11.3 Υπό συνθήκη πιθανότητα

Το πείραμα: Σ' ένα κουτί μέσα βρίσκονται δέκα βώλοι με ονόματα 1 έως 10. Τραβάμε ένα βώλο στην τύχη.

Το αποτέλεσμα: Υποθέτουμε ότι κάποιος μας εγγυάται ότι $X \ge 5$. (Για παράδειγμα, αυτός που εκτελεί το πείραμα ελέγχει αν η συνθήκη $X \ge 5$ ισχύει και, αν όχι, ακυρώνει το πείραμα και το εκτελεί ξανά. Αντίθετα αν η συνθήκη $X \ge 5$ ισχύει τότε μας αναφέρει ότι αυτό συμβαίνει.) Ποιος βώλος $X$ τραβήχτηκε.

Αν δε βάζαμε τη συνθήκη $X \ge 5$ θα είχαμε το δειγματικό χώρο $\Omega={\left\{{1,\ldots,10}\right\}}$ και τη συνάρτηση πιθανότητας $p(x) = 0.1$ για $x\in\Omega$. Εφόσον όμως είναι εγγυημένο ότι $X \ge 5$ τα δυνατά αποτελέσματα είναι πλέον τα 5 έως 10, και εφ' όσον εξακολουθούν να είναι ισοπίθανα έχουν όλα τώρα πιθανότητα 1/6.

Ορισμός 11.8   (Υπό συνθήκη πιθανότητα ή δεσμευμένη πιθανότητα) Έστω δειγματικός χώρος $\Omega$ και ενδεχόμενα $A, B$, με ${{\bf {Pr}}\left[{B}\right]} > 0$. Ορίζουμε την υπό συνθήκη πιθανότητα του $A$ δεδομένου του $B$ ως την ποσότητα

$${{\bf {Pr}}\left[{A { \vert }B}\right]} = \frac{{{\bf {Pr}}\left[{A \cap B}\right]}}{{{\bf {Pr}}\left[{B}\right]}}.$$ (11.10)

Η ποσότητα αυτή δεν ορίζεται αν ${{\bf {Pr}}\left[{B}\right]} = 0$.

Παράδειγμα 11.8   Στο προηγούμενο πείραμα, αν $A = {\left\{{X \le 5}\right\}}$ και $B = {\left\{{$X$ \alpha\rho\tau\iota o}\right\}}$ ποια η υπό συνθήκη πιθανότητα ${{\bf {Pr}}\left[{A { \vert }B}\right]}$;

Εφαρμόζοντας τον ορισμό (11.10) και παρατηρώντας ότι $A \cap B = {\left\{{2,4}\right\}}$ παίρνουμε ${{\bf {Pr}}\left[{A { \vert }B}\right]} = \frac{2/10}{5/10} = \frac{2}{5}.$ Έχουμε υπολογίσει την πιθανότητα να βγάλουμε ένα βώλο με αριθμό το πολύ 5 αν γνωρίζουμε ότι αυτό που τραβήξαμε είναι άρτιο.

Άσκηση 11.18   Για τυχόν ενδεχόμενο $A$ σε ένα δειγματικό χώρο $\Omega$ υπολογίστε τα ${{\bf {Pr}}\left[{A { \vert }A}\right]}, {{\bf {Pr}}\left[{A { \vert }A^c}\right]}, {{\bf {Pr}}\left[{A { \vert }\Omega}\right]}$.

Παράδειγμα 11.9   Έχουμε τρία κουτιά με δύο θήκες το καθένα. Κάθε θήκη έχει μέσα ένα βώλο. Στο πρώτο κουτί κι οι δύο βώλοι είναι μαύροι, στο δεύτερο κι οι δύο άσπροι και στο τρίτο κουτί ένας άσπρος κι ένας μαύρος. Επιλέγουμε στην τύχη ένα κουτί και μια από τις δύο θήκες του. Ανοίγουμε τη θήκη και βλέπουμε ένα μαύρο βώλο. Ποια η πιθανότητα στην άλλη θήκη του ίδιου κουτιού ο βώλος να είναι επίσης μαύρος;

