ΙΩΑΝΝΗΣ ΑΝΤΩΝΙΑΔΗΣ

ΚΑΘΗΓΗΤΗΣ

ΣΧΟΛΗ ΜΗΧΑΝΟΛΟΓΩΝ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΕΜΠ

Δυναμική και Έλεγχος Πτήσης

Δυναμική και Έλεγχος Πτήσης

Συγγραφή

Ιωάννης Αντωνιάδης

Κριτικός αναγνώστης

Γεώργιος Βοσνιάκος

Συντελεστές έκδοσης

Γλωσσικη επιμελεια: Παραδεισιώτης Ανδρέας

Γραφιστικη επιμελεια: Παραδεισιώτης Ανδρέας

Τεχνικη επεξεργασια: Παραδεισιώτης Ανδρέας

Copyright © ΣΕΑΒ, 2015

Το παρόν έργο αδειοδοτείται υπό τους όρους της άδειας Creative Commons Αναφορά Δημιουργού - Μη Εμπορική Χρήση - Όχι Παράγωγα Έργα 3.0. Για να δείτε ένα αντίγραφο της άδειας αυτής επισκεφτείτε τον ιστότοπο https://creativecommons.org/licenses/by-nc-nd/3.0/gr/

Σύνδεσμος Ελληνικων Ακαδημαϊκων Βιβλιοθηκών

Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο

Ηρώων Πολυτεχνείου 9, 15780 Ζωγράφου

www.kallipos.gr

ISBN:978-960-603-139-7

Πρόλογος

Το σύγγραμμα απευθύνεται πρωταρχικά σε σπουδαστές των κύκλων Αεροναυπηγών Μηχανολόγων Μηχανικών των Πολυτεχνικών Σχολών της χώρας, αλλά και σε όλους εκείνους τους μηχανικούς, τεχνικούς ή/και ιπταμένους, οι οποίοι ενδιαφέρονται να αποκτήσουν στέρεες επιστημονικές βάσεις στο αντικείμενο της Δυναμικής και Ελέγχου Πτήσης. Για τον λόγο αυτό ιδιαίτερη μνεία δίνεται στα δυναμικά χαρακτηριστικά και στα χαρακτηριστικά ευστάθειας και ελέγχου τα οποία αποτελούν και τη βάση για την ακόλουθη ανάλυση. Το βιβλίο πραγματεύεται τα εξής βασικά θέματα:

•        τη διαμόρφωση των δυναμικών χαρακτηριστικών του αεροσκάφους, και του τρόπου με τον οποίο αυτά επηρεάζουν τα χαρακτηριστικά πτήσης και τους χειρισμούς των πιλότων,

•        τα αποδεκτά χαρακτηριστικά πτήσης και τον τρόπο με τον οποίο είναι δυνατό να βελτιωθούν τα μη αποδεκτά χαρακτηριστικά πτήσης.

Το βιβλίο αρχικά περιέχει τη θεωρία της στατικής ευστάθειας (αντιστάθμιση) του αεροσκάφους.

Στη συνέχεια αναλύεται η θεωρία της δυναμικής συμπεριφοράς του αεροσκάφους. Αυτή περιλαμβάνει την ανάπτυξη και την επίλυση των πλήρων εξισώσεων κίνησης, την απλοποιημένη τους μορφή για διαμήκη και εγκάρσια δυναμική και τη μελέτη της απόκρισης του αεροσκάφους στα πηδάλια ελέγχου με τον καθορισμό των συναρτήσεων μεταφοράς.

Έπειτα αναλύεται η σχέση των χαρακτηριστικών δυναμικής απόκρισης με τον τρόπο με τον οποίο ο πιλότος χειρίζεται το αεροσκάφος.

Τέλος, αναλύονται οι βασικοί τρόποι ελέγχου με ανάδραση, είτε αυτοί αφορούν συστήματα επαύξησης της δυναμικής ευστάθειας, είτε αφορούν συστήματα αυτόματης πλοήγησης ειδικών φάσεων της πτήσης («αυτόματοι πιλότοι»).

Στο σύγγραμμα περιέχονται εφαρμογές με αριθμητικές παραμέτρους από τη δυναμική ευρέως διαδεδομένων αεροσκαφών, καθώς και τεχνικά παραρτήματα με ουσιώδεις προαπαιτούμενες τεχνικές και επιστημονικές γνώσεις, όπως και αριθμητικά δεδομένα παραμέτρων από διαφόρους τύπους αεροσκαφών.

Κλείνοντας, θα ήθελα να ευχαριστήσω τον Υποψήφιο Διδάκτορα Ανδρέα Παραδεισιώτη για την τεχνική, γραφιστική και γλωσσική επιμέλεια του συγγράμματος, τον καθηγητή Μηχ. Μηχ. του ΕΜΠ κ. Γεώργιο Βοσνιάκο για τη συμβολή του ως κριτικός αναγνώστης, καθώς και τους ανθρώπους της Δράσης «Ελληνικά Ακαδημαϊκά Ηλεκτρονικά Συγγράμματα και Βοηθήματα», για τη βοήθεια και τη συνεργασία τους κατά τη διάρκεια της συγγραφής.

Προαπαιτούμενη γνώση (Γενικά)

Σε σχέση με το τεχνικό υπόβαθρο, απαιτούνται στοιχειώδεις γνώσεις σχετικές με τη βασική δομή και λειτουργία του αεροσκάφους. Σε σχέση με τις επιστήμες του Μηχανικού, απαιτούνται βασικές γνώσεις δυναμικής του στερεού σώματος και ταλαντώσεων, κύριες έννοιες αεροδυναμικής και μηχανικής των ρευστών, καθώς και στοιχειώδης θεωρία αυτομάτου ελέγχου. Όσον αφορά το μαθηματικό υπόβαθρο, είναι απαραίτητες τυπικές γνώσεις γραμμικής άλγεβρας και γεωμετρίας, καθώς και στοιχειώδεις έννοιες γραμμικών διαφορικών εξισώσεων.

1: ΕΙΣΑΓΩΓΗ

Σύνοψη

Παρατίθεται το υπόβαθρο βασικών γνώσεων που απαιτούνται για την κατανόηση και την περιγραφή της κίνησης και της δυναμικής ενός εν πτήσει τυπικού αεροσκάφους. Περιλαμβάνουν τη θεμελιώδη δομή και αεροδυναμική συμπεριφορά του αεροσκάφους, τις κύριες προϋποθέσεις και απαιτήσεις για τη δομή του και τις διάφορες φάσεις στις οποίες περιέρχεται κατά τη διάρκεια μιας πτήσης. Επίσης, περιγράφονται τα βασικά γεωμετρικά μεγέθη του αεροσκάφους και οι συμβολισμοί, υπό τα οποία καταστρώνονται οι εξισώσεις κίνησης και χρησιμοποιούνται κατά την έκταση του παρόντος συγγράμματος.

Προαπαιτούμενη γνώση

Σε επιστημονικό επίπεδο απαιτούνται βασικές ουσιώδεις γνώσεις μηχανικής ρευστών και αεροδυναμικής. Συμπληρωματικά, απαιτούνται έννοιες μηχανικής, δυναμικής και μαθηματικών σε στοιχειώδες επίπεδο. Τεχνικά απαιτούνται γνώσεις της δομής, των βασικών συνιστωσών και της λειτουργίας ενός τυπικού αεροσκάφους.

