ΑΣΚΗΣΗ 5Υπολογισμός της σταθεράς ελατηρίου

• Σύνοψη:
  Σκοπός της συγκεκριμένης άσκησης είναι ο υπολογισμός της σταθεράς ενός ελατηρίου. Αυτό θα γίνει με δύο τρόπους:
  • από την κλίση της (πειραματικής) ευθείας από την επιμήκυνση του ελατηρίου από πρόσθετα βάρη,
  • από τον τύπο της περιόδου μιας γραμμικής αρμονικής ταλάντωσης.

  Τα όργανα που θα χρησιμοποιήσεις στο πείραμα είναι: ελατήρια, μάζες, χρονόμετρο, λογισμικό καταγραφής δεδομένων Data Studio, Excel.

  
  
  
  
• Πιθανά οφέλη:
  
  • Να εμπεδώσεις το γεγονός ότι η κλίση μιας ευθείας - καμπύλης μπορεί να εκφράζει το μέτρο ενός φυσικού μεγέθους.
  • Να εκτιμήσεις τη διαφορά μεταξύ θεωρητικής και πειραματικής καμπύλης που προκύπτει από τις δικές σου μετρήσεις με τις αντίστοιχες πειραματικές αβεβαιότητες.


• Προαπαιτούμενη γνώση:
  • γραμμική αρμονική ταλάντωση,
  • ελαστικές παραμορφώσεις, νόμος του Hooke,
  • γραφικές παραστάσεις,
  • Data Studio,
  • Excel.

Νόμος του Hooke για ελατήριο

Υπολογισμός της σταθεράς του ελατηρίου με το νόμο του Hooke

1. Στερεώνεις τη μία άκρη του ελατηρίου στο άγκυστρο και συνδέεις την άλλη με τον αισθητήρα δύναμης, όπως φαίνεται στην Εικόνα 5.2







2. Για να εμφανιστεί το κατάλληλο πρόγραμμα στην οθόνη του Η/Υ, ανοίγεις από την επιφάνεια εργασίας το φάκελο MAGOS.


3. Επιλέγεις το πρόγραμμα MAGOS που έχει τον ίδιο αριθμό με την άσκηση που θα κάνεις. Στην οθόνη του υπολογιστή θα εμφανιστεί η Εικόνα 5.3.





4. Το ελατήριο βρίσκεται παράλληλα με ένα βαθμολογημένο χάρακα. Σημειώνεις την ένδειξη της κλίμακας που αντιστοιχεί στο φυσικό μήκος του ελατηρίου (δηλαδή στο άκρο του ελατηρίου που βρίσκεται στον αισθητήρα δύναμης, χωρίς να έχεις ασκήσει δύναμη-παραμόρφωση). Η ένδειξη κλίμακας θα καταχωρηθεί στον Πίνακα 5.1.


5. Με το ελατήριο στο φυσικό του μήκος, κρατάς οριζόντιο τον αισθητήρα δύναμης και πατάς το κουμπί Zero που βρίσκεται πάνω στον αισθητήρα δύναμης. Μηδενίζεις, έτσι, τις προηγούμενες μετρήσεις.


6. Πατάς το κουμπί Start στην οθόνη του υπολογιστή σου. Ταυτόχρονα, ασκείς, παράλληλα προς την κίνηση, δύναμη στον αισθητήρα δύναμης μέχρι το μήκος του ελατηρίου να αυξηθεί κατά 100 mm.


7. Καταγράφεις την ένδειξη της δύναμης που βλέπεις στον μετρητή δύναμης στον Πίνακα 5.1.


8. Επαναλαμβάνεις τα παραπάνω βήματα για νέα επιμήκυνση 100 mm και συμπληρώνεις τον Πίνακα 5.1.


9. Πατάς το κουμπί Stop.


10. Συμπληρώνεις τον Πίνακα 5.2. Οι επιμηκύνσεις υπολογίζονται αφαιρώντας κάθε φορά την ένδειξη κλίμακας από την ένδειξη του φυσικού μήκους του ελατηρίου. Στη δεύτερη στήλη μεταφέρεις τις τιμές της δύναμης από τον Πίνακα 5.1. Με τα δεδομένα του Πίνακα 5.2 και τη βοήθεια ενός προγράμματος, π.χ. Excel, κατασκευάζεις τη γραφική παράσταση που αντιστοιχεί στις τιμές του Πίνακα 5.2.


