1.4 Συναρτήσεις

Συνάρτηση $f$ απο το σύνολο $A$ στο σύνολο $B$ ονομάζεται κάθε «κανόνας» ο οποίος σε κάποια στοιχεία του $A$ (τα οποία, ως γνωστό, λέμε ότι αποτελούν το πεδίο ορισμού της $f$) αντιστοιχεί ένα ακριβώς στοιχείο του $B$. Έτσι μία συνάρτηση ορίζει ένα σύνολο από ζευγάρια αντιστοίχων τιμών (ο λεγόμενος πίνακας τιμών ή γράφημα της $f$). Χρησιμοποιώντας την έννοια της σχέσης,μπορούμε να ορίσουμε αυστηρότερα την έννοια της συνάρτησης.

Ορισμός 1.11   (Συνάρτηση) Συνάρτηση $f$ από το $A$ στο $B$ ονομάζουμε μία σχέση $f\subset{A\times{B}}$ με την εξής ιδιότητα:

Για κάθε $x\in{{\rm dom }{f}}$ το σύνολο $\{y\in{B}: (x,y)\in{f}\}$ είναι μονοσύνολο.

Ως συνήθως αντί $(x,y)\in{f}$ γράφουμε $y=f(x)$.

Παράδειγμα 1.7   Έστω $A=\{a,b,c,d\}$, $B=\{1,2,3,4\}$ και

$$f = \{(a,1),(b,2),(c,3),(a,3)\}, g=\{(a,1),(b,1),(c,1)\}, h=\{(a,1),(b,2),(c,4),(d,3)\}.$$

Από τις παραπάνω σχέσεις συνάρτηση είναι η $g$ και η $h$ με ${\rm dom }{g} = \{a,b,c\}$, ${\rm dom }{h}=A$.

Το σύμβολο $f:A\longrightarrow{B}$ δηλώνει μία συνάρτηση με πεδίο ορισμού το $A$. Στην περίπτωση αυτή για να ορίσουμε τη συνάρτηση γράφουμε με τι ισούται το $f(x)$ για οποιδήποτε $x\in{A}$.

Παράδειγμα 1.8   Έστω $A=\{x: x$ κράτος $\}$.$B = \{y:y$ πόλη $\}$. Ορίζουμε $f:A\longrightarrow{B}$ με

$f(x) =$ η πρωτεύουσα του $x$.

Είναι, $f($Γαλλία)=Παρίσι.

Άσκηση 1.5   Δίνονται οι παρακάτω σχέσεις από το ${{\mathbb{R}}}$ στο ${{\mathbb{R}}}$:

$$f=\{(x,y):x+3y=1\}, g=\{(x,y):x^{2}+y^{2}=1\}, h=\{(x,y):x^{2}+y^{2}=1 \& y>0 \}.$$

Βρείτε ποιές από τις παραπάνω σχέσεις είναι συναρτήσεις. Στη συνέχεια βρείτε το πεδίο ορισμού των παραπάνω σχέσεων.

Ορισμός 1.12   Έστω $f:A\longrightarrow{B}$ και $E\subset{A}$. Ονομάζουμε περιορισμό της $f$ στο $E$ την εξής συνάρτηση:

$$f\vert_{E} = \{(x,y): x\in{E} \& y=f(x)\}.$$

Με άλλα λόγια, ${\rm dom }{f} = E$ και $f\vert_{E}(x)=f(x)$, αν $x\in{E}$.

Ορισμός 1.13   (Εικόνα, Αντίστροφη Εικόνα) Αν $X\subset{A}$ και $Y\subset{B}$ ονομάζουμε εικόνα του $X$ μέσω της $f$ και αντίστροφη εικόνα του $Y$ μέσω της $f$, τα παρακάτω σύνολα αντίστοιχα:

$$f(X) = \{y\in{B}: y=f(x), x\in{A}\}, \ f^{-1}(Y) = \{x\in{A}: f(x)\in{Y}\}.$$

Παράδειγμα 1.9   Έστω $f:A=\{a,b,c,d\}\longrightarrow{B}=\{1,2,3\}$ με $f(a)=f(b)=f(c)=1 f(d)=3$. Ισχύουν:

$$f(A)=f(\{a,d\})=\{1,3\}$$

και

$$f^{-1}(\{1,2\} )= \{a,b,c\}, f^{-1}(\{2\})=\emptyset.$$

Ορισμός 1.14   Εστω $f$ συνάρτηση από το $A$ στο $B$. Η $f$ λέγεται 1-1 (ένα προς ένα), αν για $x_{1}, x_{2} \in{{\rm dom }{f}}$ με $f(x_{1})=f(x_{2})$, έχουμε ότι $x_{1}=x_{2}$. Δηλαδή διαφορετικά στοιχεία του πεδίου ορισμού έχουν διαφορετικές εικόνες. Η $f$ λέγεται επί αν ${\rm range }{f}=B$.

