2 Πεπερασμένες διαφορές

2.1 Προσέγγιση πρώτης παραγώγου

Από τον ορισμό της παραγώγου για συναρτήσεις μιας μεταβλητής γνωρίζουμε ότι η παράγωγος μιας συνάρτησης f:[a,b]→ℝ σε ένα σημείο x0∈(a,b) ορίζεται ως

f′⁢(x0)=limh→0⁡f⁢(x0+h)-f⁢(x0)h.

Χρησιμοποιώντας αυτόν τον ορισμό μπορούμε να προσεγγίσουμε την τιμή της f′⁢(x0) με τον ακόλουθο λόγο, για μικρές τιμές h,

f′⁢(x0)≈f⁢(x0+h)-f⁢(x0)h,h>0.

Με τον ίδιο τρόπο, μπορούμε να προσεγγίσουμε την f′⁢(x0) με τον ακόλουθο λόγο,

f′⁢(x0)≈f⁢(x0-h)-f⁢(x0)-h=f⁢(x0)-f⁢(x0-h)h,h>0,

για μικρές τιμές h. Θα καλούμε τον πρώτο λόγο διαφορά προς τα εμπρός και τον δεύτερο λόγο διαφορά προς τα πίσω και θα χρησιμοποιήσουμε τον ακόλουθο συμβολισμό

δh+⁢f⁢(x0)≡f⁢(x0+h)-f⁢(x0)h,h>0δh-⁢f⁢(x0)≡f⁢(x0)-f⁢(x0-h)h,h>0. (2.1)

Γεωμετρική ερμηνεία

Μια γεωμετρική ερμηνεία γιατί οι διαφορές δh+⁢f⁢(x0) και δh-⁢f⁢(x0) προσεγγίζουν την f′⁢(x0) είναι η ακόλουθη. Επειδή η παράγωγος μιας συνάρτησης f στο σημείο x0 είναι η κλίση της ευθείας y που εφάπτεται του γραφήματος της f στο σημείο (x0,f⁢(x0)), μπορούμε να την προσεγγίσουμε με την κλίση της ευθείας y~ η οποία διέρχεται από τα σημεία (x0,f⁢(x0)) και (x0+h,f⁢(x0+h)), βλέπε το Σχήμα 2.1. Παρόμοια ισχύουν και για την κλίση της ευθείας y^ που διέρχεται από τα σημεία (x0-h,f⁢(x0-h)), και (x0,f⁢(x0)), βλέπε το Σχήμα 2.2.

Σχήμα 2.1: Γεωμετρική ερμηνεία της δh+⁢f⁢(x0). Η ευθεία y που έχει κλίση f′⁢(x0) και διέρχεται από το (x0,f⁢(x0)) και η ευθεία y~ που έχει κλίση f⁢(x0+h)-f⁢(x0)h.

Σχήμα 2.2: Γεωμετρική ερμηνεία της δh-⁢f⁢(x0). Η ευθεία y που έχει κλίση f′⁢(x0) και διέρχεται από το (x0,f⁢(x0)) και η ευθεία y^ που έχει κλίση f⁢(x0)-f⁢(x0-h)h.
Σχήμα 2.3: Γεωμετρική ερμηνεία της δhc⁢f⁢(x0). Η ευθεία y που έχει κλίση f′⁢(x0) και διέρχεται από το (x0,f⁢(x0)) και η ευθεία y¯ που έχει κλίση f⁢(x0+h)-f⁢(x0-h)2⁢h.

Ένας άλλος τρόπος προσέγγισης της f′⁢(x0), είναι η κεντρική διαφορά , η οποία ορίζεται από τον ακόλουθο λόγο, για μικρές τιμές h,

f′⁢(x0)≈f⁢(x0+h)-f⁢(x0-h)2⁢h,h>0.

Θα τη συμβολίζουμε με

δhc⁢f⁢(x0)≡f⁢(x0+h)-f⁢(x0-h)2⁢h,h>0. (2.2)

Ανάλογη γεωμετρική ερμηνεία με αυτή για τις δh+⁢f⁢(x0) και δh-⁢f⁢(x0) υπάρχει και για την δhc⁢f⁢(x0). Στο Σχήμα 2.3 απεικονίζουμε την ευθεία y¯ που διέρχεται από τα σημεία (x0-h,f⁢(x0-h)) και (x0+h,f⁢(x0+h)), και της οποίας η κλίση προσεγγίζει την κλίση της εφαπτομένης του γραφήματος της f στο (x0,f⁢(x0)).

