Κεφάλαιο 1
Καμπύλες στο επίπεδο και στον χώρο

Σύνοψη
Μελετάμε ιδιότητες παραμετρημένων καμπυλών στο επίπεδο και στον χώρο. Το συνοδεύον τρίεδρο του Frenet είναι μια ορθοκανονική βάση του ℝ³ προσαρτημένη σε κάθε σημείο μιας καμπύλης στον χώρο, μέσω της οποίας πραγματοποιείται η μελέτη της. Η βασική αναλλοίωτη ποσότητα μιας επίπεδης καμπύλης είναι η καμπυλότητά της. Μια καμπύλη στον χώρο έχει δύο αναλλοίωτες ποσότητες, την καμπυλότητα και τη στρέψη της. Οι συναρτήσεις αυτές καθορίζουν πλήρως τη θέση μιας καμπύλης ως προς μια στερεά κίνηση. Για περισσότερες πληροφορίες προτείνουμε τα βιβλία [1], [2], [3], [4], [5], [6], [7].

Προαπαιτούμενη γνώση
Αναλυτική Γεωμετρία, Απειροστικός Λογισμός, Εισαγωγή στη Γραμμική ΄Αλγεβρα.

1.1 Καμπύλες στο επίπεδο ℝ²

Θεωρούμε τον n-διάστατο πραγματικό χώρο ℝⁿ = {(x₁,…,x_n) : x_i ∈ ℝ} εφοδιασμένον με το συνηθισμένο Ευκλείδειο εσωτερικό γινόμενο ⟨⋅,⋅⟩ : ℝⁿ × ℝⁿ → ℝ₀⁺

⟨x,y⟩ = x1y1 + ⋅⋅⋅+ xnyn.

Αυτό ορίζει τη νόρμα (μέτρο) ∥⋅∥ : ℝⁿ → ℝ₀⁺ στον ℝⁿ, με τιμή

∘ -2---------- ∥x∥ = x1 + ⋅⋅⋅+ x2n.

Αναφέρουμε στη συνέχεια κάποιες ιδιότητες του εσωτερικού γινομένου:

(1) ⟨x,y⟩ = ⟨y,x⟩
(2) ⟨x + z,y⟩ = ⟨x,y⟩ + ⟨z,y⟩
(3) ⟨λx,y⟩ = λ⟨x,y⟩ για κάθε λ ∈ ℝ.

Για δύο συναρτήσεις γ,β : I → ℝⁿ, ορίζουμε τη συνάρτηση: f : I → ℝⁿ,f(t) = ⟨γ(t),β(t)⟩. Τότε προκύπτει εύκολα ο παρακάτω κανόνας παραγώγισης:

df d dγ (t) dβ(t) -- = --(⟨γ(t),β (t)⟩) = ⟨----,β(t)⟩+ ⟨γ(t),-----⟩. dt dt dt dt

Ορισμός 1.1: Μια παραμετρημένη καμπύλη (parametrized curve) στον ℝⁿ είναι μια διαφορίσιμη (λεία) απεικόνιση γ : I → ℝⁿ, όπου I οποιοδήποτε ανοικτό διάστημα της πραγματικής ευθείας ℝ. Η εικόνα γ(I) ⊂ ℝⁿ της απεικόνισης γ ονομάζεται ίχνος ή τροχιά της καμπύλης.

Παρατηρήσεις.
1. Πολλές φορές χρησιμοποιούμε τον όρο "καμπύλη" τόσο για την απεικόνιση γ : I → ℝⁿ όσο και για το ίχνος της.
2. Λέμε ότι η καμπύλη γ : I → ℝⁿ αποτελεί μια παραμέτρηση (parametrization) του ίχνους γ(I).
3. Επειδή γ(t) ∈ ℝⁿ, θα είναι γ(t) = (γ₁(t),…,γ_n(t)), όπου γ_i : I → ℝ είναι διαφορίσιμες συναρτήσεις.

Ορισμός 1.2:

Το εφαπτόμενο διάνυσμα (tangent vector) της καμπύλης γ : I → ℝⁿ στο σημείο γ(t) είναι η παράγωγος γ′(t).
Το μήκος τόξου (arclength) της καμπύλης γ ορίζεται ως $∫ ′ L (γ ) = ∥γ(t)∥dt ≤ ∞. I$
Μια καμπύλη ονομάζεται κανονική (ή ομαλή)(regular) εάν γ′(t)≠0 για κάθε t ∈ I.

Σχήμα 1.1: Κανονικές και μη κανονικές καμπύλες.

Από εδώ και στο εξής, όταν γράφουμε ῾῾καμπύλη᾿᾿, θα εννοούμε ῾῾κανονική καμπύλη᾿᾿.

Παραδείγματα.
1. ΄Εστω p≠q δύο σημεία του ℝ². Η απεικόνιση γ : ℝ → ℝ², γ(t) = (1 - t)p + tq αποτελεί μια παραμέτρηση της ευθείας που διέρχεται απο τα σημεία p = γ(0) και q = γ(1).

2. Η εικόνα της καμπύλης γ : I → ℝ² με γ′(t)≠0, για κάθε t ∈ I, περιέχεται σε κύκλο με κέντρο το (0,0) αν και μόνο αν το διάνυσμα γ(t) είναι κάθετο στο γ′(t) για κάθε t ∈ I.

Πράγματι, η γ(I) περιέχεται σε κύκλο με κέντρο το (0,0) αν και μόνο αν η συνάρτηση f(t) = ⟨γ(t),γ(t)⟩ = ∥γ(t)∥² είναι σταθερή. Αυτό ισχύει αν και μόνο αν f′(t) = 0 για κάθε t ∈ I. Αλλά f′(t) = 0 αν και μόνο αν ⟨γ′(t),γ(t)⟩ = 0 το οποίο ισοδυναμεί με το ότι γ′(t) ⊥ γ(t).

3. Η απεικόνιση γ : ℝ → ℝ², γ(t) = (t,|t|) δεν είναι μια παραμετρημένη καμπύλη στο ℝ². (Σχήμα 1.1)

Σχήμα 1.2: Η καμπύλη γ(t) = (t, |t|

4. Η απεικόνιση γ : ℝ → ℝ², γ(t) = (t³ - 4t,t² - 4) ορίζει μια λεία καμπύλη στο επίπεδο. Η απεικόνιση αυτή δεν είναι 1-1 (γ(2) = γ(-2) = 0), αλλά αυτό δεν μας δημιουργεί πρόβλημα. (Σχήμα 1.2)

Σχήμα 1.3: Η καμπύλη γ(t) = (t³ - 4t,t² - 4).

5. Η καμπύλη γ : ℝ → ℝ², γ(t) = (t³,t²) δεν είναι κανονική, επειδή γ′(0) = (0,0).

6. ΄Εστω p ∈ ℝ² και r > 0. Τότε η απεικόνιση γ : ℝ → ℝ², γ(t) = p + r(cost,sint) αποτελεί μια παραμέτρηση του κύκλου με κέντρο το σημείο p και ακτίνα r. Το μήκος της γ στο διάστημα [0,2π) είναι

∫ 2π ∫ 2π L(γ|[0,2π)) = ∥γ′(t)∥dt = r dt = 2πr. 0 0

7. Οι απεικονίσεις γ₁,γ₂ : ℝ → ℝ², γ₁(t) = (cost,sint), γ₂(t) = (cos(2t),sin(2t)), αποτελούν δύο παραμετρήσεις του κύκλου με κέντρο (0,0) και ακτίνα 1, αλλά το διάνυσμα ταχύτητας της γ₂ έχει διπλάσιο μέτρο από αυτό της γ₁.

Σχήμα 1.4: Διαφορετικές παραμετρήσεις κύκλου με διπλάσια ταχύτητα.

1.1.1 Εφαπτομένη καμπύλης

Λέγοντας εφαπτομένη μιας καμπύλης γ στο σημείο γ(t₀) αυτής, εννοούμε την ευθεία που διέρχεται από το σημείο γ(t₀) και είναι παράλληλη προς το διάνυσμα γ′(t₀). Αυτή δίνεται από τη διανυσματική παραμετρική εξίσωση

′ ϵ(λ) = γ(t0)+ λγ (t0), λ ∈ ℝ.

(1.1)

Είναι φανερό πως με λ = 0 έχουμε ϵ(0) = γ(t₀). Ας υποθέσουμε τώρα ότι ϵ(λ) = (x₁(λ),x₂(λ),x₃(λ)), γ(t₀) = (x₁(t₀),x₂(t₀),x₃(t₀)) και γ′(t₀) = (x₁′(t₀),x₂′(t₀),x₃′(t₀)). Τότε από την (1.1) προκύπτουν εύκολα οι ακόλουθες παραμετρικές εξισώσεις της εφαπτομένης:

x (λ) = x (t )+ λx′(t ) 1 1 0 1 0 x2(λ) = x2(t0)+ λx′2(t0) ′ x3(λ) = x3(t0)+ λx3(t0). (1.2)

Αν τώρα μεταξύ των (1.2) απαλείψουμε την παράμετρο λ, τότε προκύπτουν οι χωρίς παράμετρο εξισώσεις της εφαπτομένης της καμπύλης. Πράγματι, έχουμε εύκολα:

x1 --x1-(t0)-= x2---x2(t0)-= x3---x3(t0). x′1(t0) x ′2(t0) x′3(t0)

Από τη γραφή αυτή της εφαπτομένης φαίνεται αμέσως ότι η εφαπτομένη περνάει από το σημείο γ(t₀) = (x₁(t₀),x₂(t₀),x₃(t₀)) και είναι παράλληλη προς το διάνυσμα γ′(t₀) = (x₁′(t₀),x₂′(t₀),x₃′(t₀)).

Παράδειγμα 1.1: Θα προσδιορίσουμε την εφαπτόμενη της κυκλικής έλικας

γ(t) = (α cost,α sin t,βt), α,β ∈ ℝ \ {0},t ∈ ℝ

στο σημείο t₀ = π∕4.

Είναι γ′(t) = (-α sint,α cost,β), οπότε γ′(π∕4) = (-α √ --
2 ∕2,,α∕2,β). Αλλά είναι και γ(π∕4) = (α∕2,α √--
2 ∕2,βπ∕4). Η εξίσωση λοιπόν (1.1) της εφαπτομένης της καμπύλης γίνεται:

√ -- √ -- --2 --2 ϵ(λ) = (α 2 (1- λ ),α 2 (1+ λ ),β (π ∕4+ λ)).

Οι παραμετρικές εξισώσεις της εφαπτομένης είναι:

√2- x1(λ) = α ---(1 - λ) 2√-- x (λ) = α -2-(1 + λ) 2 2 x3(λ) = β(π∕4 + λ),

όπου λ η παράμετρος. Οι χωρίς παράμετρο εξισώσεις, της εφαπτομένης της καμπύλης στο σημείο t₀ = π∕4 είναι

x1 - α√2-∕2 x2 - α√2-∕2 x3 - βπ ∕4 -----√----- = ----√------ = ---------. - α 2∕2 α 2∕2 β

Ορισμός 1.3: ΄Εστω γ : I → ℝⁿ και : J → ℝⁿ δύο λείες καμπύλες. Θα λέμε ότι η καμπύλη αποτελεί μια αναπαραμέτρηση (reparametrization) της γ, εάν υπάρχει μια αμφιδιαφόριση h : J → I, τέτοια ώστε = γ ∘ h.

Στον παραπάνω ορισμό η έκφραση ῾῾ η h είναι αμφιδιαφόριση᾿᾿ σημαίνει ότι η απεικόνιση h είναι διαφορίσιμη, 1-1, επί, καθώς και η αντίστροφή της είναι διαφορίσιμη.

