1.3 Σχέσεις

Ορισμός 1.6   (Προτασιακός τύπος) Προτασιακός τύπος με πεδίο ορισμού το καρτεσιανό γινόμενο $A\times{B}$ δύο συνόλων $A, B$ ονομάζεται μία έκφραση $P(x,y)$ με δύο μεταβλητές που έχει την ιδιότητα, αν αντικαταστήσουμε τις μεταβλήτες $x, y$ με ένα συγκεκριμένο ζεύγος $(a,b)\in{A\times{B}}$, η έκφραση $P(a,b)$ να γίνεται αληθής ή ψευδής πρόταση.

Παράδειγμα 1.4   $P(x,y)=$ ο $x$ έγραψε το μυθιστόρημα $y$, ορίζει ένα προτασιακό τύπο στο $A\times B$, με

$A=\{x: x$ συγγραφέας $\}, B=\{y: y$ μυθιστόρημα $\}$.

Έχουμε τότε

$P$(Παπαδιαμάντης, Φόνισσα) = Αληθής

και

$P$(Παλαμάς, Άμλετ) = Ψευδής

Παράδειγμα 1.5   $P(x,y) = (x<y)$ ορίζει ένα προτασιακό τύπο πάνω στο σύνολο ${\mathbb{R}}^{2}$, αν επιτρέψουμε στα $x, y$ να παίρνουν τιμές στο ${\mathbb{R}}$.

Ορισμός 1.7   (Σχέσεις) Μια σχέση $R$ από το $A$ στο $B$ είναι ένας «κανόνας» που σχετίζει ορισμένα στοιχεία του $A$ με κάποια του $B$. Επειδή αυτά τα στοιχεία δημιουργούν ένα πλήθος ζευγών, πεπερασμένο ή άπειρο, μπορούμε να ορίσουμε αυστηρότερα τις σχέσεις λέγοντας ότι σχέση από το $A$ στο $B$ ονομάζουμε ένα οποιοδήποτε υποσύνολο $R$ του $A\times{B}$.

Παρατηρούμε ότι κάθε προτασιακός τύπος $P(x,y)$ ορίζει την εξής σχέση:

$$R = \{(a,b)\in{A\times{B}}: P(a,b)=\alpha\lambda\eta\theta\eta\varsigma \}.$$

Πολλές φορές αντί να γράφουμε $(a,b)\in{R}$, γράφουμε $a R b$.

Παράδειγμα 1.6   Έστω $A = \{x\in{{\mathbb{N}}}: x<20\}$, $B = \{3,6,21\}$. Θεωρούμε τον εξής προτασιακό τύπο με πεδίο ορισμού το $A\times{B}$:

$P(x,y)=$ (ο $x$ είναι πολλαπλάσιο του $y$).

Είναι:

$$R = \{(3,3),(6,3),(9,3),(12,3),(15,3),(18,3),(6,6)(12,6),(18,6)\}.$$

Έχουμε: $12 R 6$.$12 R 3$.

Παρατηρούμε ότι τα στοιχεία του $A$ που σχετίζονται με κάποια του $B$ είναι τα εξής:

$$\{3,6,7,9,12,15,18\}.$$

Αυτά λέμε ότι αποτελούν το πεδίο ορισμού της σχέσης.

Τα στοιχεία του $B$ που σχετίζονται με κάποια του $A$:

$$\{3,6\},$$

λέμε ότι αποτελούν το σύνολο τιμών της σχέσης.

Ορισμός 1.8   (Πεδίο ορισμού, σύνολο τιμών) Αν $R$ είναι μια οποιαδήποτε σχέση απο ένα σύνολο $A$ σε ένα σύνολο $B$ το πεδίο ορισμού και το σύνολο τιμών ορίζονται ως εξής:

$${\rm dom }{R} = \{a\in{A}: \exists b\in{B} \mu\epsilon (a,b)\in{R}\},$$

και

$${\rm range }{R} = \{b\in{B}: \exists a\in{A} \mu\epsilon (a,b)\in{R}\}.$$

Ορισμός 1.9   (Αντίστροφη σχέση) Για κάθε σχέση $R$ από το $A$ στο $B$ (δηλαδή, $R\subset{A\times{B}}$), μπορούμε να ορίσουμε την αντίστροφη σχέση $R^{-1}$ από το $B$ στο $A$ ως εξής:

$$R^{-1} = \{(y,x): (x,y)\in{R}\}.$$

Από τον ορισμό $R^{-1}$ της προκύπτει ότι: ${\rm dom }{R^{-1}} = {\rm range }{R}$ και ${\rm range }{R^{-1}} = {\rm dom }{R}$.

Ορισμός 1.10   (Σύνθεση σχέσεων) Επίσης αν $R$ σχέση από το $A$ στο $B$ και $S$ σχέση από το $B$ στο $C$ τότε σύνθεση της $R$ με την $S$, που την συμβολίζουμε με $S\circ{R}$, ορίζουμε την εξής σχέση:

$$S\circ{R} = \{(x,z): (x,y)\in{R} \& (y,z)\in{S} \gamma\iota\alpha \kappa\alpha\pi o\iota o y\in{B}\}.$$

Άσκηση 1.4   Εστω $A=\{1,2,...,6\}$, $B=\{a,b,c,d\}$, $C=\{1,2,...,9\}$,

$$R = \{(1,a),(1,b),(2,c),(3,c),(5,d)\}, S=\{(b,2),(d,2),(d,9)\}.$$

α) Βρείτε τα εξής:

$$S^{-1}, R^{-1}, {\rm dom }{S\circ{R}}, {\rm range }{S\circ{R}}, (S\circ{R})^{-1}, \ R^{-1}\circ{S^{-1}}.$$

β) Παρατηρήστε ότι:

$${\rm dom }{S\circ{R}} \subset{{\rm dom }{R}}, {\rm range ... ...R}} \subset {{\rm range }{S}}, \ (S\circ{R})^{-1} = R^{-1}\circ{S^{-1}}.$$

Δικαιολογήστε ότι τα παραπάνω ισχύουν πάντα, δηλαδή για οποιαδήποτε σύνολα $A,B,C$ και οποιεσδήποτε σχέσεις $R\subset{A\times{B}}$, $S\subset{B\times{C}}$.

Υπόδειξη: $S\circ{R} = \{(1,2),(5,2),(5,9)\}$, $R^{-1}=\{(a,1),(b,1),(c,2),(c,3),(d,5)\}$.