1. Βασικές έννοιες αεροδυναμικής και δυνάμεις στο αεροσκάφος

Η αεροδυναμική αποτελεί ένα από τα πεδία της μηχανικής των ρευστών και ασχολείται με την αλληλεπίδραση του αέρα κυρίως, με ένα κινούμενο σώμα. Το αεροσκάφος είναι μία τέτοια περίπτωση, καθώς εκμεταλλεύεται τη σχετική του κίνηση με την ατμόσφαιρα για να πετάξει. Σε αυτό το υποκεφάλαιο, μελετώνται τα φυσικά φαινόμενα και τα μέσα τα οποία χρησιμοποιούν οι μηχανικοί για την επίτευξη της πτήσης. Συγκεκριμένα, ακολουθεί αναφορά στις αεροτομές και τη βασική θεωρία γύρω από το θέμα, όπως και οι δυνάμεις οι οποίες ασκούνται σε ένα ιπτάμενο αεροσκάφος σε διάφορες καταστάσεις πτήσης (οριζόντια, ανοδική κ.ά.). Εν τέλει παρουσιάζονται οι παραδοχές και οι υποθέσεις υπό τις οποίες αναπτύσσεται το μεγαλύτερο μέρος της ανάλυσης στο υπόλοιπο σύγγραμμα.

1.1. Φυσική λειτουργία αεροτομής πτέρυγας

Η τομή μιας πτέρυγας από επίπεδο παράλληλο του επιπέδου συμμετρίας του αεροσκάφους, ονομάζεται αεροτομή (airfoil) πτέρυγας, όπως ορίζεται στο [1]. Υπό μια δισδιάστατη θεώρηση, η αεροτομή ορίζεται ως το γεωμετρικό σχήμα το οποίο όταν εκτίθεται σε ρεύμα αέρα, αναπτύσσει ανωστικές δυνάμεις, λόγω της ανισορροπίας στην κατανομή της πίεσης μεταξύ της πάνω και κάτω πλευράς του. Η χρησιμότητα αυτής της ιδιότητας χρίζει την αεροτομή ως καθοριστικό εργαλείο σε αμέτρητες εφαρμογές στη σύγχρονη βιομηχανία και την καθημερινή μας ζωή. Από τις πτέρυγες των αεροσκαφών και τις βαθμίδες των συμπιεστών μέχρι τον εξαερισμό κτιρίων και την άρδευση, η αεροτομή αποτελεί αναντικατάστατο κομμάτι στις πλείστες περιπτώσεις.

Μία απλοϊκή περιγραφή του τρόπου λειτουργίας, μπορεί να είναι η εξής: Η κυρτότητα της αεροτομής, «αναγκάζει» τη ροή να αποκτήσει μεγαλύτερη ταχύτητα στη μία πλευρά σε σχέση με την άλλη, ούτως ώστε, να διατηρηθεί η ενέργεια του ρευστού, καθώς έχει μεγαλύτερη απόσταση να διανύσει στην πλευρά αυτή. Αυτό το φαινόμενο περιγράφεται από την εξίσωση του Bernoulli:

όπου

•         Ε: ολική ενέργεια,

•         V: ταχύτητα ροής,

•         p: στατική πίεση,

•         ρ: πυκνότητα,

•         U: εσωτερική ενέργεια,

•         g: επιτάχυνση βαρύτητας,

•         z: υψομετρική διαφορά ή στάθμη.

Στην περίπτωση των αερίων και ειδικά στις συνθήκες πτήσης ενός αεροσκάφους, αμελείται η επίδραση της βαρύτητας και η εσωτερική ενέργεια. Πολλαπλασιάζοντας με την πυκνότητα, προκύπτει η έκφραση της ολικής πίεσης, ως το άθροισμα δυναμικής (Q) και στατικής (p) πίεσης:

Επομένως, η διαφορά ταχύτητας μεταξύ άνω και κάτω επιφάνειας προκαλεί ανισορροπία της πίεσης μεταξύ των δύο πλευρών, η οποία δημιουργεί τη δύναμη της άνωσης. Ασφαλώς όμως, εφόσον η αεροτομή είναι ένα στερεό που αλληλεπιδρά με ρεύμα συνεκτικού ρευστού, είναι αναμενόμενη η ύπαρξη μίας δύναμης αντίστασης η οποία ονομάζεται οπισθέλκουσα. Οι δυνάμεις αυτές φαίνονται στο ακόλουθο σχήμα, όπως παρουσιάζεται στο [2]:

Σχήμα 1.1 Δυνάμεις και κατανομή πίεσης σε αεροτομή τοποθετημένη σε ρεύμα αέρα.

όπου

•         L (Lift): δύναμη άνωσης ή άνωση,

•         D (Drag): δύναμη αντίστασης ή οπισθέλκουσα,

•         M (Moment): ροπή,

•         U: ταχύτητα ροής.

Η δύναμη της οπισθέλκουσας έχει την ίδια διεύθυνση με την ταχύτητα της ροής, ενώ η άνωση είναι κάθετη στην οπισθέλκουσα.

Στο Σχήμα 1.2 παρουσιάζονται τα γεωμετρικά μεγέθη και η ορολογία που εμπλέκονται στην ανάλυση των αεροτομών.

Σχήμα 1.2 Ορολογία αεροτομών.

Ο ορολογία αυτή έχει ως εξής:

•         ακμή προσβολής ή πρόσπτωσης: το σημείο με τη μεγαλύτερη καμπυλότητα στο μπροστά μέρος της αεροτομής,

•         ακμή εκφυγής: το σημείο με τη μεγαλύτερη καμπυλότητα στο πίσω μέρος της αεροτομής,

•         χορδή (c): η ευθεία που ενώνει τις ακμές προσβολής και εκφυγής,

•         μέση γραμμή ή γραμμή καμπυλότητας (camber line): ο γεωμετρικός τόπος των σημείων που ισαπέχουν από την πάνω και την κάτω επιφάνεια της αεροτομής,

•         πάχος (t): η κατανομή του ποικίλει κατά μήκος της χορδής. Μετράται με δύο τρόπους, είτε κάθετα στη μέση γραμμή είτε κάθετα στη χορδή,

•         άνω επιφάνεια ή επιφάνεια αναρρόφησης: γενικά η μέση ταχύτητα είναι μεγαλύτερη από αυτή της ροής, ενώ η στατική πίεση είναι μικρότερη,

•         κάτω επιφάνεια ή επιφάνεια πίεσης: γενικά η μέση ταχύτητα είναι μικρότερη από αυτή της ροής, ενώ η στατική πίεση είναι μεγαλύτερη,

•         γωνία πρόσπτωσης (α): η γωνία που σχηματίζει το διάνυσμα της ταχύτητας της ροής με τη χορδή,

•         S: πτερυγική επιφάνεια,

•         b: εκπέτασμα,

•         γωνία κατωρεύματος (ε): η γωνία μεταξύ της διεύθυνσης της ελεύθερης ροής και της διεύθυνσης της ροής στην ακμή εκφυγής.

1.1.1. Χαρακτηριστικά απόδοσης αεροτομών – Συντελεστές Άνωσης, Αντίστασης, Ροπής

Για την περιγραφή των χαρακτηριστικών μιας αεροτομής, όπως για παράδειγμα την ικανότητα δημιουργίας άνωσης σε δεδομένο ρεύμα αέρα, θεσπίστηκαν συγκεκριμένοι συντελεστές οι οποίοι σχετίζονται με τη γεωμετρία της και μεταβάλλονται ανάλογα με τις διάφορες συνθήκες στις οποίες περιέρχεται η αεροτομή. Οι συντελεστές αυτοί είναι σε αδιάστατη μορφή και έτσι παρέχουν με απλό και εύχρηστο τρόπο τη δυνατότητα καταγραφής των αποδόσεων και της συμπεριφοράς μιας συγκεκριμένης αεροτομής για σκοπούς τυποποίησης, σύγκρισης ή έρευνας.

