Το βιβλίο αυτό είναι αποτέλεσμα καλύτερης επεξεργασίας και εμπλουτισμού του ομότιτλου βιβλίου μου, που δημοσιεύτηκε το 1991 για τις διδακτικές ανάγκες του μαθήματος ((Θεωρία Ομάδων)) που διδάσκεται στο Τμήμα Μαθηματικών του Αριστοτέλειου Πανεπιστημίου Θεσσαλονίκης (Α.Π.Θ.) Η έννοια της ομάδας παίζει σημαντικό ρόλο στη μαθηματική σκέψη και χωρίς να επιχειρούμε αξιολόγηση μαθηματικών εννοιών θα μπορούσαμε να ισχυριστούμε, ότι μετά την έννοια της συνάρτησης η σημαντικότερη έννοια είναι αυτή της ομάδας.
Η πρώτη εργασία στην Άλγεβρα σχετικά με τη θεωρία ομάδων είναι του Joceph-Louis Lagrange (1736-1813) το 1771 που εφάρμοσε τη θεωρία της ομάδας μεταθέσεων, , για την επίλυση των αλγεβρικών εξισώσεων. Τότε ακόμη δεν ήταν γνωστός ο ορισμός της ομάδας. Όμως, μέσα από τις ιδιότητες της διαφαίνονταν ιδιότητες της έννοιας της ομάδας, όπως αυτή αργότερα ορίστηκε και μελετήθηκε. Η ομάδα μεταθέσεων έπαιξε πρωταγωνιστικό ρόλο στις εργασίες του Paolo Ruffini(1765-1822) το 1799, του Niels Henrik Abel (1802-1829) το 1824 και του Evariste Galois (1811-1832) το 1830, οι οποίοι χρησιμοποίησαν επίσης την για τις μελέτες τους στην επιλυσιμότητα των αλγεβρικών εξισώσεων.
Οι μαθηματικοί επηρεασμένοι από το μεγαλειώδες έργο του Galois, αλλά και των Lagrange, Abel, Ruffini μέχρι το τέλος περίπου του 19ου αιώνα μελετούσαν κυρίως την ομάδα . Ο Arthur Cayley (1821-1895) το 1850 έδωσε τις πρώτες ιδέες για τη μελέτη των αφηρημένων ομάδων αν και ο ίδιος μελετούσε κυρίως ομάδες μετασχηματισμών. Ο Leopold Kronecker (1823-1891) το 1870 ήταν ο πρώτος, ο οποίος όρισε την αφηρημένη αβελιανή ομάδα. Αργότερα, το 1882, ο Walter von Dyck(1856-1934) και ο Heinrich Martin Weber(1842-1913), ανεξάρτητα ο ένας του άλλου, όρισαν την (αφηρημένη) έννοια της ομάδας.
Η θεωρία αριθμών με τη μελέτη της ομάδας των κλάσεων υπολοίπων ήταν μία πηγή εξέλιξης της θεωρίας ομάδων. Η γεωμετρία ήταν επίσης μία πηγή εξέλιξης της θεωρίας ομάδων λόγω της χρήσης ομάδων μετασχηματισμών στη μελέτη των γεωμετριών. Επίσης, οι ομάδες εμφανίστηκαν στις δυνατές δομές των κρυστάλλων, με αποτέλεσμα να αναπτυχθεί ιδιαίτερα η δράση των πεπερασμένων ομάδων στα γεωμετρικά αντικείμενα.
Στο τέλος του 19ου αιώνα το Erlanger Programm του Felix Klein(1849-1925), ο οποίος ανέπτυξε ένα πρόγραμμα για τη μελέτη γεωμετριών με όρους ομάδων μετασχηματισμών, που αφήνουν σταθερό ένα συγκεκριμένο γεωμετρικό σχήμα, κέντρισε το ενδιαφέρον των μαθηματικών για τη θεωρία ομάδων. Έτσι αναδείχθηκε, επίσης, ο ρόλος της έννοιας της ομάδας στο βαθύτατο θέμα της συμμετρίας στη φύση, που ο άνθρωπος προσπαθεί να εξιχνιάσει από αρχαιοτάτων χρόνων.
Σήμερα, η θεωρία ομάδων εφαρμόζεται σε όλους τους κλάδους των μαθηματικών αλλά και στη Φυσική, στη Χημεία, στην Επιστήμη των Υπολογιστών κλπ. Καθημερινά μας εκπλήσσουν οι εφαρμογές της θεωρίας ομάδων, που αποτελεί έναν συνεχώς εξελισσόμενο βασικό κλάδο των μαθηματικών.
