Κεφάλαιο

1

Εισαγωγή σε πρόγραμμα πεπερασμένων στοιχείων - Βασικές έννοιες

1.1. Εισαγωγή σε πρόγραμμα πεπερασμένων στοιχείων

Η αριθμητική προσομοίωση φυσικών φαινομένων και διαδικασιών μπορεί να γίνει με χρήση κάποιων υποθέσεων αναφορικά με τον τρόπο λειτουργίας της κάθε διαδικασίας και την υιοθέτηση μιας σειράς νόμων που διέπουν το πρόβλημα και αναπαράγονται με έναν μεγάλο αριθμό σύνθετων μαθηματικών εξισώσεων (Reddy, 2006). Προκύπτει ότι η επίτευξη της παραπάνω διαδικασίας απαιτεί σημαντική υπολογιστική δυνατότητα και υπολογιστικό κόστος. Η χρήση αριθμητικών μεθόδων και ηλεκτρονικού υπολογιστή για την επίλυση των διάφορων μαθηματικών μοντέλων συνιστούν την αριθμητική προσομοίωση ενός φαινομένου. Η χρήση προγραμμάτων αριθμητικής προσομοίωσης, με ιδιαίτερη αναφορά στη μέθοδο των πεπερασμένων στοιχείων που αφορά την αναπαράσταση μιας περιοχής ως ένα σύνολο διακριτών υποπεριοχών, είναι πλέον ευρύτατα διαδεδομένη, λόγω και της συνεχούς εξέλιξης των δυνατοτήτων των ηλεκτρονικών υπολογιστών τις τελευταίες δεκαετίες και αποτελεί τη συνήθη πρακτική για την ανάλυση κατασκευών υπό διάφορες συνθήκες φόρτισης. Η επίσημη παρουσίαση της μεθόδου των πεπερασμένων στοιχείων αποδίδεται στους Turner, Clough, Martin and Top (1956) και τους Argyris and Kelsey (1960), ενώ ο όρος «πεπερασμένα στοιχεία» αποδίδεται στον Clough (1960). Η περιγραφή της θεωρητικής λειτουργίας της μεθόδου δίνεται από μεγάλο αριθμό συγγραμμάτων στη διεθνή βιβλιογραφία (ενδεικτικά Bathe, 1996∙ Cook, Malkus, & Plesha, 1989∙ Hitchings, 1992∙ Huebner, Dewhirst, Smit, & Byrom, 2001). Μια πιο πρακτική προσέγγιση προγραμμάτων ανάλυσης με πεπερασμένα στοιχεία, με εφαρμογές για προχωρημένους χρήστες, δίνεται από τους Σέξτο και Κατσάνο (2005), ενώ χρήση αποτελεσμάτων ανάλυσης συγκεκριμένων αριθμητικών παραδειγμάτων για τη διευκόλυνση της κατανόησης των απαιτούμενων διαδικασιών γίνεται από τους Αβραμίδη, Αθανατοπούλου, Μορφίδη και Σέξτο (2011).

Για την εφαρμοσμένη προσομοίωση ενός στατικού ή δυναμικού προβλήματος σε κάποιο πρόγραμμα πεπερασμένων στοιχείων και την επίλυσή του, απαιτείται ο καθορισμός μιας σειράς παραμέτρων. Το πλήθος και η λεπτομέρεια των δεδομένων που απαιτούνται ποικίλουν από πρόβλημα σε πρόβλημα, ανάλογα με την πολυπλοκότητά του και το είδος της επίλυσης. Σε κάθε περίπτωση όμως, τα δεδομένα αυτά καλύπτουν ένα συγκεκριμένο σύνολο παραμέτρων που είναι απαραίτητες για την επίλυση οποιουδήποτε προβλήματος, από το απλούστερο έως το πολυπλοκότερο. Μια ενδεικτική παρουσίαση των διαφορετικών παραμέτρων που πρέπει να καθοριστούν στην περίπτωση επίλυσης ενός φορέα με χρήση προγράμματος υπολογιστή, περιλαμβάνει τα αντικείμενα των παρακάτω παραγράφων.

