2 'ΓΡΑΦΙΚΑ ΚΑΙ ΕΙΚΟΝΙΚΗ ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΟΤΗΤΑ' Μουστάκας Κ., Παλιόκας Ι., Τσακίρης Α., Τζοβάρας Δ.








next

Περιεχόμενα

Πατήστε πάνω στους τίτλους των υποκεφαλαίων ή μεταφερθείτε στην αρχική σελίδα.

Πλοήγηση 


2015

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2: ΣΧΕΔΙΑΣΗ
img
  • 2.1. Εισαγωγή
  • 2.2. Σχεδίαση Ευθύγραμμων Τμημάτων
  • 2.3. Σχεδίαση Πολυγώνων
  • 2.4. Σχεδίαση Καμπυλών
  • 2.5. Ταύτιση και Αντιταύτιση
  • 2.6. Προτεινόμενες Ασκήσεις και Προβλήματα
  • 2.7. Αναφορές



icon

Σύνοψη

Στον τομέα των γραφικών, υπάρχει από τη μια μεριά η μαθηματική περιγραφή των σχημάτων που χαρακτηρίζεται από την ανάλογη αυστηρότητα και από την άλλη οι περιορισμοί της πλεγματικής οθόνης πάνω στην οποία τελικά θα γίνει η σχεδίαση. Στο κεφάλαιο αυτό γίνεται ανάλυση αυτών των περιορισμών της πλεγματικής οθόνης σε σχέση με τις ανάγκες σχεδίασης. Θα μελετηθούν οι πιο γνωστοί αλγόριθμοι σχεδίασης βασικών σχημάτων, όπως είναι το ευθύγραμμο τμήμα, ο κύκλος, τα πολύγωνα και οι ελεύθερες καμπύλες. Τα τρίγωνα και άλλα πολύγωνα προσεγγίζονται σχεδιαστικά με την επαναληπτική εφαρμογή των αλγορίθμων σχεδίασης ευθύγραμμων τμημάτων. Οι καμπύλες περιγράφονται ως καμπύλες Bezier και τα κλειστά σχήματα γεμίζονται με χρώμα, ενώ ελέγχεται αν κάθε εικονοστοιχείο βρίσκεται εντός ή εκτός του κλειστού σχήματος. Τα παραπάνω σε συνδυασμό με τις τεχνικές αντι-ταύτισης ολοκληρώνουν το κεφάλαιο δίνοντας μια πλήρη εικόνα της σύγχρονης στάθμης της τεχνικής αναφορικά με το πρόβλημα της σχεδίασης.

Προαπαιτούμενη γνώση

Γνώσεις μαθηματικής περιγραφής των βασικών σχημάτων (παραμετρικές εξισώσεις). Βασικές γνώσεις δομών δεδομένων όπως λίστες, πίνακες, κτλ. Άνεση στην ανάγνωση κώδικα για την κατανόηση των αλγοριθμικών λύσεων που προτείνονται.


2.1. Εισαγωγή

Στον τομέα των γραφικών, υπάρχει από τη μια μεριά η μαθηματική περιγραφή των σχημάτων που έχει την ανάλογη αυστηρότητα και από την άλλη οι περιορισμοί της πλεγματικής οθόνης πάνω στην οποία τελικά θα γίνει η σχεδίαση. Η οθόνη συμμετέχει στο πρόβλημα της σχεδίασης ως καμβάς πάνω στον οποίο θα σχηματιστούν οι μορφές κάθε σκηνής. Από πρακτικής πλευράς, η οθόνη προσεγγίζεται με έναν ορθογωνικό πίνακα εικονοστοιχείων πάνω στον οποίο οι αλγόριθμοι σχεδίασης εξάγουν τα αποτελέσματά τους με γνώμονα την προσεγγιστική ακρίβεια και την αποδοτικότητα.