Θα μπορούσαμε να πούμε σήμερα ότι η θεωρία ομάδων είναι η μελέτη της συμμετρίας. Η σύγχρονη θεωρία σωματιδίων δεν θα υπήρχε χωρίς τη θεωρία ομάδων. Είναι ενδιαφέρον να παρατηρήσουμε ότι με τη θεωρία ομάδων έχουν προβλεφθεί σωματίδια, πριν ακόμη αυτά εντοπιστούν πειραματικά. Η δομή και η συμπεριφορά των μορίων και των κρυστάλλων εξαρτάται από τη συμμετρία τους, έτσι η θεωρία ομάδων είναι ένα βασικό εργαλείο μελέτης τους. Στα [13], [14], [21], μπορεί ο αναγνώστης να καταφύγει για περαιτέρω αναζήτηση σε εφαρμογές στη θεωρία ομάδων.
Οι υπολογιστικές μέθοδοι με τη νέα τεχνολογία έχουν αναπτυχθεί ιδιαίτερα σε όλο το εύρος της θεωρίας ομάδων, το [22] είναι μία εξαιρετική πηγή σχετικής αναζήτησης.
Σε αυτό το κείμενο εισαγάγουμε τον αναγνώστη στην έννοια της ομάδας και αναπτύσσουμε ένα κείμενο που καλύπτει τις απαιτήσεις ενός εξαμηνιαίου μαθήματος μαθηματικών ή μη πανεπιστημιακών τμημάτων στη Θεωρία Ομάδων.
Στο Κεφάλαιο 1 δίνονται οι βασικές ιδιότητες της έννοιας της ομάδας με πολλά παραδείγματα ώστε ο αναγνώστης να αντιληφθεί το εύρος των επιστημονικών πεδίων που εφαρμόζεται η έννοια της ομάδας.
Στο Κεφάλαιο 2 μελετάμε τους ομομορφισμούς ομάδων. Την έννοια που μας βοηθάει να συγκρίνουμε τις διάφορες ομάδες μεταξύ τους.
Στο Κεφάλαιο 3 ορίζουμε την ομάδα πηλίκο, μία εξαιρετική κατασκευή που παίζει το ρόλο της διαίρεσης στους αριθμούς. Επίσης, αποδεικνύουμε τα θεωρήματα ισομορφίας των ομάδων που αποτελούν το μέσον για να οδηγούμεθα σε ταξινομήσεις.
Στο Κεφάλαιο 4 εξετάζουμε την κατασκευή γινομένου ομάδων, αλλά και τη δυνατότητα ανάλυσης μίας ομάδας σε γινόμενο υποομάδων της. Πάντα στην Επιστήμη και ιδιαίτερα στα μαθηματικά, μας ενδιαφέρει από τα συστατικά ενός επιστημονικού αντικειμένου να εξάγουμε συμπεράσματα για το όλον, που συνήθως είναι πλέον δύσκολο στη μελέτη του.
Στο Κεφάλαιο 5 εισαγάγουμε τον αναγνώστη στον υπέροχο κόσμό της δράσης ομάδας σε σύνολο και δίνουμε ως εφαρμογές της δράσης το Θεώρημα του Burnside, αλλά και τα θεωρήματα του Sylow.
Στο Κεφάλαιο 6 δίνουμε μία ταξινόμηση στη θεωρία ομάδων και ταξινομούμε τις πεπερασμένα παραγόμενες αβελιανές ομάδες.
Στο Κεφάλαιο 7 ορίζουμε τις κανονικές σειρές ομάδων που επίσης μας βοηθούν να καταλάβουμε τις ομάδες μέσα από κατάλληλες υποομάδες τους, αλλά και πώς να δημιουργήσουμε θεωρίες για να κατασκευάσουμε ομάδες από κατάλληλες υποομάδες τους. Ιδιαίτερα εξετάζουμε τις επιλύσιμες ομάδες, που παίζουν σημαντικό τόλο στην επιλυσιμότητα των αλγεβρικών εξισώσεων.
Στο Κεφάλαιο 8 εξετάζουμε λεπτομερέστερα την ομάδα με στόχο να απαντήσουμε στο ερώτημα πότε είναι επιλύσιμη.