Είναι προφανές ότι κάθε αναπαραμέτρηση μιας καμπύλης γ έχει την ίδια εικόνα με αυτήν. ΄Ετσι στο Παράδειγμα 7 η καμπύλη γ₂ αποτελεί μια αναπαραμέτρηση της γ₁, διότι γ₂(t) = (γ₁ ∘ h)(t), όπου h : ℝ → ℝ είναι η αμφιδιαφόριση με τιμή h(t) = 2t. Επίσης, αν η καμπύλη γ είναι κανονική τότε και η αναπαραμέτρησή της θα είναι κανονική. Στη συνέχεια, θα αποδείξουμε ότι το μήκος τόξου μιας καμπύλης είναι ανεξάρτητο από την αναπαραμέτρηση αυτής.

Πρόταση 1.1: ΄Εστω μια αναπαραμέτρηση της γ. Τότε L() = L(γ).

Απόδειξη. ΄Εστω γ : [a,b] → ℝ³ και : [a′,b′] → ℝ³ μια αναπαραμέτρηση της γ με = γ ∘ h, όπου h : [a′,b′] → [a,b] μια αμφιδιαφόριση. ΄Εχουμε

∫ b′ ′ ∫ b′ ′ ∫ b′ ′ | ′ | L(˜γ) = ∥˜γ (s)∥ds = ∥(γ ∘h )(s)∥ds = ∥γ (h(s))∥ |h (s)|ds. a′ a′ a′

Για h′ > 0, δηλαδή όταν η απεικόνιση h είναι γνησίως αύξουσα, έχουμε

∫ b′ ∫ h(b′) ∫ b L(˜γ) = ∥γ′(h (s))∥h′(s)ds = ∥γ′(h(s))∥dh (s) = ∥γ ′(t)∥dt = L (γ ). a′ h(a′) a

Για h′ < 0, δηλαδή όταν η απεικόνιση h είναι γνησίως φθίνουσα τότε

∫ b′ ∫ h(b′) L (˜γ) = - ∥γ′(h (s))∥h′(s)ds = - ∥γ′(h(s))∥dh (s) a′ h(a′) ∫ a ′ = - ∥ γ(t)∥dt = L (γ). b

▄

΄Εστω γ : I → ℝⁿ μια κανονική καμπύλη, t₀ ∈ I. Για δοθέν t ∈ I θεωρούμε το μήκος τόξου

∫ t ′ s(t) = L (γ|(t0,t)) = ∥γ (u)∥du. (1) t0

Ας υποθέσουμε ότι έχουμε τη (βολική) περίπτωση, όπου η παράμετρος t της καμπύλης είναι η ίδια το μήκος τόξου από το σταθερό σημείο t₀, δηλαδή να ισχύει s(t) = t - t₀. Τότε λόγω της (1) προκύπτει ότι

ds 1 = ---= ∥γ′(t)∥, dt

δηλαδή το διάνυσμα της ταχύτητας της γ έχει μοναδιαίο μέτρο. Αντίστροφα, εάν υποθέσουμε ότι για μια καμπύλη γ : I → ℝⁿ ισχύει ∥γ′(t)∥ = 1, τότε πάλι λόγω της (1) έχουμε ότι s(t) = ∫ _t₀^t1du = t-t₀, δηλαδή η παράμετρος t είναι το μήκος της γ από κάποιο αρχικό σημείο t₀. Λόγω της ιδιαίτερης αυτής περίπτωσης οδηγούμαστε στον παρακάτω ορισμό.

Ορισμός 1.4: Μια λεία καμπύλη γ : I → ℝⁿ έχει παραμέτρηση ως προς το μήκος τόξου εάν ∥(s)∥ = 1, για κάθε s ∈ I.

Παρατηρήσεις.
1. ΄Οταν η γ έχει παραμέτρηση ως προς το μήκος τόξου, θα γράφουμε (s) αντί γ′(s). Στην περίπτωση αυτή θα συμβολίζουμε την παράμετρο της γ με s αντί με t.

2. Το μέτρο ∥γ′(t)∥ ονομάζεται ταχύτητα της γ, οπότε μια καμπύλη με παραμέτρηση ως προς το μήκος τόξου έχει μοναδιαία ταχύτητα.

3. Αν S^n-1 = {(x₁,…,x_n) ∈ ℝⁿ : x₁² + ⋅⋅⋅ + x_n² = 1} είναι η μοναδιαία σφαίρα στον ℝⁿ, τότε για μια καμπύλη γ αυτής με παραμέτρηση ως προς το μήκος τόξου οι εφαπτόμενες (s) είναι στοιχεία της S^n-1 (αντί απλώς του ℝⁿ).

Ισχύει η εξής πρόταση από τη διανυσματική ανάλυση:

Πρόταση 1.2: ΄Εστω f : I → ℝⁿ μια διανυσματική συνάρτηση τέτοια ώστε ∥f(t)∥ = c, σταθερό. Τότε ισχύει ⟨f′(t),f(t)⟩ = 0, δηλαδή είτε f′(t) = 0 είτε το διάνυσμα f′(t) είναι κάθετο στο f(t) για κάθε t ∈ I.

Απόδειξη. Επειδή ∥f(t)∥ = c προκύπτει ότι f(t)≠0, επίσης έχουμε:

∥f(t)∥ = c ⇔ ⟨f(t),f(t)⟩ = c και π αραγωγίζοντας και τα δύο μέλη, παίρνουμε ′ ′ ⟨f (t),f(t)⟩+ ⟨f (t),f (t)⟩ = 0 από (1.1) ⇔ 2⟨f′(t),f(t)⟩ = 0,

οπότε είτε f′(t) = 0 είτε το f′(t) είναι κάθετο στο f(t), για κάθε t ∈ I. ▄

Συμπέρασμα. Αν μια καμπύλη γ : I → ℝⁿ έχει παραμέτρηση ως προς το μήκος τόξου, τότε είτε (s) = 0 είτε το διάνυσμα (s) είναι κάθετο στο (s).

Το ενδιαφέρον είναι ότι κάθε κανονική καμπύλη επιδέχεται μια παραμέτρηση ως προς το μήκος τόξου.

Θεώρημα 1.1: ΄Εστω γ : (α,β) → ℝⁿ μια κανονική καμπύλη του ℝⁿ. Τότε το ίχνος γ((α,β)) της γ είναι δυνατόν να παραμετροποιηθεί ως προς το μήκος τόξου.

Απόδειξη. Ορίζουμε τη συνάρτηση μήκους τόξου σ : (a,b) → ℝ⁺, σ(t) = ∫ _a^t∥γ′(u)∥du. Τότε σ′(t) = ∥γ′(t)∥ > 0, δηλαδή η συνάρτηση σ είναι γνησίως αύξουσα και σ((a,b)) = (0,L(γ)). ΄Εστω τ : (0,L(γ)) → (a,b) η αντίστροφη συνάρτηση της σ, δηλαδή σ(τ(s)) = s για κάθε s ∈ (0,L(γ)). Παραγωγίζοντας την προηγούμενη σχέση, παίρνουμε:

-d(σ (τ(s))) = σ ′(τ(s))˙τ(s) = 1. ds

Ορίζουμε την καμπύλη α : (0,L(γ)) → ℝⁿ ως α = γ ∘ τ. Τότε από τον κανόνα της αλυσίδας είναι

(s) = γ′(τ(s))

(s), επομένως

∥˙α(s)∥ = ∥γ ′(τ(s))∥˙τ(s) = σ′(τ(s))τ˙(s) = 1.

Η συνάρτηση τ είναι 1-1, οπότε η α παραμετρικοποιεί τη γ((a,b)) ως προς το μήκος τόξου. ▄

Συμβολίζουμε με M_n×n(ℝ) το σύνολο όλων των πραγματικών n × n πινάκων.

Ορισμός 1.5: Μια απεικόνιση Φ : ℝⁿ → ℝⁿ ονομάζεται Ευκλείδεια (ή στερεά) κίνηση (rigit motion) εάν έχει τη μορφή

Φ(x) = Ax+b, όπουb ∈ ℝn καιA ∈ O (n ) = {X ∈ Mn ×n(ℝ) : XXt = In}.1 1Εδώ με In συμβολίζουμε τον n × n τα&#

Μια Ευκλείδεια κίνηση Φ διατηρεί τον προσανατολισμό εάν

A ∈ SO (n) = {X ∈ O (n) : detX = 1}.

Τα σύνολα O(n) και SO(n) έχουν δομή ομάδας και ονομάζονται ορθογώνια και ειδική ορθογώνια ομάδα αντίστοιχα.

΄Ασκηση. Γράψτε αναλυτικά τα στοιχεία των ομάδων O(2) και SO(2).

Περιοριζόμαστε τώρα σε καμπύλες του επιπέδου ℝ². ΄Εστω γ : I → ℝ² μια κανονική καμπύλη me paramtrhsh wc proc to mkoc txou. Ορίζουμε το εφαπτόμενο διάνυσμα κατά μήκος της γ ως

T : I → ℝ2, T (s) = ˙γ(s)

και το κάθετο διάνυσμα κατά μήκος της γ ως

N : I → ℝ2, N (s) = R ∘ T(s),

όπου R : ℝ² → S² η (γραμμική) απεικόνιση στροφής κατά γωνία π
2

που δίνεται ως

( ) ( ) ( ) ( ) α 0 - 1 α α R = , ∈ ℝ2. β 1 0 β β

Αποδεικνύεται εύκολα ότι για κάθε s ∈ I το σύνολο {T(s),N(s)} αποτελεί μια ορθοκανονική βάση του ℝ², η οποία ονομάζεται πλαίσιο του Frenet κατά μήκος της καμπύλης γ.

Σχήμα 1.5: Πλαίσιο Frenet.

Θα ορίσουμε τώρα ένα σημαντικό μέτρο της κύρτωσης μιας επίπεδης καμπύλης.

Ορισμός 1.6: ΄Εστω γ : I → ℝ² μια κανονική καμπύλη με παραμέτρηση ως προς το μήκος τόξου. Καμπυλότητα (curvature) της γ λέγεται η συνάρτηση κ : I → ℝ₀⁺, με τιμή

κ (s) = ⟨ ˙T(s),N (s)⟩ = ⟨?γ(s),N (s)⟩.

Παρατηρήσεις.
1. Η καμπυλότητα, όπως ορίστηκε παραπάνω, αποτελεί ένα μέτρο του πόσο γρήγορα το μοναδιαίο εφαπτόμενο διάνυσμα T(s) = (s) στρέφεται προς τη διεύθυνση του κάθετου διανύσματος N(s) ή ισοδύναμα απομακρύνεται από τον φορέα του T(s).

2. Για κ(s)≠0 η ακτίνα καμπυλότητας της γ στο σημείο γ(s) ορίζεται ως

--1- ρ(s) = κ (s).

Θεώρημα 1.2: ΄Εστω γ : I → ℝ² καμπύλη με παραμέτρηση ως προς το μήκος τόξου. Τότε το πλαίσιο Frenet ικανοποιεί το παρακάτω σύστημα συνήθων διαφορικών εξισώσεων.

( ) ( ) ( ) T˙(s) 0 κ (s) T (s) ˙ = . (1.3) N (s) - κ (s) 0 N (s)

Απόδειξη. Η καμπύλη γ έχει παράμετρο το μήκος τόξου της, οπότε τα διανύσματα T(s) και N(s) ορίζουν μια ορθοκανονική βάση του ℝ². Συνεπώς ⟨T(s),N(s)⟩ = 0, επομένως θα έχουμε

d-- ˙ ˙ 0 = ds⟨T(s),N (s)⟩ = ⟨T(s),N (s)⟩+ ⟨T (s),N (s)⟩.

Επειδή ⟨Ṫ(s),N(s)⟩ = κ(s) θα είναι ⟨T(s),Ṅ(s)⟩ = -⟨Ṫ(s),N(s)⟩ = -κ(s), δηλαδή

˙ ˙ T (s) = ⟨T(s),N (s)⟩N (s) = κ(s)N (s).

και

N˙(s) = ⟨N˙(s),T (s)⟩T (s) = - κ(s)T(s)

▄

Θεώρημα 1.3: ΄Εστω γ : I → ℝ² μια καμπύλη με παραμέτρηση ως προς το μήκος τόξου. Τότε η καμπυλότητα κ : I → ℝ είναι ταυτοτικά μηδέν εάν και μόνο εάν το ίχνος γ(I) της καμπύλης είναι τμήμα ευθείας (ή και ολόκληρη ευθεία).