1.2. Τύποι πεπερασμένων στοιχείων

Η βασική διάκριση μεταξύ των διαφορετικών τύπων πεπερασμένων στοιχείων αφορά τις διαστάσεις στις οποίες αυτά αναπτύσσονται. Ο απλούστερος τύπος που συνήθως χρησιμοποιείται είναι τα γραμμικά στοιχεία, ακολουθούν τα επιφανειακά στοιχεία, ενώ περισσότερο σύνθετα είναι τα χωρικά στοιχεία. Η ακριβής γεωμετρία, ο αριθμός των κόμβων του στοιχείου, οι ελευθερίες κίνησης σε κάθε κόμβο, αλλά και η γενικότερη συμπεριφορά των πεπερασμένων στοιχείων ποικίλουν ανάλογα με τις επιλογές που προσφέρει το κάθε λογισμικό. Η θεωρητική προσέγγιση της λειτουργίας διαφόρων τύπων στοιχείων μπορεί να βρεθεί σε μεγάλο αριθμό συγγραμμάτων (ενδεικτικά Cook, 1995∙ Γκότσης, 2008∙ Τσαμασφύρος & Θεοτόκογλου, 2005). Μια ενδεικτική απεικόνιση των τύπων πεπερασμένων στοιχείων που μπορούν να χρησιμοποιηθούν στο πρόγραμμα SAP 2000 (Computers and Structures Inc., 2010) δίνεται στο Σχήμα 1.1.

Σχήμα 1.1 Γραμμικό, επιφανειακό και χωρικό στοιχείο στο λογισμικό SAP 2000.

Κατά κανόνα, η προσομοίωση ενός κτιριακού φορέα με φέροντα οργανισμό από οπλισμένο σκυρόδεμα ή χάλυβα μπορεί να επιτευχθεί με την κατάλληλη χρήση γραμμικών μόνο στοιχείων (Σχήμα 1.2). Τα επιφανειακά στοιχεία απαιτούνται στις περιπτώσεις φορέων φέρουσας τοιχοποιίας, λιθοδομής, τοιχωμάτων οπλισμένου σκυροδέματος ή πλακών με οπές (ανοίγματα), καταστρώματος γεφυρών και γενικότερα φερόντων στοιχείων με δυο σημαντικές διαστάσεις (Σχήμα 1.3). Η χρήση χωρικών στοιχείων είναι περισσότερο δυσχερής και υιοθετείται μόνο στην περίπτωση που τα γραμμικά και τα επιφανειακά στοιχεία δεν μπορούν να αποδώσουν ικανοποιητικά τη συμπεριφορά του φέροντος οργανισμού μιας κατασκευής, όταν δηλαδή αποτελείται από φέροντα στοιχεία με τρεις σημαντικές διαστάσεις (Σχήμα 1.4). Ασφαλώς είναι δυνατή η συνδυαστική χρήση διαφορετικών τύπων στοιχείων, για την αποτελεσματικότερη προσομοίωση δομημάτων ή υποφορέων, όταν αυτό θεωρηθεί σκόπιμο από τον μελετητή.

Σχήμα 1.2 Παράδειγμα προσομοιώματος κτιριακού φορέα με γραμμικά στοιχεία (σχετική εφαρμογή από Κίρτας & Παναγόπουλος, 2013).

Σχήμα 1.3 Παράδειγμα προσομοιώματος πέτρινου φάρου με επιφανειακά στοιχεία στο πρόγραμμα SAP 2000 (πλήρης μελέτη μπορεί να βρεθεί στους Πιτιλάκης, Κίρτας, & Σέξτος, 2003).

Σχήμα 1.4 Παράδειγμα προσομοιώματος πύργου με χωρικά στοιχεία στο πρόγραμμα ANSYS (πλήρης μελέτη μπορεί να βρεθεί στους Πιτιλάκης και συνεργάτες, 2003).

