3 Πρόβλημα δύο σημείων 3.6 Ένα γενικότερο πρόβλημα 3.8 Άλλες συνοριακές συνθήκες

3.7 Μη ομογενείς συνοριακές συνθήκες

Στη συνέχεια θα τροποποιήσουμε τις ομογενείς συνοριακές συνθήκες Dirichlet του προβλήματος (3.1), ζητώντας τώρα μια συνάρτηση $u$ $\in C^{2}[a,b]$ , τέτοια ώστε

-u^{\prime\prime}(x)+q(x)u(x)=f(x),\quad x\in[a,b],\quad\text{με}\ u(a)=a_{0},% \ u(b)=b_{0},

(3.67)

όπου $a,b\in\mathbb{R}$ , $a<b$ , $q,f\in C[a,b]$ και $q(x)\geq 0$ , για κάθε $x\in[a,b]$ και $a_{0},b_{0}\in\mathbb{R}$ .

Όπως και στις προηγούμενες παραγράφους θεωρούμε έναν φυσικό αριθμό $N$ και μια διαμέριση του διαστήματος $[a,b]$ από $N+2$ ισαπέχοντα σημεία $a=x_{0}<x_{1}<\dots<x_{N}<x_{N+1}=b$ , όπου $h=x_{i+1}-x_{i}$ , $i=0,\dots,N$ . Επειδή το πρόβλημα (3.67) διαφέρει από το (3.1) μόνο ως προς τις συνοριακές συνθήκες, θα κατασκευάσουμε προσεγγίσεις $U_{i}$ των τιμών $u(x_{i})$ , $i=0,\dots,N+1$ , όπου θα ικανοποιούν την (3.6) και λόγω των συνοριακών συνθηκών $u(x_{0})=a_{0}$ , $u(x_{N+1})=b_{0}$ , θα θέσουμε $U_{0}=a_{0}$ , $U_{N+1}=b_{0}$ .

Επομένως, κατασκευάζουμε προσεγγίσεις $U_{i}$ των $u(x_{i})$ , $i=0,\dots,N+1$ , σύμφωνα με τις ακόλουθες εξισώσεις

	$\displaystyle-\dfrac{U_{i+1}-2U_{i}+U_{i-1}}{h^{2}}+q(x_{i})U_{i}$	$\displaystyle=f(x_{i}),\quad i=1,\dots,N,$		(3.68)
	$\displaystyle U_{0}=a_{0},\quad U_{N+1}$	$\displaystyle=b_{0}.$		(3.69)

Συνεπώς, το τοπικό σφάλμα διακριτοποίησης θα ικανοποιεί την (3.3) και θα ισχύει για αυτό το ανάλογο του Λήμματος 3.1.

Έτσι, αν συμβολίσουμε με $U\in\mathbb{R}^{N}$ το διάνυσμα με συνιστώσες $U_{1},\dots$ , $U_{N}$ , $U=(U_{1},\dots,U_{N})^{T}$ , μπορούμε να γράψουμε το σύστημα των εξισώσεων (3.68)-(3.69) ισοδύναμα ως γραμμικό σύστημα $(A+h^{2}Q)U=h^{2}F$ , όπου ο πίνακας $A$ δίνεται όπως στην (3.9), $Q$ είναι ένας διαγώνιος $N\times N$ πίνακας με στοιχεία $q(x_{i})$ , $i=1,\dots,N$ , στη διαγώνιο και $F=(f(x_{1})+U_{0}/h^{2},f(x_{2}),\dots,f(x_{N-1}),f(x_{N})+U_{N+1}/h^{2})^{T}$ .

Στη συνέχεια, χρησιμοποιώντας παρόμοια επιχειρήματα όπως στο Θεώρημα 3.2, δείχνουμε τη σύγκλιση της μεθόδου (3.68)–(3.69).

Θεώρημα 3.8.

Έστω $U_{i}$ , $i=0,\dots,N+1$ , η λύση του προβλήματος (3.68)–(3.69), και $u$ η λύση του προβλήματος (3.67), με $u\in C^{4}[a,b]$ . Τότε, αν $q_{\min}>0$ , υπάρχει μια σταθερά $C$ , ανεξάρτητη του $h$ , τέτοια ώστε

\max_{0\leq i\leq N+1}|U_{i}-u(x_{i})|\leq Ch^{2}.

(3.70)

Απόδειξη.

Θέτουμε $E_{i}=U_{i}-u(x_{i})$ , $i=0,\dots,N+1$ , όπου λόγω των σχέσεων $U_{0}=u(a)$ και $U_{N+1}=u(b)$ , έχουμε $E_{0}=E_{N+1}=0$ . Αφαιρούμε τώρα κατά μέλη τις (3.68) και (3.3), οπότε παίρνουμε

E_{i+1}-(2+q(x_{i})h^{2})E_{i}+E_{i-1}=h^{2}\eta_{i},\quad i=1,\dots,N.

(3.71)

Συνεχίζουμε όπως στην απόδειξη του Θεωρήματος (3.2) και καταλήγουμε στη ζητούμενη ανισότητα. ∎