Απόδειξη. ΄Εστω κ(s) = 0 για κάθε s, δηλαδή ⟨Ṫ(s),N(s)⟩ = 0. Τότε, επειδή N(s)≠ ⃗
0 , θα έχουμε ότι Ṫ(s) = ⃗
0 για κάθε s ∈ I. Ολοκληρώνοντας παίρνουμε T(s) = c₁ ή γ′(s) = c₁, όπου το c₁ είναι ένα τυχαίο διάνυσμα του ℝ². Αν ολοκληρώσουμε την τελευταία εξίσωση θα έχουμε

γ(s) = c1s+ c2, όπου c2 τυχαίο διάνυσμα του ℝ2. (1.4)

Η εξίσωση (1.4) παριστάνει μια ευθεία γραμμή. Αντίστροφα, αν η καμπύλη δίνεται απο την (1.4), τότε εύκολα προκύπτει ότι κ(s) = 0, για κάθε s ∈ I. ▄

Κάθε επίπεδη καμπύλη καθορίζεται πλήρως (μη λαμβάνοντας υπόψη προσανατολισμένες στερεές κινήσεις του επιπέδου) από την καμπυλότητά της, όπως αναφέρεται στο παρακάτω θεώρημα.

Θεώρημα 1.4: ΄Εστω κ : I → ℝ μια διαφορίσιμη απεικόνιση. Τότε υπάρχει μια κανονική καμπύλη γ : I → ℝ² με παραμέτρηση κατά μήκος τόξου, η οποία να έχει καμπυλότητα κ. Επιπλέον, εάν : I → ℝ² είναι μια άλλη τέτοια καμπύλη, τότε υπάρχει πίνακας A ∈ SO(2) και διάνυσμα b ∈ ℝ² τέτοια ώστε

γ (s) = A ˜γ(s)+ b.

Στη διαφορική γεωμετρία το ενδιαφέρον μας εστιάζεται σε εκείνες τις ιδιότητες γεωμετρικών αντικειμένων, οι οποίες δεν εξαρτώνται από την παραμέτρηση. Συνεπώς, η καμπυλότητα μιας καμπύλης δεν θα πρέπει να εξαρτάται από την επιλογή της παραμέτρησης.

Ορισμός 1.7: ΄Εστω γ : I → ℝ² μια κανονική καμπύλη (όχι απαραίτητα με παραμέτρηση κατά μήκος τόξου). ΄Εστω = γ ∘ h : J → ℝ² μια μοναδιαίας ταχύτητας αναπαραμέτρηση της γ για κάποια αμφιδιαφόριση h : J → I και έστω : J → ℝ η καμπυλότητα της . Για κάθε t ∈ I η καμπυλότητα της καμπύλης γ στο σημείο t είναι ο αριθμός

-1 κ(t) = ˜κ(h (t)).

Πρόταση 1.3: ΄Εστω γ : I → ℝ² μια κανονική καμπύλη. Τότε η καμπυλότητα δίνεται από τη σχέση

′ ′′ ( ) κ(t) = det(γ-(t),γ-(t)).2 2Για δύο διανύσματα α = (α1,α2), β = (β1,β2) συμβολίζουμε det&#x ∥γ′(t)∥3 β1 β2

Απόδειξη. ΄Εστω = γ ∘ h : J → ℝ² η αναπαραμέτρηση της γ μέσω του μήκους τόξου της, δηλαδή h = s^-1 και s η συνάρτηση μήκους τόξου. ΄Εστω , Ñ το πλαίσιο Frenet κατά μήκος της καμπύλης και η καμπυλότητα αυτής. Τότε γ = ∘ h^-1 ή ισοδύναμα γ = ∘ s, οπότε για κάθε t ∈ I, έχουμε:

γ′(t) = (˜γ ∘ s)′(t) = ˜γ˙(s(t))s′(t) = ˜T (s(t))s′(t), ′′ ˙ ′ 2 ′′ ′ 2 ′′ γ (t) = ˜T(s(t))s (t) + ˜T(s(t))s (t) = s (t) ˜κ(s(t))N˜(s(t))+ s (t)˜T(s(t)).

Παρατηρούμε ότι

|| s′(t) 0 || det(γ′(t),γ′′(t)) = || ||= ˜κ(s(t))s′(t)3, | s′′(t) κ˜(s(t))s′(t)2 |

δηλαδή

(s(t)) =

. ΄Ομως s(t) = ∫ _t₀^t∥γ′(u)∥du οπότε s′(t) = ∥γ′(t)∥. ΄Αρα

det(γ′(t),γ′′(t))- ˜κ (s(t)) = ∥γ′(t)∥3 .

Επομένως, απο τον Ορισμό 1.7, θα έχουμε

′ ′′ κ(t) = ˜κ(s(t)) = det(γ-(t),γ--(t)). ∥γ′(t)∥3

Ειδικότερα, αν γ(t) = (x(t),y(t)) τότε για κάθε t ∈ I θα έχουμε

| | || x′(t) y′(t) || ′ ′′ || x′′(t) y′′(t) || κ (t) = det(γ(t),γ-(t))-= -∘----------------. ∥γ′(t)∥3 ( x′(t)2 + y′(t)2)3

▄

Πόρισμα 1.1: ΄Εστω γ : I → ℝ² μια κανονική καμπύλη. Τότε το ίχνος γ(I) της γ είναι τμήμα ευθείας εάν και μόνο εάν τα διανύσματα γ′(t) και γ′′(t) είναι γραμμικώς εξαρτημένα για κάθε t ∈ I.

Μια ενδιαφέρουσα εφαρμογή της θεωρίας των επίπεδων καμπυλών αποτελεί η ισοπεριμετρική ανισότητα. Η ανισότητα αυτή απαντά στο εξής απλό πρόβλημα, το οποίο είχε διατυπωθεί στην αρχαιότητα και η λύση του ήταν γνωστή στους αρχαίους ΄Ελληνες: ῾῾ποιό είναι το σχήμα που πρέπει να λάβει ένα κλειστό σχοινί στο επίπεδο, ώστε το εμβαδό που περικλείει να είναι το μέγιστο δυνατό;᾿᾿. Η πρώτη αυστηρή απόδειξη της ισοπεριμετρικής ανισότητας δόθηκε τον 19^ο αιώνα. Αυτή έχει πολλές σύγχρονες διατυπώσεις και εξακολουθεί να ελκύει το ενδιαφέρον των μαθηματικών από διάφορες σκοπιές. Προκειμένου να τη διατυπώσουμε, χρειαζόμαστε τα εξής εισαγωγικά.

Ορισμός 1.8: Μια συνεχής απεικόνιση γ : ℝ → ℝ² αποτελεί παραμέτρηση μιας απλής κλειστής καμπύλης, εάν η γ είναι περιοδική με περίοδο L > 0 και ο περιορισμός γ|_[0,L) : ℝ → ℝ² είναι απεικόνιση 1-1. (Ισοδύναμα γ(t) = γ(t′) εάν και μόνο εάν t′- t = kL για k ∈ ℤ).

Σχήμα 1.6: Μορφές καμπυλών.

Το παρακάτω θεώρημα είναι απλό στη διατύπωσή του, αλλά δύσκολο στην απόδειξη.

Θεώρημα 1.5: (Κλειστής καμπύλης του Jordan)
΄Εστω ότι η συνεχής απεικόνιση γ : ℝ → ℝ² αποτελεί παραμέτρηση μιας απλής, κλειστής καμπύλης. Τότε το υποσύνολο ℝ² \ γ(ℝ) του επιπέδου αποτελείται ακριβώς από δύο συνεκτικές συνιστώσες.

Η μια συνιστώσα είναι φραγμένη και ονομάζεται εσωτερικό Int(γ) της γ και η άλλη δεν είναι φραγμένη και ονομάζεται εξωτερικό Ext(γ) της γ.

Ορισμός 1.9: Μια συνεχής απεικόνιση γ : ℝ → ℝ² η οποία αποτελεί παραμέτρηση μιας απλής κλειστής καμπύλης έχει θετικό προσανατολισμό, εάν το κάθετο διάνυσμα

( ) ′ 0 - 1 ′ N (t) = R ∘γ (t) = 1 0 γ (t)

έχει φορά προς το εσωτερικό Int(γ) της γ για κάθε t ∈ ℝ. Διαφορετικά, η γ έχει αρνητικό προσανατολισμό.

Σχήμα 1.7: Προσανατολισμός καμπυλών.

Θα χρειαστούμε το παρακάτω λήμμα, η απόδειξη του οποίου προκύπτει ως εφαρμογή του θεωρήματος Green από τη διανυσματική ανάλυση.

Λήμμα 1.1: ΄Εστω γ : ℝ → ℝ² μια κανονική θετικά προσανατολισμένη απεικόνιση η οποία παραμετρικοποιεί μια επίπεδη, απλή κλειστή καμπύλη. Αν A είναι το εμβαδόν του εσωτερικού Int(γ) της γ, τότε

1 ∫ ( ) A = -- x(t)y′(t) - y(t)x′(t) dt 2∫ γ(ℝ ) ∫ ′ ′ = γ(ℝ)x(t)y (t)dt = - γ(ℝ)x (t)y(t)dt.

Θεώρημα 1.6: (Ισοπεριμετρική Ανισότητα)
΄Εστω C μια κανονική, απλή και κλειστή καμπύλη του επιπέδου με μήκος L. ΄Εστω A το εμβαδό της περιοχής που περικλείεται από τη C. Τότε ισχύει η σχέση

4πA ≤ L2.

Η ισότητα ισχύει εάν και μόνο εάν η καμπύλη C είναι κύκλος.

Απόδειξη. ΄Εστω l₁ και l₂ δύο παράλληλες ευθείες οι οποίες εφάπτονται στην καμπύλη C, με τρόπο τέτοιο ώστε η C να βρίσκεται εντός τις λωρίδας που σχηματίζουν οι δύο ευθείες (βλ. Σχήμα 1.8).

Σχήμα 1.8: Ισοπεριμετρική ανισότητα.

Εισάγουμε ένα σύστημα συντεταγμένων στο επίπεδο τέτοιο ώστε οι l₁ και l₂ να είναι κάθετες στον άξονα των x και άρα να περιγράφονται ως εξής:

2 2 l1 = {(x,y) ∈ ℝ |x = - r} και l2 = {(x,y) ∈ ℝ |x = r},

όπου 2r είναι η απόσταση μεταξύ των l₁ και l₂. ΄Εστω γ = (x,y) : ℝ → ℝ² μια παραμέτρηση ως προς το μήκος τόξου της καμπύλης C κατά τη θετική φορά τέτοια ώστε x(0) = r και x(s₁) = -r για κάποιο s₁ ∈ (0,L).

Ορίζουμε την καμπύλη α : ℝ → ℝ² με τύπο α(s) = (x(s),ỹ(s)), όπου

( { ∘ -2----2--- ˜y(s) = + ∘ r----x-(s), αν s ∈ [0,s1) (- r2 - x2(s), αν s ∈ [s1,L).

Τότε η νέα αυτή καμπύλη παραμτρικοποιεί τον κύκλο με εξίσωση x² + y² = r².

