1.3 Σχέσεις

Ορισμός 1.6 (Προτασιακός τύπος) Προτασιακός τύπος με πεδίο ορισμού το καρτεσιανό γινόμενο $A\times{B}$ δύο συνόλων ονομάζεται μία έκφραση με δύο μεταβλητές που έχει την ιδιότητα, αν αντικαταστήσουμε τις μεταβλήτες με ένα συγκεκριμένο ζεύγος $(a,b)\in{A\times{B}}$ , η έκφραση να γίνεται αληθής ή ψευδής πρόταση.

Παράδειγμα 1.4 ο έγραψε το μυθιστόρημα , ορίζει ένα προτασιακό τύπο στο $A\times B$ , με

$A=\{x: x$ συγγραφέας $\}, B=\{y: y$ μυθιστόρημα $\}$ .

Έχουμε τότε

(Παπαδιαμάντης, Φόνισσα) = Αληθής

και

(Παλαμάς, Άμλετ) = Ψευδής

Ορισμός 1.7 (Σχέσεις) Μια σχέση από το στο είναι ένας «κανόνας» που σχετίζει ορισμένα στοιχεία του με κάποια του . Επειδή αυτά τα στοιχεία δημιουργούν ένα πλήθος ζευγών, πεπερασμένο ή άπειρο, μπορούμε να ορίσουμε αυστηρότερα τις σχέσεις λέγοντας ότι σχέση από το στο ονομάζουμε ένα οποιοδήποτε υποσύνολο του $A\times{B}$ .

Παρατηρούμε ότι κάθε προτασιακός τύπος

ορίζει την εξής σχέση:

Παράδειγμα 1.6 Έστω $A = \{x\in{{\mathbb{N}}}: x<20\}$ , $B = \{3,6,21\}$ . Θεωρούμε τον εξής προτασιακό τύπο με πεδίο ορισμού το $A\times{B}$ :

(ο είναι πολλαπλάσιο του ).

Είναι:

$\displaystyle R = \{(3,3),(6,3),(9,3),(12,3),(15,3),(18,3),(6,6)(12,6),(18,6)\}.$

Έχουμε: ..

Παρατηρούμε ότι τα στοιχεία του που σχετίζονται με κάποια του είναι τα εξής:

$\displaystyle \{3,6,7,9,12,15,18\}.$

Αυτά λέμε ότι αποτελούν το πεδίο ορισμού της σχέσης.

Τα στοιχεία του που σχετίζονται με κάποια του :

$\displaystyle \{3,6\},$

λέμε ότι αποτελούν το σύνολο τιμών της σχέσης.

Ορισμός 1.8 (Πεδίο ορισμού, σύνολο τιμών) Αν είναι μια οποιαδήποτε σχέση απο ένα σύνολο σε ένα σύνολο το πεδίο ορισμού και το σύνολο τιμών ορίζονται ως εξής:

$\displaystyle {\rm dom }{R} = \{a\in{A}: \exists b\in{B} \mu\epsilon (a,b)\in{R}\},$

και

$\displaystyle {\rm range }{R} = \{b\in{B}: \exists a\in{A} \mu\epsilon (a,b)\in{R}\}.$

Ορισμός 1.9 (Αντίστροφη σχέση) Για κάθε σχέση από το στο (δηλαδή, $R\subset{A\times{B}}$ ), μπορούμε να ορίσουμε την αντίστροφη σχέση $R^{-1}$ από το στο ως εξής:

$\displaystyle R^{-1} = \{(y,x): (x,y)\in{R}\}.$

Από τον ορισμό $R^{-1}$ της προκύπτει ότι: ${\rm dom }{R^{-1}} = {\rm range }{R}$ και ${\rm range }{R^{-1}} = {\rm dom }{R}$ .

Ορισμός 1.10 (Σύνθεση σχέσεων) Επίσης αν σχέση από το στο και σχέση από το στο τότε σύνθεση της με την , που την συμβολίζουμε με $S\circ{R}$ , ορίζουμε την εξής σχέση:

$\displaystyle S\circ{R} = \{(x,z): (x,y)\in{R} \& (y,z)\in{S} \gamma\iota\alpha \kappa\alpha\pi o\iota o y\in{B}\}.$

Άσκηση 1.4 Εστω $A=\{1,2,...,6\}$ , $B=\{a,b,c,d\}$ , $C=\{1,2,...,9\}$ ,

$\displaystyle R = \{(1,a),(1,b),(2,c),(3,c),(5,d)\}, S=\{(b,2),(d,2),(d,9)\}.$

α) Βρείτε τα εξής:

$\displaystyle S^{-1}, R^{-1}, {\rm dom }{S\circ{R}}, {\rm range }{S\circ{R}}, (S\circ{R})^{-1}, \ R^{-1}\circ{S^{-1}}.$

β) Παρατηρήστε ότι:

$\displaystyle {\rm dom }{S\circ{R}} \subset{{\rm dom }{R}}, {\rm range ... ...R}} \subset {{\rm range }{S}}, \ (S\circ{R})^{-1} = R^{-1}\circ{S^{-1}}.$

Δικαιολογήστε ότι τα παραπάνω ισχύουν πάντα, δηλαδή για οποιαδήποτε σύνολα και οποιεσδήποτε σχέσεις $R\subset{A\times{B}}$ , $S\subset{B\times{C}}$ .

Υπόδειξη: $S\circ{R} = \{(1,2),(5,2),(5,9)\}$ , $R^{-1}=\{(a,1),(b,1),(c,2),(c,3),(d,5)\}$ .