Σήμερα υπάρχουν δύο τρόποι για τη γραφική αναπαράσταση ενός συνόλου δεδομένων:
1ος τρόπος
Με χάρακα, χαρτί, μολύβι, γνώση και προσπάθεια
2ος τρόπος
Με τον Η/Υ στον οποίο δίνεις μια φορά το σύνολο των δεδομένων και στη συνέχεια με ένα κλικ έχεις τη
γραφική παράσταση. Προσοχή, διότι για τον τρόπο αυτό χρειάζονται οι γνώσεις που αποκτάς από την προηγούμενη περίπτωση, καθώς και επιπλέον γνώσεις σχετικές με το πρόγραμμα που χρησιμοποιείς.
Γραφικές Παραστάσεις (ΓΠ)
Εμείς εδώ θα ασχοληθούμε με τον πρώτο τρόπο χάραξης ΓΠ. Συγκεκριμένα, θα μιλήσουμε για ΓΠ
που παριστάνουν καμπύλες/ευθείες σε δύο διαστάσεις και καρτεσιανό επίπεδο (Εργαστηριακές Ασκήσεις
Φυσικής, 2013). Δεν θα ασχοληθούμε με ιστογράμματα και πίτες (pies).
Ας δούμε τους λόγους για τους οποίους κάνουμε μια γραφική παράσταση:
Ας δούμε τους λόγους για τους οποίους κάνουμε μια γραφική παράσταση:
- 1ος λόγος
Για να απεικονίσουμε δεδομένα με έναν τρόπο που μας δίνει πολλές πληροφορίες, εύκολα και με μια ματιά.
π.χ. Το ποσοστό αύξησης των κερδών μιας τράπεζας κατά τους τελευταίους 12 μήνες. Εύκολα μπορείς να βγάλεις συμπεράσματα για την πορεία της επιχείρησης. -
2ος λόγος
Κάνουμε τη γραφική παράσταση με σκοπό να αναλύσουμε ένα σύνολο πειραματικών δεδομένων και να βγάλουμε συμπεράσματα. Γι’ αυτό, στην περίπτωση αυτή η χάραξη πρέπει να γίνει με μεγαλύτερη αυστηρότητα. Βέβαια, τίποτα δεν αποκλείει να κάνεις τα ίδια και στην προηγούμενη περίπτωση, αλλά δεν είναι τόσο απαραίτητο.
Μια διαφορά:
Τώρα μπαίνουν δύο ερωτήματα:Εικόνα Εισ.5 Λανθασμένες γραφικές παραστάσεις.
1ος τρόπος
Χαράζεις την καμπύλη/ευθεία έτσι, ώστε όσα σημεία αφήνει έξω από τη μία μεριά, τόσα να αφήνει και από την άλλη σε ισαπέχουσες θέσεις. Η χάραξη γίνεται με χάρακα για ευθεία ή καμπυλόγραμμο για υπερβολές, παραβολές κτλ.
2η περίπτωση
Αν η γραφική παράσταση είναι καμπύλη, τότε φέρνεις την εφαπτομένη στο σημείο M1 που σε ενδιαφέρει, σχηματίζεις πάλι ένα μεγάλο τρίγωνο και υπολογίζεις την κλίση (Εικόνα Εισ.6).
π.χ. \[\lambda =\frac{\Delta y}{\Delta x}=\frac{\mathrm{AB}}{\Gamma {\mathrm{B}}}\]
Εικόνα Εισ.6 Κλίση σε ένα σημείο της καμπύλης.
- Ο Μαθηματικός:
-
Γνωρίζει τη συνάρτηση που συνδέει την ανεξάρτητη μεταβλητή Χ με την εξαρτημένη Υ.
π.χ.: Υ=αΧ+β, οπότε δίνει τυχαίες τιμές στο Χ, κάνει πράξεις και υπολογίζει το Υ - Γράφει το αποτέλεσμά του με όσα δεκαδικά νομίζει ότι του χρειάζονται και, τέλος, βάζει τα ζεύγη (Χ,Υ) σε άξονες.
Οπότε, όλα τα σημεία σχηματίζουν μια γνωστή καμπύλη (που ξέρει από τα μαθηματικά). -
Γνωρίζει τη συνάρτηση που συνδέει την ανεξάρτητη μεταβλητή Χ με την εξαρτημένη Υ.