Ως άμεση συνέπεια του Λήμματος 1.1 έχουμε ότι

∫ ∫ L ′ 2 L ′ A = x(s)y (s)ds και πr = - ˜y(s)x (s)ds. 0 0

Εφαρμόζοντας την ανισότητα Cauchy-Schwartz, παίρνουμε ότι

∫ L A + πr2 = (x(s)y ′(s)- ˜y(s)x′(s))ds 0 ∫ L ∘ ---------------------- ≤ (x(s)y ′(s)- ˜y(s)x′(s))2ds ∫0 ≤ L ∘ (x(s)2-+-˜y(s)2)-⋅(x′(s)2 +-y′(s)2)ds 0 ∫ L ∘ ------------ = x(s)2 + ˜y(s)2ds = Lr, 0

αφού -2x(s)x′(s)ỹ(s)y′(s) ≤ x(s)²x′(s) + ỹ(s)²y′(s)² και x′(s)² + y′(s)² = 1. Λόγω της ανισότητας 0 ≤ ( √ --
A

- r

)² = A - 2r √ --
A

+ πr² προκύπτει ότι

√--√ -- 2 r A π ≤ A-+-πr--≤ Lr, 2

δηλαδή ο γεωμετρικός μέσος των θετικών αριθμών A και πr² είναι μικρότερος του αριθμητικού μέσου αυτών. Συνεπώς 4Aπr² ≤ L²r² άρα τελικά

4πA ≤ L2.

Στην περίπτωση της ισότητας 4πA = L² προκύπτει ότι A = πr². Στην παραπάνω απόδειξη ο πραγματικός αριθμός r εξαρτάται από τη διεύθυνση των δύο παράλληλων ευθειών l₁ και l₂. Επειδή όμως το εμβαδό A είναι ανεξάρτητο από τη διεύθυνση των l₁,l₂, το ίδιο θα ισχύει και για το r. Συνεπώς, στην περίπτωση της ισότητας 4πA = L² η καμπύλη C είναι ένας κύκλος. ▄

1.2 Καμπύλες στον χώρο ℝ³

Θα μελετήσουμε τώρα καμπύλες γ : I → ℝ³ στον τρισδιάστατο χώρο ℝ³. Θα ορίσουμε την καμπυλότητα και τη στρέψη τέτοιων καμπυλών και θα δείξουμε ότι οι ποσότητες αυτές καθορίζουν τις καμπύλες αυτές ως προς τις στερεές κινήσεις του χώρου στον οποίο διατηρούν τον προσανατολισμό.

Θυμίζουμε το εξωτερικό και το μικτό γινόμενο στον χώρο ℝ³

1.2.1 Εξωτερικό και μικτό γινόμενο

Ορισμός 1.10: ΄Εστω u = (x₁,y₁,z₁),υ = (x₂,y₂,z₂) δύο διανύσματα του ℝ³. Το εξωτερικό γινόμενο του u με το υ είναι το διάνυσμα u×υ ∈ ℝ³ το οποίο είναι κάθετο στο επίπεδο που ορίζουν τα διανύσματα u και υ και δίνεται ως εξής:

| | || e1 e2 e3 || u × v = || x1 y1 z1 ||= (y1z2 - y2z1)e1 - (z1x2 - z2x1)e2 + (x1y2 - x2y1))e3 || || x2 y2 z2 = (y1z2 - y2z1,z1x2 - z2x1,x1y2 - x2y1),

όπου {e₁,e₂,e₃} είναι η κανονική βάση του ℝ³. Η φορά του διανύσματος u × υ είναι τέτοια ώστε τα διανύσματα u,υ,u × υ να αποτελούν δεξιόστροφο σύστημα.

Το μέτρο του εξωτερικού γινομένου δύο μη μηδενικών διανυσμάτων u,υ είναι ίσο με το εμβαδόν του παραλληλογράμμου που ορίζεται από τα διανύσματα αυτά.

Από τον ορισμό του εξωτερικού γινομένου, προκύπτουν εύκολα οι ακόλουθες ιδιότητες. Για κάθε u,υ,z ∈ ℝ³ έχουμε

(1) u × υ = -υ × u
(2) (au + bυ) × z = a(u × z) + b(υ × z) = (au) × z + (bυ) × z, a,b ∈ ℝ
(3) u × u = 0.

΄Εστω f,g : I ⊂ ℝ → ℝ³ δύο λείες καμπύλες. Τότε η απεικόνιση f × g : I ⊂ ℝ → ℝ³, t(f × g)(t) = f(t) × g(t) είναι λεία και ισχύει ο παρακάτω κανόνας παραγώγισης

d-(f × g)(t) = d-(f(t)× g(t)) = df(t)× g(t)+ f (t)× dg(t). dt dt dt dt

Ορισμός 1.11: ΄Εστω τρία διανύσματα u,υ,z του χώρου ℝ³. Ο πραγματικός αριθμός ⟨(u×υ),z⟩ ονομάζεται μικτό γινόμενο των διανυσμάτων u,υ,z και συμβολίζεται με [uυz], δηλαδή

⟨(u × v),z⟩ = [uvz].

Η απόλυτη τιμή του μικτού γινομένου τριών μη συνεπίπεδων διανυσμάτων είναι ίση με τον όγκο του παραλληλεπιπέδου, που ορίζεται από τα τρία διανύσματα.

Από τον ορισμό του μικτού γινομένου προκύπτουν εύκολα οι παρακάτω ιδιότητες. Για κάθε u,υ,z ∈ ℝ³:

(1) [uυz] = [υzu] = [zuυ],
(2) [uυz] = -[υuz] = -[uzυ] = -[zυu],
(3) [uυz] = 0 αν και μόνο αν τα διανύσματα u,υ,z είναι συνεπίπεδα.

Αρχίζουμε με μερικά παραδείγματα καμπυλών στον Ευκλείδειο χώρο ℝ³.

Παραδείγματα
1. ΄Εστω p≠q δύο σημεία στον ℝ³. Τότε η απεικόνιση γ : ℝ → ℝ³, με τιμή γ(t) = (1 - t)p + tq είναι μια παραμέτρηση της ευθείας που διέρχεται από τα σημεία p = γ(0) και q = γ(1).

2. ΄Εστω {Z,W} μια ορθοκανονική βάση ενός επιπέδου V του ℝ³, r > 0 και p ∈ V ⊂ ℝ³. Τότε η απεικόνιση γ : ℝ → ℝ³, γ(t) = p + r(cost)Z + (sint)W αποτελεί μια παραμέτρηση του κύκλου ο οποίος βρίσκεται στο (υπερ)επίπεδο p + V και έχει κέντρο το p και ακτίνα r.

3. ΄Εστω r,a,b > 0. Η απεικόνιση

γ : ℝ → ℝ3, γ(t) = (r cos(at),rsin (at),bt)

αποτελεί παραμέτρηση της έλικας. Επειδή γ₁(t)² + γ₂(t)² = x² + y² = r², η εικόνα γ(ℝ) της έλικας βρίσκεται επάνω στην επιφάνεια του κυλίνδρου

{(x,y,z) ∈ ℝ3 : x2 + y2 = r2}

ακτίνας r, γι΄ αυτό και η έλικα αυτή ονομάζεται κυκλική έλικα. Ο αριθμός 2πb ονομάζεται βήμα της έλικας (και αντιστοιχεί στην απόσταση επί του άξονα των z, όταν γίνει μια πλήρης διαγραφή της καμπύλης στο διάστημα [0,2π)).

Σχήμα 1.9: Η κυκλική έλικα.

Ορισμός 1.12:

΄Εστω γ : I → ℝ³ μια καμπύλη με παραμέτρηση ως προς το μήκος τόξου. Καμπυλότητα της γ λέγεται η συνάρτηση κ : I → ℝ₀⁺ με τιμή

κ(s) = ∥γ?(s)∥.

Θεώρημα 1.7: ΄Εστω γ : I → ℝ³ μια καμπύλη με παραμέτρηση ως προς το μήκος τόξου. Τότε η καμπυλότητα κ : I → ℝ₀⁺ της γ είναι ταυτοτικά μηδέν εάν και μόνο εάν το ίχνος γ(I) της καμπύλης είναι τμήμα ευθείας (ή ολόκληρη ευθεία).

Απόδειξη. (Σκιαγράφηση)
Η καμπυλότητα κ(s) = ∥(s)∥ είναι ταυτοτικά μηδέν εάν και μόνο εάν υπάρχει μοναδιαίο διάνυσμα Z ∈ S² και σημείο p ∈ ℝ³ τέτοια ώστε

γ(s) = p + sZ,

δηλαδή το ίχνος γ(I) είναι τμήμα ευθείας. Το αντίστροφο είναι άμεσο. ▄

Ορισμός 1.13: Μια καμπύλη γ : I → ℝ³ με παραμέτρηση ως προς το μήκος τόξου ονομάζεται καμπύλη Frenet (καμιά φορά και ομαλή ή κανονική) εάν η καμπυλότητα κ είναι παντού μη μηδενική, δηλαδή κ(s)≠0 για κάθε s ∈ I.

΄Εστω γ : I → ℝ³ μια καμπύλη Frenet. Ορίζουμε τις παρακάτω σημαντικές διανυσματικές συναρτήσεις.

Το εφαπτόμενο διάνυσμα (tangent vector) κατά μήκος της γ

3 T : I → ℝ , T(s) = ˙γ(s).

Το διάνυσμα της πρώτης (ή κύριας) καθέτου (principal normal vector) κατά μήκος της γ

3 -?γ(s)- ?γ(s) N : I → ℝ , N (s) = ∥?γ(s)∥ = κ(s).

Το διάνυσμα της δεύτερης καθέτου (binormal vector) κατά μήκος της γ

3 B : I → ℝ , B (s) = T (s)× N (s).

Για κάθε s ∈ I το σύνολο {T(s),N(s),B(s)} αποτελεί μια ορθοκανονική βάση του ℝ³ στο σημείο γ(s). Πράγματι, επειδή η γ : I → ℝ³ έχει παραμέτρηση κατά μήκος τόξου, είναι

0 = d-(⟨˙γ(s),γ˙(s)⟩) = 2⟨?γ(s),γ˙(s)⟩ = 2κ(s)⟨N (s),T(s)⟩. ds

Επομένως, προκύπτουν οι σχέσεις

T(s) = N (s) × B(s), N (s) = B (s)× T (s), B (s) = T (s)× N (s).

Η βάση αυτή ονομάζεται συνοδεύον τρίεδρο (ή πλαίσιο) του Frenet κατά μήκος της γ. Μέσω των παραπάνω διανυσμάτων ορίζουμε τρία χαρακτηριστικά επίπεδα, τα οποία συνοδεύουν την καμπύλη. Ειδικότερα, για κάθε σημείο s ∈ I τα διανύσματα της εφαπτομένης και της πρώτης καθέτου ορίζουν την εφαπτομένη και την πρώτη κάθετο, οι οποίες ορίζουν το εγγύτατο επίπεδο της καμπύλης. Η πρώτη και η δεύτερη κάθετος ορίζουν τις ευθείες πρώτης και δεύτερης καθέτου, οι οποίες ορίζουν το κάθετο επίπεδο της καμπύλης και τέλος η δεύτερη κάθετος με την εφαπτομένη ευθεία ορίζουν το ευθειοποιούν επίπεδο της καμπύλης.

Στη συνέχεια θα ορίσουμε ένα άλλο βασικό, για τη μελέτη μιας καμπύλης μέγεθος.

Ορισμός 1.14: ΄Εστω γ : I → ℝ³ μια καμπύλη Frenet. Ορίζουμε τη στρέψη (torsion) της γ ως τη συνάρτηση

˙ τ : I → ℝ, τ(s) = ⟨N (s),B (s)⟩.

Παρατήρηση.
Η στρέψη αποτελεί ένα μέτρο του κάτα πόσο γρήγορα η πρώτη κάθετος N(s) = ?γ(s)
------
∥?γ(s)∥ στρέφεται προς την διεύθυνση της δεύτερης καθέτου B(s) ή ισοδύναμα απομακρύνεται από το εγγύτατο επίπεδο.

Σχήμα 1.10: Πλαίσιο Frenet.