Ας γράψουμε $A_1$ για το ενδεχόμενο να έχουμε επιλέξει το πρώτο κουτί, $A_2$ για το δεύτερο και $A_3$ για το τρίτο. Επίσης ας είναι $B$ το ενδεχόμενο ότι στη θήκη που ανοίγουμε έχει μαύρο βώλο. Για να έχει και η δεύτερη θήκη του ίδιου κουτιού μαύρο βώλο πρέπει αναγκαστικά το κουτί να είναι το πρώτο. Πρέπει δηλ. να υπολογίσουμε την ποσότητα

$${{\bf {Pr}}\left[{A_1 { \vert }B}\right]}=\frac{{{\bf {Pr}}\left[{A_1 \cap B}\right]}}{{{\bf {Pr}}\left[{B}\right]}}.$$

Όμως $A_1 \subseteq B$, δηλ. αν ισχύει το $A_1$ σίγουρα ισχύει και το $B$, οπότε $A_! \cap B = A_1$ και ${{\bf {Pr}}\left[{A_i}\right]} = 1/3$ αφού επιλέγεται το κάθε κουτί με ίση πιθανότητα. Επίσης ${{\bf {Pr}}\left[{B}\right]}=1/2$ αφού υπάρχουν συνολικά τόσοι μαύροι βώλοι όσοι και άσπροι κι όλοι οι βώλοι επιλέγονται με την ίδια πιθανότητα. Άρα ${{\bf {Pr}}\left[{A_1 { \vert }B}\right]} = \frac{1/3}{1/2} = \frac{2}{3}$.

Θεώρημα 11.3   (Τύπος ολικής πιθανότητας) Έστω $B_i$, $i=1,\ldots,m$, $m \in \overline{{\mathbb{N}}}$, ξένα ανά δύο ενδεχόμενα με

$$\Omega = \bigcup_{i=1}^m B_i$$

και ${{\bf {Pr}}\left[{B_i}\right]} > 0$ για κάθε $i$. Τότε για κάθε ενδεχόμενο $A \subseteq \Omega$ ισχύει

$${{\bf {Pr}}\left[{A}\right]} = \sum_{i=1}^m {{\bf {Pr}}\left[{A { \vert }B_i}\right]} {{\bf {Pr}}\left[{B_i}\right]}.$$ (11.11)

Ειδικότερα αν $0< {{\bf {Pr}}\left[{B}\right]} < 1$ έχουμε για κάθε ενδεχόμενο $A$

$${{\bf {Pr}}\left[{A}\right]} = {{\bf {Pr}}\left[{A { \vert }B}\... ...{{\bf {Pr}}\left[{A { \vert }B^c}\right]} (1 - {{\bf {Pr}}\left[{B}\right]}).$$ (11.12)

Απόδειξη. Το δεξί μέλος της (11.11) γράφεται, χρησιμοποιώντας τον Ορισμό 11.8 ως

$$\sum_{i=1}^m {{\bf {Pr}}\left[{A \cap B_i}\right]} = {{\bf {Pr}}\... ...]} = {{\bf {Pr}}\left[{A \cap \Omega}\right]} = {{\bf {Pr}}\left[{A}\right]}.$$

Στην πρώτη ισότητα χρησιμοποιήσαμε την προσθετικότητα (11.4) της συνολοσυνάρτησης ${{\bf {Pr}}\left[{\cdot}\right]}$ και το γεγονός ότι τα $A \cap B_i$ είναι ανά δύο ξένα, όπως και την επιμεριστική ιδιότητα της τομής με την ένωση

$$E \cap (F \cup G) = (E \cap F) \cup (E \cap G).$$

Για την (11.12) πάρτε $m=2$.$B_1 = B$.$B_2 = B^c$. $\qedsymbol$

Ορισμός 11.9   (Διαμέριση) Όταν έχουμε κάποια σύνολα των οποίων η ένωση είναι το $\Omega$ και είναι ανά δύο ξένα τότε λέμε ότι αυτά αποτελούν μια διαμέριση του $\Omega$.

Άσκηση 11.19   Δείξτε ότι ο τύπος (11.11) ισχύει για όλες τις διαμερίσεις του $\Omega$, ακόμα και αυτές όπου κάποια $B_i$ έχουν πιθανότητα 0, αρκεί να παραλειφθούν αυτά τα $B_i$ από το δεξί μέλος της (11.11).

Με άλλα λόγια, αν και η ποσότητα ${{\bf {Pr}}\left[{A { \vert }B}\right]}$ δεν έχει πάντα νόημα, η ποσότητα ${{\bf {Pr}}\left[{A { \vert }B}\right]}{{\bf {Pr}}\left[{B}\right]} = {{\bf {Pr}}\left[{A \cap B}\right]}$ έχει.