1.3. Γεωμετρία και στηρίξεις του φορέα

Το πρώτο συνήθως βήμα, κατά την εισαγωγή των δεδομένων του φορέα σε ένα πρόγραμμα πεπερασμένων στοιχείων, είναι ο καθορισμός της γεωμετρίας του. Ο όρος γεωμετρία αναφέρεται στον αριθμό των ορόφων του φορέα, στον αριθμό και τα μήκη των ανοιγμάτων, στις σημαντικές διαστάσεις των πεπερασμένων στοιχείων που θα χρησιμοποιηθούν (μήκος στα γραμμικά δομικά στοιχεία, δυο διαστάσεις στα επιφανειακά στοιχεία κτλ) και τη θέση τους στον φέροντα οργανισμό. Συχνά ο καθορισμός της γεωμετρίας ενός φορέα σε ένα λογισμικό διευκολύνεται με τη χρήση έτοιμων «πρότυπων» φορέων παρόμοιων χαρακτηριστικών ή τον καθορισμό καννάβου βοηθητικών γραμμών για την ακριβή τοποθέτηση των δομικών στοιχείων.

Στο σημείο αυτό μπορούν να καθοριστούν και οι συνθήκες στήριξης του φορέα, δεσμεύοντας ή απελευθερώνοντας τις κατάλληλες ελευθερίες κίνησης στους εμπλεκόμενους κόμβους. Με αντίστοιχο τρόπο μπορούν να καθοριστούν και τυχόν ελευθερίες κίνησης εντός του φέροντος οργανισμού, όπως εσωτερικές αρθρώσεις σε διάφορες θέσεις κτλ. Εφόσον επιλέγεται να προσομοιωθεί η ενδοσιμότητα του εδάφους θεμελίωσης, δίνεται δυνατότητα κατάλληλου ορισμού ελατηριακών σταθερών στη βάση του φορέα. Οι παραπάνω ενέργειες, σε προγράμματα ανάλυσης όμοιου τύπου με το πρόγραμμα SAP 2000 που χρησιμοποιείται στο παρόν, θα πρέπει να γίνουν βήμα-βήμα από τον χρήστη, όπως περιγράφεται αναλυτικά στα παραδείγματα εφαρμογής που θα παρουσιαστούν στη συνέχεια του συγγράμματος. Αντίθετα, στα περισσότερα προγράμματα αυτοματοποιημένης επίλυσης φορέων για στατικές μελέτες (στατικά πακέτα), ο καθορισμός των ελευθεριών κίνησης και μια σειρά λοιπών επιλογών γίνονται με προκαθορισμένο τρόπο που δεν είναι άμεσα ορατός στον χρήστη.

1.4. Ιδιότητες υλικών

Στα πρώτα στάδια της προσομοίωσης καθορίζονται τα υλικά από τα οποία είναι κατασκευασμένος ο φορέας. Για τον καθορισμό του κάθε υλικού οι βασικές παράμετροι που απαιτούνται είναι:

• μέτρο ελαστικότητας υλικού,
• πυκνότητα υλικού από την οποία μπορεί το πρόγραμμα να καθορίσει τη μάζα των δομικών στοιχείων του φορέα,
• ειδικό βάρος υλικού (λαμβάνεται ίσο με την πυκνότητα επί την τιμή της επιτάχυνσης της βαρύτητας) από το οποίο μπορεί το πρόγραμμα να καθορίσει το βάρος των δομικών στοιχείων του φορέα,
• συντελεστής Poisson,
• συντελεστής θερμικής διαστολής (ενεργοποιείται μόνο σε περίπτωση που δίνονται θερμοκρασιακές μεταβολές ως φορτία).