Πρόταση 1.4: ΄Εστω γ : I → ℝ³ καμπύλη Frenet. Τότε η στρέψη της γ δίνεται συναρτήσει των παραγώγων της από την σχέση

.γ.. τ(s) = [γ˙(s)?γ(s)--(s)]. κ(s)2

Απόδειξη. Η στρέψη της καμπύλης γ δίνεται από τον τύπο τ(s) = ⟨Ṅ(s),B(s)⟩, όπου

B(s) = T(s)× N (s) = ˙γ(s)× ?γ(s) = --1-γ˙(s) × ?γ(s). κ(s) κ (s)

Η παράγωγος του N(s) = ?γ(s)
κ(s)

θα μας δώσει:

..γ.(s)κ(s)- ?γ(s)˙κ(s) N˙(s) = ----------2-------. κ (s)

Επομένως, θα έχουμε

..γ.(s)κ(s)- ?γ(s)˙κ(s) 1 τ(s) = ⟨N˙(s),B (s)⟩ = ⟨----------2-------,----˙γ(s)× ?γ (s)⟩ κ(s) κ(s) = --1--(⟨.γ..(s),γ˙(s) × ?γ(s)⟩ - ⟨?γ(s)˙κ(s),-1--˙γ(s)× ?γ(s)⟩) κ (s)2 κ (s)2 κ(s) 1 ... κ˙(s) 1 = ----2[γ (s)γ˙(s)?γ(s)]- [----2?γ(s)----˙γ(s)?γ(s)] κ (s) ... κ(s) κ(s) = [˙γ(s)?γ(s)γ(s)], κ(s)2

όπου στην τέταρτη ισότητα ο δεύτερος όρος (μικτό γινόμενο) είναι μηδέν αφού τα διανύσματα -˙κ(s)
?κ(s)2

(s) και

(s) είναι συνεπίπεδα. ▄

Θεώρημα 1.8: ΄Εστω γ : I → ℝ³ μια καμπύλη Frenet. Τότε το τρίεδρο Frenet ικανοποιεί το παρακάτω σύστημα συνήθων διαφορικών εξισώσεων:

( ) ( ) ( ) T˙(s) 0 κ (s) 0 T(s) | ˙ | | | | | ( N (s) ) = ( - κ(s) 0 τ(s) ) ( N(s) ) . B˙(s) 0 - τ(s) 0 B(s)

Απόδειξη. Η καμπύλη γ έχει παράμετρο το μήκος τόξου της s, επομένως η κύρια κάθετος θα δίνεται από τον τύπο N(s) = ?γ(s)
κ(s) . ΄Ομως T(s) = (s), οπότε Ṫ(s) = (s) άρα

˙T(s) N (s) = -----δηλαδή ˙T(s) = κ(s)N(s). κ(s)

Για την δεύτερη εξίσωση πρέπει να δείξουμε ότι Ṅ(s) = -κ(s)T(s) + τ(s)B(s). Γνωρίζουμε ότι τα διανύσματα T(s),N(s),B(s) αποτελούν μια βάση του χώρου ℝ³. Επομένως, κάθε διάνυσμα του ℝ³ (άρα και το Ṅ(s)) θα εκφράζεται ως γραμμικός συνδυασμός αυτών. ΄Αρα

N˙(s) = λ1T (s) + λ2N (s) + λ3B (s). (1.5)

Για να προσιορίσουμε τα λ₁,λ₂,λ₃, θα πάρουμε το εσωτερικό γινόμενο του διανύσματος (1.5) διαδοχικά με τα διανύσματα T(s),N(s) και B(s). ΄Εχουμε

⟨N˙(s),T (s)⟩ = λ1⟨T(s),T(s)⟩+ λ2⟨N (s),T(s)⟩+ λ3⟨B (s),T (s)⟩ = λ1.

΄Ομως ⟨N(s),T(s)⟩ = 0, οπότε παραγωγίζοντας τη σχέση αυτή, θα πάρουμε:

d ds⟨N (s),T (s)⟩ = 0 ⇔ ⟨ ˙N(s),T(s)⟩+ ⟨N (s), ˙T(s)⟩ = 0

και αφού αποδείξαμε ότι Ṫ(s) = κ(s)N(s), θα έχουμε

⟨N ˙(s),T(s)⟩+ ⟨N (s), ˙T(s)⟩ = 0 ⇔ ⟨N˙(s),T (s)⟩ = - κ(s)⟨N (s),N (s)⟩ ˙ ⇔ ⟨N (s),T (s)⟩ = - κ(s).

Επομένως λ₁ = -κ(s). Στη συνέχεια θα προσδιορίσουμε το λ₂. Επειδή το διάνυσμα N(s) είναι μοναδιαίο, δηλαδή σταθερού μέτρου, σύμφωνα με την Πρόταση 1.2 θα είναι κάθετο στην παράγωγό του, οπότε

˙ 0 = ⟨N (s),N (s)⟩ = λ1⟨T(s),N (s)⟩ + λ2⟨N (s),N (s)⟩+ λ3⟨B (s),N (s)⟩ = λ2.

΄Αρα η (1.5) θα έχει τη μορφή Ṅ(s) = -κ(s)T(s) + λ₃B(s). Επομένως

˙ ⟨N (s),B(s)⟩ = - κ(s)⟨T(s),B (s)⟩+ λ3⟨B (s),B(s)⟩ = λ3.

΄Ομως ⟨Ṅ(s),B(s)⟩ = τ(s), οπότε λ₃ = τ(s), δηλαδή

˙ N (s) = - κ(s)T (s)+ τ(s)B(s)

και έτσι αποδείχθηκε η δεύτερη εξίσωση. Για την τελευταία εξίσωση Ḃ(s) = -τ(s)N(s), θα παραγωγίσουμε την σχέση B(s) = T(s) × N(s) λαμβάνοντας υπόψη τις δύο προηγούμενες εξισώσεις, που αποδείξαμε. ΄Εχουμε:

˙B(s) = T˙(s)× N (s)+ T (s) × N˙(s) ⇔ ˙B(s) = κ (s)N (s)× N (s)+ T (s)× (- κ (s)T (s)+ τ(s)B(s)) ⇔ ˙B(s) = κ (s) ⋅0- κ (s)T (s) × T(s)+ τ (s)T (s)× B (s) ⇔ ˙B(s) = - κ(s)⋅0 + τ(s)T(s)× B (s) ⇔ ˙ B(s) = - τ(s)N (s),

και έτσι έχει ολοκληρωθεί η απόδειξη του θεωρήματος. ▄

Αξίζει σε αυτό το σημείο να σημειώσουμε ότι οι τύποι του Frenet μπορούν να επαναδιατυπωθούν πιο απλά χρησιμοποιώντας το διάνυσμα περιστροφής του Darboux που ορίζεται από τη σχέση

ω (s) = τ(s)T(s) + κ(s)B (s).

Στην περίπτωση αυτή, οι τύποι αποκτούν τις ακόλουθες συμμετρικές μορφές

dT- = ω(s)× T (s), dN- = ω(s)× N (s), dB- = ω(s)× B (s) ds ds ds

Θεώρημα 1.9: ΄Εστω γ : I → ℝ³ καμπύλη Frenet. Τότε η στρέψη τ : I → ℝ είναι ταυτοτικά μηδέν εάν και μόνο εάν το ίχνος γ(I) της γ περιέχεται σε ένα επίπεδο.

Απόδειξη. ϒποθέτουμε πρώτα ότι η εικόνα της γ περιέχεται στο επίπεδο ⟨c,M⟩ = d, όπου M είναι ένα σταθερό μοναδιαίο διάνυσμα του ℝ³, d είναι μια αριθμητική σταθερά και το c ∈ ℝ³ ένα μη μηδενικό διάνυσμα. Μπορούμε να υποθέσουμε ότι το M είναι μοναδιαίο διάνυσμα. Παραγωγίζοντας δύο φορές τη ⟨γ(s),M⟩ = d, ως προς s, παίρνουμε:

⟨˙γ(s),M ⟩ = 0 ή ⟨T (s),M ⟩ = 0, (1.6) ⟨?γ(s),M ⟩ = 0 ⇔ ⟨T˙(s),M ⟩ = 0 ⇔ ⟨κ(s)N (s),M ⟩ = 0. (1.7)

Επειδή η καμπύλη είναι καμπύλη Frenet, θα είναι κ(s)≠0 για κάθε s ∈ I, οπότε από την σχέση (1.5) παίρνουμε

⟨N (s),M ⟩ = 0.

(1.8)

Από τις εξισώσεις (1.4) και (1.8) βλέπουμε ότι τα διανύσματα T(s) και N(s) είναι κάθετα στο M, οπότε το διάνυσμα B(s) = T(s) × N(s) είναι παράλληλο με το M. Επειδή τα διανύσματα B(s) και M είναι μοναδιαία και η απεικόνιση B : I → S²,sB(s) είναι λεία (άρα συνεχής) συνάρτηση του s, πρέπει να έχουμε είτε B(s) = M για όλα τα s ∈ I είτε B(s) = -M για όλα τα s ∈ I. Σε κάθε περίπτωση, το B(s) είναι σταθερό διάνυσμα, οπότε Ḃ(s) = 0, άρα τ = 0. Αντίστροφα, υποθέτουμε ότι η στρέψη τ της γ είναι παντού μηδέν. Επειδή ισχύει Ḃ(s) = -τ(s)N(s), τότε Ḃ(s) = 0 άρα το B(s) είναι ένα σταθερό διάνυσμα έστω B(s) = M. Τότε όμως για κάθε σημείο της καμπύλης είναι

⟨τ(s),B (s)⟩ = 0 ⇒ ⟨τ(s),M ⟩ = 0 d ⟨˙γ(s),M ⟩ = 0 ⇒ ds-⟨γ (s),M ⟩ = 0 ⟨γ(s),M ⟩ = d

δηλαδή η γ περιέχεται στο επίπεδο ⟨c,M⟩ = d. ▄

Από την απόδειξη του παραπάνω θεωρήματος συνεπάγεται ότι η εφαπτομένη και η πρώτη κάθετος βρίσκονται στο επίπεδο της καμπύλης, οπότε το εγγύτατο επίπεδο σε κάθε σημείο της καμπύλης ταυτίζεται με το επίπεδό της.

Ορισμός 1.15: Η καμπύλη γ : I → ℝ³ λέγεται γενικευμένη έλικα ή ισοκλινής καμπύλη, όταν οι εφαπτόμενές της σχηματίζουν σταθερή γωνία με σταθερό διάνυσμα του χώρου.

Παραδείγματα γενικευμένων ελίκων είναι όλες οι επίπεδες καπμύλες, αρκεί ως σταθερό διάνυσμα να θεωρείται το διάνυσμα το κάθετο στο επίπεδο της καμπύλης, οπότε η σταθερή γωνία θα είναι π∕2.

Πρόταση 1.5: Μια καμπύλη γ : I → ℝ³ με κ > 0, είναι γενικευμένη έλικα, αν και μόνο αν

τ- κ = σταθερό.

Απόδειξη. ΄Εστω ότι η γ είναι γενικευμένη έλικα μοναδιαίας ταχύτητας. ΄Εστω M το σταθερό διάνυσμα στον χώρο, που σχηματίζει σταθερή γωνία ω με το εφαπτόμενο διάνυσμα T της καμπύλης και χωρίς βλάβη της γενικότητας, υποθέτουμε ότι ∥M∥ = 1. ΄Εχουμε ⟨M,T(s)⟩ = cosω (σταθερό), για κάθε s ∈ I. Παραγωγίζοντας και λαμβάνοντας υπόψη τους τύπους του Frenet, έχουμε ότι

˙ ⟨M, T (s)⟩ = 0, ή ⟨M, κ(s)N (s)⟩ = 0.