11. Υπολογίζεις την κλίση της ευθείας.


12. Ζητάς να σου δώσουν την τιμή βιβλιογραφίας (ΤΒ) της k.


13. Υπολογίζεις την εκατοστιαία διαφορά της k ως προς την ΤΒ.

Υπολογισμός της σταθεράς του ίδιου ελατηρίου από τον τύπο της περιόδου μιας γραμμικής αρμονικής ταλάντωσης

1. Ζυγίζεις κατάλληλη μάζα και τη βάζεις στο κάτω άκρο κατακόρυφου ελατηρίου. Καταχωρείς την τιμή της μάζας στο τετράδιό σου.
\[\mathrm{m=.....10^{-3}kg}\]
2. Θέτεις το σύστημα ελατήριο-μάζα σε ταλάντωση.


3. Με ένα χρονόμετρο υπολογίζεις τον χρόνο t_ολ που απαιτείται για Ν= ……….. ταλαντώσεις, άρα
\[\mathrm{T=\frac{t_{o\lambda }}{N}}\] \[\mathrm{T=.....s}\]
4. Ζυγίζεις τη μάζα Μ του ελατηρίου
\[\mathrm{M=.....10^{-3}kg}\]
5. Από τον τύπο (5.6)  \(\mathrm{T=2\pi\sqrt{\frac{m+\frac{M}{3}}{k}}}\) υπολογίζεις το k_Τ
\[\mathrm{k_{T}=.....\frac{N}{m}}\]
6. Υπολογίζεις την επί τοις % διαφορά της k_Τ ως προς την ΤΒ. (Η ΤΒ παραμένει η ίδια.)
\[\mathrm{X_{T}=.....\%}\]
7. Για το ίδιο ελατήριο έχεις τώρα δύο πειραματικές τιμές της σταθεράς k. Ποια μέθοδος έχει τη μικρότερη εκατοστιαία διαφορά ως προς την ΤΒ; Γράψε στο φύλλο εργασίας τις απόψεις σου.

Θα γράψεις τα παρακάτω στο τετράδιο του εργαστηρίου πριν το πείραμα.

• Τίτλος Άσκησης:
• Όνομα:
• Ημερομηνία:
• Σκοπός:

Παρατήρηση: Εκτός από το τελικό αποτέλεσμα, να φαίνονται οι αντικαταστάσεις με τις μονάδες τους.

Υπολογισμός της σταθεράς του ελατηρίου με το νόμο του Hooke

1. Συμπληρώνεις τον Πίνακα 5.1 ο οποίος περιέχει τις ενδείξεις της κλίμακας και τα μέτρα της αντίστοιχης δύναμης.



α/α	Ένδειξη κλίμακας ελατηρίου(mm)	Δύναμη (Ν)
Ένδειξη φυσικού μήκους		0
1
2
3




2. Συμπληρώνεις τον Πίνακα 5.2 ο οποίος περιέχει τις επιμηκύνσεις του ελατηρίου και τα μέτρα των αντίστοιχων δυνάμεων.



X (m)	F (N)
0	0
0,1
0,2
0,3
0,4




3. Γράφεις την τιμή της κλίσης της πειραματικής ευθείας.

   Κλίση \(\mathrm{k=.....\frac{N}{m}}\)



4. Γράφεις την ΤΒ για το k. \[\mathrm{k_{TB}=.....\frac{N}{m}}\]
5. Υπολογίζεις την επί τοις % διαφορά της πειραματικής τιμής του k -που εσύ βρήκες- με την TB. \[\mathrm{X=\frac{\left | k-k_{T.B} \right |}{k_{T.B}}\cdot 100=...\%}\]
6. Ποιες είναι, κατά τη γνώμη σου, οι αιτίες αυτής της διαφοράς;

Υπολογισμός της σταθεράς του ελατηρίου με τη μέθοδο της γραμμικής αρμονικής ταλάντωσης

1. Μετράς τη μάζα σώματος, \(\mathrm{m=.....10^{-3}kg}\)
2. Θέτεις το σύστημα ελατήριο-μάζα σε ταλάντωση.


