ΑΣΚΗΣΗ 3Υπολογισμός του μέτρου της ταχύτητας και της επιτάχυνσης

  • Σύνοψη:
    Σκοπός της συγκεκριμένης άσκησης είναι ο υπολογισμός του μέτρου της στιγμιαίας ταχύτητας και της επιτάχυνσης ενός υλικού σημείου (σώματος) που εκτελεί ευθύγραμμη ομαλά επιταχυνόμενη κίνηση επάνω σε κεκλιμένο επίπεδο.

    Η ταχύτητα θα υπολογιστεί με δύο τρόπους:
    • ως κλίση ευθείας που εφάπτεται της πειραματικής καμπύλης απόστασης – χρόνου
    • από άμεση μέτρηση της απόστασης που διανύει το σώμα για συγκεκριμένο (μικρό) χρονικό διάστημα.

    Η επιτάχυνση θα υπολογιστεί με δύο τρόπους:
    • ως κλίση της ευθείας ταχύτητας – χρόνου
    • θεωρητικά, από τους αντίστοιχους νόμους της Φυσικής.

    Τα όργανα που θα χρησιμοποιήσεις στο πείραμα είναι: τράπεζα κίνησης, αμαξίδια, αισθητήρας κίνησης, λογισμικό καταγραφής δεδομένων Data Studio

  • Πιθανά οφέλη:
    • Να μάθεις να κατασκευάζεις γραφικές παραστάσεις.
    • Να συνειδητοποιήσεις τι πληροφορίες μπορείς να πάρεις και τι συμπεράσματα μπορείς να βγάλεις από τις γραφικές παραστάσεις.
    • Να εκτιμήσεις την επιτάχυνση της βαρύτητας στο σημείο που βρίσκεσαι.

  • Προαπαιτούμενη γνώση:
    • νόμοι της ευθύγραμμης ομαλά επιταχυνόμενης κίνησης,
    • Δυναμική Υλικού Σημείου,
    • καταγραφή δεδομένων με το Data Studio,
    • κατασκευή γραφικών παραστάσεων.

ΘΕΩΡΙΑ

Ένα σώμα μάζας m κινείται πάνω σε κεκλιμένο επίπεδο που σχηματίζει γωνία θ με το οριζόντιο επίπεδο (Εικόνα 3.1). Αν αγνοήσουμε τις τριβές (που θεωρούμε αμελητές στο σημερινό μας πείραμα), τότε οι δυνάμεις που ασκούνται επάνω του οποιαδήποτε στιγμή είναι το βάρος του \(\overrightarrow{B}=m\cdot\overrightarrow{g}\) και η αντίδραση από το επίπεδο προς το σώμα \(\overrightarrow{Ν}\). Η κίνηση του σώματος γίνεται με επιτάχυνση \(\overrightarrow{a}\), που δίδεται από το θεμελιώδη νόμο της μηχανικής: \(\overrightarrow{\Sigma F}=m\cdot\overrightarrow{a}\)

Αναλύουμε το βάρος σε δύο συνιστώσες:
  • μια κάθετη στο κεκλιμένο επίπεδο: Βy = Β∙cos(θ) = mg∙cos(θ)
  • μια παράλληλη σε αυτό: Βx = Β∙sin(θ) = mg∙sin(θ)
Στη συνέχεια, εφαρμόζοντας το θεμελιώδη νόμο της Μηχανικής για δύο άξονες, έναν παράλληλο και έναν κάθετο στο κεκλιμένο επίπεδο, έχουμε:
  • Βy = N
  • Bx = m∙α ⇒α = g∙sin(θ) όπου: sin(θ)= −− h L
(3.1)

Η συνιστώσα Βx είναι σταθερή. Άρα, η επιτάχυνση α του σώματος είναι και αυτή σταθερή. Επομένως, το σώμα εκτελεί ευθύγραμμη ομαλά επιταχυνόμενη κίνηση κατά μήκος του κεκλιμένου επιπέδου.
Εικόνα 3.1 Κεκλιμένο επίπεδο.

Θυμίζουμε τις γνωστές σχέσεις (Young, 1994) που δίνουν τη στιγμιαία θέση x και τη στιγμιαία ταχύτητα u ενός σώματος στην ευθύγραμμη ομαλά επιταχυνόμενη κίνηση μια χρονική στιγμή t: \[u=u_{0}+at\]
(3.2)
\[x=u_{0}t+\frac{1}{2}at^2\]
(3.3)
όπου u0 είναι η αρχική ταχύτητα του κινητού τη χρονική στιγμή t = 0. Επομένως, η γραφική παράσταση ταχύτητας – χρόνου είναι μια ευθεία γραμμή, ενώ εκείνη της απόστασης – χρόνου είναι μια παραβολή.