Οι συντελεστές αυτοί χρησιμοποιούν τη δυναμική πίεση Q, η οποία ορίζεται ως:

Ουσιαστικά, η δυναμική πίεση Q αποτελεί μια έκφραση της κινητικής ενέργειας της ροής. Επιπλέον, χρησιμοποιούν βασικά γεωμετρικά χαρακτηριστικά του αεροσκάφους, όπως η επιφάνεια πτερύγων S και το μήκος χορδής της πτέρυγας c. Γενικά, οι αδιάστατοι συντελεστές που χρησιμοποιούνται στα πλαίσια του παρόντος συγγράμματος, αδιαστατοποιούνται με όμοιο τρόπο, ανάλογα με το αν χαρακτηρίζουν την αδιαστατοποίηση δυνάμεων ή ροπών.

Οι τρεις βασικότεροι συντελεστές είναι οι συντελεστές άνωσης, οπισθέλκουσας και ροπής, οι οποίοι ορίζονται στις εξισώσεις (1.4)-(1.6) αντίστοιχα.

Επίσης, ορίζεται ο συντελεστής πίεσης:

όπου , η ατμοσφαιρική πίεση.

Τυπικά διαγράμματα της εξάρτησης των συντελεστών αυτών από τη γωνία πρόσπτωσης παρουσιάζονται στα σχήματα 1.3 και 1.4.

Σχήμα 1.3 Συντελεστές άνωσης και αντίστασης αεροτομής συναρτήσει της γωνίας πρόσπτωσης

Σχήμα 1.4. Συντελεστές πίεσης και ροπής αεροτομής συναρτήσει της γωνίας πρόσπτωσης

Στην υποηχητική πτήση με την οποία και ασχολούμαστε, τα φαινόμενα συμπιεστότητας δεν είναι ιδιαίτερα έντονα και γενικά οι γωνίες πρόσπτωσης είναι μικρές. Γι’ αυτό συνήθως θεωρείται ότι η εξάρτηση του συντελεστή άνωσης από τη γωνία πρόσπτωσης, είναι γραμμική και εκφράζεται υπό τη μορφή:

όπου

•         : κλίση καμπύλης άνωσης,

•         α₀: γωνία πρόσπτωσης μηδενικής άνωσης.

Ο συντελεστής οπισθέλκουσας C_D,συνδέεται με τον συντελεστή άνωσης C_L, μέσω της σχέσης:

όπου ο συντελεστής C_Dmin, αντιστοιχεί σε μηδενική άνωση και k είναι ένας συντελεστής που εξαρτάται κυρίως από τη γεωμετρία της πτέρυγας.

1.1.2. Αεροδυναμικά κέντρα αναφοράς

Τα αεροδυναμικά κέντρα αναφοράς ορίζονται ως σημεία της αεροτομής στα οποία ισχύουν συγκεκριμένες συνθήκες οποίες αφορούν τις δυνάμεις που ασκούνται στην αεροτομή. Τα σημεία αυτά χρησιμοποιούνται ως σημεία αναφοράς για διάφορες αναλύσεις, για τον καθορισμό γεωμετρικών μεγεθών κ.ά.

Σχήμα 1.5. Αεροδυναμικά κέντρα αναφοράς

Δύο τέτοια σημεία, είναι το αεροδυναμικό κέντρο ac και το κέντρο πίεσης cp. Η συνισταμένη δύναμη F της άνωσης και της αντίστασης μπορεί να αναλυθεί σε δύο άλλες συνιστώσες, σύμφωνα με τον Cook [3]. Τη δύναμη λόγω καμπυλότητας της πτέρυγας F_c και τη δύναμη λόγω της γωνίας πρόσπτωσης F_α. Όπως φαίνεται και στο σχήμα (1.5), οι δύο αυτές δυνάμεις, μπορούν επίσης να αναλυθούν σε συνιστώσες άνωσης και αντίστασης, ενώ ισχύει:

Η δύναμη λόγω καμπυλότητας F_c είναι σταθερή και εφαρμόζεται στο μέσο της χορδής, ενώ για συμμετρική αεροτομή, μηδενίζεται. Η δύναμη λόγω της γωνίας πρόσπτωσης F_α, εφαρμόζεται στο ¼ της χορδής.

Το αεροδυναμικό κέντρο ac, ορίζεται ως το σημείο ως προς το οποίο η ροπή Μ, είναι ανεξάρτητη της γωνίας πρόσπτωσης. Για χαμηλούς αριθμούς Mach βρίσκεται στο 25% της χορδής (c/4) ή πολύ κοντά σε αυτό.

Το κέντρο πίεσης cp, είναι το σημείο εφαρμογής της συνισταμένης δύναμης F και επομένως το σημείο στο οποίο μηδενίζεται η ροπή. Κινείται μεταξύ του αεροδυναμικού κέντρου και του μέσου της χορδής ανάλογα με τη γωνία πρόσπτωσης, με την ταχύτητα του ρεύματος του αέρα και με τη γεωμετρία της αεροτομής. Έτσι, για χαμηλές ταχύτητες και μεγάλες γωνίες πρόσπτωσης, το κέντρο πίεσης βρίσκεται πιο κοντά στο αεροδυναμικό κέντρο, ενώ για μεγάλες ταχύτητες και μικρές γωνίες πρόσπτωσης βρίσκεται πιο κοντά στο μέσο της χορδής. Η θέση του, δηλαδή, εξαρτάται από την αναλογία των F_c και F_a.

1.1.3. Κυκλοφορία και στρόβιλοι

Η διαφορά πίεσης που δημιουργείται μεταξύ της πάνω και κάτω επιφάνειας της αεροτομής προκαλεί την κυκλοφορία της ροής γύρω από την αεροτομή, όπως αναφέρει ο Crawford [4]. Η κυκλοφορία Γ, ορίζεται ως το επικαμπύλιο ολοκλήρωμα της ταχύτητας «περιμετρικά» της αεροτομής και η θετική φορά της φαίνεται στο σχήμα 1.6:

Σχήμα 1.6 Ορισμός της κυκλοφορίας

Η τιμή της κυκλοφορίας γύρω από την αεροτομή, ώστε η προκύπτουσα ροή να έχει φυσική υπόσταση, καθορίζεται από τη συνθήκη Kutta σύμφωνα με την οποία για μόνιμες συνθήκες ροής, η ροή στην ακμή εκφυγής πρέπει να είναι ομαλή. Δηλαδή στην ακμή εκφυγής η πίεση της πάνω επιφάνειας πρέπει να ισούται με την πίεση της κάτω επιφάνειας όπως δείχνει το σχήμα 1.7, όπου o δείκτης ΤΕ ορίζει την ακμή εκφυγής (Trailing Edge) .

Σχήμα 1.7 Συνθήκη Kutta στην ακμή εκφυγής

Σημείο ανακοπής, ορίζεται ως το σημείο στο οποίο η ταχύτητα μηδενίζεται. Τότε από την εξίσωση (1.1), συνεπάγεται ότι η ολική πίεση ισούται με τη στατική. Θεωρητικά, για μία αεροτομή σε μη-συνεκτικό πεδίο ροής, η μορφή των γραμμών ροής θα ήταν όπως στο σχήμα 1.8.(α). Η διαφορά πίεσης θα μετακινούσε το πίσω σημείο ανακοπής στην πάνω επιφάνεια της πτέρυγας. Στην πραγματικότητα όμως, λόγω της συνεκτικότητας του, ο αέρας δεν κάνει αυτή τη στροφή στην ακμή εκφυγής. Εφόσον εξ ορισμού η κυκλοφορία πρέπει να παραμένει σταθερή στην επιφάνεια ελέγχου του σχήματος 1.6, δημιουργείται ένας αντίθετος στρόβιλος, ο οριακός στρόβιλος (bound vortex). Έτσι, η ροή είναι ομαλή στην ακμή εκφυγής όπως ορίζει η συνθήκη Kutta και ο αρχικός στρόβιλος μετακινείται προς τα πίσω όπως δείχνει το σχήμα 1.8.(b). Τότε το πίσω σημείο ανακοπής βρίσκεται στην ακμή εκφυγής.