3. Με ένα χρονόμετρο υπολογίζεις τον χρόνο t_ολ που απαιτείται για Ν= ……….. ταλαντώσεις, άρα
\[\mathrm{T=\frac{t_{o\lambda }}{N}}\] \[\mathrm{T=.....s}\]
4. Υπολογίζεις τη μάζα Μ του ελατηρίου.
\[\mathrm{M=.....10^{-3}kg}\]
5. Από τον τύπο (5.6)  \(\mathrm{T=2\pi\sqrt{\frac{m+\frac{M}{3}}{k}}}\) υπολογίζεις το k_Τ
\[\mathrm{k_{T}=.....\frac{N}{m}}\]
6. Υπολογίζεις την επί τοις % διαφορά της k_Τ ως προς την ΤΒ. (Η ΤΒ παραμένει η ίδια.)
\[\mathrm{X_{T}=.....\%}\]
7. Για το ίδιο ελατήριο έχεις τώρα δύο πειραματικές τιμές της σταθεράς k. Ποια μέθοδος έχει τη μικρότερη εκατοστιαία διαφορά ως προς την ΤΒ; Γράψε στο φύλλο εργασίας τις απόψεις σου.

Κριτήριο Αξιολόγησης 1:

1. Με τη βοήθεια της εξίσωσης της γραφικής παράστασης στην εικόνα, να βρεις τη σταθερά του ελατηρίου στο SI.


Απάντηση

Η σταθερά του ελατηρίου είναι ίση με την κλίση της ευθείας. Άρα, 4,36 N/m.






2. Σε ελατήριο μάζας 63 g κρεμάμε μάζα 95 g και το εκτρέπουμε σε ταλάντωση. Εάν o χρόνος 60 πλήρων αιωρήσεων είναι 66 s, βρείτε:
1. την περίοδο ταλάντωσης Τ σε s,
2. τη σταθερά k του ελατηρίου σε N/m.

Απάντηση

1. \[T=\frac{t}{n}=\frac{66s}{60}=1,1s\]
2. 
   






3. Σε ελατήριο σταθεράς 3,2 N/m ασκούμε δύναμη 0,768 N. Πόσα mm θα επιμηκυνθεί;

Απάντηση

\[\mathrm{F=kx\Rightarrow x=\frac{F}{k}=\frac{0,768N}{3,2N/m}=0,24m=240mm}\]



4. Η ένδειξη της άκρης του ελατηρίου σε φυσικό μήκος είναι 100 mm. Τραβώ το ελατήριο και η άκρη του πηγαίνει στην ένδειξη 440 mm. Πόση είναι η επιμήκυνση σε m;

Απάντηση

\[\mathrm{\Delta \ell=\ell_{\tau }-\ell_{\alpha }=440mm-100mm=340mm=0,34m}\]



5. Ποιες από τις παρακάτω προτάσεις είναι σωστές και ποιες λάθος
   1. Η σταθερά του ελατηρίου δείχνει το μέτρο της δύναμης που απαιτείται για να μεταβληθεί το μήκος του κατά μια μονάδα μήκους.
   Σωστό Σωστή επιλογή. Λάθος Λάθος επιλογή.
   2. Η σταθερά του ελατηρίου εξαρτάται από το υλικό από το οποίο είναι φτιαγμένο το ελατήριο.
   Σωστό Σωστή επιλογή. Λάθος Λάθος επιλογή.
   3. Ελατήριο έχει σταθερά 10 N/m. Κόβω το ελατήριο στη μέση. Το κάθε κομμάτι θα έχει πάλι σταθερά 10 N/m.
   Σωστό Λάθος επιλογή. Η σταθερά του ελατηρίου εξαρτάται από το μήκος (γεωμετρικά στοιχεία). Λάθος Σωστή επιλογή. Η σταθερά του ελατηρίου εξαρτάται από το μήκος (γεωμετρικά στοιχεία).

• Young, H. D. (1994). Πανεπιστημιακή Φυσική τόμ.Ι. (παράγραφοι 6.3, 13.5, σ. 151, 360 ). Αθήνα: Παπαζήση.