Από την υπόθεση είναι κ(s)≠0, άρα ⟨M,N(s)⟩ = 0. Επομένως το M ανήκει στο ευθειοποιούν επίπεδο της καμπύλης, οπότε

M = λT (s)+ μB (s), (1.9)

για κάποια λ,μ ∈ ℝ. Παίρνοντας το εσωτερικό γινόμενο της τελευταίας σχέσης διαδοχικά με τα διανύσματα T(s) και B(s), βρίσκουμε ότι λ = ⟨M,T(s)⟩ = cosω και μ = ⟨M,B(s)⟩ = cos(π∕2 -ω) = sinω. ΄Αρα η (1.9) παίρνει τη μορφή M = cosωT(s) + sinωB(s), η παραγώγιση της οποίας δίνει ότι

0 = cos ωT˙(s)+ sinω B˙(s) = cosωκ (s)N (s)- sinω τ(s)N (s) ( ) = cosωκ(s)- sinω τ(s) N(s),

απ΄ όπου cosωκ(s) - sinωτ(s) = 0 και τ(s)
κ(s)

= cotω = c (σταθερά). Αντίστροφα, έστω τ(s)
κ(s)

= c. Εφόσον η συνάρτηση cotω παίρνει τιμές στο (-∞,+∞), μπορούμε να βρούμε ω, ώστε c = cotω. Επομένως, έχουμε

κ(s)cosω = τ(s) sin ω ⇒ κ(s)cosωN (s)- τ(s) sin ωN (s) = 0 ⇒ cosωT˙(s)+ sin ωB˙(s) = 0 ⇒ cosωT (s)+ sin ωB (s) = M = σταθερό διάνυσμα το υ ℝ3 ⇒ cosω⟨T (s),T (s)⟩ + sin ω⟨B(s),T(s)⟩ = ⟨M, T (s)⟩ ⇒ cosω = ⟨M, T(s)⟩ = σ ταθερό.

▄

Πρόταση 1.6: ΄Εστω γ : I → ℝ³ μια επίπεδη καμπύλη μοναδιαίας ταχύτητας. Τότε η γ είναι τμήμα κύκλου εάν και μόνο εάν έχει σταθερή καμπυλότητα.

Απόδειξη. Αν η γ είναι τμήμα κύκλου κέντρου (x₀,y₀) και ακτίνας r, τότε δίνεται από τη σχέση

( ) γ(s) = x0 + r cos(s∕r) y0 + r sin(s∕r) , s ∈ I ⊂ [0,2π),

Τότε θα έχουμε

( ) 1 ( ) T(s) = ˙γ(s) = - sin(s∕r),cos(s∕r) , ˙T(s) = γ?(s) = r - cos(s∕r),- sin(s∕r) ,

επομένως κ(s) = ∥Ṫ(s)∥ = 1
r

, δηλαδή σταθερή.

Αντίστροφα, έστω ότι η καμπυλότητα είναι σταθερή, κ(s) = κ για κάθε s ∈ I. Θεωρούμε την καμπύλη

β (s) = γ(s)+ 1N (s). κ

Τότε β′(s) = T(s) + 1
κ

Ṅ(s) = T(s) + 1
κ

(-κT(s)) = 0. Επομένως, η β(s) είναι σταθερή, δηλαδή β(s) = (x₀,y₀) και

∥γ (s) - (x ,y)∥ = ∥γ(s)- β (s)∥ = ∥-1N (s)∥ = -1, 0 0 κ κ

άρα τα σημεία γ(s) ανήκουν στον κύκλο με κέντρο το (x₀,y₀) και ακτίνα 1
--
κ

. ▄

Παράδειγμα 1.2: ΄Εστω γ : I → ℝ³ μια κανονική καμπύλη μοναδιαίας ταχύτητας με αντίστοιχο τρίεδρο Frenet {T,N,B}, τέτοιο ώστε για κάθε s ∈ I το διάνυσμα

sin(2s)T (s) + cos(2s)N (s)+ B (s) όπου cos(2s) ⁄= 0

να είναι σταθερό. Τότε η γ είναι τμήμα κύκλου. Πράγματι, για κάθε s ∈ I έχουμε sin(2s)T(s) + cos(2s)N(s) + B(s) = c, c σταθερό διάνυσμα. Παραγωγίζουμε την προηγούμενη σχέση ως προς s και έχουμε ότι

d ( ) ---sin(2s)T (s)+ cos(2s)N(s) + B(s) = 0. ds

Μετά από πράξεις προκύπτει ότι

( ) ( ) 2 cos(2s) - κ(s)cos(2s) T (s) + sin(2s)κ (s) - 2sin (2s) - τ(s) N(s)+ cos(2s)τ(s)B(s) = 0.

Επειδή τα διανύσματα T(s),N(s),B(s) είναι γραμμικώς ανεξάρτητα, έχουμε

2cos(2s)- κ(s)cos(2s) = 0, sin(2s)κ(s)- 2sin(2s)- τ(s) = 0, cos(2s)τ(s) = 0.

Από την τελευταία εξίσωση παίρνουμε τ(s) = 0, άρα η γ είναι επίπεδη. Από την πρώτη εξίσωση έχουμε κ(s) = 2, άρα η γ σύμφωνα με την Πρόταση 1.6 είναι τμήμα κύκλου ακτίνας r = 1-
κ

Θα δούμε τώρα ότι μια καμπύλη Frenet στον χώρο ℝ³ καθορίζεται από την καμπυλότητά της και τη στρέψη της (μη λαμβάνοντας υπόψη στερεές κινήσεις του ℝ³ που διατηρούν τον προσανατολισμό). Χρειαζόμαστε πρώτα τον εξής ορισμό:

Ορισμός 1.16: Μια απεικόνιση Φ : ℝ³ → ℝ³ ονομάζεται Ευκλείδεια (ή στερεά) κίνηση του ℝ³ (rigid motion), εάν έχει τη μορφή Φ(X) = AX + b, όπου b ∈ ℝ³ και

A ∈ O (3) = {X ∈ M (ℝ ) : XXt = I}. 3×3 3

Η Φ διατηρεί τον προσανατολισμό, εάν A ∈ SO(3) = {X ∈ O(3) : detX = 1}.

Θεώρημα 1.10: (Θεμελιώδες Θεώρημα της Θεωρίας καμπυλών)
΄Εστω κ : I → ℝ⁺ και τ : I → ℝ διαφορίσιμες συναρτήσεις. Τότε υπάρχει μια καμπύλη Frenet γ : I → ℝ³ η οποία να έχει καμπυλότητα κ και στρέψη τ. Επιπλέον, εάν : I → ℝ³ είναι μια άλλη τέτοια καμπύλη, τότε υπάρχει πίνακας A ∈ SO(3) και διάνυσμα b ∈ ℝ³ τέτοια ώστε

γ (s) = A ˜γ(s)+ b.

Η απόδειξη στηρίζεται στο θεμελιώδες θεώρημα ύπαρξης και μοναδικότητας λύσης συνήθων διαφορικών εξισώσεων με αρχική συνθήκη.

Παράδειγμα 1.3: (α) Δικαιολογήστε ότι υπάρχει καμπύλη γ με παράμετρο το μήκος τόξου της s, τέτοια ώστε κ(s) = e^s και τ(s) = 2e^s.
(β) Για την προηγούμενη καμπύλη βρείτε όλα τα s ∈ ℝ για τα οποία ισχύει (s) = Ṅ(s) - 10N(s). Για το (α), παρατηρούμε ότι κ(s) > 0 για κάθε s ∈ ℝ και οι συναρτήσεις κ(s), τ(s) είναι διαφορίσιμες. Επομένως, από το προηγούμενο θεώρημα, υπάρχει καμπύλη γ με παραμέτρηση ως προς το μήκος τόξου για την οποία η καμπυλότητα και η στρέψη δίνονται από τους τύπους κ(s) = e^s και τ(s) = 2e^s. Για το (β) έχουμε Ṅ(s) = -κ(s)T(s) + τ(s)B(s) = -e^sT(s) + 2e^sB(s). Παραγωγίζοντας την προηγούμενη σχέση, παίρνουμε

s s s s N?(s) = - e T(s)- e T˙(s)+ 2e B(s) + 2eB˙(s) απ ό του τύπους του Frenet = - esT(s)- es(esN (s)) + 2esB(s)+ 2es(- 2esN (s)) = - esT(s)- 5e2sN (s)+ 2esB (s).

Επομένως με αντικατάσταση στη δοσμένη σχέση ?
N

(s) = Ṅ(s) - 10N(s) θα έχουμε:

? ˙ ? ˙ N (s) = N (s)- 10N (s) ⇔ N (s)- N (s)+ 10N (s) = 0 ⇔ - esT (s)- 5e2sN (s) + 2esB(s)- ( - esT(s)+ 2esB (s))+ 10N (s) = 0 ⇔ (10- 5e2s)N (s) = 0

΄Αρα θα πρέπει e^2s = 2 δηλαδή s = ln2∕2.

Ορισμός 1.17: ΄Εστω γ : I → ℝ³ μια κανονική καμπύλη του ℝ³ (όχι απαραίτητα με παραμέτρηση ως προς το μήκος τόξου). ΄Εστω = γ ∘ h : J → ℝ³ μια μοναδιαίας ταχύτητας αναπαραμέτρηση της γ για κάποια αμφιδιαφόριση h : J → I και έστω : J → ℝ η καμπυλότητα της . Για κάθε t ∈ I η καμπυλότητα της καμπύλης γ στο σημείο t είναι ο αριθμός

-1 κ(t) = ˜κ(h (t)).

Παρόμοια, ορίζουμε τη στρέψη τ : I → ℝ της γ ως

τ(t) = ˜τ(h-1(t)),

όπου

: J → ℝ η στρέψη της

Χρησιμοποιώντας τους παραπάνω ορισμούς, είναι δυνατόν να προκύψουν τύποι για την καμπυλότητα και στρέψη καμπύλης αναφερομένης σε τυχαία παράμετρο.

Πρόταση 1.7: ΄Εστω γ : I → ℝ³ μια κανονική καμπύλη του ℝ³ με καμπυλότητα κ και στρέψη τ. Τότε

∥γ′(t)× γ ′′(t)∥ [γ′(t)γ′′(t)γ ′′′(t)] κ(t) = -----′---3---, τ(t) = ---′-----′′---2 . ∥γ (t)∥ ∥γ (t)× γ (t)∥

Απόδειξη. ΄Εστω = γ ∘h : J → ℝ³ η αναπαραμέτρηση της γ μέσω του μήκους τόξου της, δηλαδή h = s^-1 και s η συνάρτηση μήκους τόξου. ΄Εστω ˜
T ,Ñ, ˜
B το τρίεδρο Frenet της . Τότε γ = ∘h^-1 ή γ = ∘s, οπότε για κάθε t ∈ I έχουμε:

γ′(t) = (˜γ ∘ s)′(t) = ˜γ˙(s(t))s′(t) = ˜T (s(t))s′(t) ˙ γ′′(t) = ˜T(s(t))s′(t)2 + ˜T(s(t))s′′(t) = s′(t)2˜κ(s(t))N˜(s(t))+ s′′(t)˜T(s(t)),

επομένως

γ ′(t)× γ′′(t) = s′(t)˜T (s(t))× (s′′(t)T˜(s(t))+ s′(t)2˜κ(s(t))N ˜(s(t))) = s′(t)s′′(t)T˜(s(t))× T˜(s(t))+ s′(t)3˜κ(s(t))T˜(s(t))× N˜(s(t)) ′ 3 ˜ = s (t) ˜κ(s(t))B (s(t)). (1.10)

΄Ομως s(t) = ∫ _t₀^t∥γ′(u)∥du, οπότε s′(t) = ∥γ′(t)∥. ΄Αρα η σχέση (1.10) γίνεται

′ ′′ ′ 3 γ (t) × γ (t) = ∥γ (t)∥ ˜κ(s(t))B˜(s(t)).