Σχήμα 1.8 Δημιουργία οριακού στροβίλου (α) Μη συνεκτική ροή (b) Πραγματική ροή (c) Σημεία ανακοπής

Υπό την υπόθεση μη-συνεκτικής ροής, σύμφωνα με το θεώρημα Kutta-Joukowski η σχέση μεταξύ της άνωσης που παράγει η πτέρυγα και της κυκλοφορίας προκύπτει:

Η ανωτέρω ανάλυση αναφέρεται στις αεροτομές υπό μια δισδιάστατη οπτική. Σε μία πραγματική πτέρυγα όμως, το πεδίο ροής που σχηματίζεται όταν τοποθετηθεί σε ένα ρεύμα αέρα είναι πιο πολύπλοκο και έχει τρισδιάστατα χαρακτηριστικά. Εφόσον η πτέρυγα έχει πεπερασμένο εκπέτασμα, δεδομένης της διαφοράς πίεσης άνω και κάτω επιφάνειας και της τάσης της ροής να τις εξισώσει, στο άκρο της δημιουργείται ο στρόβιλος της κορυφής εκφυγής (trailing tip vortex).

Αυτός ο στρόβιλος, είναι συνάρτηση της κυκλοφορίας και εξασθενεί πίσω από την πτέρυγα λόγω της συνεκτικότητας και της τύρβης.

Σχήμα 1.9 Δημιουργία των στροβίλων των ακμών εκφυγής

1.1.4 Γωνία κατωρεύματος (downwash angle)

Κατ’ αρχήν πρέπει να οριστούν οι έννοιες ανώρευμα και κατώρευμα. Όπως αναλύθηκε στην εισαγωγή του υποκεφαλαίου 1.1, η λειτουργία της πτέρυγας βασίζεται ουσιαστικά στη δημιουργία άνωσης εκτρέποντας το ελεύθερο ρεύμα του αέρα. Η παρεμβολή της πτέρυγας προκαλεί μεταβολή της ταχύτητας του αέρα σε σχέση με την ταχύτητα του ελεύθερου ρεύματος.

Ποιοτικά, όπως παριστάνεται στα σχήματα 1.2 και 1.8, η φυσική λειτουργία της αεροτομής διαχωρίζει το πεδίο ροής στην πάνω και κάτω επιφάνεια της αεροτομής με το σημείο ανακοπής ως αναφορά, σύμφωνα με το [4].

Σχήμα 1.10 Κατανομή ταχυτήτων οριακού στροβίλου σε ανώρευμα/κατώρευμα

Σχήμα 1.11 Κατανομή ταχυτήτων σε ανώρευμα/κατώρευμα. Πρόσθετη επίδραση στροβίλων κορυφών εκφυγής

Απομονώνοντας μόνο την επίδραση του οριακού στροβίλου στο κατώρευμα, η οποία είναι και η σημαντικότερη, η γραφική απεικόνιση των ταχυτήτων ως απόρροια αυτού του διαχωρισμού φαίνεται στο σχήμα 1.10, επιβάλλοντας το διαχωρισμό τους σε δύο περιοχές, χαρακτηριζόμενες αντίστοιχα ως ανώρευμα και κατώρευμα, ανάλογα με τη φορά της ταχύτητας. Η μετάβαση μεταξύ των δύο ρευμάτων, γίνεται στο αεροδυναμικό κέντρο της αεροτομής.

Σχήμα 1.12 Φαινόμενα ανωρεύματος/κατωρεύματος σε τρισδιάστατη πτέρυγα

Η πρόσθετη επίδραση του στροβίλου της ακμής εκφυγής φαίνεται στο σχ. 1.11. Η παράσταση των φαινομένων του ανωρεύματος και του κατωρεύματος στις τρεις διαστάσεις, όπως την παρουσιάζει ο Nelson [5], φαίνεται στο σχ. 1.12.

Η γωνία κατωρεύματος επηρεάζει τη γωνία πρόσπτωσης της πτέρυγας, καθώς η μέση σχετική ταχύτητα του ανέμου που χρησιμοποιείται για τη δημιουργία της άνωσης αλλάζει διεύθυνση. Η γωνία πρόσπτωσης αποτελείται από το άθροισμα της τοπικής γωνίας πρόσπτωσης i_w και της προκύπτουσας γωνίας πρόσπτωσης α_FRL που αντιστοιχεί με τη γωνία κατωρεύματος. Περαιτέρω ανάλυση παρουσιάζεται στο υποκεφάλαιο 2.1, του κεφαλαίου 2.

Για ένα πρόχειρο υπολογισμό της γωνίας κατωρεύματος ε, εφαρμόζεται η θεωρία του δίσκου ορμής. Μία συνήθης, απλοποιημένη μορφή της θεωρίας που εμπλέκει τη γωνία αυτή είναι η εξής:

Θεωρείται ένας κυλινδρικός όγκος ελέγχου με διάμετρο το εκπέτασμα της πτέρυγας, b. Η ταχύτητα της ελεύθερης ροής ορίζεται ως V. Η εκτροπή της διεύθυνσης της ροής λόγω κατωρεύματος δημιουργεί μια κατακόρυφη συνιστώσα της ταχύτητας w. Υποτίθεται ότι η αντίσταση D είναι μικρή και άρα η συνολική δύναμη που ασκείται στην πτέρυγα F, ισούται περίπου με την άνωση L. Επίσης, υποτίθεται σχετικά μικρή τη γωνία κατωρεύματος (ε < 10°).

Σχήμα 1.13 Θεωρία δίσκου ορμής στην πτέρυγα

Η δύναμη F ισούται με την παράγωγο της ορμής:

Αν η w θεωρηθεί σταθερή, προκύπτει:

Όταν στο δεξί μέλος της εξίσωσης (1.13) αντικατασταθούν οι εκφράσεις στην αγκύλη της εξίσωσης (1.14), λαμβάνοντας υπόψη ότι η δύναμη F είναι ουσιαστικά η άνωση L, λόγω της μικρής αντίστασης () και ορίζοντας ως ΑR τον λόγο επιμήκους της πτέρυγας, τότε προκύπτει η γωνία κατωρεύματος ως εξής:

1.2. Δυνάμεις στο αεροσκάφος

Βασικό θεμέλιο της μηχανικής και της δυναμικής του αεροσκάφους και της όποιας σχετικής ανάλυσης, αποτελεί η αναγνώριση των βασικών ασκούμενων δυνάμεων στο αεροσκάφος και η διατύπωση των εξισώσεων ισορροπίας. Στην περίπτωση του αεροσκάφους αυτή η διατύπωση μεταβάλλεται ανάλογα με την κατάσταση πτήσης του αεροσκάφους. Οι βασικές καταστάσεις πτήσης που θα θεωρηθούν, όπως καταγράφονται από τους Etkin & Reid [6], αποτελούν τις διάφορες περιπτώσεις πτήσης σταθερής ταχύτητας (οριζόντια, ανοδική ή καθοδική), επιταχυνόμενη κίνηση και περιστροφή.

Σε όλες αυτές τις περιπτώσεις, οι παρακάτω τέσσερις δυνάμεις είναι κοινές:

•         Η άνωση (L): παράγεται κατά την κίνηση του αεροσκάφους από τις αεροδυναμικά διαμορφωμένες συνιστώσες του αεροσκάφους (κυρίως από την πτέρυγα).

•         Το βάρος (W-Weight): η δύναμη της βαρύτητας με φορά προς τη γη.

•         Η ώση (T-Thrust): η δύναμη που ασκούν οι κινητήρες του αεροσκάφους.