Παράδειγμα 1.10   Η συνάρτηση $h$ του Παρεδείγματος 1.7 και η συνάρτηση $f$ του Παραδείγματος 1.8 είναι 1-1, ενώ η $g$ του Παραδείγματος 1.7 δεν είναι 1-1. Επίσης από τις παραπάνω συναρτήσεις επί είναι μόνο η $h$.

Άσκηση 1.6   Έστω $f$ συνάρτηση από το $A$ στο $B$. Δείξτε ότι η αντίστροφη σχέση $f^{-1}$ είναι συνάρτηση αν και μόνο αν η $f$ είναι 1-1.

Άσκηση 1.7   Έστω $f:{{\mathbb{R}}}\longrightarrow{{\mathbb{R}}}$ με τύπο

$$f(x) = \begin{cases} 2x-1 & \alpha\nu x<\frac{1}{2} \\ x^{2}+x & \alpha\nu x\geq\frac{1}{2}. \end{cases}$$

α)

Δείξτε ότι η $f$ είναι 1-1 και όχι επί.

β)

Βρείτε το σύνολο τιμών και την $f^{-1}$.

Λύση:

α) Έχουμε

$$x_{1}<x_{2}<\frac{1}{2} \Rightarrow {2x_{1}<2x_{2}<1} \Rightarrow {2x_{1}-1<2x_{2}-1<0}.$$

Αρα

$$f(x_{1})<f(x_{2})<0.$$ (1.1)

Ομοίως

$$\frac{1}{2}\leq{x_{1}}<x_{2} \Rightarrow {\frac{3}{4}} \leq{f(x_{1})}<f(x_{2})\quad.$$ (1.2)

Από τις (1.1), (1.2) έπεται ότι για $0<y<\frac{3}{4}$ δεν υπάρχει $x\in{{\mathbb{R}}}$ με $f(x)=y$. Άρα η $f$ δεν είναι επί. Επίσης εύκολα βλέπουμε ότι οι (1.1), (1.2) εξασφαλίζουν ότι ικανοποιείται ο ορισμός της 1-1 συνάρτησης.

β) Αν $\frac{3}{4}\leq{y}$ τότε

$$f(x)=y\Leftrightarrow{x^{2}+x-y=0}\Leftrightarrow{x=\frac{-1+\sqrt{4+4y}}{2}} \geq\frac{1}{2}.$$ (1.3)

Ομοίως αν $y<0$ τότε

$$f(x)=y \Leftrightarrow {x=\frac{y+1}{2}}<\frac{1}{2}.$$ (1.4)

Από τις (1.1), (1.2), (1.3), (1.4) προκύπτουν οι

$${f({{\mathbb{R}}})}=\{y\in{{\mathbb{R}}}:y<0 \eta' y\geq\frac{3}{4}\}$$

και

$${f^{-1}(y)=\frac{y+1}{2}} \alpha\nu y<0 \kappa\alpha\iota \ f^{-1}(y)=\frac{-1+\sqrt{4+4y}}{2} \alpha\nu y\geq\frac{3}{4}.$$

Θυμίζουμε ότι από τον ορισμό τής $f^{-1}$ ισχύει: $f^{-1}(y)=x\Leftrightarrow{f(x)=y}$. Επίσης ${\rm dom }{f^{-1}} = {\rm range }{f}$.

Άσκηση 1.8   Δίνονται οι συναρτήσεις $f,g,h: {{\mathbb{R}}}\longrightarrow{{\mathbb{R}}}$ με τύπους

$$f(x)=3x-4$$

$$g(x)=\begin{cases}x^{2}+3x & \alpha\nu x\geq2 x+2 & \alpha\nu x<2 \end{cases}.$$

$$h(x) = x^{2}+{\left\vert{x}\right\vert}.$$

Εξετάστε αυτές τις συναρτήσεις ως προς το αν είναι 1-1 και επί.

Υπόδειξη: Για την $g$ βρείτε τα $g(A),g(B)$ όπου $A=[2,\infty)$, $B=(-\infty,2)$ και συμπεράνετε ότι δεν είναι επί.

Ορισμός 1.15   (Σύνθεση συναρτήσεων) Η σύνθεση συναρτήσεων ορίζεται όπως η σύνθεση των σχέσεων. Έστω $f:A\longrightarrow{B}$, $g:B\longrightarrow{C}$. Ορίζουμε $g\circ{f}:A\longrightarrow{C}$ την συνάρτηση $g\circ{f}(x)=g(f(x))$.

Άσκηση 1.9   Έστω ότι οι συναρτήσεις $f:A\longrightarrow{B}$, $g:B\longrightarrow{C}$ είναι 1-1. Δείξτε ότι η $g\circ{f}$ είναι επίσης 1-1.