6.6 Ασκήσεις‣ Chapter 6 Η μέθοδος των πεπερασμένων στοιχείων για την εξίσωση της θερμότητας ‣ Αριθμητική Επίλυση Μερικών Διαφορικών Εξισώσεων

6.1.

Θεωρούμε το πρόβλημα

$\displaystyle u_{t}(x,t)$	$\displaystyle=u_{xx}(x,t)+f(x,t),$	$\displaystyle\quad x\in[0,L],\ t\in[0,T],$	(6.58)
$\displaystyle u(0,t)$	$\displaystyle=u(L,t)=0,$	$\displaystyle\quad t\in[0,T],$
$\displaystyle u(x,0)$	$\displaystyle=g(x),$	$\displaystyle\quad x\in[0,L],$

όπου $L>0$ , $f,g\in C[0,L]$ . Διατυπώστε και αποδείξτε τα θεωρήματα ευστάθειας και σύγκλισης για τις μεθόδους πεπερασμένων στοιχείων χρησιμοποιώντας για τη διακριτοποίηση ως προς τον χρόνο την πεπλεγμένη μέθοδο του Euler και τη μέθοδο Crank–Nicolson.

6.2.

Θεωρούμε το πρόβλημα

$\displaystyle u_{t}(x,t)$	$\displaystyle=u_{xx}(x,t),$	$\displaystyle\quad x\in[0,L],\ t\in[0,T],$	(6.59)
$\displaystyle u_{x}(0,t)$	$\displaystyle=u_{x}(L,t)=0,$	$\displaystyle\quad t\in[0,T],$
$\displaystyle u(x,0)$	$\displaystyle=g(x),$	$\displaystyle\quad x\in[0,L],$

όπου $L>0$ , $g\in C[0,L]$ . Διατυπώστε τις μεθόδους πεπερασμένων στοιχείων χρησιμοποιώντας για τη διακριτοποίηση ως προς τον χρόνο τη πεπλεγμένη μέθοδο του Euler, τη μέθοδο Crank–Nicolson και την άμεση μέθοδο του Euler.

6.3.

Έστω $N\in\mathbb{N}$ , $h=L/(N+1)$ , και $x_{i}=ih$ , $i=0,\dots,N+1$ , ένας διαμερισμός του $[0,L]$ . Τότε για τη συνάρτηση

v(x)=\begin{cases}\dfrac{x-x_{0}}{h},&x_{0}\leq x\leq x_{1},\\ \dfrac{x_{2}-x}{h},&x_{1}\leq x\leq x_{2},\\ 0,&\text{διαφορετικά},\end{cases}

έχουμε $\|v^{\prime}\|\leq\sqrt{3}\,h^{-1}\|v\|$ .