•         Η οπισθέλκουσα (D): η δύναμη που αντιτίθεται στην κίνηση του αεροσκάφους. Είναι δηλαδή αντίθετη της ώσης και κάθετη με την άνωση.

Σχήμα 1.14 Οι βασικές δυνάμεις που ασκούνται στο αεροσκάφος

1.2.1. Οριζόντια πτήση με σταθερή ταχύτητα (steady – level flight)

Στην οριζόντια πτήση, το αεροσκάφος πετά σε σταθερό ύψος. Αυτό συνεπάγεται ότι το μέτρο της δύναμης άνωσης L ισούται με το μέτρο της δύναμης της βαρύτητας και το μέτρο της οπισθέλκουσας D ισούται με το μέτρο της ώσης T του κινητήρα:

Από τις σχέσεις (1.16) σε συνδυασμό με τις σχέσεις (1.8), (1.9) προκύπτουν τα εξής βασικά συμπεράσματα:

•         Η ταχύτητα του αεροσκάφους είναι αντιστρόφως ανάλογη της τετραγωνικής ρίζας του συντελεστή άνωσης.

•         To αεροσκάφος πρέπει να διατηρεί μία ελάχιστη ταχύτητα V_s προκειμένου να αποφύγει την απώλεια στήριξης.

Στην (1.18), ο C_Lmax αντιστοιχεί στη μεγίστη τιμή του συντελεστή άνωσης, συνήθως για γωνία πρόσπτωσης α=10⁰.

•         Η ταχύτητα V_Dmin στην οποία η οπισθέλκουσα είναι ελάχιστη, δίδεται από τη σχέση:

1.2.2. Ομαλή πτήση (Ανοδική ή καθοδική) υπό σταθερή γωνία ίχνους πτήσης γ

Το αεροσκάφος κινείται με σταθερή ταχύτητα. Στο σχ. 1.15 παρουσιάζεται η περίπτωση της ανοδικής πτήσης ή αναρρίχησης (climb) υπό αρνητική γωνία ίχνους πτήσης γ (flight path angle). Σε αυτή την περίπτωση, από την ισορροπία των δυνάμεων, προκύπτουν οι σχέσεις:

Σχήμα 1.15 Δυνάμεις στην ομαλή ανοδική πτήση

Οπότε προκύπτει:

Επίσης, αν θεωρηθεί μικρή γωνία ίχνους πτήσης:

Έτσι, ο ρυθμός ανόδου (R/C - Rate of Climb) είναι ανάλογος περίπου με τη διαθέσιμη περίσσεια ισχύος T - D. Η περίπτωση της καθοδικής πτήσης υπό θετική γωνία ίχνους πτήσης γ είναι εντελώς ανάλογη και προκύπτει από τις εξισώσεις (1.20)-(1.23) με απλή αλλαγή πρόσημου της γ.

1.2.3. Ομαλή περιστροφή

Σε αυτή την περίπτωση οι δυνάμεις ώσης T και αντίστασης D είναι ίσες μεταξύ τους και το αεροσκάφος κινείται σε κυκλική τροχιά με ακτίνα στροφής R και υπό μία γωνιά στροφής φ (Σχ. 1.16). Τότε ασκείται στο αεροσκάφος μια φυγόκεντρος δύναμη «προς τα έξω», η οποία εξισορροπείται από την αντίθετης φοράς, οριζόντια συνιστώσα της άνωσης.

Σχήμα 1.16 Δυνάμεις κατά την ομαλή περιστροφή

Άρα:

Σημειώνεται ότι ο μέγιστος συντελεστής άνωσης, αντιστοιχεί σε ελάχιστη ακτίνα περιστροφής.

όπου φ_max < 30° και W/S η φόρτιση της πτέρυγας.

Επίσης, ορίζεται η παράμετρος φόρτισης Ν:

Η έννοια της παραμέτρου φόρτισης είναι η συσχέτιση της στιβαρότητας και της μηχανικής αντοχής της πτέρυγας (αλλά και της δομής του αεροσκάφους γενικότερα), με το επίπεδο των αεροδυναμικών δυνάμεων στο αεροσκάφος.

Αποδεικνύεται ότι:

Η σημασία της σχέσης (1.29) βρίσκεται στο γεγονός ότι συσχετίζει την ικανότητα ελιγμών του αεροσκάφους με την ταχύτητα και την αντοχή του. Για να εκτελέσει ένα αεροσκάφος π.χ. «κλειστή στροφή» με μικρή ακτίνα R, πρέπει να διαθέτει υψηλή αντοχή, όπως φαίνεται από τον παράγοντα φόρτισης στον παρονομαστή της σχέσης (1.29).

2. Βασικές συνιστώσες, συστήματα αεροσκάφους και μηχανισμοί ελέγχου πτήσης

Οι βασικές συνιστώσες ενός αεροσκάφους και η λειτουργικότητά τους εικονίζονται στο σχήμα 1.17.

Ένα αεροσκάφος, εκτός από την απαιτούμενη ισχύ ώστε να υπερνικήσει τις δυνάμεις της βαρύτητας και τις αντιστάσεις του αέρα για να πετάξει, χρειάζεται τα μέσα για τον έλεγχο της πορείας του. Για την ικανότητα της εκτέλεσης και τον έλεγχο των διάφορων φάσεων πτήσης και των διάφορων ελιγμών, είναι αναγκαία η προσάρτηση επιπλέον επιφανειών και συστημάτων πέραν των πτερύγων.

Σχήμα 1.17 Βασικές συνιστώσες τυπικού αεροσκάφους και η χρησιμότητά τους

2.1. Ορισμοί και λειτουργίες βασικών συνιστωσών τυπικού αεροσκάφους

Αρχικά παρουσιάζονται οι βασικές συνιστώσες οι οποίες συναντώνται σε ένα τυπικό αεροσκάφος, δεδομένου ότι υπάρχουν διαφορές μεταξύ των διάφορων τύπων και μοντέλων αεροσκαφών.

2.1.1. Πτέρυγες

Η πρωταρχική λειτουργία της πτέρυγας, είναι η παροχή της απαιτούμενης άνωσης. Η μεταβολή της άνωσης που παρέχει η πτέρυγα μπορεί να επιτευχθεί με τη μεταβολή της στάσης του αεροσκάφους και συνεπώς της γωνίας πρόσπτωσης. Στο σχήμα 1.18 παρουσιάζονται τα βασικά γεωμετρικά χαρακτηριστικά της πτέρυγας, σύμφωνα με τη σημειολογία του [6]:

•         : μέση χορδή,

•         : εκπέτασμα πτέρυγας.

Βάσει αυτών των μεγεθών, ορίζεται η μέση πτερυγική επιφάνεια:

και ο λόγος επί μήκους:

Σχήμα 1.18 Γεωμετρία πτέρυγας

Στο σχήμα 1.18 ορίζονται επίσης, τα εξής μεγέθη:

•         c₀: μήκος χορδής στη ρίζα της πτέρυγας,

•         c_t: μήκος χορδής στην κορυφή της πτέρυγας,

•         κ: ποσοστό (%) του μήκους χορδής,

•         Λ_κ: γωνία οπισθόκλισης.

2.1.2. Επιφάνειες ελέγχου

Οι επιφάνειες ελέγχου ή πηδάλια ελέγχου, ενός τυπικού αεροσκάφους, παρουσιάζονται στο σχήμα 1.19. και ορίζονται ως εξής:

•         Πηδάλιο ανόδου-καθόδου (elevator): πτερύγιο τοποθετημένο κατά μήκος του οριζόντιου ουραίου σταθερού πτερυγίου με σκοπό τον έλεγχο της πρόνευσης (pitch).