Οι διαφορές δh+⁢f⁢(x), δh-⁢f⁢(x) και δhc⁢f⁢(x) για την προσέγγιση παραγώγων μιας συνάρτησης f καλούνται και πεπερασμένες διαφορές. Μια φυσική ερώτηση που τίθεται είναι “πόσο καλές” είναι αυτές οι προσεγγίσεις για την εκτίμηση της παραγώγου. Ας θεωρήσουμε τη συνάρτηση f⁢(x)=ln⁡(x) και το σημείο x0=1.1. Στον Πίνακα 2.1 δίνουμε τις τιμές των παραπάνω προσεγγίσεων για την f′⁢(1.1)=1/1.1≈0.90909. Παρατηρούμε λοιπόν ότι, καθώς η απόσταση h των σημείων που χρησιμοποιούμε για να υπολογίσουμε τις δh+⁢f⁢(1.1), δh-⁢f⁢(1.1) και δhc⁢f⁢(1.1) μικραίνει, τόσο πλησιάζουμε την τιμή της παραγώγου. Μάλιστα, στο ακόλουθο λήμμα δείχνουμε ότι το σφάλμα της προσέγγισης θα τείνει στο μηδέν, καθώς η απόσταση h τείνει στο μηδέν, αν η συνάρτηση f είναι κατάλληλα ομαλή.

h δh+⁢f⁢(1.1) δh-⁢f⁢(1.1) δhc⁢f⁢(1.1)
0.50 0.74939 1.21227 0.98083
0.10 0.87011 0.95310 0.91161
0.05 0.88904 0.93040 0.90972
0.01 0.90498 0.91325 0.90912
Πίνακας 2.1: Τιμές των προσεγγίσεων της f′⁢(1.1)=1/1.1≈0.90909.
Λήμμα 2.1.

Έστω f:[a,b]→ℝ, f∈C2⁢[a,b], x0∈(a,b) και h>0, τέτοιο ώστε x0±h∈[a,b]. Τότε ισχύουν οι ακόλουθες εκτιμήσεις:

|δh+⁢f⁢(x0)-f′⁢(x0)|≤h2⁢maxx∈[a,b]⁡|f′′⁢(x)|,|δh-⁢f⁢(x0)-f′⁢(x0)|≤h2⁢maxx∈[a,b]⁡|f′′⁢(x)|. (2.3)

Αν επιπλέον f∈C3⁢[a,b], τότε

|δhc⁢f⁢(x0)-f′⁢(x0)|≤h26⁢maxx∈[a,b]⁡|f′′′⁢(x)|. (2.4)
Απόδειξη.

Αναπτύσσοντας κατά Taylor ως προς το σημείο x0, έχουμε

f⁢(x0+h)=f⁢(x0)+h⁢f′⁢(x0)+h22⁢f′′⁢(ξ1),με ⁢ξ1∈(x0,x0+h). (2.5)

Επίσης,

f⁢(x0-h)=f⁢(x0)-h⁢f′⁢(x0)+h22⁢f′′⁢(ξ2),με ⁢ξ2∈(x0-h,x0). (2.6)

Από τις σχέσεις (2.5) και (2.6) εύκολα προκύπτουν οι ζητούμενες εκτιμήσεις (2.3). Αν τώρα η f∈C3⁢[a,b], μπορούμε να αναπτύξουμε και πάλι κατά Taylor και να οδηγηθούμε στις παρακάτω σχέσεις

f⁢(x0+h)=f⁢(x0)+h⁢f′⁢(x0)+h22⁢f′′⁢(x0)+h36⁢f′′′⁢(ζ1),f⁢(x0-h)=f⁢(x0)-h⁢f′⁢(x0)+h22⁢f′′⁢(x0)-h36⁢f′′′⁢(ζ2), (2.7)

με ζ1∈(x0,x0+h) και ζ2∈(x0-h,x0). Αφαιρώντας τώρα κατά μέλη τις δύο σχέσεις της (2.7), έχουμε

f⁢(x0+h)-f⁢(x0-h)=2⁢h⁢f′⁢(x0)+h36⁢(f′′′⁢(ζ1)+f′′′⁢(ζ2)),

από όπου εύκολα προκύπτει η ζητούμενη εκτίμηση (2.4). ∎

Παρατήρηση 2.1.

Από το Λήμμα 2.1 φαίνεται ότι το σφάλμα της προσέγγισης δhc⁢f⁢(x0) είναι μικρότερο, για αρκετά μικρό h, από τα αντίστοιχα των προσεγγίσεων δh+⁢f⁢(x0) και δh-⁢f⁢(x0), και εξηγεί γιατί στον Πίνακα 2.1 η δhc⁢f⁢(1.1) προσεγγίζει καλύτερα την f′⁢(1.1) από τις δh+⁢f⁢(1.1) και δh-⁢f⁢(1.1). Η συμμετρία που υπάρχει στον ορισμό της προσέγγισης δhc⁢f⁢(x0) είναι ο λόγος που το φράγμα (2.4) είναι μικρότερο των αντίστοιχων για τις δh+⁢f⁢(1.1) και δh-⁢f⁢(1.1). Αυτό φαίνεται στην (2.7), όπου οι όροι h22⁢f′′⁢(x0) αλληλοαναιρούνται αφαιρώντας τις δύο σχέσεις.