Από την πλευρά της πρακτικής χρήσης των τεχνικών που θα μελετηθούν, πολλά από τα θέματα που πραγματεύεται αυτό το κεφάλαιο, όπως για παράδειγμα οι αλγόριθμοι σχεδίασης, θεωρούνται ήδη υλοποιημένα στα σύγχρονα συστήματα γραφικών και τα διαθέσιμα προγραμματιστικά εργαλεία που έχει για χρήση ο προγραμματιστής, προσφέρουν έτοιμες συναρτήσεις σχεδιασμού. Το αντικείμενο της αλγοριθμικής της σχεδίασης προσεγγίζεται για ακαδημαϊκούς λόγους, ενώ η γνώση που προκύπτει από την τριβή με το συγκεκριμένο αντικείμενο θεωρείται προθάλαμος για πιο πολύπλοκες διαδικασίες της γραφικής με υπολογιστές. Επιπρόσθετα, η γνώση αυτή μπορεί να φανεί χρήσιμη μελλοντικά στην κατανόηση πιο σύνθετων προβλημάτων και των προτεινόμενων λύσεών τους.


2.1.1. Το πρόβλημα της Σχεδίασης

Οι οθόνες είναι δισδιάστατες επιφάνειες πάνω στις οποίες προβάλλεται η οπτική πληροφορία. Έχουν πεπερασμένες διαστάσεις και συγκεκριμένες τεχνικές προδιαγραφές (π.χ. μέγιστη ανάλυση). Έτσι, λοιπόν, μοιάζουν σαν ένα πλέγμα από εικονοστοιχεία ή αλλιώς pixels (Picture Element) με το καθένα να είναι χρωματικά ανεξάρτητο από τα υπόλοιπα. Το πρόβλημα της σχεδίασης ξεκινάει από την ανάγκη να αναπαρασταθούν σχήματα στις πλεγματικές οθόνες λαμβάνοντας υπόψη τους περιορισμούς που αναφέρθηκαν παραπάνω. Ένα υπολογιστικό σύστημα δεν έχει όλους τους πόρους και τις δυνατότητες που θα θέλαμε για να αναπαραστήσει ένα ευθύγραμμο τμήμα, έναν κύκλο ή μια ελεύθερη καμπύλη. Η προβληματική της σχεδίασης αναφέρεται στην επιλογή ενός υποσυνόλου από τα διαθέσιμα εικονοστοιχεία της οθόνης τα οποία σε κάθε στιγμή (καρέ) θα πρέπει να επιλεγούν, ώστε να αποδοθεί σε αυτά ένας διαφορετικός χρωματισμός από τα άλλα εικονοστοιχεία που αναπαριστούν το υπόβαθρο. Στην πιο απλή μορφή υπάρχει σε ένα περιβάλλον μονοχρωματικής απεικόνισης βασικών σχημάτων όπου το υπόβαθρο είναι λευκού χρώματος, ενώ στα εικονοστοιχεία που ανήκουν στο απεικονιζόμενο σχήμα αποδίδεται το μαύρο χρώμα.

Το ανθρώπινο οπτικό σύστημα χρειάζεται έναν μεγάλο αριθμό από εικονοστοιχεία για να αντιληφθεί μια εικόνα με ενιαίο τρόπο. Η ανάλυση της οθόνης φτάνει σήμερα στα επίπεδα της υψηλής και πολύ υψηλής ανάλυσης (HD) και ένα πλήθος εικονοστοιχείων 1920 στο πλάτος επί 1080 στο ύψος θεωρείται συνηθισμένο για ένα μέτριο υπολογιστικό σύστημα γραφείου. Επίσης, τα εικονοστοιχεία δεν είναι πάντοτε τετραγωνικά, αλλά χαρακτηρίζονται από το λόγο διάστασης που εκφράζει το κατά πόσο πλησιάζει το σχήμα του ένα κανονικό τετράγωνο. Για παράδειγμα, ένας λόγος 1.2:1, δηλώνει ότι το πλάτος του εικονοστοιχείου είναι 1.2 φορές πιο μεγάλο από το ύψος του.

