ΠΑΡΑΡΤΗΜΑ Α΄ Μέσο σφάλμα μεγέθους
(που υπολογίζεται από σύνθετη συνάρτηση)

Όταν το πρωτοείδα, κι εγώ δεν το συμπάθησα. Είναι, όμως, λάθος μας, καθώς πρόκειται για κάτι πολύ απλό και σίγουρο ως μέθοδος υπολογισμού μιας αβεβαιότητας. Το μόνο που χρειάζεται, είναι να ξέρεις να βρίσκεις μια Μερική Παράγωγο, που είναι, νομίζω, μια εύκολη δουλειά.

Θεώρημα:
Αν το μέτρο ενός μεγέθους q υπολογίζεται με βάση τη συνάρτηση q=f(x,y,…,z), όπου τα μεγέθη x,y,…,z έχουν μετρηθεί και τα Απόλυτα σφάλματά τους είναι δx,δy,…,δz αντίστοιχα, τότε το Μέσο (απόλυτο) Σφάλμα δq δίνεται από τη σχέση: \[ \delta q=\sqrt{\left ( \frac{\partial q}{\partial x}\cdot \delta x \right )^{2}+...+\left ( \frac{\partial q}{\partial z} \cdot \delta z \right)^{2}}\]
όπου \(\frac{\partial q}{\partial x}\) είναι η μερική παράγωγος της q ως προς x κ.ο.κ.

Επιπλέον, το ίδιο θεώρημα λέει ότι το Μέσο Σφάλμα ικανοποιεί την \[\delta q\leq \left |\frac{\partial q}{\partial x} \right |\cdot \delta x+...+\left |\frac{\partial q}{\partial z} \right |\cdot \delta z\]

Παράδειγμα 1
Αν q=x+y και x\(\pm\)δx, y\(\pm\)δy, τότε: \(\frac{\partial q}{\partial x}=1\), \(\frac{\partial q}{\partial y}=1\). Άρα, από την (ΠαρΑ.1) \[\delta q=\sqrt{(1\cdot \delta x)^{2}+(1\cdot \delta y)^{2}}\Rightarrow \delta q=\sqrt{\delta x^{2}+\delta y^{2}}\]

Σε αυτή την περίπτωση εμείς έχουμε ορίσει το Μέγιστο Σφάλμα:

\[\delta q_{max}=\delta x+\delta y\]

Εύκολα βλέπεις ότι:
\(\delta q_{max}\geq \delta q\) (Πυθαγόρας).

Ερώτηση: Ποιο από τα δύο είναι καλύτερο;
Απάντηση:
Εξαρτάται!

Ξέρεις ότι το δq καθορίζει το εύρος της περιοχής που έχει πιθανότητα 68% να βρεθεί η επόμενη μέτρηση. Από σένα εξαρτάται αν θέλεις οι μετρήσεις με πιθανότητα 68% να είναι μέσα σε μεγάλη περιοχή την οποία καθορίζει το (\(\delta q_{max}\)) ή μέσα σε μικρότερη περιοχή την οποία καθορίζει το \(\delta q\leq \delta q_{max} \).

Συμπέρασμα:
Το Μέσο Σφάλμα δq, που είναι μικρότερο από το Μέγιστο Σφάλμα, σου δίνει μια μικρότερη περιοχή αβεβαιότητας. Αυτό μπορεί να είναι καλύτερο ή όχι, ανάλογα με τη σιγουριά που θέλεις να έχεις.

Παρατήρηση:
Συνήθως, στα πρώτα εργαστήρια όλοι χρησιμοποιούμε το Μέγιστο Σφάλμα, επειδή οι μερικές παράγωγοι δεν είναι ακόμα γνωστές. Με λίγο περισσότερη εμπιστοσύνη στις γνώσεις μας και στις μερικές παραγώγους, θα μπορούσαμε να χρησιμοποιούμε το Μέσο Σφάλμα και να είμαστε, έτσι, σε ένα υψηλό επίπεδο.

Παράδειγμα 2
Από τον τύπο του εκκρεμούς \(g=\frac{4\pi ^{2}L}{T^{2}}\), όπου L\(\pm \)δL=(800\(\pm \)1) 10^-3m, έχουμε \(T\pm \delta T=(1,79\pm 0,10) s\).

Μέγιστο σφάλμα: \(\frac{\delta g}{g}=\frac{\delta L}{L}+2\frac{\delta T}{T}\Rightarrow \delta g_{max}=1,11 \frac{m}{s^2}\).

Μέσο σφάλμα: \(\delta g=\sqrt{\left ( \frac{\partial g}{\partial L}\cdot \delta L \right )^{2}+\left ( \frac{\partial g}{\partial T}\cdot \delta T \right )^{2}} \)

όπου \(\frac{\partial g}{\partial L}=\frac{4\pi ^2}{T^2}\) και \(\frac{\partial g}{\partial T}=4\pi ^2L{(T^{-2})}'\), \(\frac{\partial g}{\partial L}=\frac{8\pi ^2L}{T^3}\) και \(\delta L=1\cdot 10^{-3}m \), \( \delta T=0,10 s\).

\[\delta g=\sqrt{\left ( \frac{16\pi ^4}{T^4}\cdot (\delta L)^2 \right )+\left ( \frac{64\pi ^4L^2}{T^6}\cdot (\delta T)^2 \right )}\Rightarrow \delta g=1,10\frac{m}{s^2}\] Άρα, \(\delta q_{max}\geq \delta q\).