Ορισμός 2.1.

Έστω μια προσέγγιση της παραγώγου μιας συνάρτησης f, η οποία ορίζεται μέσω τιμών της f σε ισαπέχοντα σημεία που απέχουν κατά βήμα h. Λέμε ότι αυτή η προσέγγιση έχει τάξη ακρίβειας κ, αν το σφάλμα που προκύπτει φράσσεται κατ’ απόλυτη τιμή από το γινόμενο μιας σταθεράς, η οποία δεν εξαρτάται από το h, επί hκ.

Παρατήρηση 2.2.

Οι δh+⁢f⁢(x0) και δh-⁢f⁢(x0) είναι προσεγγίσεις της f′⁢(x0) τάξεως ακρίβειας ένα, επειδή τα φράγματα των σφαλμάτων (2.3) είναι το γινόμενο μιας σταθεράς, που δεν εξαρτάται από το h, επί h στην πρώτη δύναμη. Ανάλογα, η δhc⁢f⁢(x0) είναι προσέγγιση της f′⁢(x0) με τάξη ακρίβειας δύο, επειδή το φράγμα του σφάλματος (2.4) είναι το γινόμενο μιας σταθεράς, που δεν εξαρτάται από το h, επί h στη δεύτερη δύναμη.

Παρατήρηση 2.3.

Μπορούμε να δούμε ότι οι προσεγγίσεις δh+⁢f και δh-⁢f έχουν τάξη ακρίβειας ακριβώς ένα, διότι αν, παραδείγματος χάριν, θεωρήσουμε την f⁢(x)=x2, τότε δh+⁢f⁢(x)=2⁢x+h και δh-⁢f⁢(x)=2⁢x-h. Αντίστοιχα, η προσέγγιση δhc⁢f έχει τάξη ακριβώς δύο, διότι για την f⁢(x)=x3, δhc⁢f⁢(x)=3⁢x2+h2.

Ένας τρόπος για να επαληθεύσουμε “πειραματικά”, δηλαδή με τη χρήση Η/Υ, την τάξη ακρίβειας των παραπάνω προσεγγίσεων είναι ο ακόλουθος. Έστω ότι το σφάλμα ε μιας προσέγγισης ικανοποιεί ε≈C⁢hp, για μικρό βήμα h, όπου C είναι μια θετική σταθερά ανεξάρτητη του h. Τότε, αν θεωρήσουμε δύο προσεγγίσεις ε1 και ε2 με βήματα h1 και h2, αντίστοιχα, έχουμε ότι ο λόγος των αντίστοιχων σφαλμάτων θα ικανοποιεί

ε1ε1≈(h1h2)p, οπότε  p≈log⁡(ε1ε1)log⁡(h1h2).

Στον Πίνακα 2.2 βλέπουμε τα σφάλματα των προσεγγίσεων δh+⁢f, δh-⁢f και δhc⁢f για την f′⁢(1.1)=1/1.1 όπου Eδh+=|δh+⁢f⁢(1.1)-f′⁢(1.1)|, Eδh-=|δh-⁢f⁢(1.1)-f′⁢(1.1)| και Eδhc=|δhc⁢f⁢(1.1)-f′⁢(1.1)|. Παρατηρούμε ακόμα ότι η πειραματική τάξη ακρίβειας για τις δh+⁢f και δh-⁢f τείνει να γίνει ένα, καθώς το h ελαττώνεται και αυτή της δhc⁢f τείνει στο δύο, τα οποία είναι σύμφωνα με τα αποτελέσματα του Λήμματος 2.1.

h Eδh+ p Eδh- p Eδhc p
0.50 0.15970 0.30318 0.07174
0.10 0.03897 0.876 0.04401 1.199 0.00251 2.081
0.05 0.02005 0.959 0.02131 1.046 0.0.0006 2.005
0.01 0.00411 0.985 0.00416 1.015 0.00003 2.000
Πίνακας 2.2: Τα σφάλματα Eδh+, Eδh- και Eδhc των προσεγγίσεων δh+⁢f, δh-⁢f και δhc⁢f, αντίστοιχα, της f′⁢(1.1)=1/1.1 και η προσεγγιστική τάξη ακρίβειας p.