- Ο Τεχνολόγος:
- Έχει τα ζεύγη (Χ,Υ) που είναι αποτελέσματα μετρήσεων και περιέχουν τις γνωστές αβεβαιότητες (σφάλματα).
- Ξέρει ότι κάθε ζεύγος δίνει και ένα σημείο στο επίπεδο.
- Τι θέλει να κάνει με τα σημεία αυτά; Υπάρχουν δύο περιπτώσεις:
- 1η περίπτωση:
Να ερευνήσει αν οι τιμές των (Χ,Υ) ικανοποιούν κάποια σχέση που περιγράφει το πείραμα από το οποίο προέκυψαν αυτές οι τιμές. Με άλλα λόγια, κάνει επαλήθευση κάποιου Νόμου ή ψάχνει για το Νόμο. - 2η περίπτωση:
Ξέρει από πριν την εξίσωση που περιγράφει το φαινόμενο. Άρα, ξέρει και τη μορφή της μαθηματικής καμπύλης που αντιστοιχεί στην εξίσωση.
- 1η περίπτωση:
Οπότε, με βάση τα πειραματικά σημεία που διαθέτει, θέλει να χαράξει την καλύτερη καμπύλη που πλησιάζει
στη θεωρητική μαθηματική καμπύλη. Αυτή η καλύτερη καμπύλη (best fit) δίνει τώρα τις πληροφορίες για
το πείραμα. Τα πειραματικά σημεία δεν παίζουν κανένα ρόλο πλέον. Δεν θα τα χρησιμοποιήσει για κανέναν υπολογισμό.
Τώρα μπαίνουν δύο ερωτήματα:
Ερώτημα 1ο: Πώς χαράζω την καλύτερη πειραματική καμπύλη;
Απάντηση:
Για να χαράξεις την καλύτερη πειραματική καμπύλη, πρέπει να βάλεις τα σημεία (Χ,Υ) σε ένα επίπεδο με άξονες Χ και Υ. Για να το κάνεις αυτό, πρέπει να βαθμονομήσεις τους άξονες. Σύμφωνα με το πεδίο τιμών των Χ και Υ, αποφασίζεις πόσες γραμμές θέλεις να αντιστοιχίσεις, έτσι ώστε να καλύψεις το μεγαλύτερο δυνατό χώρο σε όλο το επίπεδο. Υπάρχει λόγος γι αυτό τον οποίο θα δούμε παρακάτω. (Ούτε γραφική παράσταση σαν κυπαρισσάκι ούτε πατημένη από τρένο, όπως φαίνεται στην Εικόνα Εισ.5.)
Απάντηση:
Για να χαράξεις την καλύτερη πειραματική καμπύλη, πρέπει να βάλεις τα σημεία (Χ,Υ) σε ένα επίπεδο με άξονες Χ και Υ. Για να το κάνεις αυτό, πρέπει να βαθμονομήσεις τους άξονες. Σύμφωνα με το πεδίο τιμών των Χ και Υ, αποφασίζεις πόσες γραμμές θέλεις να αντιστοιχίσεις, έτσι ώστε να καλύψεις το μεγαλύτερο δυνατό χώρο σε όλο το επίπεδο. Υπάρχει λόγος γι αυτό τον οποίο θα δούμε παρακάτω. (Ούτε γραφική παράσταση σαν κυπαρισσάκι ούτε πατημένη από τρένο, όπως φαίνεται στην Εικόνα Εισ.5.)
Παράδειγμα:
Σε 10 μικρές γραμμές του μιλιμετρέ δεν αντιστοιχείς 12 cm, αλλά 5 cm, 10 cm ή 20 cm, έτσι ώστε να ξέρεις εύκολα σε τι αντιστοιχεί μία γραμμή του άξονα.
Περίπτωση 1η:
Μία (1) γραμμή του άξονα Χ αντιστοιχεί σε 2 cm.
Στο κάτω μέρος του μιλιμετρέ γράψε την αντιστοίχιση που αποφάσισες.
Περίπτωση 2η:
Στον Χ άξονα: μία (1) γραμμή 2 cm.
Στον Υ άξονα: μία (1) γραμμή 0,1 Ν.