Στιγμιαία ταχύτητα
Για ένα υλικό σημείο η στιγμιαία ταχύτητα ορίζεται ως ένα φυσικό διανυσματικό μέγεθος το οποίο:
▸ Έχει σημείο εφαρμογής το σημείο αυτό

▸ Είναι εφαπτόμενο της τροχιάς στο ίδιο σημείο

▸ Έχει φορά που συμπίπτει με τη φορά της κίνησης

▸ Έχει μέτρο:
\[u=\lim_{\Delta t\rightarrow 0}\frac{\Delta x}{\Delta t}\]
(3.4)
Σχόλιο:
Ο τύπος (3.4) περιέχει τη μαθηματική έννοια του ορίου με παρονομαστή που πάει να γίνει μηδέν, κάτι που έχει προβληματίσει πολύ κόσμο.
Απορία: Αφού η ταχύτητα είναι στιγμιαία, δηλαδή αναφέρεται στη συγκεκριμένη στιγμή t1, τι είναι η διάρκεια Δt;
Απάντηση: Ο Μαθηματικός λέει ότι το Δt τείνει στο μηδέν. Εμείς αυτό το εννοούμε ως εξής:

Το χρονικό διάστημα Δt μπορεί να είναι τόσο μικρό, όσο μας επιτρέπουν τα όργανα παρατήρησης δύο διακριτών διαδοχικών θέσεων του κινητού.

Σ Υ Μ Π Ε Ρ Α Σ Μ Α :
Για να ικανοποιήσουμε τον ορισμό του ορίου στον τύπο (3.4), πρέπει να έχουμε ένα γρήγορο καταγραφικό σύστημα διαδοχικών θέσεων του κινητού σε γνωστά χρονικά διαστήματα. Έναν τέτοιο μηχανισμό διαθέτει και το σημερινό μας πείραμα. Ονομάζεται αισθητήρας κίνησης και θα τον περιγράψουμε στη συνέχεια.


ΠΕΙΡΑΜΑΤΙΚΟ ΜΕΡΟΣ

Σύντομη περιγραφή της διάταξης του πειράματος

Η διάταξη του πειράματος (Εικόνα 3.2) περιλαμβάνει έναν αλουμινένιο διάδρομο κίνησης τον οποίο έχουμε ανασηκώσει από την μια του άκρη, σε τυχαίο ύψος, στηρίζοντάς τον πάνω σε κατακόρυφο άξονα ο οποίος με την σειρά του προσδένεται σε μεταλλική ακλόνητη βάση. Με αυτόν τον τρόπο, ο διάδρομος αποτελεί ένα ακίνητο κεκλιμένο επίπεδο.
Το αμαξίδιο μπορεί να κινείται στο διάδρομο με πολύ μικρές απώλειες κινητικής ενέργειας από τριβές, εξαιτίας:
  1. της μικρής επιφάνειας επαφής των άκαμπτων τροχών του με τον διάδρομο και
  2. της στήριξης του άξονα των τροχών σε σφαιρίδια με πολύ μικρή τριβή κύλισης (ρουλεμάν).
Ο αισθητήρας κίνησης είναι τοποθετημένος στο ανυψωμένο άκρο του διαδρόμου κίνησης. Δουλεύει ως εξής:
  • Στέλνει περιοδικά υπερηχητικούς παλμούς προς το κινητό.
  • Οι παλμοί ανακλώνται στην επιφάνεια του κινητού και επιστρέφουν στον αισθητήρα ο οποίος τους ανιχνεύει.
  • Υπολογίζει, έτσι, το μέτρο της ταχύτητας και την θέση του κινητού σε συνάρτηση με το χρόνο.

Εικόνα 3.2 Πειραματική διάταξη της άσκησης 3.

Εικόνα 3.3Οθόνη του Data Studio

Βήματα

  1. Για να εμφανιστεί το κατάλληλο πρόγραμμα στην οθόνη του Η/Υ, ανοίγεις από την επιφάνεια εργασίας το φάκελο MAGOS.

  2. Επιλέγεις το πρόγραμμα MAGOS που έχει τον ίδιο αριθμό με την άσκηση που θα κάνεις.

  3. Τοποθετείς το αμαξίδιο έτσι, ώστε το μέσον του να βρίσκεται σε απόσταση περίπου 20 cm από τον αισθητήρα κίνησης.

  4. Αφήνεις το αμαξίδιο ελεύθερο και αμέσως πατάς το κουμπί Start στο Data Studio, οπότε αρχίζει η καταγραφή των δεδομένων απόστασης – ταχύτητας. Τη στιγμή που ξεκινά η καταγραφή, το αμαξίδιο έχει μη μηδενική ταχύτητα, οπότε η κίνηση που καταγράφεται είναι ευθύγραμμη ομαλά επιταχυνόμενη με αρχική ταχύτητα.

