8.4. Δυναμική

Πέρα από τη σύνθεση κίνησης βάσει καρέ-κλειδιών, ιδιαίτερη κατηγορία αποτελεί και η σύνθεση δυναμικής κίνησης. Στην κατηγορία αυτή ανήκουν προσομοιώσεις, οι οποίες βασίζονται σε κανόνες που έχουν ως στόχο να προσεγγίσουν όσο καλύτερα γίνεται τους νόμους της φύσης. Στη συνέχεια παρουσιάζονται σύντομα οι βασικότερες και πιο συχνά χρησιμοποιούμενες περιπτώσεις δυναμικής σύνθεσης κίνησης.

8.4.1. Δυναμική στερεών σωμάτων

Έστω ότι θέλουμε να συνθέσουμε την κίνηση του βλήματος ενός καταπέλτη, ο οποίος βάλλει κατά ενός τοίχου, όπως φαίνεται στην παρακάτω εικόνα.

Εικόνα 8.8. Έξι καρέ συνθετικής κίνησης ενός καταπέλτη που βάλλει προς έναν τοίχο

Το βλήμα είναι μια πέτρα, την οποία μπορούμε να θεωρήσουμε για χάρη απλότητας σφαιρική, οπότε μπορούμε να αγνοήσουμε την περιστροφική της κίνηση και να ασχοληθούμε μόνο με τη θέση της. Άρα μπορεί να προσεγγιστεί με μια σημειακή μάζα που έχει ως συντεταγμένες το κέντρο βάρους της πέτρας. Αν αγνοήσουμε την επίδραση διάφορων δυνάμεων όπως είναι η αντίσταση του ανέμου και οι μικρές διακυμάνσεις στην επιτάχυνση της βαρύτητας, στην πέτρα ασκείται μια σταθερή επιτάχυνση κατά τη διάρκεια της κίνησής της λόγω της βαρύτητας. Η κλασική μηχανική μάς δίνει απευθείας την εξίσωση της κίνησης ενός σώματος υπό την επίδραση σταθερής επιτάχυνσης:

$x\left(t\right)=x_0+v_0·t+\frac{1}{2}·g·t+\frac{1}{2}·g·t^2$

{Εξ. 8.13}

όπου x είναι η θέση της πέτρας, t ο χρόνος, g η σταθερή επιτάχυνση της βαρύτητας και x₀, v₀ η αρχική θέση και ταχύτητα του σώματος αντίστοιχα. Άρα έχουμε, πλέον, μια σχέση που συνδέει τη θέση του σώματος με το χρόνο. Τι πρέπει, όμως, τώρα να κάνουμε ώστε από αυτή τη σχέση να συνθέσουμε μια ακολουθία καρέ όπως αυτή που απεικονίζεται στην Εικόνα 8.9;

Για να συντεθεί μια τέτοια ακολουθία πρέπει αρχικά να εκτιμηθεί η χρονική ταυτότητα (timestamp) κάθε καρέ. Αυτό μπορεί να γίνει με ρουτίνες διαθέσιμες σε όλες τις γλώσσες προγραμματισμού. Στη συνέχεια, αφού υπολογιστεί η θέση του βλήματος βάσει της παραπάνω εξίσωσης, υλοποιείται ο κατάλληλος μετασχηματισμός μεταφοράς και σχεδιάζεται το καρέ.

Εικόνα 8.9. Τροχιά βλήματος που εκτοξεύεται από έναν καταπέλτη

8.4.2. Συστήματα σωματιδίων

Στην προηγούμενη παράγραφο αναλύθηκε ο τρόπος σύνθεσης της δυναμικής κίνησης στερεών σωμάτων. Τι γίνεται, όμως, όταν ένα αντικείμενο είναι παραμορφώσιμο ή ακόμα και άμορφο, όπως τα ρευστά και ο καπνός; Στην περίπτωση αυτή χρησιμοποιούνται τα λεγόμενα συστήματα σωματιδίων.

