1.2 Σύνολα

Ένα σύνολο είναι μία συλλογή από αντικείμενα που ονομάζονται μέλη ή στοιχεία ή σημεία του συνόλου. Τα σύνολα τα συμβολίζουμε συνήθως με κεφαλαία γράμματα. Για να δηλώσουμε ότι ένα αντικείμενο $p$ είναι μέλος ενός συνόλου $A$, γράφουμε:

$$p\in A$$

(διαβάζεται: το $p$ ανήκει στο $A$). Για να δηλώσουμε ότι δεν ανήκει στο $A$ γράφουμε:

$$p\notin{A}$$

(διαβάζεται: το $p$ δεν ανήκει στο $A$).

Ορισμός 1.1   (Κενό Σύνολο) Το σύνολο που δεν έχει μέλη, κάτι σα μία άδεια τσάντα, ονομάζεται κενό σύνολο και συμβολίζεται με το σύμβολο $\emptyset$.

Παράσταση Συνόλου: Για να περιγράψουμε ένα σύνολο υπάρχουν διάφοροι τρόποι:

1. Να καταγράψουμε μία λίστα με τα στοιχεία του μέσα σε άγγιστρα, π.χ. το σύνολο με μέλη τα αντικείμενα $a, b, c$ γράφεται
   $${\left\{{a, b, c}\right\}}.$$
   Το σύνολο με μόνο στοιχείο ένα αντικείμενο $a$ γράφεται ${\left\{{a}\right\}}$ και λέγεται μονοσύνολο.
2. Να τα παραστήσουμε σχηματικά με ένα διάγραμμα Venn. Π.χ., μπορούμε να παραστήσουμε σχηματικά τα δύο σύνολα
   $$A = {\left\{{1, 2, 3, 4, 5}\right\}},$$
   και
   $$B = {\left\{{1, 3, 5}\right\}},$$
   με το παρακάτω Σχήμα 1.1.
   
   Σχήμα 1.1: Τα δύο σύνολα $A$ και $B$ σε διάγραμμα Venn

3. Συχνότερα όμως για να ορίσουμε ένα σύνολο δηλώνουμε μια ιδιότητα (πρόταση) $P(x)$ που αφορά αντικείμενα, πραγματικά ή ιδεατά, (όπως π.χ. είναι οι αριθμοί), η επαλήθευση της οποίας από ένα αντικείμενο $x$ είναι αναγκαία και ικανή συνθήκη για να ανήκει το αντικείμενο αύτο στο σύνολο. Γράφουμε
   $${\left\{{x: P(x)}\right\}},$$
   για να δηλώσουμε το σύνολο που έχει σαν μέλη τα αντικείμενα $x$ ικανοποιούν την ιδιότητα $P(x)$.

   Επίσης συνήθως αντί να γράφουμε:

   $${\left\{{x: x\in S \& P(x) }\right\}},$$
   γράφουμε:
   $${\left\{{x\in{S}: P(x)}\right\}}.$$

Παράδειγμα 1.1   Το σύνολο

$${\left\{{x: x \in {\mathbb{Z}} \& x^2<100}\right\}}$$

περιέχει εκείνους τους ακεραίους που έχουν τετράγωνο μικρότερο από 100.

Το ίδιο σύνολο πιο σύντομα γράφεται

$${\left\{{x\in{{\mathbb{Z}}}: x^{2}<100}\right\}}.$$

Πρόκειται βεβαίως για ένα διαφορετικό τρόπο γραφής του συνόλου (βλέπουμε εδώ μια νέα συντομογραφία)

$${\left\{{-9, -8, \ldots, 8, 9}\right\}}$$

που περιέχει όλους τους ακεραίους από το -9 έως το 9.

Ορισμός 1.2   (Υποσύνολα, ίσα σύνολα) Εστω $A, B$ δύο σύνολα. Αν κάθε στοιχείο του $A$ είναι επίσης και στοιχείο του $B$, τότε το $A$ λέγεται υποσύνολο του $B$ και το $B$ λέγεται υπερσύνολο του $B$ και γράφουμε:

$$A \subset B, B \supset A.$$

Εναλλακτικά χρησιμοποιείται και ο συμβολισμός

$$A \subseteq B, B \supseteq A.$$

Με άλλα λόγια, $A\subset{B}$, αν δεν υπάρχει στοιχείο του $A$ που δεν ανήκει στο $A$.

Σε διάγραμμα Venn δυό σύνολα $B \subseteq A$ παριστάνονται όπως στο Σχήμα 1.2.

Σχήμα 1.2: Διάγραμμα Venn για $B \subseteq A$

Από αυτό προκύπτει ότι:

$$\emptyset\subset{B}$$

για κάθε σύνολο $B$. Στην περίπτωση που $A\subset{B} \& B\subset{A}$ τα σύνολα λέγονται ίσα και γράφουμε $A=B$. Με άλλα λόγια ίσα σύνολα σημαίνει ότι τα σύνολα έχουν ακριβώς τα ίδια στοιχεία.

Παράδειγμα 1.2  

1. ${\left\{{a, b, c}\right\}} = {\left\{{c, b, a}\right\}}$.
2. Εστω ότι $A=\{x\}$. Τότε ισχύουν τα εξής:
   1. $x\in{A}$,
   2. $y\in{A}\Longrightarrow{y=x}$.