Στην Εικόνα 2.1, απεικονίζεται ένα παράδειγμα μονοχρωματικής εικόνας σε άσπρο-μαύρο και ο αντίστοιχος πίνακας με τις τιμές των εικονοστοιχείων της. Επειδή το βάθος χρώματος της εικόνας είναι 1, οι πιθανές τιμές που προκύπτουν για το χρώμα είναι 0 ή 1. Το 0, συνήθως, αντιστοιχεί στο λευκό το οποίο εδώ εξυπηρετεί ως χρώμα υποβάθρου, ενώ το 1 αντιστοιχεί στο μαύρο το οποίο χρησιμοποιείται ως χρώμα για τα περιγράμματα των σχημάτων, αλλά και ως χρώμα γεμίσματος. Σε μια εικόνα που αποδίδεται σε κλίμακα του γκρι, στον πίνακα bitmap εισάγονται τιμές χρώματος 8 bit που κυμαίνονται στο διάστημα [0, 255]. Τα περισσότερα από τα παραδείγματα του κεφαλαίου βασίζονται σε μονοχρωματικές εικόνες ή εικόνες στην κλίμακα του γκρι. Για μεγαλύτερα βάθη χρώματος, το μήκος της λέξης του χρώματος αυξάνεται έως τα 64bit (48bit για το χρώμα και 16bit για το alpha channel).

00011111000
01 100000 110
010000000 10
10011011 001
100010100 00
1000000000 1
10010001001
010011100 10
01100000110
00011111000
face

Εικόνα 2.1. Μια μονοχρωματική εικόνα (δεξιά) και ο αντίστοιχος πίνακας τιμών (αριστερά)

Ένα δεύτερο μεγάλο θέμα που απασχολεί τη σχεδίαση στον υπολογιστή είναι η αντιστοίχιση των μαθηματικά ορισμένων σημείων πάνω στην οθόνη, με δεδομένο ότι τα εικονοστοιχεία έχουν κάποιο σεβαστό μέγεθος. Στη θέση της οθόνης θεωρούμε ένα δισδιάστατο ορθογωνικό πλέγμα τετραγωνικών εικονοστοιχείων, το κέντρο των οποίων μπορεί να είναι είτε πάνω στις ακέραιες συντεταγμένες είτε πάνω σε ημίσειες συντεταγμένες. Στην πρώτη περίπτωση, το κάτω αριστερά εικονοστοιχείο (που συχνά θεωρείται το ‘μηδενικό’ εικονοστοιχείο καθώς βρίσκεται κοντά στο κέντρο των ημιαξόνων που ορίζουν το δισδιάστατο χώρο), έχει συντεταγμένες [0, 0], ενώ στη δεύτερη περίπτωση έχει συντεταγμένες [0.5, 0.5]. Σε κάποιο άλλο σύστημα αναφοράς που θεωρεί αντεστραμμένο τον άξονα των Y, το μηδενικό εικονοστοιχείο βρίσκεται πάνω αριστερά, όπως συμβαίνει συχνά σε περιβάλλοντα ψηφιακής επεξεργασίας εικόνας. Για λόγους απλότητας, στη συνέχεια του βιβλίου θα θεωρείται ότι τα εικονοστοιχεία έχουν ακέραιες συντεταγμένες στο ορθοκανονικό σύστημα αναφοράς (xΟy) και ότι κάθε εικονοστοιχείο καλύπτει επιφάνεια από (x-0.5, y-0.5) έως (x+0.5, y+0.5) όπως φαίνεται στην Εικόνα 2.2.

pixel

Εικόνα 2.2. Πλεγματική οθόνη όπου τα εικονοστοιχεία έχουν ακέραιες συντεταγμένες

Οι ποιοτικοί παράγοντες που χαρακτηρίζουν κάθε λύση του προβλήματος της σχεδίασης είναι η ακρίβεια και η απόδοση. Με λίγα λόγια, αυτό που καθιστά μια μέθοδο ή έναν αλγόριθμο σχεδίασης προτιμητέο από κάποιον άλλον είναι: α. η δυνατότητα σχεδίασης όσο το δυνατόν πιο κοντά στην πραγματικότητα (στην ελάχιστη δυνατή απόσταση από την μαθηματικά ορισμένη πραγματικότητα), β. η ταχύτητα σχεδίασης (αποδοτικότητα) και γ. η ελαχιστοποίηση της κατανάλωσης πόρων (π.χ. μνήμη RAM). Σε ένα βιντεοπαιχνίδι για παράδειγμα, είναι επιθυμητό η σχεδίαση πολύπλοκων σκηνών που αποτελούνται από πολλά σχήματα και χρώματα, να γίνεται σε πραγματικό χρόνο που σημαίνει τουλάχιστον 25 με 30 fps (frames per second).