Ένα σωματίδιο θεωρείται ότι είναι μια σημειακή μάζα, η οποία κινείται υπό την επήρεια πεδίων δυνάμεων ή και μη γραμμικών αλληλεπιδράσεων με το περιβάλλον τους, όπως είναι οι συγκρούσεις με άλλα σωματίδια. Αν και η κίνηση των σωματιδίων είναι αιτιοκρατική, συνήθως δεν μπορεί να υιοθετηθεί η μεθοδολογία της προηγούμενης παραγράφου, λόγω της ύπαρξης μεγάλου αριθμού σωματιδίων αλλά και της μη γραμμικότητας που εισάγουν οι αλληλεπιδράσεις με το περιβάλλον.

Κάθε σωματίδιο ενός συστήματος σωματιδίων δεν μπορεί να απεικονιστεί ως ένα σημείο μιας και είναι αδιάστατο. Οπότε χρησιμοποιούνται διάφορες τεχνικές για την απεικόνισή τους όπως η χρήση στοιχειωδών σχημάτων (π.χ. τριγώνων, σφαιριδίων) τοποθετημένα ώστε το κέντρο βάρους τους να συμπίπτει με τη θέση του σωματιδίου.

Έστω, λοιπόν, ένα σωματίδιο στο οποίο επιδρούν διάφορες δυνάμεις, οι οποίες έχουν ως αποτέλεσμα να ασκείται πάνω του κάθε χρονική στιγμή μια γνωστή επιτάχυνση . Το πρόβλημα της προσομοίωσης του σωματιδίου αυτού ανάγεται στον υπολογισμό της θέσης του στο χρόνο, δεδομένης της επιτάχυνσης , της αρχικής ταχύτητας και της αρχικής θέσης . Είναι γνωστό, όμως, από την άλγεβρα ότι:

$\stackrel{.}{x}\left(w\right)=\stackrel{.}{x}\left(0\right)+{\int }_0^w\stackrel{..}{x}\left(s\right)ds$

{Εξ. 8.14}

Παρόμοια μπορεί να εξαχθεί η σχέση που συνδέει θέση και ταχύτητα

$x\left(t\right)=x\left(0\right)+{\int }_0^t\stackrel{.}{x}\left(w\right)dw$

{Εξ. 8.15}

Άρα συνδυάζοντας τα παραπάνω έχουμε:

$\begin{array}{c}x\left(t\right)=x\left(0\right)+{\int }_0^t\left(\stackrel{.}{x}\right(0)+{\int }_0^w\stackrel{..}{x}\left(s\right)ds)dw\\ x\left(t\right)=x\left(0\right)+x\left(0\right)·t+{\int }_0^t{\int }_0^w\stackrel{..}{x}\left(s\right)dsdw\end{array}$

{Εξ. 8.16}

Όταν είναι δυνατός ο υπολογισμός ολοκληρώσιμης αναλυτικής μορφής της επιτάχυνσης τότε μπορεί να επιλυθεί το παραπάνω ολοκλήρωμα και απλώς να υπολογιστεί η τιμή του για κάθε χρονική στιγμή που απαιτείται από την προσομοίωση. Όπως αναφέρθηκε όμως και παραπάνω κάτι τέτοιο δεν είναι εφικτό στην πλειονότητα των περιπτώσεων, διότι ακόμα και αν μπορεί να υπολογιστεί αναλυτικά η σχέση για την επιτάχυνση, αυτή δεν είναι ολοκληρώσιμη. Για το λόγο αυτό καταφεύγουμε στην αριθμητική επίλυση της παραπάνω εξίσωσης.

8.4.3. Αριθμητική ολοκλήρωση

Η αριθμητική ολοκλήρωση βασίζεται στο γεγονός ότι οποιαδήποτε παραγωγίσιμη συνάρτηση μπορεί να εκφραστεί ως σειρά Taylor και να υπολογιστεί έτσι η τιμή της s(t) γύρω από ένα γνωστό σημείο t₀.