Στο Κεφάλαιο 9 ταξινομούμε ομάδες μικρής τάξης, αλλά και τάξης γινομένου δύο πρώτων φυσικών αριθμών.
Για την παρακολούθηση του κειμένου απαιτούνται αρχικές έννοιες που αναφέρονται σε άλλους κλάδους των μαθηματικών. Για τη χρήση ενιαίας ορολογίας και για τη διευκόλυνση του αναγνώστη δίνονται όλες οι προαπαιτούμενες γνώσεις στα Παραρτήματα.
Στο Παράρτημα δίνονται στοιχεία από τη θεωρία συνόλων, τη θεωρία αριθμών, την άλγεβρα και τη γραμμική άλγεβρα, ώστε το όλο κείμενο να είναι αυτάρκες.
Κύριες αναφορές για την ανάπτυξη των κεφαλαίων αποτελούν τα: [1], [6], [9], [10], [11], [12], [17], [18], [20], [24], [25], [26], [28], [29], [31], [32], [33], [34], [35] και για τα παραρτήματα τα: [1], [4], [5], [17], [30].
Κάθε κεφάλαιο χωρίζεται σε έναν αριθμό εδαφίων. Τα θεωρήματα, οι ορισμοί, τα παραδείγματα και οι παρατηρήσεις αριθμούνται ως εξής: ο πρώτος δηλώνει το κεφάλαιο που βρίσκεται, ο δεύτερος τον αύξοντα αριθμό του εδαφίου και ο τρίτος τον αύξοντα αριθμό στο εδάφιο. Για παράδειγμα το Θεώρημα 3.1.12 έχει αύξοντα αριθμό 12 στο πρώτο εδάφιο του κεφαλαίου 3. Ιδιαίτερα ένα συγκεκριμένο παράδειγμα περιγράφεται με τέσσερις αριθμούς, π.χ. το Παράδειγμα 9.1.6.2 είναι το δεύτερο παράδειγμα της ομάδας παραδειγμάτων 9.1.6 που έχει αύξοντα αριθμό 6 στην ενότητα 1 κεφαλαίου 9. Την πρώτη φορά που εμφανίζεται ένας νέος όρος δίνεται σε παρένθεση ο αντίστοιχος αγγλικός όρος για να μπορεί ο αναγνώστης να χειριστεί την αγγλική ορολογία. Το τέλος κάθε απόδειξης σημειώνεται με το σύμβολο .
Ο αναγνώστης οφείλει να προσπαθήσει να λύσει της προτεινόμενες ασκήσεις, οι περισσότερες από τις οποίες απαιτούν την κατανόηση των εννοιών. Τα παραδείγματα που δίδονται σε κάθε εδάφιο βοηθούν στην επίλυση των ασκήσεων, οι οποίες δίδονται στο τέλος κάθε εδαφίου.
Επιθυμώ να ευχαριστήσω ιδιαίτερα εκείνους τους φοιτητές μου, που με τον ενθουσιασμό τους, την αγάπη τους για τα μαθηματικά και την ενεργό παρακολούθησή τους στα μαθήματά μου στη Θεωρία Ομάδων με βοήθησαν σημαντικά στην πραγματοποίηση της επιθυμίας μου να αποτυπώσω τις σκέψεις μου για ένα εισαγωγικό μάθημα της Θεωρίας Ομάδων. Το Πρόγραμμα ((Κάλλιπος)) με ενθάρρυνε να ολοκληρώσω αυτό το βιβλίο και γι’ αυτό το ευχαριστώ. Επίσης ευχαριστώ θερμά τον κριτικό αναγνώστη του βιβλίου καθηγητή του Πανεπιστημίου Κρήτης, κύριο Ιωάννη Αντωνιάδη για τις χρήσιμες παρατηρήσεις του. Πολλές ευχαριστίες στον μαθηματικό M.Sc Στράτο Στράτογλου και τον Dr. Κωνσταντίνο Κανάκογλου για τη βοήθεια που μου πρόσφεραν στην ηλεκτρονική μεταφορά του κειμένου. Επίσης ευχαριστώ θερμά τον Dr. Ιωάννη Καρύδη για την ηλεκτρονική μετατροπή του κειμένου σε μορφή HTML 5 και την κυρία Μαρία-Ιωάννα Χριστοφορίδου για την επιμέλεια του εξωφύλλου.