2.3 Ασκήσεις

Έστω $f:[a,b]\to ℝ$, $f\in C^4[a,b]$, $x_0\in (a,b)$ και $h_1,h_2>0$, τέτοιο ώστε $x_0-h_1,x_0+h_2\in [a,b]$. Γράψτε την πεπερασμένη διαφορά για την προσέγγιση της $f^{\prime \prime }(x_0)$ χρησιμοποιώντας τις τιμές της $f$ στα $x_0-h_1$, $x_0$ και $x_0+h_2$. Εκτιμήστε το σφάλμα της προσέγγισης της $f^{\prime \prime }(x_0)$. Είναι η τάξη ακρίβειας δύο$;$

Έστω $f:[a,b]\to ℝ$, $f\in C^3[a,b]$, $x_0\in (a,b)$ και $h>0$, τέτοιο ώστε $x_0\pm h\in [a,b]$. Τότε ισχύει η ακόλουθη εκτίμηση

Έστω $f:[a,b]\to ℝ$, $f\in C^3[a,b]$, $x_0\in (a,b)$ και $h>0$, τέτοιο ώστε $x_0\pm h\in [a,b]$. Τότε ισχύει η ακόλουθη εκτίμηση

Έστω $f:[a,b]\to ℝ$, $f\in C^5[a,b]$, $x_0\in (a,b)$ και $h>0$, τέτοιο ώστε $x_0\pm 2h\in [a,b]$. Χρησιμοποιήστε τα σημεία $x_0-2h$, $x_0-h$, $x_0+h$, $x_0+2h$, για να δείξτε ότι η πεπερασμένη διαφορά

προσεγγίζει την $f^{\prime }(x_0)$. Βρείτε το σφάλμα της προσέγγισης και την τάξη ακρίβειας.

Έστω $f:[a,b]\to ℝ$, $f\in C^6[a,b]$, $x_0\in (a,b)$ και $h>0$, τέτοιο ώστε $x_0\pm 2h\in [a,b]$. Χρησιμοποιήστε τα σημεία $x_0-2h$, $x_0-h$, $x_0$, $x_0+h$, $x_0+2h$, για να δείξετε ότι η πεπερασμένη διαφορά

προσεγγίζει την $f^{\prime \prime }(x_0)$. Βρείτε το σφάλμα της προσέγγισης και την τάξη ακρίβειας.