$\begin{array}{c}s\left(t\right)=\underset{N\to \infty }{lim}\sum _{n=0}^N\frac{d^{n}s\left(t_0\right)}{d{t}^n}\frac{(t-t_0{)}^n}{n!}\\ s\left(t\right)=s\left(t_0\right)+\dot{s}\left(t_0\right)(t-t_0)+\ddot{s}\left(t_0\right)\frac{(t-t_0)}{2}+...\end{array}$

{Εξ. 8.17}

Έτσι μπορούμε να έχουμε μια προσέγγιση της τιμής του s(t) εάν χρησιμοποιήσουμε έναν πεπερασμένο αριθμό από τους παραπάνω όρους. Για να κάνουμε την προσέγγιση αυτή πρέπει να γνωρίζουμε την τιμή της συνάρτησης s(t) αλλά και τις παραγώγους της, τη χρονική στιγμή t₀. Η πιο απλή, πλέον, λύση είναι να πάρουμε μια προσέγγιση δύο όρων, οπότε έχουμε

$s\left(t\right)=s\left(t_0\right)+\dot{s}\left(t_0\right)(t-t_0)$

{Εξ. 8.18}

Πώς, όμως, μπορεί να εφαρμοστεί αυτή η προσέγγιση στην περίπτωση της δυναμικής προσομοίωσης; Αρκεί να σκεφτούμε ότι αυτό που επιζητούμε είναι να υπολογίσουμε τη θέση ενός αντικειμένου/σωματιδίου τη χρονική στιγμή t βάσει ενός διανύσματος κατάστασης (θέση, ταχύτητα, επιτάχυνση) των προηγούμενων χρονικών στιγμών.

Εδώ πρέπει να σημειώσουμε ότι οι προσομοιώσεις είναι διακριτές. Δηλαδή, υπολογίζονται οι φυσικές ποσότητες της προσομοίωσης τη χρονική στιγμή t και στη συνέχεια γίνονται οι κατάλληλοι υπολογισμοί για να υπολογιστούν οι ίδιες ποσότητες τη χρονική στιγμή t+1. Άρα μπορούμε να έχουμε μια έκφραση για τη θέση ως εξής:

$\mathit{x}\left(t\right)=\mathit{x}\left(t_0\right)+\dot{\mathbf{x}}\left(t_0\right)(t-t_0)$

{Εξ. 8.19}

Ομοίως και για την ταχύτητα:

$\dot{x}\left(t\right)=\dot{x}\left(t_0\right)+\ddot{x}\left(t_0\right)(t-t_0)$

{Εξ. 8.20}

Βάσει του δεύτερου νόμου του Νεύτωνα καταλήγουμε στην παρακάτω σχέση:

$\dot{\mathbf{x}}\left(t\right)=\dot{\mathbf{x}}\left(t_0\right)+\frac{\mathit{f}\left(t_0\right)}{m}(t-t_0)$

{Εξ. 8.21}

Οι παραπάνω σχέσεις εκφράζουν την εμπρόσθια ολοκλήρωση Euler (Explicit Euler Integration) και είναι ο απλούστερος τρόπος αριθμητικής ολοκλήρωσης ενός δυναμικού συστήματος. Αυτό που κάνει πρακτικά η μέθοδος αυτή της ολοκλήρωσης είναι να υπολογίζει τις παραγώγους, δηλαδή την ταχύτητα και την επιτάχυνση, στην αρχή του διαστήματος ολοκλήρωσης [t, t+1] και να θεωρεί ότι οι παράγωγοι αυτές παραμένουν σταθερές κατά τη διάρκεια όλου του διαστήματος. Είναι προφανές ότι η προσέγγιση αυτή μπορεί να είναι ακριβής μόνο για μικρά Δt, διότι υπό την επήρεια μεγάλων επιταχύνσεων η ταχύτητα θα αλλάζει πολύ στο διάστημα αυτό, κάτι που μπορεί εύκολα να οδηγήσει σε αστάθεια.

