ .

Θεώρημα D.1

Κάθε $K$ -διανυσματικός χώρος πεπερασμένης διάστασης $n$ έχει βάση και όλες οι βάσεις του έχουν πλήθος στοιχείων $n$ .

Αν $V$ , $W$ είναι δύο $K$ -διανυσματικοί χώροι και $f:V\rightarrow W$ , η $f$ λέγεται Κ-γραμμική συνάρτηση αν

\begin{array}[]{ccccc}f(\kappa\upsilon+\lambda u)=\kappa f(\upsilon)+\lambda f% (u)&,&\kappa,\lambda\;\in\;K,&&\upsilon,u\;\in\;V\end{array}

(D.3)

H $f$ λέγεται μονομορφισμός αν επί πλέον η $f$ είναι αμφιμονότιμη. Αν η $f$ είναι επί συνάρτηση και ομορφισμός, τότε λέγεται επιμορφισμός. Τέλος αν η $f$ είναι Κ-γραμμική και αμφιμονότιμη και επί συνάρτηση, τότε λέγεται ισομορφισμός. Οι έννοιες Κ-ενδομορφισμός και Κ-αυτομορφισμός χρησιμοποιούνται αντί των εννοιών Κ-γραμμική και ισομορφισμός αντίστοιχα, όταν $V=W$ .

Θεώρημα D.2

Όλοι οι $K$ -διανυσματικοί χώροι διάστασης $n<\infty$ είναι ισόμορφοι.

Έστω $\upsilon_{1},\upsilon_{2},...,\upsilon_{n}$ μία βάση του $V$ και $\omega_{1},\omega_{2},...,\omega_{m}$ μία βάση του $W$ , η γραμμική συνάρτηση $f:V\rightarrow W$ ορίζει έναν πίνακα $A=(a_{ij})$ όπου $f(\upsilon_{i})=\alpha_{i1}\omega_{1}+\alpha_{i2}\omega_{2}+...+\alpha_{im}% \omega_{m}$ , $1\leq i\leq n$ , δηλ. $A\;\in\;M_{n\times m}(K)$ . Ιδιαίτερα αν $V=W$ , τότε $A\;\in\;M_{n}(K)$ .

Ας θεωρήσουμε τώρα έναν ενδομορφισμό $f:V\rightarrow V$ του $K$ -διανυσματικού χώρου $V$ και $\upsilon_{1},\upsilon_{2},...,\upsilon_{n}$ μία βάση του $V$ . Διατηρούμε σταθερή τη διάταξη των στοιχείων της βάσης. Όπως είδαμε στην $f$ αντιστοιχεί ο πίνακας $(a_{ij})\;\in\;M_{n}(K)$ , όπου $f(\upsilon_{i})=\alpha_{i1}\upsilon_{1}+\alpha_{i2}\upsilon_{2}+...+\alpha_{in% }\upsilon_{n}$ , $1\leq i,j\leq n$ . Συμβολίζουμε με $End_{Κ}(V)$ το σύνολο των Κ-ενδομορφισμών του $V$ . Με τους παραπάνω συμβολιθσμούς ισχύει το επόμενο θεώρημα.

Θεώρημα D.3

Η απεικόνιση $\varphi:EndV\rightarrow M_{n}(K),f\mapsto(a_{ij})$ είναι ισομορφισμός δακτυλίων. Ο περιορισμός της $\varphi$ στους αυτομορφισμούς του $V$ ορίζει έναν ισομορφισμό μεταξύ της ομάδας $Aut_{K}V$ των αυτομορφισμών του $V$ και της γενικής γραμμικής ομάδας $GL_{n}(K)$ των αντιστρέψιμων $n\times n$ -πινάκων με συντελεστές από το $K$ .

Είναι εύκολο να αποδειχθεί ότι η γραμμική συνάρτηση $f:V\rightarrow V$ για να ορισθεί αρκεί να ορισθεί στα στοιχεία $\upsilon_{1},\upsilon_{2},...,\upsilon_{n}$ , μίας βάσης του $V$ , γιατί τότε ο ορισμός της $f$ μπορεί να επεκταθεί γραμμικά σε κάθε στοιχείο του $V$ και αντίστροφα.

Βιβλιογραφία

1.

Βάρσος, Δ., Δεριζιώτης, Δ., Μαλιάκας, Μ., Ταλέλλη, Ο., Μελάς, Α., Μία Εισαγωγή στην Άλγεβρα, Εκδόσεισ Σοφία, 2012.
2.