Παρατήρηση 11.4   Το να λέμε ότι τα σύνολα $B_i$ αποτελούν διαμέριση του δειγματικού χώρου $\Omega$ είναι ισοδύναμο με το να λέμε ότι σε κάθε έκβαση του πειράματος ισχύει ακριβώς ένα από τα $B_i$.

Παρατήρηση 11.5   Έστω ξένα ανά δύο ενδεχόμενα $B_i$, $i=1,\ldots,m$, με $\bigcup_{i=1}^m B_i = \Omega \setminus E$, όπου ${{\bf {Pr}}\left[{E}\right]} = 0$. Ενώ δηλ. τα $B_i$ δεν αποτελούν κατ' ανάγκη διαμέριση του $\Omega$, παρ' όλ' αυτά αποτελούν σχεδόν μια τέτοια, αφού αυτό που τους λείπει για να είναι κανονική διαμέριση είναι ένα σύνολο, το $E$, που έχει πιθανότητα 0.

Δηλ. με πιθανότητα 1 (σχεδόν σίγουρα όπως λέμε στη Θεωρία Πιθανοτήτων) όποτε γίνει το πείραμα θα ισχύει ακριβώς ένα από τα $B_i$.

Άσκηση 11.20   Στην Παρατήρηση 11.5 είδαμε πώς μπορούμε να χαλαρώσουμε τις συνθήκες ορισμού μιας διαμέρισης $B_i$ του $\Omega$ ώστε να ισχύει σχεδόν σίγουρα ακριβώς ένα από τα $B_i$. Μπορούν όμως να χαλαρώσουν περαιτέρω οι συνθήκες αυτές ώστε να έχουμε το ίδιο αποτέλεσμα.

Βρείτε πώς πρέπει να χαλαρώσουμε τη συνθήκη ότι τα $B_i$ είναι ανά δύο ξένα ώστε να εξακολουθεί να ισχύει σχεδόν σίγουρα ακριβώς ένα από τα $B_i$ σε κάθε έκβαση του πειράματος.

Παράδειγμα 11.10   Σ' ένα κουτί βρίσκονται κόκκινοι, πράσινοι και μπλέ βώλοι σε ποσοστά 30%, 50% και 20% αντίστοιχα. Οι μισοί κόκκινοι βώλοι είναι κούφιοι και το ίδιο ισχύει για τα 2/3 των πράσινων και μπλέ βώλων. Αν διαλέξουμε τυχαία ένα βώλο από το κουτί, ποια η πιθανότητα να είναι κούφιος;

Ορίζουμε $A_r, A_g, A_b$ να είναι τα ενδεχόμενα επιλογής κόκκινου, πράσινου ή μπλέ βώλου. Αυτά είναι ανά δύο ξένα με πιθανότητες που μας δίδονται:

$${{\bf {Pr}}\left[{A_r}\right]} = 0.3, {{\bf {Pr}}\left[{A_g}\right]} = 0.5, {{\bf {Pr}}\left[{A_b}\right]} = 0.2.$$

οπότε αποτελούν διαμέριση του χώρου και μπορούμε να εφαρμόσουμε τον τύπο ολικής πιθανότητας για το ενδεχόμενο $H$ του να είναι κούφιος ο βώλος που διαλέξαμε

$${{\bf {Pr}}\left[{H}\right]} = {{\bf {Pr}}\left[{H { \vert }A_r}\right]} {{\bf {Pr}}\left[{A_r... ...]} + {{\bf {Pr}}\left[{H { \vert }A_b}\right]} {{\bf {Pr}}\left[{A_b}\right]}$$

$$= \frac{1}{2} 0.3 + \frac{2}{3} 0.5 + \frac{2}{3} 0.2$$

$$= 0.616$$

Άσκηση 11.21   Μια οικογένεια έχει δύο παιδιά. Ποια η πιθανότητα ότι είναι και τα δύο αγόρια δεδομένου ότι τουλάχιστον ένα από αυτά είναι αγόρι; Περιγράψτε το δειγματικό χώρο του πειράματος και υποθέστε ότι όλα τα στοιχεία του είναι ισοπίθανα για να απαντήσετε την ερώτηση.