2.1.2. Παραμετρική Αναπαράσταση Ευθείας

Αν για μια συνάρτηση δύο μεταβλητών f(x,y) θεωρηθεί ότι ισχύει η ισότητα με το μηδέν, τότε μπορεί για ένα δεδομένο χ0 να υπολογιστεί μέσα από τη σχέση f(x,y)=0, μία τιμή για το y0. Με την επανάληψη αυτής της διαδικασίας για τα σημεία ενός συνόλου τιμών Α, ορίζεται μια συνάρτηση f(x,y)=0 που ονομάζεται Πεπλεγμένη συνάρτηση.

Ωστόσο, ο προαναφερόμενος δεν είναι ο μόνος τρόπος να οριστεί ένα σχήμα. Αν τα x και y μπορούν να εκφραστούν με συναρτήσεις μιας ανεξάρτητης μεταβλητής t, δηλαδή x=f(t) και y=g(t), τότε το παραπάνω ζεύγος εξισώσεων ονομάζεται παραμετρική εξίσωση της καμπύλης C. Γενικά, ο παραμετρικός ορισμός καμπυλών παρουσιάζει ορισμένα πλεονεκτήματα, όπως η δυνατότητα περιγραφής κλειστών καμπυλών, η δυνατότητα επέκτασης σε περισσότερες διαστάσεις (π.χ. από τις δισδιάστατες καμπύλες στις τρισδιάστατες), ευκολότερη χρήση συσχετισμένων μετασχηματισμών (λόγω ανεξαρτησίας των συντεταγμένων) και ανεξαρτησία από το ίδιο το σύστημα συντεταγμένων.

Στην απλή περίπτωση της ευθείας, αυτή μπορεί να οριστεί είτε από δύο σημεία P1 και P2 (Εικόνα 2.3), είτε από ένα σημείο P και ένα διάνυσμα, ή συντελεστή διεύθυνσης, ενώ μπορεί ακόμη να οριστεί με βάση μια άλλη ευθεία. Κάθε ευθεία χωρίζει τα σημεία του χώρου σε δύο σύνολα: τα σημεία που ανήκουν στην ευθεία και αυτά που δεν ανήκουν σε αυτή. Ορισμένες φορές στον καθημερινό λόγο χρησιμοποιείται ο όρος ‘ευθεία’ για να προσδιορίσει ένα ευθύγραμμο τμήμα, πράγμα που δεν ισχύει. Στο πρόβλημα της σχεδίασης υπάρχει πάντοτε ένα αρχικό και ένα τελικό σημείο, ακόμη κι αν αυτά είναι τα όρια της οθόνης. Μια ευθεία ορίζεται ως:

ax+by=c

{Εξ. 2.1}

όπου |a| + |b| ≠ 0.

Στην περίπτωση του ευθύγραμμουευθύγραμμου τμήματος (Εικόνα 2.3) έχουμε ένα σημείο αρχής, έστω το P1 με συντεταγμένες (x1, y1) και ένα σημείο τερματισμού, έστω το P2 με συντεταγμένες (x2, y2). Με δεδομένα αυτά τα δύο σημεία ορίζεται η παραμετρική εξίσωση:

T(t)=P1+t(P2-P1)

{Εξ. 2.2}

Έτσι, για κάθε τιμή του t προκύπτει ένα ζεύγος τιμών (x, y) που επιτρέπει τη δημιουργία σημείων πάνω στην καμπύλη, δυνατότητα που δεν προσφέρεται από την Πεπλεγμένη μορφή. Επίσης, επειδή συνήθως έχουμε να κάνουμε με ευθύγραμμα τμήματα που είναι τμήματα κάποιας ευθείας, είναι πιο βολική η παραμετρική μορφή για τις δύο μεταβλητές Χ και Υ που εκφράζονται έτσι ανεξάρτητα η μία από την άλλη [Blundell, 2008].