Μια λύση είναι να εκτελεστεί ένα βήμα ολοκλήρωσης με τη μέθοδο εμπρόσθιας ολοκλήρωσης Euler και να υπολογιστούν οι παράγωγοι την επόμενη χρονική στιγμή. Στη συνέχεια επιστρέφουμε στο προηγούμενο βήμα και χρησιμοποιούμε τις παραγώγους αυτές για τη μετάβαση από τη χρονική στιγμή t στην t+1. Αυτή η μέθοδος λέγεται ημί-αντίστροφη ολοκλήρωση Euler (semi-implicit Euler) και περιγράφεται από τις παρακάτω σχέσεις.

$\dot{x}(t+\Delta t)=\dot{x}\left(t\right)+\ddot{x}(t-\Delta t)$

{Εξ. 8.22}

$\dot{x}(t+\Delta t)=\dot{x}\left(t\right)+\dot{x}(t-\Delta t)$

{Εξ. 8.23}

όπου οι παράγωγοι της χρονικής στιγμής t+1, v(t+1), γ(t+1) υπολογίζονται από ένα προσωρινό βήμα εμπρόσθιας ολοκλήρωσης Euler.

8.4.4. Δυνάμεις

Στις προηγούμενες παραγράφους είδαμε τρόπους να ολοκληρώνουμε και να προσομοιώνουμε ένα σύστημα όταν γνωρίζουμε για κάθε χρονική στιγμή τη θέση των αντικειμένων, την ταχύτητά τους και την επιτάχυνσή τους. Η επιτάχυνση που τους ασκείται συνδέεται άμεσα με τη δύναμη που ασκείται πάνω τους βάσει του δεύτερου νόμου του Νεύτωνα. Ακόμα πρέπει να δίνεται προσοχή ώστε να μην παραβιάζεται ο τρίτος νόμος του Νεύτωνα, που αναφέρει ότι η συνισταμένη των δυνάμεων σε ένα κλειστό σύστημα (δηλαδή, σε ένα σύστημα στο οποίο δεν ασκούνται εξωτερικές δυνάμεις) είναι μηδέν. Οπότε όταν ασκείται σε ένα σώμα Α μια δύναμη ως αποτέλεσμα της αλληλεπίδρασης με ένα άλλο σώμα Β, τότε ασκείται και στο σώμα Β ως αντίδραση ίδια και αντίθετη δύναμη.

Ποιες είναι, όμως, οι δυνάμεις που ασκούνται σε ένα αντικείμενο ή σε ένα σύστημα σωματιδίων και πώς μπορούν να μοντελοποιηθούν; Στη συνέχεια της παραγράφου αυτής παρουσιάζονται οι εκφράσεις των βασικότερων δυνάμεων που χρησιμοποιούνται στις δυναμικές προσομοιώσεις.

Βαρυτική δύναμη. Μια απλή και πολύ χρήσιμη δύναμη προκύπτει από το ομοιόμορφο βαρυτικό πεδίο:

$\begin{array}{c}{\mathit{f}}_{gravity}=m{\mathit{g}}_{\mathbf{0}}\\ {\mathit{g}}_0=[0 9.8 0]\frac{m}{s^2}\end{array}$

{Εξ. 8.24}

όπου m είναι η μάζα του αντικειμένου υπό προσομοίωση. Στην περίπτωση αυτή υποθέτουμε ότι οι διαστάσεις του προβλήματός μας σε σχέση με τον πλανήτη είναι αμελητέες, οπότε και η δύναμη έχει σταθερή κατεύθυνση. Ακόμα, εφόσον δεν εφαρμόζουμε κάποια αντίδραση στη δράση της βαρύτητας φαίνεται ότι παραβιάζουμε τον 3^ο νόμο του Νεύτωνα. Αυτό δικαιολογείται, όμως, από την υπόθεση ότι οι διαστάσεις του προβλήματος (άρα και η μάζα) είναι αμελητέες σε σχέση με το μέγεθος του πλανήτη. Οπότε και η επίδραση της δύναμης αντίδρασης είναι αμελητέα. Σε περίπτωση που δεν ισχύει η παραπάνω υπόθεση μπορούμε να χρησιμοποιήσουμε την παρακάτω σχέση.