Στα παραδείγματα εφαρμογής που παρουσιάζονται στο παρόν σύγγραμμα, επιλέγεται σε πολλές περιπτώσεις να δοθεί μηδενικό ίδιο βάρος στα διάφορα δομικά στοιχεία της κατασκευής. Αυτό συμβαίνει καθώς, λόγω του εκπαιδευτικού χαρακτήρα του συγγράμματος, κρίνεται σκόπιμο τα αναπτυσσόμενα εντατικά μεγέθη να προέρχονται αποκλειστικά από φορτία που έχουν τεθεί ως εξωτερικά επιβαλλόμενα από τον χρήστη και όχι από συνδυασμό τους με τα ίδια βάρη της κατασκευής. Τα τελευταία είναι συχνά «κρυφά» φορτία, καθώς υπολογίζονται αυτόματα από το πρόγραμμα κατά την εισαγωγή των δεδομένων και επιβάλλονται στον φορέα δίχως να είναι ορατά, οπότε ενδέχεται να προκαλέσουν σύγχυση σε αρχάριο χρήστη. Η επίτευξη μηδενικών τιμών για το ίδιο βάρος και τη μάζα, ώστε να μην υπολογιστούν αυτόματα από το πρόγραμμα, μπορεί να επιτευχθεί με διάφορους τρόπους, κάποιοι από τους οποίους θα παρουσιαστούν στα παραδείγματα του συγγράμματος.

1.5. Ορισμός διατομών

Επόμενο βήμα της προσομοίωσης είναι συνήθως ο καθορισμός των διατομών των διαφόρων στοιχείων (γραμμικών, επιφανειακών ή χωρικών) που αποτελούν τον φορέα. Πιο συγκεκριμένα, γίνεται περιγραφή της γεωμετρίας της κάθε διατομής (διαστάσεις και σχήμα διατομής) από την οποία προκύπτουν τα διάφορα γεωμετρικά χαρακτηριστικά της (εμβαδόν, ροπές αδρανείας κτλ).

Οι πληροφορίες που πρέπει να δοθούν σε κάθε διατομή σχετίζονται με τον τύπο του δομικού στοιχείου. Έτσι, σε γραμμικά στοιχεία, όπου η βασική διάσταση (μήκος ή ύψος του στοιχείου) έχει ήδη δοθεί κατά τη μόρφωση του φορέα, θα πρέπει σε επίπεδο διατομής να δοθούν το σχήμα και οι διαστάσεις σε μια κάθετη προς την μεγάλη διάσταση τομή (π.χ. ορθογωνικό σχήμα και διαστάσεις για απλά υποστυλώματα, πλακοδοκός για δοκούς με συνεργαζόμενο πλάτος πλάκας κτλ). Στα επιφανειακά στοιχεία αντίστοιχα, κατά τον καθορισμό της γεωμετρίας του φορέα έχουν ήδη οριστεί οι δυο βασικές τους διαστάσεις. Συνεπώς, κατά τον ορισμό των στοιχείων της διατομής τους θα πρέπει να δοθεί η τρίτη διάσταση, δηλαδή το πάχος των συγκεκριμένων επιφανειακών στοιχείων. Σε κάποια προγράμματα ανάλυσης κατασκευών, το υλικό από το οποίο είναι κατασκευασμένο το δομικό στοιχείο επιλέγεται στο σημείο καθορισμού των γεωμετρικών ιδιοτήτων της διατομής, ως ένα από τα υλικά που δημιουργήθηκαν από τον χρήστη σε προηγούμενο βήμα.

1.6. Φορτία

Ένα σημαντικό στάδιο κατά την προσομοίωση είναι ο καθορισμός των επιβαλλόμενων φορτίων στον φορέα. Τα φορτία θα πρέπει να χωρίζονται σε κατηγορίες ανάλογα με τον τύπο τους, όπως μόνιμα, κινητά, σεισμικά, θερμοκρασιακές μεταβολές κτλ. Στη συνέχεια ομαδοποιούνται σε συνδυασμούς φορτίων, προκειμένου να αποδώσουν την εντατική κατάσταση του φορέα σε κάποιες συγκεκριμένες περιπτώσεις (π.χ. συνδυασμός αστοχίας για κατακόρυφα φορτία, σεισμικός συνδυασμός φορτίων κτλ). Ο τρόπος επιβολής των φορτίων της κάθε κατηγορίας, όπως και οι μεταξύ τους συνδυασμοί, συνήθως προδιαγράφονται αναλυτικά στους Κανονισμούς, ειδικά όσον αφορά ειδικές κατηγορίες φόρτισης όπως η σεισμική καταπόνηση του φορέα.