Αν $A\subset{B} \& A\neq{B}$ τότε το $A$ λέγεται γνήσιο υποσύνολο του $B$ και γράφουμε $A\subsetneqq{B}$. Αν το $A$ δεν είναι υποσύνολο του $B$ τότε γράφουμε: $A \nsubseteq B$.

Άσκηση 1.1   Εστω $A=\{2,\{4,5\},4\}$. Ποια από τις παρακάτω προτάσεις είναι λάθος και γιατί;

1. $\{4,5\}\subset{A}$
2. $\{4,5\}\in{A}$
3. $\{\{4,5\}\}\subset{A}$.

Άσκηση 1.2   Δίνονται τα σύνολα:

• $A = \{2,3,4\}$,
• $B = {\left\{{x: x^{2}=4 \& x>0}\right\}}$,
• $C = \{x: x^{2}-6x+8=0\}$,
• $D = \{x\in{{\mathbb{Z}}}: x \alpha\rho\tau\iota o\varsigma\}$.

Συμπληρώστε τα κενά με $\subset$,$\supset$ ή μσ (μη συγκρίσιμα), ώστε να προκύψουν αληθείς προτάσεις.

1. $A \ldots B$
2. $A \ldots C$
3. $B \ldots C$
4. $A \ldots D$
5. $B \ldots D$
6. $C \ldots D$

Άσκηση 1.3   Βρείτε ποιά από τα παρακάτω είναι σωστά και ποιά λάθος:

1. $\{1,4,3\}\subset\{1,3,4\}$,
2. $\{4\}\subset\{\{4\}\}$,
3. $\{4\}\in\{\{4\}\}$,
4. $\emptyset\subset\{\{4\}\}$.

Ορισμός 1.3   (Δυναμοσύνολο Συνόλου) Εστω $X$ σύνολο. Το σύνολο που έχει σαν στοιχεία τα υποσύνολα του $X$ λέγεται δυναμοσύνολο του $X$ και συμβολίζεται με $2^{X}$ ή ${\mathcal{P}}(X)$. Δηλαδή:

$$2^{X} = {\mathcal{P}}(X) = {\left\{{A: A\subset{X} }\right\}}.$$

Παράδειγμα 1.3   Εστω $X = \{1,2\}$. Τότε, $2^{X} = \{\emptyset,\{1\},\{2\},\{1,2\}\}$.

Ορισμός 1.4   (Διατεταγμένα ζεύγη) Ένα διατεταγμένο ζεύγος είναι η τοποθέτηση δύο αντικειμένων, έστω $x, y$, στη σειρά. Αν πρώτο αντικείμενο ή, όπως αλλιώς το λέμε, τετμημένη, βάλουμε το $x$, και δεύτερο αντικείμενο ή, όπως αλλιώς το λέμε, τεταγμένη, βάλουμε το $y$ τότε το διατεταγμένο ζεύγος συμβολίζεται με $(x,y)$. Χαρακτηριστικό γνώρισμα των διατεταγμένων ζευγών είναι η σειρά των αντικειμένων. Έτσι ορίζουμε την ιδιότητα διατεταγμένων ζευγών να σημαίνει ισότητα και στις δύο συντεταγμένες:

$$(x,y)=(u,v) \Longleftrightarrow x=u \& y=v.$$

Σημειώστε ότι $\{x,y\}=\{y,x\}$ ενώ $(x,y)\neq{(y,x)}$.

Ορισμός 1.5   (Καρτεσιανό γινόμενο συνόλων) Εστω $X, Y$ σύνολα. Το καρτεσιανό γινόμενο των $X, Y$ ορίζεται να είναι το σύνολο:

$$X\times{Y} = \{(x,y): x\in{X} \& y\in{Y}\}.$$

Αν $X = Y$ τότε το καρτεσιανό γινόμενο γράφεται και $X^{2}$. Δηλαδή:

$$X\times{X} = X^{2} = \{(x,y): x\in{X} \& y\in{X}\}.$$

Η έννοια του διατεταγμένου ζεύγους και του καρτεσιανού γινομένου μπορεί να γενικευτεί για περισότερα από δύο αντικείμενα και σύνολα. Διατεταγμένη $n$-άδα ονομάζεται η τοποθέτηση $n$ αντικειμένων στη σειρά. Μία διατεταγμένη $n$-άδα συμβολίζεται ως εξής:

$$(x_{1},x_{2},...,x_{n}).$$

Αν $X_{1},X_{2},...,X_{n}$ είναι σύνολα, σαν καρτεσιανό γινόμενό τους ορίζουμε το σύνολο:

$$\quad \Pi_{i=1}^{n}X_{i}=X_{1}\times{X_{2}}\times\cdots\times{X_{... ...2},\ldots,x_{n}): x_{1}\in{X_{1}}, x_{2}\in{X_{2}},\ldots, x_{n}\in{X_{n}}\}.$$

Στη περίπτωση που $X_{1}=X_{2}=...=X_{n}=X$ τότε το καρτεσιανό γινόμενο συμβολίζεται απλώς με $X^{n}$.