•         Πηδάλιο εκτροπής ή διεύθυνσης(rudder): πτερύγιο τοποθετημένο κατά μήκος του κάθετου ουραίου σταθερού πτερυγίου με σκοπό τον έλεγχο της εκτροπής (yaw).

•         Πηδάλια περιστροφής ή κλίσης (ailerons): πτερύγια τοποθετημένα στην ακμή εκφυγής της κύριας πτέρυγας, κατά τη διεύθυνση του εκπετάσματος. Ο ρόλος τους είναι να παρέχουν τη δυνατότητα εκτέλεσης ελιγμών περιστροφής (roll) και για τον λόγο αυτό εκτρέπονται κατά αντίθετη φορά (το πτερύγιο της μίας πτέρυγας προς τα πάνω για εκτροπή του πτερυγίου της άλλης πτέρυγας προς τα κάτω).

Γενικά, μια θετική δράση ελέγχου από τον πιλότο του αεροσκάφους προκαλεί θετική απόκριση του αεροσκάφους, ενώ μια θετική απόκλιση μιας επιφάνειας ελέγχου προκαλεί αρνητική απόκριση στο αεροσκάφος.

Σχήμα 1.19 Συμβολισμός επιφανειών ελέγχου

Έτσι, με βάση το σχήμα 1.19, οι φορές ορίζονται ως εξής:

•         Ως προς την πρόνευση ή άνοδο-κάθοδο (pitch): θετική δύναμη έλξης στο χειριστήριο → θετική μετατόπιση του χειριστηρίου προς τα πίσω → η ακμή εκφυγής του πηδαλίου ανόδου-καθόδου κινείται προς τα επάνω (αρνητικά) → η κεφαλή ή ρύγχος (nose) του αεροσκάφους κινείται προς τα επάνω (απόκριση θετική).

•         Ως προς την εκτροπή ή διεύθυνση (yaw): θετική εφαρμογή δύναμης στο δεξιό ποδωστήριο → θετική κίνηση προς τα μέσα του δεξιού ποδωστηρίου → Η ακμή εκφυγής του πηδαλίου διεύθυνσης κινείται προς τα δεξιά (αρνητικά) → Η κεφαλή του αεροσκάφους εκτρέπεται δεξιά (απόκριση θετική).

•         Ως προς την περιστροφή ή κλίση ή διατοιχισμό (roll): θετική δεξιά εφαρμογή δύναμης στο χειριστήριο → θετική μετατόπιση του χειριστηρίου → δεξί πηδάλιο κλίσης (starboard aileron) πάνω, αριστερό πηδάλιο κλίσης (board aileron) κάτω (αρνητική φορά) → κλίση δεξιάς πτέρυγας προς τα κάτω → απόκριση δεξιάς περιστροφής θετική.

Οι γωνίες εκτροπής των πηδαλίων σύμφωνα με τη σημειολογία που χρησιμοποιεί ο Nelson [5], συμβολίζονται ως εξής:

•         δ_e (η): γωνία εκτροπής πηδαλίου ανόδου-καθόδου,

•         δ_r (ζ): γωνία εκτροπής πηδαλίου εκτροπής,

•         δ_a (ξ): γωνία εκτροπής πηδαλίου κλίσης (aileron).

Τα ελληνικά γράμματα σε παρένθεση αφορούν εναλλακτικούς συμβολισμούς σε μερικά βιβλία επί του θέματος.

2.1.3. Κινητήρες

Οι κινητήρες παρέχουν την απαιτούμενη ώση ώστε να υπερνικηθεί η αεροδυναμική αντίσταση.

Η ώση του κινητήρα Τ ελέγχεται από τη μετατόπιση του μοχλού ισχύος (μανέτα/throttle lever) δ_p. Θετική μετατόπιση του μοχλού ισχύος θεωρείται η προς τα εμπρός κίνηση του, η οποία προκαλεί θετική αύξηση της ισχύος. Για ένα κινητήρα turbojet η σχέση μεταξύ της ώσης και της γωνίας του μοχλού ισχύος μπορεί να προσεγγιστεί από μια συνάρτηση μεταφοράς της μορφής:

όπου k_τ είναι μια κατάλληλη σταθερά κέρδους και t_τ είναι η χρονική σταθερά της καθυστέρησης που συνήθως είναι της τάξης των δύο-τριών δευτερολέπτων.

2.2. Γεωμετρία αναφοράς του αεροσκάφους

Η γεωμετρική περιγραφή που θα χρησιμοποιηθεί στην παρούσα ανάλυση, αποτελεί αναπόσπαστο κομμάτι της διαδικασίας μοντελοποίησης. Έτσι, με βάση το σχήμα 1.20, ορίζονται οι εξής παράμετροι αναφοράς:

Σχήμα 1.20 Γεωμετρία αναφοράς του αεροσκάφους

•         μέση αεροδυναμική χορδή (Mean Aerodynamic Chord-MAC):

•         κανονική μέση χορδή (Standard Mean Chord-SMC):

όπου s = b/2 είναι το ήμισυ του εκπετάσματος (semi-span) και c_y είναι η τοπική χορδή στη συντεταγμένη (κατά την έννοια του εκπετάσματος) y. Στα περισσότερα αεροσκάφη, τα και , έχουν σχεδόν το ίδιο μήκος, οπότε μπορεί να επιλεγεί οποιοδήποτε εκ των δύο για την ανάλυση.

Ορίζονται επίσης, τα ακόλουθα μεγέθη:

•         h ή h: θέση του κέντρου βάρους (cg - centre of gravity location) συναρτήσει του ή του , μετρούμενη από την ακμή προσβολής της χορδής αναφοράς. Συνήθως ισχύει 0.1 ≤ h ≤ 0.4.

•         l_t: μοχλοβραχίονας ροπής οριζόντιου σταθερού ουραίου πτερυγίου (tail moment arm). Ορίζεται ως η διαμήκης απόσταση ανάμεσα στο κέντρο βάρους cg του αεροσκάφους και στο αεροδυναμικό κέντρο του οριζόντιου σταθερού ουραίου πτερυγίου (tailplane-horizontal tailplane) όπως φαίνεται στο σχήμα 1.20. To τελευταίο σημείο με ικανοποιητική ακρίβεια βρίσκεται στο τέταρτο της μέσης χορδής της πτέρυγας του οριζόντιου σταθερού ουραίου πτερυγίου. Κάποιες φορές η διαμήκης ροπή του οριζόντιου σταθερού πτερυγίου μετράται ως προς το αεροδυναμικό κέντρο της πτέρυγας.

•         V_Η: λόγος όγκου οριζόντιου σταθερού ουραίου πτερυγίου (tail volume ratio):

όπου S_t είναι η συνολική επιφάνεια του οριζόντιου σταθερού ουραίου πτερυγίου.

Ανάλογα μεγέθη ορίζονται και για το κάθετο σταθερό ουραίο πτερύγιο (fin-vertical tail). Αυτά συμβολίζονται αντίστοιχα με l_f και V_F (Σχήμα 1.21)_.

•         l_f: μοχλοβραχίονας ροπής κάθετου σταθερού ουραίου πτερυγίου (fin moment arm). Ορίζεται ως η διαμήκης απόσταση ανάμεσα στο κέντρο βάρους cg του αεροσκάφους και στο αεροδυναμικό κέντρο του κάθετου σταθερού ουραίου πτερυγίου. To τελευταίο σημείο με ικανοποιητική ακρίβεια βρίσκεται στο τέταρτο της μέσης χορδής της πτέρυγας του κάθετου σταθερού ουραίου πτερυγίου (Σχήμα 1.21). Κάποιες φορές η διαμήκης ροπή του κάθετου σταθερού πτερυγίου μετράται ως προς το αεροδυναμικό κέντρο (ac) της πτέρυγας.