Ανάλογα με τις απαιτήσεις της μελέτης και τον τύπο της επιβαλλόμενης φόρτισης, η απλούστερη περίπτωση ανάλυσης είναι η γραμμική ελαστική ανάλυση υπό στατική φόρτιση, ενώ σε περιπτώσεις συνήθως συνδεόμενες με σεισμικά φορτία συχνά απαιτείται δυναμική φασματική ανάλυση, πάλι όμως στη γραμμική ελαστική περιοχή συμπεριφοράς των υλικών και των δομικών στοιχείων του φορέα. Οι προηγούμενοι τύποι ανάλυσης καλύπτουν σε σημαντικό βαθμό τις σύγχρονες κανονιστικές απαιτήσεις για τη μελέτη κτιριακών έργων.

Πιο εξειδικευμένες περιπτώσεις μελέτης αφορούν την ελαστική ανάλυση υπό δυναμικά μεταβαλλόμενη φόρτιση, αλλά και την ανελαστική ανάλυση υπό στατικά ή δυναμικά φορτία. Στα τελευταία κεφάλαια του συγγράμματος γίνεται μια παρουσίαση και των συγκεκριμένων, πιο σύνθετων, τύπων ανάλυσης, περισσότερο για να χρησιμεύσει ως εισαγωγή για τους χρήστες που σκοπεύουν να εμβαθύνουν σε αντίστοιχα αντικείμενα μελέτης.

1.7. Πρόσθετα χαρακτηριστικά φορέα

Εκτός από τις παραπάνω βασικές κατηγορίες δεδομένων, κατά την προσομοίωση ενός κτιριακού φορέα σε πρόγραμμα πεπερασμένων στοιχείων, ανάλογα με τα ιδιαίτερα χαρακτηριστικά της κατασκευής που εξετάζεται, θα πρέπει να οριστούν και μια σειρά από πρόσθετα στοιχεία. Ενδεικτικά, σε φορείς με πλάκα οπλισμένου σκυροδέματος και κατάλληλο σχήμα κάτοψης, θα πρέπει να δοθεί διαφραγματική λειτουργία στα επίπεδα των ορόφων, η οποία θα περιγράφει την ενιαία κίνηση των κόμβων σε κάθε όροφο. Επίσης, μπορούν να οριστούν άκαμπτα (ή δύσκαμπτα) άκρα στα γραμμικά στοιχεία, ώστε να ληφθεί υπόψη η σημαντική δυσκαμψία των δοκών και υποστυλωμάτων στις περιοχές των κόμβων. Παράλληλα, υπάρχει η δυνατότητα να μεταβληθούν οι βαθμοί ελευθερίας με βάση τους οποίους πραγματοποιείται η ανάλυση του προβλήματος, και να επιλεγεί π.χ. επίπεδη ανάλυση όταν το πρόβλημα αφορά απόκριση ενός πλαισίου εντός επιπέδου. Τα παραπάνω στοιχεία σχετίζονται με τις απαιτήσεις της κάθε κατασκευής που προσομοιώνεται, αλλά και τις δυνατότητες που προσφέρονται σε κάθε πρόγραμμα ανάλυσης.