  5. Λίγο πριν το αμαξίδιο φτάσει στη βάση του κεκλιμένου επιπέδου, πατάς το κουμπί Stop, για να σταματήσει η καταγραφή. Η οθόνη του υπολογιστή σου πρέπει να έχει διαμορφωθεί όπως στην Εικόνα 3.3. Βλέπεις τη γραφική παράσταση ταχύτητας – χρόνου (velocity – time) και τον πίνακα μετρήσεων απόστασης – χρόνου (position – time).

Βίντεο: Πειραματική διάταξη


Βίντεο 3.1 Πείραμα της άσκησης 3.


ΦΥΛΛΟ ΕΡΓΑΣΙΑΣ

Θα γράψεις τα παρακάτω στο τετράδιο του εργαστηρίου πριν το πείραμα.

  • Τίτλος Άσκησης:
  • Όνομα:
  • Ημερομηνία:
  • Σκοπός:

Παρατήρηση: Εκτός από το τελικό αποτέλεσμα, να φαίνονται οι αντικαταστάσεις με τις μονάδες τους.

Πειραματικό μέρος Α΄: Υπολογισμός μέτρου της ταχύτητας, με δύο τρόπους

Από τον πίνακα μετρήσεων της οθόνης παίρνεις 9 ζεύγη τιμών ανά Δt=0,1 s (π.χ. 0,1 s, 0,2 s, 0,3 s κ.ο.κ) και τα καταχωρείς στον Πίνακα 3.1.

Α/Α 1 2 3 4 5 6 7 8 9
t(s)                  
x(m)                  

Πίνακας 3.1 Μετρήσεις απόστασης – χρόνου

1ος τρόπος
Για μια τυχαία κουκκίδα (π.χ. την 6η ) καταγράφεις τις θέσεις και τους χρόνους του κινητού, λίγο πριν και λίγο μετά.
Για την 6η κουκκίδα:
\[x_{5}=....m \quad x_{7}=....m\] \[t_{5}=....s \quad t_{7}=....s\] Εκτιμάς το μέτρο της στιγμιαίας ταχύτητας από τη σχέση: \[u_{6}=\frac{x_{7}-x_{5}}{t_{7}-t_{5}}=......m/s\]
(3.5)

2ος τρόπος
  1. Με βάση τα δεδομένα του Πίνακα 3.1. κατασκευάζεις την γραφική παράσταση διαστήματος – χρόνου με το πρόγραμμα Excel του υπολογιστή.

  2. Γράφεις στο τετράδιο την εξίσωση της παραβολής που μας δίνει ο υπολογιστής.
    Εξίσωση παραβολής:…………………………….

  3. Παραγωγίζεις την εξίσωση και θέτεις στη θέση της μεταβλητής x την τιμή του χρόνου (π.χ. της 6ης κουκκίδας).
    Η τιμή αυτή της παραγώγου ισούται με την κλίση της παραβολής στο συγκεκριμένο σημείο, και εκφράζει το μέτρο της ταχύτητας τη στιγμή εκείνη.

    uκ = κλίση =………m/s

    Έχεις τώρα δύο τιμές για το μέτρο της ταχύτητας: μια από την τιμή της παραγώγου uκ, και μια από τις τιμές του πίνακα στην ίδια χρονική στιγμή u6.

  4. Υπολογίζεις τη διαφορά επί τοις % ανάμεσα στις στιγμιαίες ταχύτητες που βρήκες με τις δύο παραπάνω μεθόδους για το ίδιο χρονικό σημείο: \[X\%=\frac{{|}u_{\kappa }-u_{6}|}{u_6 }\cdot100=......\%\]
    5. (3.6)


Πειραματικό μέρος Β΄: Υπολογισμός επιτάχυνσης

  1. Στη γραφική παράσταση ταχύτητας – χρόνου, με το αριστερό κουμπί του ποντικιού πατημένο, επιλέγεις (κιτρινίζεις) ένα τμήμα της ευθείας όπου, κατά τη γνώμη σου, η κίνηση είναι ομαλά επιταχυνόμενη (όπως φαίνεται στο Εικόνα 3.3.).

  2. Πατάς το κουμπί Fit και επιλέγεις το Linear, ώστε το λογισμικό να σχεδιάσει την καλύτερη πειραματική ευθεία για τα σημεία που επέλεξες.

  3. Διαβάζεις την ένδειξη slope που εμφανίζεται σε καρτέλα στην δεξιά πλευρά του γραφήματος και η οποία ισούται με την κλίση της ευθείας (χωρίς το σφάλμα).