$\begin{array}{c}{\mathit{f}}_{gravity}=\frac{G{m}_1{m}_2}{}\mathit{e}\\ G=6.673x{10}^{-11} \frac{m^3}{kg·s^2}\end{array}$

{Εξ. 8.25}

όπου m₁ και m₂ είναι οι μάζες των δύο αντικειμένων που αλληλεπιδρούν, d η απόσταση μεταξύ των κέντρων βάρους τους, G η σταθερά της βαρύτητας και e το μοναδιαίο διάνυσμα που συνδέει τα κέντρα βάρους. Ο παραπάνω νόμος περιγράφει ίσες και αντίθετες δυνάμεις μεταξύ των αντικειμένων, όπου η δύναμη είναι ανάλογη στο γινόμενο των μαζών και αντιστρόφως ανάλογη του τετραγώνου της απόστασής τους.

Αεροδυναμική αντίσταση. Ο ακριβής υπολογισμός της αεροδυναμικής αντίστασης είναι ένα ιδιαίτερα πολύπλοκο πρόβλημα∙ μια προσεγγιστική λύση προκύπτει από τον παρακάτω τύπο:

$\begin{array}{c}{\mathit{f}}_{aero}=\frac{1}{2}r{\left|\mathit{v}\right|}^2 c_d\alpha \mathit{e}\\ \mathit{e}=-\frac{\mathit{v}}{\left|\mathit{v}\right|}\end{array}$

{Εξ. 8.26}

όπου ρ είναι η πυκνότητα του αέρα, c_d είναι ο συντελεστής αντίστασης του αντικειμένου, α είναι η εγκάρσια επιφάνειά του και e είναι ένα μοναδιαίο διάνυσμα αντίθετο της ταχύτητας v. Όπως και στην περίπτωση της ομοιόμορφης βαρυτικής δύναμης έτσι και η παραπάνω προσέγγιση της αεροδυναμικής αντίστασης φαίνεται να παραβιάζει τον 3^ο νόμο του Νεύτωνα αφού ασκείται μια δύναμη σε ένα αντικείμενο χωρίς να ασκείται η αντίθετη σε κάποιο άλλο. Ποιο είναι, όμως, το άλλο αντικείμενο; Είναι ο περιβάλλων αέρας του οποίου αλλάζει η ταχύτητα, έως ότου η κίνηση αυτή αποσβεστεί και μετατραπεί σε θερμότητα. Η διαδικασία αυτή μπορεί στις περισσότερες περιπτώσεις προσομοιώσεων γραφικών να θεωρηθεί αμελητέα, όχι όμως και σε ακριβείς προσομοιώσεις αεροδυναμικής.

Ελαστική δύναμη ελατηρίου. Μια απλή και πάρα πολύ χρήσιμη δύναμη είναι αυτή που προκύπτει από γραμμικά ιδανικά ελατήρια. Μια δύναμη ενός ελατηρίου μπορεί να περιγραφεί ως εξής

${\mathit{f}}_{spring}=-k_s\mathit{x}$

{Εξ. 8.27}

όπου k είναι η σταθερά του ελατηρίου και x ένα διάνυσμα που περιγράφει τη μετατόπιση. Στην πράξη πολλές φορές είναι χρήσιμο να ορίσουμε ένα ελατήριο που συνδέει δύο σωματίδια και έχει ένα συγκεκριμένο φυσικό μήκος για το οποίο η δύναμη είναι μηδέν. Στην περίπτωση αυτή έχουμε:

$\begin{array}{c}\mathit{x}=x\mathit{e}\\ x=\left|{\mathit{r}}_1-{\mathit{r}}_2\right|-l\\ e=\frac{{\mathit{r}}_1-{\mathit{r}}_2}{\left|{\mathit{r}}_1-{\mathit{r}}_2\right|}\end{array}$

{Εξ. 8.28}

όπου l είναι το φυσικό μήκος του ελατηρίου και r₁, r₂ οι θέσεις τους. Τα ελατήρια ασκούν ίσες και αντίθετες δυνάμεις στα δύο σωματίδια καθώς υπακούουν στον 3^ο νόμο του Νεύτωνα και τη διατήρηση της ορμής.

Αποσβέσεις. Μια άλλη δύναμη με ιδιαίτερο ενδιαφέρον είναι η δύναμη απόσβεσης.

${\mathit{f}}_{damp}=-k_d\mathit{v}$

{Εξ. 8.29}

όπου k_d η σταθερά απόσβεσης και v η διαφορά της ταχύτητας μεταξύ δύο σωματιδίων. Οι δυνάμεις απόσβεσης είναι ίσες και αντίθετες, οπότε διατηρούν την ορμή, αλλά αφαιρούν ενέργεια από το σύστημα. Πού πάει αυτή η ενέργεια; Σε πραγματικές αποσβέσεις, η κινητική ενέργεια μεταφέρεται σε πολύπλοκη κίνηση του ρευστού μέσα στον αποσβεστήρα και τελικά σε τυχαία σωματιδιακή κίνηση η οποία προκαλεί αύξηση της θερμότητας. Πρακτικά, βέβαια, χάνεται η κινητική ενέργεια. Οι αποσβεστήρες λειτουργούν όμοια με τα ελατήρια. Συνήθως, τα παραπάνω συνδυάζονται σε συστήματα ελατηρίου-αποσβεστήρα. Για τον υπολογισμό της δύναμης απόσβεσης, πρέπει να γνωρίζουμε την ταχύτητα σύγκλισης των δύο σωματιδίων που είναι η σχετική τους ταχύτητα κατά μήκος του άξονα που τα συνδέει.

$\begin{array}{c}\mathit{e}=\frac{{\mathit{r}}_1-{\mathit{r}}_2}{\left|{\mathit{r}}_1-{\mathit{r}}_2\right|}\\ v={\mathit{v}}_1·\mathit{e}-{\mathit{v}}_2·\mathit{e}\end{array}$

{Εξ. 8.30}

όπου v₁ και v₂ τα διανύσματα ταχύτητας των δύο σωματιδίων. Ένα άλλος τρόπος να υπολογίσουμε την ταχύτητα σύγκλισης είναι να υπολογίσουμε την απόστασή τους σε σχέση με την απόστασή τους το προηγούμενο καρέ:

$v=\frac{\left|r_1-r_2\right|-d_0}{\Delta t}$

{Εξ. 8.31}

Η διαφορά είναι ότι εδώ ο υπολογισμός της παραγώγου είναι αριθμητικός, ενώ η προηγούμενη λύση ήταν ένας ακριβής αναλυτικός υπολογισμός. Η αναλυτική λύση είναι προτιμητέα για πολλούς λόγους. Πρώτα από όλα δεν απαιτεί επιπλέον χώρο αποθήκευσης. Είναι ευκολότερο να ξεκινήσουμε την προσομοίωση (δεν απαιτεί δεδομένα από το προηγούμενο καρέ), ενώ δίνει και ακριβές αποτέλεσμα αντί για προσέγγιση.