•         V_F: λόγος όγκου κάθετου σταθερού ουραίου πτερυγίου (fin volume ratio).

όπου S_F είναι η συνολική επιφάνεια του κάθετου σταθερού ουραίου πτερυγίου.

Σχήμα 1.21 Μεγέθη γεωμετρίας αναφοράς κάθετου σταθερού ουραίου πτερύγιου

Βιβλιογραφία/Αναφορές

x

x

2: ΣΤΑΤΙΚΗ ΙΣΟΡΡΟΠΙΑ ΚΑΙ ΑΝΤΙΣΤΑΘΜΙΣΗ

Σύνοψη

Εξάγεται η εξίσωση της ροπής πρόνευσης και παρουσιάζεται η συνεισφορά της πτέρυγας και του ουραίου οριζόντιου σταθερού πτερυγίου. Εξετάζονται οι έννοιες της αντιστάθμισης, της δυναμικής και στατικής, διαμήκους και εγκάρσιας ευστάθειας, καθώς και η λειτουργία των πηδαλίων ελέγχου.

Προαπαιτούμενη γνώση

Πέρα από τις βασικές γνώσεις μηχανικής, απαιτείται η κατανόηση της γεωμετρίας των συνιστωσών του αεροσκάφους και η γνώση των βασικών αεροδυναμικών εννοιών, τα οποία καλύπτονται στο 1^ο κεφάλαιο.

1. Ισορροπία, αντιστάθμιση, ευστάθεια

Κατ’ αρχήν πρέπει να γίνει σαφής η έννοια «κατάσταση ισορροπίας» σε ένα αεροσκάφος. Για να μπορεί το αεροσκάφος να διατηρείται σε κατάσταση σταθερής ομαλής πτήσης πρέπει η συνισταμένη δύναμη και η συνισταμένη ροπή περί το κέντρο βάρους να είναι μηδέν. Τα χαρακτηριστικά ευστάθειας και ελέγχου ενός αεροσκάφους, αποτελούν βασικότατο μέρος της ποιότητας πτήσης και είναι απαραίτητη η συνύπαρξη τους με ικανοποιητικές επιδόσεις από άποψη ισχύος. Οι δύο απαραίτητες συνθήκες για επιτυχημένη πτήση είναι:

•         να μπορεί το αεροσκάφος να πετύχει ισορροπημένη πτήση,

•         να έχει τη δυνατότητα εκτέλεσης ελιγμών σε μεγάλο εύρος ταχυτήτων και υψομέτρου πτήσης.

Η ευστάθεια και ο έλεγχος αφορούν την ποιότητα της πτήσης και την ευκολία ελέγχου του αεροσκάφους. Η έννοια της ευστάθειας, μεταφράζεται ως η τάση του αεροσκάφους να επιστρέφει στην κατάσταση ισορροπίας του μετά από μια διαταραχή, όπως ορίζεται στο [6]. Η διαταραχή μπορεί να οφείλεται σε ενέργειες του πιλότου, σε ατμοσφαιρικά φαινόμενα ή/και σε οποιοδήποτε άλλο εσωτερικό ή εξωτερικό φυσικό η τεχνικό αίτιο (π.χ. δράση αυτόματου συστήματος ελέγχου, μηχανική βλάβη κ.ά.). Το αεροσκάφος πρέπει να είναι αρκετά ευσταθές ώστε να μην είναι αναγκαία η επέμβαση του πιλότου μετά από κάθε διαταραχή. Ο αεροδυναμικός και προωστικός έλεγχος θα πρέπει να απαιτούνται μόνο για την εκτέλεση ελιγμών.

Κατά τη διάρκεια της πτήσης ο πιλότος του αεροσκάφους ρυθμίζει τα πηδάλια με τέτοιο τρόπο, ώστε εάν σε οποιαδήποτε στιγμή απελευθερώσει τα χέρια του από τα χειριστήρια, το αεροσκάφος θα συνεχίσει να πετά στις συνθήκες πτήσης που είχαν επιλεγεί αρχικά. Με αυτόν τον τρόπο ο πιλότος απελευθερώνεται από τη διαρκή εκτέλεση των απαιτούμενων διορθωτικών χειρισμών, οι οποίοι μάλιστα απαιτούν την καταβολή σημαντικής σωματικής προσπάθειας ώστε να αντιμετωπιστούν οι δυνάμεις ελέγχου στα χειριστήρια. Όταν ο πιλότος καταφέρει να ρυθμίσει τα χειριστήρια με αυτόν τον τρόπο ―δηλαδή να «αντισταθμίσει» το αεροσκάφος― τότε το αεροσκάφος είναι «αντισταθμισμένο», ενώ η κατάσταση αντιστάθμισης καθορίζει τις αρχικές συνθήκες γύρω από τις οποίες μπορεί να μελετηθεί η δυναμική συμπεριφορά που μας ενδιαφέρει.

Όλα τα αεροσκάφη είναι εφοδιασμένα με κάποιο σύστημα προ-τοποθέτησης ή ρύθμισης, που ονομάζεται θέση αναφοράς (datum) ή «αντιστάθμιση» των πρωτευουσών επιφανειών ελέγχου: Τα πηδάλια κλίσης, ανόδου-καθόδου και εκτροπής είναι εφοδιασμένα με αντισταθμιστικά πηδάλια [trim tabs (σχήμα 2.14)] τα οποία για όλα τα αεροσκάφη, εκτός από τα πολύ μικρά, μπορούν να ρυθμιστούν μέσα από τον θάλαμο ελέγχου κατά τη διάρκεια της πτήσης.

Η μελέτη της ευστάθειας ενός αεροσκάφους χωρίζεται σε δύο μέρη:

•         στατική ευστάθεια (static stability),

•         δυναμική ευστάθεια (dynamic stability).

Το κάθε μέρος αναλύεται ξεχωριστά στις επόμενες δύο παραγράφους.

1.1. Στατική ευστάθεια

Η στατική ευστάθεια είναι η τάση του αεροσκάφους να επιστρέφει στην κατάσταση ισορροπίας του μετά από μια διαταραχή. Δηλαδή ένα στατικά ευσταθές αεροσκάφος, είναι κατασκευασμένο με τέτοιο τρόπο ώστε μετά από μια διαταραχή, να δημιουργούνται κατάλληλες αεροδυναμικές δυνάμεις επαναφοράς στη κατάσταση ισορροπίας. Στο σχήμα 2.1 παρουσιάζονται ποιοτικά οι διάφορες περιπτώσεις στατικής ευστάθειας. Στην ευσταθή περίπτωση της σφαίρας, η δύναμη του βάρους παίζει τον ρόλο της δύναμης επαναφοράς.

Σχήμα 2.1 Περιπτώσεις στατικής ευστάθειας

Η διατήρηση της ισορροπίας (trimmed equilibrium) απαιτεί την κατάλληλη-και ταυτόχρονη ρύθμιση των κύριων μεταβλητών της πτήσης και στους έξι βαθμούς ελευθερίας ενώ εξαρτάται από την ταχύτητα ή τον αριθμό Mach, τη γωνία του ίχνους πτήσης, τη διαμόρφωση (configuration) του αεροσκάφους, το βάρος και τη θέση του κέντρου βάρους. Καθώς αυτές οι παράμετροι μεταβάλλονται κατά τη διάρκεια μιας τυπικής πτήσης, απαιτείται νέα αντιστάθμιση. Ευτυχώς η διαδικασία αντιστάθμισης δεν είναι ιδιαίτερα δύσκολη. Η συμμετρία της κατασκευής προσδίδει συμμετρικές αεροδυναμικές ιδιότητες στο αεροσκάφος, κάτι που συνεπάγεται ότι συνήθως απαιτείται μόνο διαμήκης (longitudinal) αντιστάθμιση. Η εγκάρσια (lateral) αντιστάθμιση και η αντιστάθμιση ως προς τη διεύθυνση (directional), είναι πιθανόν να εφαρμοστεί σε περίπτωση κάποιας ασυμμετρίας καυσίμου ή στην περίπτωση αστοχίας ενός κινητήρα (για πολυκινητήριο αεροσκάφος).