pixel

Εικόνα 2.3. Το ευθύγραμμο τμήμα που διέρχεται από τα σημεία P1 και P2

Το ευθύγραμμο τμήμα Τ διαγράφεται καθώς το t λαμβάνει τις τιμές από το 0 έως το 1. Αν οι τιμές του t επεκταθούν εκτός των ορίων (t R), τότε ορίζεται η ευθεία που διέρχεται από τα σημεία P1 και P2. Οι συντεταγμένες του ευθύγραμμου τμήματος δίνονται ως:

x(t)=x1+t(x2-x1)y(t)=y1+t(y2-y1)

{Εξ. 2.3}

Για τις ακραίες τιμές (t=0 και t=1), η παραμετρική εξίσωση επιστρέφει τα άκρα του ευθύγραμμου τμήματος P1(x1,y1) και P2(x2,y2), ενώ για t=1/2 επιστρέφεται το μέσον του ευθύγραμμου τμήματος.


2.1.3. Παραμετρική Αναπαράσταση Κωνικών Τομών

Κωνικές τομές ονομάζονται οι καμπύλες που προκύπτουν από την τομή ενός κώνου με ένα επίπεδο. Το σύνολο των καμπυλών έως δευτέρου βαθμού είναι κωνικές τομές. Λαμβάνονται υπόψη δύο γωνίες που χαρακτηρίζουν τη σχετική τοποθέτηση του επιπέδου με τον κώνο: η φ γωνία που είναι το ‘άνοιγμα’ του κώνου και η θ που είναι η γωνία που σχηματίζεται ανάμεσα στο επίπεδο και τον άξονα του κώνου (Εικόνα 2.4). Η πλήρης περιγραφή θεωρεί διπλό κώνο με μη-πεπερασμένες διαστάσεις όπου ο δεύτερος κώνος είναι αντεστραμμένος σε σχέση με τον πρώτο, αλλά διατηρείται πάνω στον ίδιο κοινό άξονα (Εικόνα 2.5).

pixel

Εικόνα 2.4. Γωνίες που προσδιορίζουν τη σχετική θέση του επιπέδου με τον κώνο

Στη γενική της μορφή μια κωνική τομή περιγράφεται από την εξίσωση:

ax2+bxy+cy2+dx+ey+f=0

{Εξ. 2.4}

Με διάφορες τοποθετήσεις του επιπέδου σε σχέση με τον κώνο προκύπτουν οι εξής περιπτώσεις:

Κύκλος. Αν το επίπεδο είναι κάθετο στο άξονα του κώνου, τότε από την τομή προκύπτει ο κύκλος.

Έλλειψη. Όταν ισχύει φ<θ, τότε η ημι-γωνία της κορυφής του κώνου είναι μικρότερη από την κλίση του επιπέδου με αποτέλεσμα από την τομή να προκύπτει το σχήμα της έλλειψης. Το σχήμα της έλλειψης προκύπτει όταν στην ax2 + bxy + cy2 + dx + ey + f = 0 {Εξ. 2.4} ισχύει η ανισότητα 4ac-b2>0.

Παραβολή. Όταν ισχύει η ισότητα φ=θ, τότε από την ισότητα των γωνιών μεταξύ του επιπέδου και του κώνου παράγεται μια παραβολή. Από τη γενική μορφή της κωνικής τομής ισχύει 4ac=b2 και ένας τουλάχιστον εκ των παραγόντων a και c πρέπει να είναι μη μηδενικός.

Υπερβολή. Προκύπτει, όταν ισχύει η αντίθετη ανισότητα που δημιουργεί την έλλειψη, δηλαδή όταν φ>θ.

Κάθε καμπύλη μπορεί να περιγραφεί από μια καρτεσιανή εξίσωση που συνδέει τις συντεταγμένες της και ορίζεται ως ένα σύνολο σημείων για τα οποία ισχύει:

C=x,y R2| fx,y=c

{Εξ. 2.5}

Όπου f, είναι η συνάρτηση των x και y και c είναι μια σταθερά. Στα παρακάτω εδάφια θα περιγραφούν ορισμένα βασικά σχήματα. Με αφετηρία την Πεπλεγμένη εξίσωση καθενός σχήματος, εξηγούνται ορισμένες πολύ βασικές ιδιότητες πριν δοθεί τελικά ο παραμετρικός ορισμός του σχήματος.


