4.7 Ασκήσεις

Δείξτε την ανισότητα Cauchy–Schwarz

$$|(v,w)|\le \parallel v\parallel \parallel w\parallel .$$

(Υπόδειξη: Χρησιμοποιήστε τη μη αρνητικότητα του ${\parallel v+tw\parallel }^2$, $t\in ℝ$.)

Βρείτε έναν χώρο πεπερασμένων στοιχείων για το πρόβλημα

Έστω ότι η συνάρτηση $q$ του (4.1) λαμβάνει μη αρνητικές τιμές και $J$, $J(v):=(v^{\prime },v^{\prime })-2(f,v)$. Δείξτε ότι η λύση $u$ του (4.1) είναι το μόνο στοιχείο του $V$ που η $J$ λαμβάνει την ελάχιστη τιμή της στον $V$.

Έστω ότι $S_h^r$ είναι ο υπόχωρος του χώρου $V$ που θεωρήσαμε στην (4.4), για τον οποίο μπορούμε να δείξουμε ότι ικανοποιεί την ακόλουθη προσεγγιστική ιδιότητα: Υπάρχει σταθερά $C$ ανεξάρτητη του $h$, τέτοια ώστε για κάθε $v\in C^r[a,b]$, υπάρχει $\chi \in S_h^r$ όπου

$$\parallel v-\chi \parallel +h\parallel v^{\prime }-{\chi }^{\prime }\parallel \le C{h}^r{\parallel v\parallel }_r,$$

με ${\parallel v\parallel }_r={({\sum }_{s=0}^r{\parallel v^{(s)}\parallel }^2)}^{1/2}$. Τότε, αν $u\in C_0^r[a,b]$, η λύση $u_h\in S_h^r$ του αντίστοιχου προβλήματος πεπερασμένων στοιχείων,

$$a(u_h,\chi )=(f,\chi ),\forall \chi \in S_h^r,$$

ικανοποιεί τη σχέση

$$\parallel u-u_h\parallel +h\parallel u^{\prime }-u_h^{\prime }\parallel \le C{h}^r{\parallel u\parallel }_r.$$