Επομένως

∥γ′(t) × γ′′(t)∥ = ∥γ′(t)∥3˜κ(s(t))∥B˜(s(t))∥ ′ 3 = ∥γ(t)∥ ˜κ(s(t)),

δηλαδή

(s(t)) =

, άρα απο τον Ορισμό 1.17 έχουμε τον ζητούμενο τύπο για την καμπυλότητα της γ:

∥γ′(t) × γ′′(t)∥ κ(t) = ˜κ(s(t)) = -----′---3----. ∥γ (t)∥

Για την στρέψη της καμπύλης γ θα υπολογίσουμε την τρίτη παράγωγο της γ. ΄Οπως και προηγουμένως και μετά από πράξεις έχουμε:

′′′ ˙˜ ′ 3 ˜ ′ ′ 3 ˜ ′ 2 ′′ γ (t) = N (s(t))s (t) ˜κ(s(t)) + N (s(t))˜κ(s(t))(s (t) + 3N (s(t))˜κ(s(t))s)(t) s(t) +s ′′′(t)˜T(s(t)) + s′′(t)s′(t)˜T˙(s(t)) = - ˜κ(s(t))2s′(t)3 + s′′(t) ˜T (s(t)) ( ) + ˜κ(s(t))s′(t)3 + 3˜κ(s(t))s′(t)2s′′(t) + s′′(t)s′(t)˜κ(s(t)) N˜(s(t)) ( ) + ˜κ(s(t))s′(t)3˜τ(s(t)) ˜B(s(t)) = f (t)˜T(s(t))+ g(t)N ˜(s(t)) + w(t)˜B(s(t)).

Επομένως, επειδή det(γ′(t),γ′′(t),γ′′′(t)) = [γ′(t)γ′′(t)γ′′′(t)] = ⟨γ′(t) ×γ′′(t),γ′′′(t)⟩, λαμβάνοντας υπόψη και τη σχέση (1.10), θα πάρουμε:

′ ′′ ′′′ ( ′ ) ( ) ⟨γ (t) × γ (t),γ (t)⟩ = ⟨ 0,0,s (t)˜κ(s(t)) , f(t),g(t),w(t) ⟩ = s′(t)3˜κ(s(t))w (t) = s′(t)3˜κ(s(t))(˜κ(s(t))s′(t)3˜τ(s(t))). (1.11)

΄Ομως s′(t) = ∥γ′(t)∥ και δεδομένου ότι έχουμε δείξει

(s(t)) =

, οπότε με αντικατάσταση στη σχέση (1.11) θα πάρουμε

⟨γ′(t) × γ′′(t),γ′′′(t)⟩ [γ′(t)γ′′(t)γ ′′′(t)] ˜τ(s(t)) = -----′-----′′---2-- = ---′-----′′---2 . ∥γ (t)× γ (t)∥ ∥γ (t)× γ (t)∥

Με το ίδιο σκεπτικό που αναπτύξαμε για την καμπυλότητα της καμπύλης γ, ο ζητούμενος τύπος για τη στρέψη της θα είναι

′ ′′ ′′′ τ(t) = ˜τ(s(t)) = [γ-(t)γ-(t)γ-(t)]. ∥γ′(t)× γ′′(t)∥2

▄

Εύκολα αποδεικνύεται ότι για μια κανονική καμπύλη γ : I → ℝ³ θετικής καμπυλότητας και τυχαία παράμετρο, τα διανύσματα του τριέδρου Frenet σε κάποιο σημείο t ∈ I δίνονται από τους παρακάτω τύπους:

( ) --γ′(t)- -γ′(t)-×-γ′′(t)-×-γ′(t) -γ′(t)×-γ′′(t)- T(t) = ∥ γ′(t)∥, N (t) = ∥γ ′(t)× γ′′(t)∥∥γ′(t)∥, B (t) = ∥γ′(t)× γ′′(t)∥ .

Πρόταση 1.8: ΄Εστω γ : I → ℝ³ μια κανονική καμπύλη με τυχαία παράμετρο και θετική καμπυλότητα. ΄Εστω {T(t),N(t),B(t)} το τρίεδρο Frenet της γ. Τότε οι παράγωγοι των T,N,B δίνονται ως

( T ′(t) ) ( 0 κ(t)v 0 ) ( T(t) ) | | | | | | ( N ′(t) ) = ( - κ(t)v 0 τ(t)v ) ( N(t) ) , B ′(t) 0 - τ(t)v 0 B(t)

όπου υ η ταχύτητα της γ.

Η απόδειξη αφήνεται ως άσκηση.

Πόρισμα 1.2: ΄Εστω γ : I → ℝ³ κανονική καμπύλη του ℝ³. Τότε:

Το ίχνος γ(I) είναι τμήμα ευθείας εάν και μόνο εάν τα διανύσματα γ′(t),γ′′(t) είναι γραμμικώς εξαρτημένα για κάθε t ∈ I.
Το ίχνος γ(I) περιέχεται σε ένα επίπεδο εάν και μόνο εάν τα διανύσματα γ′(t), γ′′(t), γ′′′(t) είναι γραμμικώς εξαρτημένα για κάθε t ∈ I.

1.3 Λυμένα παραδείγματα

Παράδειγμα 1.4: Θεωρούμε την κυκλοειδή καμπύλη του επιπέδου με παραμέτρηση γ(t) = α(t,1)+α(-sint,-cost) (α > 0).

Περιγράψτε την καμπύλη γεωμετρικά.
ϒπολογίστε το μήκος τόξου σ(t) = ∫ ₀^t∥γ′(u)∥du.
Είναι η καμπύλη κανονική;

Λύση

1. Θέτοντας γ(t) = (x(t),y(t)), παίρνουμε τις εξισώσεις

x(t) = α(t- sin t) ⇒ t - x-= sint α y(t) = α(1 - cost) ⇒ 1 - y-= cos t. α

΄Αρα

t -

² +

1 -

² = 1 και (αt - x)² + (α - y)² = α². Η εξίσωση αυτή είναι οικογένεια κύκλου με κέντρο τα σημεία K(αt,α) και σταθερής ακτίνας α > 0. Η εικόνα της φαίνεται στο Σχήμα 1.11.

Σχήμα 1.11: Η κυκλοειδής καμπύλη.

2. Είναι γ′(t) = α(1 - cost,sint) άρα

---------------------- ∘ ------- ′ ∘ 2 2 2 2 √-√ -------- √ -- 2 t t- ∥ γ(t)∥ = α (1- cost) + α sin t = α 2 1 - cost = α 2 2sin 2 = 2α |sin(2)|.

Για 0 ≤ t∕2 ≤ π παίρνουμε σ(t) = ∫ ₀^t2α sin u-
2

du = 4α(1 - cos t-
2

3. Η καμπύλη είναι κανονική εκτός εάν γ′(t) = 0 δηλαδή cost = 1 και sint = 0, δηλαδή για t = 2kπ (k ∈ ℤ).

Παράδειγμα 1.5: ΄Εστω γ : I → ℝ² η καμπύλη γ(t) = (sint,sin(2t)). Είναι η γ κανονική, απλή ή κλειστή;

Λύση

Η γ είναι κανονική, επειδή γ′(t) = (cost,2cos(2t))≠(0,0) για κάθε t. Η καμπύλη δεν είναι απλή, επειδή γ(0) = γ(π) = (0,0) (δηλαδή η γ έχει αυτοτομές). Τέλος, η γ είναι κλειστή, διότι για I = [0,2π] γ(0) = γ(2π) = (0,0). Το ίχνος της φαίνεται παρακάτω:

Σχήμα 1.12: Η καμπύλη γ(t) = (sint,sin(2t)).

Παράδειγμα 1.6: Θεωρούμε την καμπύλη γ(t) = (t,cosht),t > 0. Βρείτε την ταχύτητα ∥γ′(t)∥ της γ και χρησιμοποιήστε τη για να κάνετε αναπαραμέτρηση της γ ως προς το μήκος τόξου.

Λύση

Είναι γ′(t) = (1,sinht) άρα ∥γ′(t)∥ = ∘ -------2--
1 + sinh t

= cosht. ΄Εστω

∫ t ∫ t s = ∥γ ′(u)∥du = cosh udu = sinh t. 0 0

Τότε t = sinh^-1s (αντίστροφη συνάρτηση του sinhs) και cosht = ∘ --------2-
1 + sinh t

. Συνεπώς, η αναπαραμέτρηση της γ ως προς το μήκος τόξου είναι η

( ) ( -1 ∘ ----2) β(s) = γ t(s) = sinh s, 1+ s .

Παράδειγμα 1.7: α) ϒπολογίστε τις καμπυλότητες κ₁,κ₂ και τις στρέψεις τ₁,τ₂ των ελίκων γ₁,γ₂ : ℝ → ℝ³

( ) γ1(t) = rcos(αt),rsin(αt ),bt γ (t) = (rcos(- αt),r sin(- αt),bt) (r,α,b > 0). 2

β) Βρείτε μια στερεά κίνηση Φ : ℝ³ → ℝ³ τέτοια ώστε γ₂ = Φ ∘ γ₁. Διατηρεί η Φ τον προσανατολισμό;

Λύση

α) Για τις καμπυλότητες θα χρησιμοποιήσουμε τον τύπο

′ ′′ κ (t) = ∥γ-(t)-×-γ-(t)∥- ∥γ′(t)∥3

και για τις στρέψεις

( ) det-γ′(t),γ′′(t),γ-′′′(t)- τ(t) = ∥γ′(t) × γ′′(t)∥2 .

Προτρέπουμε τον αναγνώστη να επαληθεύσει τους παρακάτω υπολογισμούς:

′ γ1(t) = (- rα sin(αt ),rα cos(αt),b) γ′′1(t) = (- rα2cos(αt),- rα2 sin(αt),0) ′ ′′ 2∘ --------- ′ ∘ --------- ∥γ1(t) × γ1(t)∥ = rα b2 + r2α2, ∥γ1(t)∥ = r2α2 + b2.

΄Αρα κ₁(t) = ---rα2---
r2α2 + b2

= κ₂(t). Επίσης, τ₁(t) = ---αb----
r2α2 + b2

= τ₂(t).

β) ΄Εστω A είναι ο πίνακας της γραμμικής απεικόνισης Φ : ℝ³ → ℝ³. Αρκεί να λύσουμε την εξίσωση

( ) ( ) rcos(- αt) r cos(αt) |( rsin (- αt) |) = A |( r sin(αt) |) bt bt

ως προς A. Με απλή παρατήρηση προκύπτει ότι η λύση είναι A = ( 1 0 0 )
| |
( 0 - 1 0 )
0 0 1

. ΄Αρα η Φ : ℝ³ → ℝ³ έχει τύπο Φ(x,y,z) = (x,-y,z). Επειδή det(A) = -1, η Φ δεν διατηρεί τον πρασανατολισμό.

Παράδειγμα 1.8: Αποδείξτε ότι η καμπύλη γ : (-π∕2,π∕2) → ℝ³,γ(t) = (2cos²t- 3,sint- 8,3sin²t + 4) είναι κανονική. Ελέξτε κατά πόσον το ίχνος της γ είναι

(α) τμήμα μιας ευθείας του ℝ³,
(β) επίπεδη καμπύλη του ℝ³.

Λύση

Είναι γ′(t) = (-4costsint,cost,6sintcost)≠(0,0,0) για κάθε t ∈ (-π∕2,π∕2) (επειδή cost≠0). ΄Αρα η γ είναι κανονική καμπύλη. ϒπολογίζουμε ότι det

γ′(t),γ′′(t),γ′′′(t)

= 0 άρα τ(t) = 0, συνεπώς η καμπύλη είναι επίπεδη. Τα διανύσματα γ′(t) και γ′′(t) είναι γραμμικώς ανεξάρτητα (δείχνοντας π.χ. ότι γ′(t) × γ′′(t)≠ -→
0

) άρα κ(t)≠0, οπότε η γ δεν είναι τμήμα ευθείας.

Παράδειγμα 1.9: Να βρεθεί η εξίσωση του εγγύτατου επιπέδου σε ένα σημείο μιας κανονικής καμπύλης.

Λύση

(I) ΄Εστω ότι έχουμε την καμπύλη γ : I → ℝ³ με παράμετρο το μήκος τόξου της. ΄Ενα σημείο (x,y,z) ∈ ℝ³ είναι σημείο του εγγύτατου επιπέδου στο σημείο γ(s₀) εάν και μόνο εάν η διαφορά (x,y,z) - γ(s₀) ανήκει στον υπόχωρο που παράγουν τα διανύσματα T(s₀) και N(s₀), δηλαδή είναι κάθετη στο B(s₀). ΄Αρα τα σημεία (x,y,z) του εγγύτατου επιπέδου στο γ(s₀) ικανοποιούν την σχέση

⟨(x,y,z) - γ(s0),B (s0)⟩ = 0 (1.12)

Επειδή B(s₀) = T(s₀) × N(s₀) =

(s₀) ×

(s₀) ×

, η σχέση (1.12) ισοδυναμεί με την

⟨(x,y,z)- γ(s0), ˙γ(s0)× ?γ(s0)⟩ = 0.