Σε 10 μικρές γραμμές του μιλιμετρέ δεν αντιστοιχείς 12 cm, αλλά 5 cm, 10 cm ή 20 cm, έτσι ώστε να ξέρεις εύκολα σε τι αντιστοιχεί μία γραμμή του άξονα.
Περίπτωση 1η:
Μία (1) γραμμή του άξονα Χ αντιστοιχεί σε 2 cm.
Στο κάτω μέρος του μιλιμετρέ γράψε την αντιστοίχιση που αποφάσισες.
Περίπτωση 2η:
Στον Χ άξονα: μία (1) γραμμή 2 cm.
Στον Υ άξονα: μία (1) γραμμή 0,1 Ν.
Πάνω στους άξονες γράφεις μόνο τις τιμές της βαθμονόμησης και τις μονάδες. Δεν γράφεις πειραματικές τιμές. Μετά τη βαθμονόμηση βάζεις τα σημεία που αντιστοιχούν στα πειραματικά ζεύγη (Χ,Υ) με ή χωρίς τα διαστήματα εμπιστοσύνης (error bars). Αν y\(\pm \)σ, τότε το διάστημα εμπιστοσύνης είναι ένα ευθύγραμμο τμήμα μήκους 2σ, κάθετο στον άξονα Χ, με κέντρο το σημείο (Χ,Υ).
Τώρα έχεις βάλει τα πειραματικά σημεία και πρέπει να χαράξεις την πειραματική καμπύλη. Αυτό
μπορεί να γίνει με τρεις (3) τρόπους:
1ος τρόπος
Χαράζεις την καμπύλη/ευθεία έτσι, ώστε όσα σημεία αφήνει έξω από τη μία μεριά, τόσα να αφήνει και από την άλλη σε ισαπέχουσες θέσεις. Η χάραξη γίνεται με χάρακα για ευθεία ή καμπυλόγραμμο για υπερβολές, παραβολές κτλ.
2ος τρόπος
Χαράζεις την καμπύλη έτσι, ώστε να περνάει μέσα από όλα τα διαστήματα εμπιστοσύνης (error bars). Αυτός ο τρόπος θεωρείται καλύτερος από τον πρώτο.
Χαράζεις την καμπύλη έτσι, ώστε να περνάει μέσα από όλα τα διαστήματα εμπιστοσύνης (error bars). Αυτός ο τρόπος θεωρείται καλύτερος από τον πρώτο.
3ος τρόπος
Δίνεις τα ζεύγη (Χ,Υ) στον Η/Υ. Αυτός βάζει τα σημεία και σχεδιάζει την καλύτερη δυνατή καμπύλη. Επιπλέον, σου δίνει και την μαθηματική εξίσωση της καλύτερης καμπύλης που αντιστοιχεί στα πειραματικά σημεία.
Δίνεις τα ζεύγη (Χ,Υ) στον Η/Υ. Αυτός βάζει τα σημεία και σχεδιάζει την καλύτερη δυνατή καμπύλη. Επιπλέον, σου δίνει και την μαθηματική εξίσωση της καλύτερης καμπύλης που αντιστοιχεί στα πειραματικά σημεία.
Ερώτημα 2ο: Τι πληροφορίες μπορώ να πάρω από την καλύτερη πειραματική καμπύλη;
Απάντηση:
Ανάλυση δεδομένων:
Απάντηση:
Ανάλυση δεδομένων:
- Βρίσκεις για κάθε τιμή xν την αντίστοιχη τιμή yν, και αντίστροφα
- Βρίσκεις την τιμή ενός τρίτου μεγέθους (εκτός των xν, yν) που ονομάζουμε κλίση λ και ορίζεται από τη σχέση:
(Εισ.9)
Πώς βρίσκω την κλίση λ από τη γραφική παράσταση;
1η περίπτωση
Αν η γραφική παράσταση είναι ευθεία, σχηματίζεις ένα τυχαίο, μεγάλο τρίγωνο με υποτείνουσα πάνω στην ευθεία. Διαιρείς την κατακόρυφη πλευρά του τριγώνου Δy με την οριζόντια πλευρά Δx. \[\lambda =\frac{\Delta y}{\Delta x}\] Δεν χρησιμοποιείς πειραματικά σημεία για να βρεις την κλίση.