Πεδία δυνάμεων. Ένα πεδίο δυνάμεων μπορεί να οριστεί εύκολα και ανάλογα με την εφαρμογή. Για παράδειγμα, μπορεί να επιλέξουμε ένα πεδίο δυνάμεων όπου η δύναμη είναι συνάρτηση της θέσης στο πεδίο

${\mathit{f}}_{field}\infty \mathit{f}\left(\mathit{r}\right)$

{Εξ. 8.32}

Ένα πεδίο δυνάμεων αναφέρεται, συνήθως, σε έναν προ-αποθηκευμένο πίνακα δυνάμεων για κάθε σημείο μιας δειγματοληψίας του χώρου, στο οποίο όταν βρεθεί ένα αντικείμενο του ασκείται η δύναμη που ανακτάται από τον πίνακα αυτόν. Ένα πεδίο δυνάμεων μπορεί να αφορά μία φυσική δύναμη όπως μαγνητισμός, βαρύτητα ή ακόμα και μηχανικές δυνάμεις όπως η αεροδυναμική αντίσταση.

Ώσεις. Μια ώση μπορεί να θεωρηθεί σαν το ολοκλήρωμα μιας δύναμης σε ένα πολύ μικρό χρονικό διάστημα, το οποίο έχει ως αποτέλεσμα πεπερασμένη μεταβολή της ορμής:

$\mathit{j}=\int \mathit{f}dt=\Delta \mathit{p}$

{Εξ. 8.33}

Μια ώση συμπεριφέρεται σαν μια δύναμη, εκτός του ότι αντί να επιδρά στην επιτάχυνση, επηρεάζει απευθείας την ταχύτητα. Οι ώσεις υπακούουν τον 3ο νόμο του Νεύτωνα, οπότε τα αντικείμενα ανταλλάσσουν ίσες και αντίθετες ώσεις. Ακόμα, όπως και στις δυνάμεις, μπορούμε να υπολογίσουμε συνολική ώση ως άθροισμα διακριτών ώσεων. Οι ώσεις αποτελούν ένα ιδιαίτερα ισχυρό εργαλείο στην επίλυση των συγκρούσεων, διότι μπορούν εύκολα να περιγράψουν το αποτέλεσμα της εφαρμογής μιας πολύ ισχυρής δύναμης για ένα πολύ μικρό χρονικό διάστημα.

Όλες οι δυνάμεις που έχουμε δει μπορούν να συνδυαστούν απλά προσθέτοντάς τες. Οπότε η ολική δύναμη που ασκείται σε ένα σωματίδιο είναι το άθροισμα όλων των επιμέρους δυνάμεων. Σε κάθε καρέ υπολογίζονται όλες οι δυνάμεις του συστήματος την τρέχουσα χρονική στιγμή. Στη συνέχεια ολοκληρώνουμε το σύστημα προς το μέλλον κατά Δt, όπως ορίζει η μέθοδος αριθμητικής ολοκλήρωσης που έχουμε επιλέξει.

8.6. Βιβλιογραφία/Αναφορές

• Angel Ε. (2002). Interactive Computer Graphics (3rd ed.). Addison-Wesley Longman Publishing Co., Inc., Boston, MA, USA.
• Baraff D. (2001). Physically based modeling: Rigid body simulation. SIGGRAPH Course Notes. ACM SIGGRAPH
• Foley JD., van Dam A., Feiner SK., Hughes JF. (1990). Computer Graphics: Principles and Practice (2nd Ed.). Addison-Wesley Longman Publishing Co., Inc., Boston, MA, USA.
• Lengyel Ε. (2011). Mathematics for 3D Game Programming and Computer Graphics, Third Edition(3rd ed.). Course Technology Press, Boston, MA, United States.
• Selle A., Lentine M., Fedkiw R. (2008). A mass spring model for hair simulation. ACM Transactions on Graphics, 27, 3 (2008), pp. 1-11.
• Θεοχάρης Θ., Μπέμ Α., Καραμπάση Α., Παπαϊωάννου Γ., Πλατής Ν. (1999). Γραφικά: Αρχές και Αλγόριθμοι, Εκδόσεις Συμμετρία, Αθήνα.