Θεοχάρη-Αποστολίδη, Θ., Εισαγωγή στη Θεωρία Ομάδων, Α.Π.Θ., 1991.
3.

Θεοχάρη-Αποστολίδη, Θ., Χαραλάμπους Χ., Βαβατσούλας Χ., Εισαγωγή στη Γραμμική Άλγεβρα, Θεσσαλονίκη 2006, ISBN 960-631-094-9
4.

Λάκκης, Κ., Άλγεβρα, Θεσσαλονίκη, 1980.
5.

Λάκκης, Κ., Θεωρία Αριθμών, Θεσσαλονίκη, 1988.
6.

Στεφανίδης, Ν., Αναλυτική Γεωμετρία, Τόμος Ι, Θεσσαλονίκη, 1979.
7.

Adkins, W.A. and Weintraub, S.H., Algebra, Springer Verlag, 1992, ISBN: 0-387-97839-9.
8.

Armstrong, M., Ομάδες και συμμετρία, Leader Books, 2002, ISBN: 9789607901385.
9.

Artin, M., Algebra, Prentice Hall, 1991, ISBN: 0-13-004763-5.
10.

Aschbacher, M., Finite group theory, Cambridge University Press, 1986, ISBN-13:978-0521786751.
11.

Bhattacharya, P.B. and Jain S.K., First course in group theory, Wiley Eastern Private Limited, 1972, ISBN: 085226423-2.
12.

Coxeter, H.S.M. and Moser, W.O.J., Generators and relations for discrete groups, Fourth edition, Springer-Verlag Berlin, 1980.
13.

Dresselhaus, M.S., Dresselhaus, G., Jorio, A., Group Theory, Application to the Physics of Condensed Matter, Springer, 2008, ISBN: 978-3-540-32897-1.
14.

Duffey, G., Applied Group Theory for Physicists and Chemists, Prentice Hall, 1992.
15.

Dummit, D. and Foote, R., Abstract Algebra, John Wiley and Sons, Inc, 2004, ISBN: 0-471-43334-9.
16.

Duzhin, S.V and Chebotarevsky, B.D., Transformation Groups for beginners, AMS, 2004, ISBN: 0-8218-3643-9.
17.

Fraleigh, J., Εισαγωγή στην Άλγεβρα, Πανεπιστημιακές Εκδόσεις Κρήτης, 2006, ISBN: 960-7309-71-5.
18.

Fuchs, L., Infinite abelian groups, Vol. 1 Pure and applied mathematics, Vol. 36 Academic Press, New York-London, 1970.
19.

Hahn, A.J. and O’Meara, O.T., The classical groups and K-Theory, Springer-Verlag Berlin 1989.
20.

Hall, G.G., The theory of groups, Macmillan, 1959.
21.

Hall, G.G., Applied group theory, Longan, 1967.
22.

Holt, D.F and Eick, B. and O’Brien, E.A., Handbook of Computational Group Theory, Chapman and Hall, CRC 2005, ISBN: 1-58488-372-3.
23.

Humphfeys, J.F., Prest, M.Y., Numbers, groups and codes, Cambridge University Press, 1989, ISBN: 0-52135938-4.
24.

Huppert, B., Endliche Gruppen I. Die Grundlehren der mathematischen Wissenschaften, Bd. 134. Springer-Verlag, Berlin, 1967.
25.

Kargapolov, M.I and Merzljakov, Foundations of the theory of groups, Springer-Verlag, New York Inc, 1979.
26.

Ledermann, W., Introduction to group theory, Longman, 1973.
27.

Leech, J.W. and Newman, D.J., How to use groups, Science Paperbacks, 1969.
28.

Macdonald, I.D., The theory of groups, Oxford, 1968.
29.

Magnus, W., Karrass, A. and Solitar, D., Combinatorial group theory, Pure and applied mathematics, vol 13, Interscience, New York, 1966.
30.

Robinson, D., A Course in the Theory of Groups, Springer, 1996.
31.

Rose, J.S., A course in group theory, Cambridge University Press,1978, ISBN-13:978-0486681948.
32.

Rotman, J., The theory of groups. An introduction, Second Edition, Allyn and Bacon, Inc. 1979.
33.

Schwerdtfeger, H., Introduction to group theory, Noordhoff International Publishing, 1976.
34.

Wallace, D.A.R. groups, G. Allen and Unwin Ltd, 1974, ISBN 0 04 519013 5.
35.

Weinstein, M. Examples of Groups, Polygonal Publishing House, 1977