Αν η γραφική παράσταση είναι ευθεία, σχηματίζεις ένα τυχαίο, μεγάλο τρίγωνο με υποτείνουσα πάνω στην ευθεία. Διαιρείς την κατακόρυφη πλευρά του τριγώνου Δy με την οριζόντια πλευρά Δx. \[\lambda =\frac{\Delta y}{\Delta x}\] Δεν χρησιμοποιείς πειραματικά σημεία για να βρεις την κλίση.
2η περίπτωση
Αν η γραφική παράσταση είναι καμπύλη, τότε φέρνεις την εφαπτομένη στο σημείο M1 που σε ενδιαφέρει, σχηματίζεις πάλι ένα μεγάλο τρίγωνο και υπολογίζεις την κλίση (Εικόνα Εισ.6).
π.χ. \[\lambda =\frac{\Delta y}{\Delta x}=\frac{\mathrm{AB}}{\Gamma {\mathrm{B}}}\]
Προσοχή: Η κλίση έχει μονάδες, τις μονάδες των αξόνων
Θεώρημα:
Έστω, y=f(x) η εξίσωση μιας καμπύλης και έστω, Μ1(x1,y1) ένα σημείο πάνω στην καμπύλη αυτή. Η κλίση στο σημείο αυτό είναι ίση με την τιμή της πρώτης παραγώγου. \[{f}'(x)=\frac{dy}{dx}\]
Έστω, y=f(x) η εξίσωση μιας καμπύλης και έστω, Μ1(x1,y1) ένα σημείο πάνω στην καμπύλη αυτή. Η κλίση στο σημείο αυτό είναι ίση με την τιμή της πρώτης παραγώγου. \[{f}'(x)=\frac{dy}{dx}\]
(Εισ.10)
Πώς βρίσκω την κλίση λ γνωρίζοντας την εξίσωση της γραφικής παράστασης;
Eσύ vs Η/Υ
Έχεις δώσει τα ζεύγη (x,y) στον Η/Υ και έχεις πάρει την καλύτερη καμπύλη και την εξίσωση που της αντιστοιχεί. Βρίσκεις την παράγωγο και, στη συνέχεια, την αριθμητική τιμή της παραγώγου για το x που σε ενδιαφέρει. Από το θεώρημα ξέρεις ότι η τιμή της παραγώγου είναι η ζητούμενη κλίση. Κάνεις σύγκριση. Γιατί μεγάλο τρίγωνο;
Έχεις δώσει τα ζεύγη (x,y) στον Η/Υ και έχεις πάρει την καλύτερη καμπύλη και την εξίσωση που της αντιστοιχεί. Βρίσκεις την παράγωγο και, στη συνέχεια, την αριθμητική τιμή της παραγώγου για το x που σε ενδιαφέρει. Από το θεώρημα ξέρεις ότι η τιμή της παραγώγου είναι η ζητούμενη κλίση. Κάνεις σύγκριση. Γιατί μεγάλο τρίγωνο;
y1\(\pm \)δy1, y2\(\pm \)δy2, x1\(\pm \)δx1, x2\(\pm \)δx2
Δy= y2 - y1, δ(Δy)= δy1+ δy2
Δx= x2 - x1, δ(Δx)= δx2+ δx1
\[\lambda =\frac{\Delta y}{\Delta x}\] άρα \[\frac{\delta \lambda }{\lambda }=\frac{\delta (\Delta y)}{\Delta y}+\frac{\delta (\Delta x)}{\Delta x}\]
Μέθοδος Ελαχίστων Τετραγώνων
1ος τρόπος
Αν έχεις κάνει Ν μετρήσεις και έχεις τοποθετήσει τα σημεία στο Χ,Υ επίπεδο, τότε ένας πολύ σωστός τρόπος για να φέρεις την καλύτερη ευθεία που αντιστοιχεί στα σημεία αυτά είναι να υπολογίσεις την κλίση της ευθείας και το σημείο που τέμνει τον άξονα Υ. Δηλαδή, αν Υ=ΑΧ+Β, αποδεικνύεται ότι το Α και το Β υπολογίζονται ως εξής: \[A=\frac{N\sum X_{i}\cdot Y_{i}-\sum X_{i}\cdot \sum Y_{i} }{\Gamma }\]
\[B=\frac{\sum X_{i}^2\cdot \sum Y_{i}-\sum X_{i}\cdot\sum X_{i}\cdot Y_{i} }{\Gamma }\]
\[\Gamma =N\sum X_{i}^2-(\sum X_{i})^2\]
Σημείωση:
2ος τρόπος
Δίνεις τα Ν ζεύγη (Χ,Υ) στον Η/Υ ή στο φορητό υπολογιστικό μηχάνημά σου (scientific calculator), και σε απειροστό χρόνο σου δίνουν τα Α και Β! Η ίδια μέθοδος για τα μεγέθη Α και Β υπολογίζει και τις αβεβαιότητες δΑ και δΒ, αλλά δε θα χρειαστούν στο εισαγωγικό εργαστήριο. Τώρα που ξέρεις τα Α και Β, γνωρίζεις την εξίσωση.