    Η κλίση (slope) αυτή είναι εξ’ ορισμού ίση με το μέτρο της επιτάχυνσης του αμαξιδίου.
    κλίση = α = …………m/s2

  4. Επιπλέον υπολογίζεις τη θεωρητική τιμή του μέτρου της επιτάχυνσης ως εξής:
    Μετράς το ύψος του ανασηκωμένου άκρου του κεκλιμένου επιπέδου h, όπως φαίνεται στην Εικόνα 3.1.

    h=......m

  5. Γνωρίζοντας ότι το μήκος του κεκλιμένου επιπέδου είναι L = 1,22 m, υπολογίζεις την αναμενόμενη θεωρητική τιμή του μέτρου της επιτάχυνσης: \[a_\theta =g\cdot \frac{h}{L}=.....m/s^{2}\]
    6. (3.7)

  6. Συγκρίνεις την μέση τιμή της επιτάχυνσης που βρήκες πειραματικά με την θεωρητική τιμή [που υπολόγισες από τον τύπο(3.7)], και βγάζεις την εκατοστιαία διαφορά: \[X_a=\frac{{|}a_{ }-a_{\theta }|}{a_\theta }\cdot100=......\%\]

Παρουσίαση της άσκησης 3
Βίντεο 3.2 Παρουσίαση της άσκησης 3.

pdf: Παρουσίαση της άσκησης 3

ΚΡΙΤΗΡΙΑ ΑΞΙΟΛΟΓΗΣΗΣ

    Κριτήριο Αξιολόγησης 1:
  1. Με τη βοήθεια της εικόνας να βρεις την επιτάχυνση του αμαξιδίου στο SI

    2. Απάντηση

    Η επιτάχυνση είναι ίση με την κλίση (slope). Όπως φαίνεται στην εικόνα η κλίση m (slope) είναι 0,320 στο SI (m/s2) αφού η ταχύτητα στον κατακόρυφο άξονα είναι στο SI (m/s) και ο χρόνος στον οριζόντιο άξονα στο SI (s).


  2. Εάν το ύψος του κεκλιμένου επιπέδου που σχηματίζει ο διάδρομος είναι 4,4 cm και το μήκος του 1,22 m υπολογίστε την επιτάχυνση του αμαξιδίου στο SI. (Δίνεται: g=9,81m/s2).

    3. Απάντηση

    Σύμφωνα με τον τύπο (3.7), έχω:


  3. Εάν η εξίσωση της γραφικής παράστασης διαστήματος - χρόνου είναι: 0,13x2+ 0,24x + 0,11 βρείτε την αριθμητική τιμή της ταχύτητας που έχει το αμαξίδιο τη χρονική στιγμή 0,4.

    4. Απάντηση

    Η ταχύτητα είναι η παράγωγος του διαστήματος ως προς το χρόνο.
    Παραγωγίζω την εξίσωση και βρίσκω την τιμή της παραγώγου για χρόνο 0,4
    (0,13x2 + 0,24x + 0,11)΄= 2∙0,13x + 0,24.
    Για x=0,4 έχω: 2∙0,13∙0,4 + 0,24=0,344


  4. Με τη βοήθεια των τιμών του πίνακα Time (Χρόνου) – Position (Θέσης) στην εικόνα, βρείτε στο SI την ταχύτητα που έχει το αμαξίδιο, όταν t=0,5 s.

    5. Απάντηση

    Σύμφωνα με τον τύπο (3.5) και τις τιμές του πίνακα έχω:


  5. Ποιες από τις παρακάτω προτάσεις είναι σωστές και ποιες λάθος
    1. Στην ευθύγραμμη ομαλά επιταχυνόμενη κίνηση η γραφική παράσταση ταχύτητας - χρόνου είναι παραβολή.
      2. Σωστό Λάθος επιλογή. Είναι ευθεία. Λάθος Σωστή επιλογή. Είναι ευθεία.
    2. Για να αλλάξω την κλίμακα των αξόνων της γραφικής παράστασης κρατώ πατημένο το αριστερό πλήκτρο του ποντικιού πάνω σε κάποιο αριθμό του άξονα και σέρνω το ποντίκι.
      3. Σωστό Σωστή επιλογή. Λάθος Λάθος επιλογή.
    3. Μονάδα δύναμης στο SI είναι το 1Ν (Νιούτον).
      4. Σωστό Σωστή επιλογή. Λάθος Λάθος επιλογή.

Βιβλιογραφία:
  • Young, H. D. (1994). Πανεπιστημιακή Φυσική τόμ.Ι. (παράγραφοι 3.1, 3.2, 3.3, σ. 59-69). Αθήνα: Παπαζήση.