(II) ΄Εστω τώρα ότι έχουμε μια κανονική καμπύλη a : I → ℝ³ όχι κατ′ αναγκή μοναδιαίας ταχύτητας. Τα σημεία (x,y,z) του εγγύτατου επιπέδου στο a(t₀) ικανοποιούν την αντίστοιχη σχέση (1.12) δηλαδή

⟨(x,y,z) - a(t0),B (t0)⟩ = 0,

επειδή B(t₀) = a′(t0) × a′′(t0)
∥a′(t)-×-a′′(t)∥
0 0

, παίρνουμε τη συνθήκη

a′(t0) × a′′(t0) ′ ′′ ⟨(x,y,z) - a(t0),∥a′(t)-×-a′′(t)∥⟩ = 0 ⇔ ⟨(x,y,z)- a (t0),a(t0)× a (t0)⟩ = 0 0 0

Παράδειγμα 1.10: Αν η καμπύλη γ : I → ℝ³ έχει παράμετρο το μήκος τόξου της και σταθερή στρέψη τ≠0, να δείξετε ότι η καμπύλη

∫ N-(s)- β(s) = - τ + B (s)ds

έχει σταθερή καμπυλότητα ίση με |τ|

Λύση

΄Εχουμε β′(s) = - N˙(s)
--τ--

+ B(s) και επειδή Ṅ(s) = -κ(s)T(s) + τB(s), θα είναι β′(s) = κ(s)
-τ--

T(s). Παρατηρούμε ότι ∥β′(s)∥ = |κ(s)|
-|τ|-

≠1 δηλαδή η παράμετρος s για την καμπύλη β είναι τυχαία, οπότε η καμπυλότητα θα δίνεται από τον τύπο

′ ′′ κ(s) = β-(s)×-β-(s) . ∥β′(s)∥3

Είναι β′′(s) = κ′(s)
-----
τ

T(s) +

Ṫ(s), οπότε

κ′(s)κ(s) κ(s)2 β′(s)× β′′(s) = ----2---(T(s)× T(s))+ ---2-(T(s) × ˙T(s)) τ2 τ 3 = κ(s)-T(s)× (κ(s)N (s)) = κ(s)-B (s) τ2 τ2

και

3 3 ∥β′(s)× β′′(s)∥ = ∥ κ(s)-B(s)∥ = |κ(s)|-. τ2 |τ|2

Επομένως, αντικαθιστώντας στον τύπο για την καμπυλότητα, θα πάρουμε

|κ(s)|3--1--- κ(s) = |τ|2 |κ(s)|3-= |τ|. |τ|3

Παράδειγμα 1.11: ΄Εστω β : ℝ → ℝ³ κανονική καμπύλη μοναδιαίας ταχύτητας τέτοια ώστε η εφαπτομένη σε κάθε σημείο β(s) περνά από σταθερό σημείο p ∈ ℝ³. Δείξτε ότι η καμπύλη β είναι ευθεία.

Λύση

Η εφαπτομένη στο σημείο β(s) δίνεται από την εξίσωση β(s) + t

(s). Αφού το σημείο p ανήκει σε αυτήν την ευθεία για κάθε s ∈ ℝ, υπάρχει συνάρτηση f(s) τέτοια ώστε

p = β(s)+ f (s)β˙(s).

Θα δείξουμε ότι η f είναι διαφορίσιμη. ΄Εχουμε

f (s)β ˙(s) = p - β(s) ⇒ f(s) = ⟨p - β(s), ˙β(s)⟩

άρα η f διαφορίσιμη αφού η β είναι διαφορίσιμη. Παραγωγίζουμε στη συνέχεια τη σχέση p = β(s) + f(s) ˙
β

(s) και έχουμε

′ ′ 0 = T (s) + f (s)T (s) + f(s)κ(s)N (s) ⇒ 1 + f (s) = 0 και f(s)κ(s) = 0

άρα f′(s) = -1 και f(s) = s + c,c ∈ ℝ. Αφού f(s)κ(s) = 0 έχουμε ότι κ(s) = 0 για κάθε s ∈ ℝ άρα η καμπύλη β είναι ευθεία.

1.4 Ασκήσεις

1. Η αστεροειδής καμπύλη είναι η καμπύλη του επιπέδου με παραμέτρηση γ : ℝ → ℝ², γ(t) = (4α cos³t,4α sin³t) = 3α(cost,sint)+ α(cos(3t),-sin(3t)), α > 0.

a. Περιγράψτε την καμπύλη γεωμετρικά.
b. ϒπολογίστε το μήκος τόξου σ(t) = ∫ ₀^tdu.
c. Είναι η καμπύλη κανονική;

Σχήμα 1.13: Η αστεροειδής καμπύλη.

2. Δίνεται η καμπύλη γ(t) = (e^-t cost,e^-t sint), t ∈ ℝ.

a. Να αποδειχθεί ότι lim_t→+∞γ(t) = lim_t→+∞γ′(t) = (0,0).
b. Να υπολογιστεί το ∫ _t₀^∞∥γ′(u)∥du.
c. Να υπολογιστεί η καμπυλότητα της γ.

3. Δίνονται οι καμπύλες γ₁,γ₂ : ℝ → ℝ² με γ₁ = r(cos(αt),sin(αt)), γ₂ = r(cos(-αt),sin(-αt)). ϒπολογίστε τις καμπυλότητες κ₁,κ₂ των γ₁,γ₂ αντίστοιχα. Βρείτε μια στερεά κίνηση Φ : ℝ² → ℝ² τέτοια ώστε γ₂ = Φ ∘ γ₁. Διατηρεί η Φ τον προσανατολισμό;

4. ΄Εστω γ : I → ℝ² μια κανονική καμπύλη με παραμέτρηση ως προς το μήκος τόξου και με πλαίσιο Frenet {T(s),N (s)} . Για λ ∈ ℝ ορίζουμε την παράλληλη καμπύλη

γλ(t) = γ(t)+ λN (t).

λκ

_λ

5. ΄Εστω γ : I → ℝ² μια κανονική καμπύλη του ℝ². Αποδείξτε ότι η καμπυλότητα ικανοποιεί την σχέση

′ ′′ κ(t) = det(γ-(t),γ-(t)). ∥γ′(t)∥3

6. ΄Εστω γ : I → ℝ² η καμπύλη του ℝ² με γ(t) = (sint,sin(2t)). Είναι η γ κανονική, απλή και κλειστή;

7. ΄Εστω ότι η απεικόνιση γ : ℝ → ℝ² είναι μια παραμέτρηση ως προς το μήκος τόξου μιας θετικά προσανατολισμένης, απλής και κλειστής καμπύλης. Δείξτε ότι αν η περίοδος της γ είναι L > 0, τότε η καμπυλότητα κ(s) της γ ικανοποιεί τη σχέση

∫ L 0 κ (s)ds = 2π.

Το ολοκλήρωμα στο αριστερό μέλος ονομάζεται ολική καμπυλότητα της γ.

8. ϒπολογίστε τις καμπυλότητες κ₁,κ₂ και τις στρέψεις τ₁,τ₂ των ελίκων γ₁,γ₂ : ℝ → ℝ³ με γ₁(t) = (r cos(at),r sin(at),bt) και γ₂(t) = (r cos(-at),r sin(-at),bt) , (r,a,b > 0). Βρείτε μια στερεά κίνηση Φ : ℝ³ → ℝ³ τέτοια ώστε γ₂ = Φ ∘ γ₁. Διατηρεί η Φ τον προσανατολισμό;

9. Βρείτε μια κανονική καμπύλη γ : ℝ → ℝ³ με σταθερή καμπυλότητα k > 0 και σταθερή στρέψη τ ∈ ℝ.

10. Αποδείξτε ότι η στρέψη τ μιας κανονικής καμπύλης γ : ℝ → ℝ³ ικανοποιεί τη σχέση

[γ ′(t),γ′′(t),γ′′′(t)] τ (t) = ---′------′′---2--. ∥γ (t) × γ (t)∥

11. Αποδείξτε ότι η καμπύλη γ : (- π
2 , π
2 ) → ℝ³ με γ(t) = (2cos²t - 3,sint - 8,3sin²t + 4) είναι κανονική. Ελέγξτε κατά πόσον το ίχνος της γ περιέχεται σε: α) μια ευθεία του ℝ³, β) ένα επίπεδο του ℝ³.

12. Το ίδιο ερώτημα όπως στην ΄Ασκηση 4 για την καμπύλη γ : ℝ → ℝ³, γ(t) = (t³ + t² + 3,t³ -t + 1,t² + t + 1).

13. Αναζητήστε στη βιβλιογραφία μια απόδειξη του θεωρήματος του Fenchel: ΄Εστω ότι η απεικόνιση γ : ℝ → ℝ³ είναι μια κανονική παραμέτρηση μιας κλειστής καμπύλης στον ℝ³ με παράμετρο το μήκος τόξου. Τότε ισχύει

$∫ P L (γ˙) = κ(s)ds ≥ 2π, 0$ όπου P η περίοδος της γ.

14. Αναζητήστε στην βιβλιογραφία μια απόδειξη του Θεμελιώδους Θεωρήματος της Θεωρίας Καμπυλών.

15. ΄Εστω γ : ℝ → ℝ³ μια κανονική καμπύλη με παράμετρο το μήκος τόξου της, για την οποία υπάρχει παραγωγίσιμη απεικόνιση φ : ℝ → ℝ, ώστε

s s γ(s) = -T (s) + φ(s)N (s) + -B (s), s ∈ ℝ. 2 2

(0) = (

γ,

16. ΄Εστω α : ℝ → ℝ³ κανονική καμπύλη μοναδιαίας ταχύτητας τέτοια ώστε κ(s)≠0 για κάθε s ∈ ℝ. Να δείξετε ότι η καμπύλη α είναι επίπεδη εάν και μόνο έαν όλα τα εγγύτατα επίπεδά της περνούν από σταθερό σημείο p.

Βιβλιογραφία

[1] M. Abate and F. Torena, Curves and Surfaces, Springer 2012.

[2] C. Bär, Elementary Differential Geometry, Cambridge Univ. Press 2010.

[3] M. P. do Carmo, Differential Geometry of Curves and Surfaces, Prentice-Hall 1976.

[4] J. E. Marsden and M. J. Tromba, Vector Calculus, 6th ed., Macmillan Higher Edition, 2011. Μετάφραση 3^ης εκδ. Dianusmatikc Logismc, Πανεπιστημιακές Εκδόσεις Κρήτης, 1992.

[5] J. Oprea, Differential Geometry and Its Applications, The Mathematical Assocation of America, 2007.

[6] Β. Ι. Παπαντωνίου, Διαφορική Γεωμετρία, Εκδ. Πανεπιστ. Πατρών, Πάτρα, 2013.

[7] A. Pressley, Elementary Differential Geometry, Second Edition, Springer 2010. Μετάφραση: Στοιχειώδης Διαφορική Γεωμετρία, Πανεπιστημιακές Εκδόσεις Κρήτης, Κρήτη 2012.

Κεφάλαιο 1Καμπύλες στο επίπεδο και στον χώρο

1.1 Καμπύλες στο επίπεδο ℝ2

1.1.1 Εφαπτομένη καμπύλης

1.2 Καμπύλες στον χώρο ℝ3

1.2.1 Εξωτερικό και μικτό γινόμενο

1.3 Λυμένα παραδείγματα

1.4 Ασκήσεις

Βιβλιογραφία

Κεφάλαιο 1
Καμπύλες στο επίπεδο και στον χώρο

1.1 Καμπύλες στο επίπεδο ℝ²

1.2 Καμπύλες στον χώρο ℝ³