Αν έχεις κάνει Ν μετρήσεις και έχεις τοποθετήσει τα σημεία στο Χ,Υ επίπεδο, τότε ένας πολύ σωστός τρόπος για να φέρεις την καλύτερη ευθεία που αντιστοιχεί στα σημεία αυτά είναι να υπολογίσεις την κλίση της ευθείας και το σημείο που τέμνει τον άξονα Υ. Δηλαδή, αν Υ=ΑΧ+Β, αποδεικνύεται ότι το Α και το Β υπολογίζονται ως εξής: \[A=\frac{N\sum X_{i}\cdot Y_{i}-\sum X_{i}\cdot \sum Y_{i} }{\Gamma }\]
(Εισ.11)
\[B=\frac{\sum X_{i}^2\cdot \sum Y_{i}-\sum X_{i}\cdot\sum X_{i}\cdot Y_{i} }{\Gamma }\]
(Εισ.12)
\[\Gamma =N\sum X_{i}^2-(\sum X_{i})^2\]
(Εισ.13)
Σημείωση:
Δε νομίζουμε ότι κάποιος θα κάνει ποτέ αυτές τις πράξεις στο εργαστήριο. Είναι χρήσιμο, όμως, να ξέρεις ότι υπάρχει αυτή η μέθοδος.
2ος τρόπος
Δίνεις τα Ν ζεύγη (Χ,Υ) στον Η/Υ ή στο φορητό υπολογιστικό μηχάνημά σου (scientific calculator), και σε απειροστό χρόνο σου δίνουν τα Α και Β! Η ίδια μέθοδος για τα μεγέθη Α και Β υπολογίζει και τις αβεβαιότητες δΑ και δΒ, αλλά δε θα χρειαστούν στο εισαγωγικό εργαστήριο. Τώρα που ξέρεις τα Α και Β, γνωρίζεις την εξίσωση.
Παράδειγμα:
Για να χαράξεις την ευθεία, χρειάζονται δύο σημεία (το είπε και ο Ευκλείδης), όχι βέβαια τα πειραματικά. Δίνεις δύο τιμές στον Χ και από την εξίσωση (Εισ.14) έχεις δύο τιμές του Υ. Με τα δύο σημεία (Χ1,Υ1) και (Χ2, Υ2) χαράζεις την καλύτερη ευθεία. Τέλος!
Παράδειγμα υπολογισμού των Α και ΒΠίνακας Εισ.2 Παράδειγμα υπολογισμού των Α και Β.
\[A=\frac{5\cdot 180,14-16,0\cdot 48,5 }{52,1}=2,39\] \[B=\frac{61,62\cdot 48,5-16,0\cdot 180,14 }{52,1}=2,04\]
y=2,6x +3,2
(Εισ.14)
Για να χαράξεις την ευθεία, χρειάζονται δύο σημεία (το είπε και ο Ευκλείδης), όχι βέβαια τα πειραματικά. Δίνεις δύο τιμές στον Χ και από την εξίσωση (Εισ.14) έχεις δύο τιμές του Υ. Με τα δύο σημεία (Χ1,Υ1) και (Χ2, Υ2) χαράζεις την καλύτερη ευθεία. Τέλος!
Παράδειγμα υπολογισμού των Α και Β
\[A=\frac{5\cdot 180,14-16,0\cdot 48,5 }{52,1}=2,39\] \[B=\frac{61,62\cdot 48,5-16,0\cdot 180,14 }{52,1}=2,04\]
Γ=5∙61,62-(16,0)2 =52,1
y=2,39x+2,04