2.1.3.1. Παραμετρική Εξίσωση Κύκλου

Κύκλος είναι ο γεωμετρικός τόπος των σημείων του επιπέδου που ισαπέχουν από το κέντρο του κύκλου κατά απόσταση r. Αν C(xc,yc) είναι το κέντρο του κύκλου, τότε η σχέση που συνδέει τις συντεταγμένες των σημείων του κύκλου περιγράφεται από την εξίσωση:

x-xc2+y-yc2=r2

{Εξ. 2.6}

όπου r είναι η ακτίνα του κύκλου. Σε αντιστοιχία με τα προηγούμενα, η παραμετρική εξίσωση κύκλου με κέντρο το σημείο (0,0) του συστήματος συντεταγμένων δίνεται από το ζεύγος παραμετρικών εξισώσεων:

x(t)=rcos(2πt)y(t)=rsin(2πτ)

{Εξ. 2.7}

όπου r είναι η ακτίνα του κύκλου και t [0, 1]. Ο κύκλος ομοίως διαγράφεται καθώς το t λαμβάνει τις τιμές από το 0 έως το 1, με τη διαφορά ότι για επέκταση των ορίων του t προκύπτει επανασχεδιασμός του κύκλου.

pixel pixel
α) Κύκλος b) Έλλειψη
pixel pixel
γ) Παραβολή δ) Υπερβολή

Εικόνα 2.5. Κωνικές τομές


2.1.3.2. Παραμετρική Εξίσωση Έλλειψης

Έλλειψη είναι η κωνική τομή που δημιουργείται όταν ένα επίπεδο τέμνει πλάγια έναν κώνο (υπό γωνία με τον άξονά του). Ο κύκλος που εξετάστηκε πρωτύτερα μπορεί να θεωρηθεί ειδική περίπτωση της έλλειψης όπου το επίπεδο τέμνει τον κώνο κάθετα στον άξονα του κώνου. Με δεδομένα δύο σταθερά σημεία στο επίπεδο, έστω τα Ε1 και Ε2 (εστίες) που έχουν απόσταση c μεταξύ τους (εστιακή απόσταση), η έλλειψη ορίζεται ως ο γεωμετρικός τόπος των σημείων που δίνουν σταθερό άθροισμα αποστάσεων από τα σημεία αυτά, και ισχύει ότι a>c (Εικόνα 2.6). Αν το κέντρο είναι η αρχή των αξόνων Ο(0,0), τότε η εξίσωση:

x2a2+y2b2=1

{Εξ. 2.8}

ορίζει πεπλεγμένα την έλλειψη όπου 2a είναι ο μεγάλος άξονας συμμετρίας, και 2b ο μικρός άξονας συμμετρίας και ισχύει b2=a2-c2. Η παραμετρική περιγραφή της έλλειψης δίνεται από το ζεύγος εξισώσεων:

x(t)=acos(2πt)y(t)=bsin(2πt)

{Εξ. 2.9}

pixel

Εικόνα 2.6. Γραφική αναπαράσταση έλλειψης όπου Ε12: εστίες, a: μικρός άξονας, b: μεγάλος άξονας και χ:οποιοδήποτε σημείο που έχει σταθερό άθροισμα αποστάσεων από τις εστίες


2.1.3.3. Παραμετρική Εξίσωση Παραβολής

Παραβολή λέγεται ο γεωμετρικός τόπος των σημείων που ισαπέχουν από μια ευθεία E και από ένα σημείο P που βρίσκεται εκτός της ευθείας (Εικόνα 2.7). Η ευθεία Ε που ονομάζεται Διευθέτουσα, όπως και το σημείο P που ονομάζεται Εστία της παραβολής, είναι και τα δύο σταθερά και δε μεταβάλλονται. Η παραβολή είναι ανοιχτή καμπύλη και εκτείνεται απεριόριστα στο δισδιάστατο επίπεδο. Η εξίσωση που την ορίζει είναι η δευτεροβάθμια συνάρτηση:

y=f(x)=ax2+bx+c

{Εξ. 2.10}

Αν η αρχή των αξόνων (0,0) είναι η κορυφή της παραβολής και ο άξονας των τετμημένων είναι ο άξονας συμμετρίας της, τότε η παραβολή περιγράφεται από την εξίσωση:

y2=4axx2=4ayή

{Εξ. 2.11}

όπου 2a είναι η παράμετρος της παραβολής, η απόλυτη τιμή της οποίας είναι η απόσταση της Εστίας από τη Διευθέτουσα. Τέλος, η παραμετρική εξίσωση της παραβολής δίνεται από το ζεύγος εξισώσεων:

x=at2y=2at{Εξ. 12}

{Εξ. 2.12}

ή

x=2aty=at2{Εξ. 13}

{Εξ. 2.13}

pixel

Εικόνα 2.7. Γραφική αναπαράσταση Παραβολής όπου Ε: μια σταθερή ευθεία, P: ένα σταθερό σημείο και χ1, χ2 : σημεία που ισαπέχουν από την ευθεία E και το σημείο P


2.1.3.4. Παραμετρική Εξίσωση Υπερβολής

Υπερβολή είναι η κωνική τομή που ορίζεται από δύο σταθερά σημεία Ε1 και Ε2 που ονομάζονται εστίες, και περιλαμβάνει τα σημεία των οποίων η απόλυτη διαφορά της απόστασής τους από τις εστίες είναι σταθερή και μικρότερη του Ε12 (Εικόνα 2.8). Για την υπερβολή ισχύει:

x2a2-y2b2=1

{Εξ. 2.14}

όπου 2a είναι η απόσταση μεταξύ των κορυφών και 2c η εστιακή απόσταση. Ο λόγος ε=c/a ονομάζεται εκκεντρότητα της υπερβολής. Μια ισοσκελής υπερβολή xy=c2 με κορυφές τα σημεία Α(c,c) και B(-c,-c) δίνεται από τις παραμετρικές εξισώσεις:

x=cty=ct{Εξ. 15}

{Εξ. 2.15}

ή

x=cty=-ct{Εξ. 16}

{Εξ. 2.16}

όπου t ∈ R-{0}

pixel

Εικόνα 2.8. Γραφική αναπαράσταση Υπερβολής όπου Ε1, Ε2: δύο σταθερά σημεία (εστίες), χ: σημεία των οποίων η απόλυτη διαφορά της απόστασής από τις εστίες είναι σταθερή και μικρότερη του Ε12.


2.1.4. Παραμετρική Αναπαράσταση Καμπυλών Μπεζιέ

Οι καμπύλες Μπεζιέ (Bézier) είναι παραμετρικές καμπύλες, πολύ γνωστές στο χώρο των διανυσματικών γραφικών και αποτελούν ένα χρήσιμο εργαλείο για την περιγραφή καμπυλών ελεύθερης μορφής. Πριν οριστεί παραμετρικά η καμπύλη Μπεζιέ, είναι σκόπιμο να γίνει μια μικρή εισαγωγή στην έννοια της Γραμμικής Παρεμβολής. Όπως είχε αναφερθεί και προηγούμενα, η παραμετρική μορφή της εξίσωσης ευθυγράμμου τμήματος είναι:

T(t)=P1+tP2-P1

{Εξ. 2.17}

όπου t ∈ [0, 1].

Η Γραμμική Παρεμβολή είναι η ένωση δύο γνωστών σημείων P1(x1,y1) και P2(x2,y2) με μια ευθεία γραμμή. Έτσι, για κάθε x που ανήκει στο διάστημα (x0,x1) οι τιμές του y προκύπτουν από την εξίσωση:

y-y0x-x0=y1-y0x1-x0

{Εξ. 2.18}

η οποία αν αποδοθεί ως προς y, δίνει:

y=y0+y1-y0x-x0x1-x0

{Εξ. 2.19}

Για ένα δεδομένο σύνολο σημείων P0, P1,…,Pn μπορούμε να εκτελέσουμε μια σειρά από γραμμικές παρεμβολές μεταξύ των σημείων ανά ζεύγη, αφού προσδιοριστούν τα ενδιάμεσα σημεία που προκύπτουν από την παρεμβολή. Καθώς το t διατρέχει το διάστημα από 0 έως 1, τα σημεία της γραμμικής παρεμβολής του υψηλότερου βαθμού σχηματίζουν μια καμπύλη. Αυτή η καμπύλη ονομάζεται καμπύλη Μπεζιέ n βαθμού και στη δισδιάστατη μορφή της δίνεται από τη σχέση:

B(t)=i=0nni1-tn-1tiPi

{Εξ. 2.20}

όπου t ᶓ [0, 1] και

ni=n!i!n-1! είναι οι διωνυμικοί συντελεστές.

Τα σημεία P0, P1,…,Pn ονομάζονται Σημεία Ελέγχου. Αυτά είναι που προσδιορίζουν την καμπυλότητα κατά μήκος της καμπύλης. Στην περίπτωση που τα σημεία ελέγχου βρίσκονται πάνω στην ίδια ευθεία, τότε δεν υπάρχει καμία καμπυλότητα και προκύπτει ευθύγραμμο τμήμα με αρχή και τέλος το πρώτο και τελευταίο από τα σημεία ελέγχου. Πάντως, σε κάθε περίπτωση, η καμπύλη διέρχεται από τα ακραία σημεία, ενώ κατά κανόνα δε διέρχεται από τα ενδιάμεσα.

Το n δίνει το βαθμό της καμπύλης Μπεζιέ. Για μεγάλες τιμές του n αυξάνεται σε μεγάλο βαθμό η πολυπλοκότητα και ταυτόχρονα το υπολογιστικό κόστος, πράγμα μη επιθυμητό για ένα γραφικό σύστημα. Για την περιγραφή πιο πολύπλοκων καμπυλών, η ενδεδειγμένη λύση είναι η συνένωση μικρότερων και πιο απλών καμπυλών και επιφανειών, όπως θα δούμε στο κεφάλαιο 4. Όταν n=2 προκύπτει μια δευτέρου βαθμού (τετραγωνική) καμπύλη Μπεζιέ, ενώ για υψηλότερες τιμές του n προκύπτουν υπερτετραγωνικές μορφές. Μια καμπύλη Μπεζιέ βαθμού n, που συμβολίζεται ως Pn(t), μπορεί να παραχθεί από n+1 σημεία ελέγχου P0, P1,…,Pn που την προσδιορίζουν πλήρως. Ένας ενδεχόμενος μετασχηματισμός, δηλαδή, της καμπύλης Μπεζιέ, το μόνο που θα απαιτούσε θα ήταν ο μετασχηματισμός των σημείων ελέγχου της. Επίσης, η φορά ανάγνωσης των σημείων ελέγχου είναι αδιάφορη, δηλαδή αν χρησιμοποιηθούν τα σημεία ελέγχου με αντίστροφη σειρά, προκύπτει ακριβώς η ίδια καμπύλη.

Στην Εικόνα 2.9 φαίνονται δύο παραδείγματα, ένα με δευτέρου βαθμού (τετραγωνική) καμπύλη Μπεζιέ στα αριστερά και μια τρίτου βαθμού (κυβική) στα δεξιά. Καθώς το t μετακινείται από το 0 στο 1, τα σημεία παρεμβολής μετακινούνται και αυτά πάνω στα τμήματά τους (π.χ. το P01 κατά μήκος του ευθύγραμμου τμήματος P0P1). Το σημείο γραμμικής παρεμβολής υψηλότερου βαθμού (π.χ. το P02 στην κυβική καμπύλη Μπεζιέ) διαγράφει την καμπύλη που περιγράφεται από την εξίσωση με βάση τα σημεία ελέγχου.

pixel pixel
pixelAnimation καμπύλης Bezier Δευτέρου βαθμού pixelAnimation καμπύλης Bezier Τρίτου βαθμού

Εικόνα 2.9. Καμπύλες Bezier: α) Δευτέρου βαθμού ή τετραγωνική καμπύλη (αριστερά), β) Τρίτου βαθμού ή κυβική καμπύλη (δεξιά)