1.8. Ανάλυση φορέα και έλεγχος αποτελεσμάτων

Μετά το πέρας της εισαγωγής των δεδομένων ακολουθεί η ανάλυση του φορέα και η εξαγωγή των αποτελεσμάτων. Συχνά η επισκόπηση των αποτελεσμάτων είναι από μόνη της μια σύνθετη διαδικασία, καθώς, ιδιαίτερα σε περιπτώσεις αναλύσεων που συμπεριλαμβάνουν τη σεισμική απόκριση του φορέα, ο όγκος αποτελεσμάτων για το σύνολο των συνδυασμών φόρτισης είναι μεγάλος και η επεξεργασία του από τον χρήστη ιδιαίτερα απαιτητική.

Βιβλιογραφικές αναφορές Κεφαλαίου 1

• ANSYS. (2000). ANSYS user’s manual (Release 8.1). Houston, USA: SAS IP Inc.
• Argyris, J., & Kelsey, S. (1960). Energy theorems and structural analysis. London: Butterworth.
• Bathe, K. J. (1996). Finite element procedures. Englewood Cliffs, NJ: Prentice Hall.
• Clough, R. W. (1960). The finite element method in plane stress analysis. Paper presented at the 2nd ASCE Conference on Electronic Computation, Pittsburgh, PA.
• Computers and Structures Inc. (2010). CSI Analysis reference manual for SAP2000, ETABS, and SAFE. Berkeley, California, USA: CSI.
• Cook, R. D., Malkus, D. S., & Plesha, M. E. (1989). Concepts and applications of finite element analysis (Third ed.). New York: John Wiley & Sons Inc.
• Cook, R. D. (1995). Finite element modeling for stress analysis. New York: John Wiley & Sons Inc.
• Hitchings, D. (Ed.). (1992). NAFEMS – A finite element dynamics primer. Birniehill, Glasgow: Bell and Bain Ltd.
• Huebner, K. H., Dewhirst, D. L., Smit, D. E., & Byrom, T. G. (2001). The finite element method for engineers (Fourth ed.). New York: John Wiley & Sons.
• Reddy, J. N. (2006). An introduction to the finite element method (Third ed.). New York: McGraw-Hill Inc.
• Turner, M. J., Clough, R. W., Martin, H. C., & Top, L. J. (1956). Stiffness and deflection analysis of complex structures. Journal of Aeronautical Science, 23(805-823).
• Αβραμίδης, Ι., Αθανατοπούλου, Α., Μορφίδης, Κ., & Σέξτος, Α. (2011). Αντισεισμικός σχεδιασμός κτιρίων Ο/Σ και αριθμητικά παραδείγματα ανάλυσης & διαστασιολόγησης σύμφωνα με τους Ευρωκώδικες. Θεσσαλονίκη.
• Γκότσης, Π. (2008). Πεπερασμένα Στοιχεία (2^η εκδ.). Θεσσαλονίκη: Εκδόσεις ΖΗΤΗ.
• Κίρτας, Ε., & Παναγόπουλος, Γ. (2013). Σημειώσεις εργαστηρίου: Ειδικά Κεφάλαια Στατικής (SAP 2000 v.14 και Master-Fespa 10 v.5.4.0.14). Σέρρες: Τμήμα Πολιτικών Δομικών Έργων, Τ.Ε.Ι. Σερρών.
• Πιτιλάκης, Κ., Κίρτας, Ε., & Σέξτος, Α. (2003). Στατική μελέτη του δώματος του πύργου Zacosta για την επανατοποθέτηση του πέτρινου πυργίσκου του φάρου. Θεσσαλονίκη: Εργαστήριο Εδαφομηχανικής και Θεμελιώσεων, Τμήμα Πολιτικών Μηχανικών, ΑΠΘ.
• Σέξτος, Α., & Κατσάνος, Ε. (2009). Τεχνικές προγραμματισμού και χρήση λογισμικού Η/Υ στις κατασκευές. Θεσσαλονίκη: Εκδόσεις Αϊβάζη.
• Τσαμασφύρος, Γ., & Θεοτόκογλου, Ε. (2005). Μέθοδος των πεπερασμένων στοιχείων Ι. Αθήνα: Εκδόσεις Συμμετρία.