Η εγκάρσια ευστάθεια και η ευστάθεια διεύθυνσης συνήθως ενυπάρχουν στα περισσότερα αεροσκάφη καθορίζοντας ότι ως προς την περιστροφή το αεροσκάφος θα παραμείνει με τις πτέρυγες οριζόντιες (wings level) και ότι ως προς την εκτροπή, θα έχει την τάση να στρέφει την κεφαλή του προς τον σχετικό άνεμο, δηλαδή θα έχει ανεμουριακή (weathercock) συμπεριφορά, σύμφωνα με τον Cook [3] (εφόσον τα πηδάλια περιστροφής και εκτροπής βρίσκονται τοποθετημένα στη μηδενική θέση ή στη θέση αναφοράς). Με τον τρόπο αυτό, υπό κανονικές συνθήκες, το αεροσκάφος θα «αναζητά» με φυσικό τρόπο εγκάρσια ισορροπία και ισορροπία διεύθυνσης χωρίς παρέμβαση από τον πιλότο. Αυτό ισχύει ακόμη και όταν συμβαίνουν σημαντικές μεταβολές στην ταχύτητα, τη διαμόρφωση, το βάρος και τη θέση του κέντρου βάρους, καθώς διατηρείται η συμμετρία του σκάφους.

Από την άλλη πλευρά, όταν υφίστανται τόσο σημαντικές μεταβολές στις συνθήκες πτήσης, είναι επακόλουθο να συμβούν σημαντικές μεταβολές στη διαμήκη αντιστάθμιση. Η διαμήκης αντιστάθμιση περιλαμβάνει την ταυτόχρονη ρύθμιση της γωνίας του πηδαλίου ανόδου-καθόδου και της ώσης ώστε να προσδοθεί στο αεροσκάφος η απαιτούμενη ταχύτητα και γωνία του ίχνους πτήσης για δεδομένη διαμόρφωση. Η ισορροπία θα επιτευχθεί, εφόσον το αεροσκάφος είναι ευσταθές κατά τον διαμήκη άξονα, ενώ οι δράσεις ελέγχου (control actions) ώστε να αντισταθμιστεί το αεροσκάφος θα εξαρτώνται από τον βαθμό (degree) της διαμήκους στατικής ισορροπίας που ορίζεται στο υποκεφάλαιο 2.3 του παρόντος κεφαλαίου. Καθώς οι διαμήκεις συνθήκες πτήσης μεταβάλλονται διαρκώς, είναι πολύ σημαντικό η ισορροπία να μπορεί να επιτευχθεί σε όλες τις συνθήκες που μπορεί να συναντήσει ο πιλότος και το αεροσκάφος. Για αυτόν τον λόγο δίνεται πολύ μεγάλη σημασία στο πρόβλημα της επιβεβαίωσης της επάρκειας στη διαμήκη στατική ευστάθεια, καθώς και στην επάρκεια κατά τον διαμήκη έλεγχο αντιστάθμισης (trim control). Λόγω της σημασίας της η «στατική ευστάθεια και αντιστάθμιση» συχνά μεταφράζεται ως «διαμήκης στατική ευστάθεια και αντιστάθμιση».

Πρέπει τέλος να σημειωθεί ότι η στατική και η δυναμική ευστάθεια στην ουσία δεν μπορούν να διαχωριστούν, όμως, καθώς η στατική ευστάθεια είναι αυτή που καθορίζει τα χαρακτηριστικά ελέγχου και αντιστάθμισης του αεροσκάφους η ξεχωριστή μελέτη τους αποτελεί ένα χρήσιμο μέσο για να εισαχθούμε στην έννοια της ευστάθειας.

1.2. Δυναμική ευστάθεια

Η δυναμική ευστάθεια ασχολείται με τη χρονική συμπεριφορά της κίνησης του αεροσκάφους μετά από μια διαταραχή. Δηλαδή ασχολείται με τη χρονική διάρκεια και τον τρόπο που το αεροσκάφος επανέρχεται στην κατάσταση ισορροπίας, εφόσον είναι ευσταθές. Στο σχήμα 2.2 παρουσιάζονται ποιοτικά, χρονικές αποκρίσεις μετατόπισης στις τρεις βασικές περιπτώσεις δυναμικής ευστάθειας.

Σχήμα 2.2. Περιπτώσεις δυναμικής ευστάθειας

Να σημειωθεί ότι ένα στατικά ευσταθές αεροσκάφος δεν είναι απαραίτητα και δυναμικά ευσταθές, όμως, η στατική ευστάθεια είναι αναγκαία συνθήκη για τη δυναμική ευστάθεια. Μία τέτοια περίπτωση φαίνεται στο σχήμα 2.3 και το πως αποκρίνεται ως προς την πρόνευση το αεροσκάφος μετά από μια διαταραχή.

Σχήμα 2.3. Απόκριση πρόνευσης: α) στατικά και δυναμικά ευσταθούς αεροσκάφους, b) στατικά ασταθούς και δυναμικά ευσταθούς αεροσκάφους.

Η απόσβεση μιας διαταραχής μετά από κάποιο χρονικό διάστημα προϋποθέτει την ύπαρξη δυνάμεων αντίστασης στη διαταραχή. Σε αυτή την περίπτωση υφίσταται διάχυση ενέργειας που σημαίνει ότι το αεροσκάφος έχει θετική απόσβεση η οποία οφείλεται σε ροπές και δυνάμεις που δημιουργούνται κατά την κίνηση του. Ένα αεροσκάφος με αρνητική απόσβεση, είναι δυναμικά ασταθές και χρειάζεται η παροχή τεχνητής απόσβεσης από κάποιο ηλεκτρομηχανικό σύστημα ευστάθειας.

Επίσης, υπάρχουν διάφοροι βαθμοί ευστάθειας που καθορίζονται από χαρακτηριστικά της χρονικής απόκρισης της κίνησης μετά από μια διαταραχή. Ειδικά όσον αφορά ταλαντωτικές κινήσεις, η περίοδος και η συχνότητα είναι υψίστης σημασίας. Επιπλέον, πρέπει να αναφερθεί ότι, μπορεί ένα αεροσκάφος να είναι δυναμικά ευσταθές όταν τα χειριστήρια είναι σταθεροποιημένα, ενώ μετά από κάποια διορθωτική ενέργεια του πιλότου να γίνει δυναμικά ασταθές. Αυτό μπορεί να συμβεί για παράδειγμα σε περίπτωση ταλαντωτικής κίνησης, αν οι διορθωτικές ενέργειες του πιλότου είναι σε διαφορά φάσης με την κίνηση.

Η δυναμική ευστάθεια αποτελεί βασικό αντικείμενο του συγγράμματος και αναλύεται εκτεταμένα στα επόμενα κεφάλαια, που αφορούν τη διαμήκη και εγκάρσια δυναμική, όπως και τα συστήματα ελέγχου και αυτόματους πιλότους.

2. Διαμήκης στατική ευστάθεια

2.1. Υπολογισμός της ροπής πρόνευσης

Η εξίσωση της ροπής πρόνευσης απαιτεί τον ορισμό της γεωμετρίας αναφοράς του αεροσκάφους και την ανάλυση της λειτουργίας της πτέρυγας και του ουραίου πτερυγίου, όπως αυτά διατυπώθηκαν στο υποκεφάλαιο 2.2 του κεφ.1 και επεκτείνονται παρακάτω. Στην έκφραση της ροπής πρόνευσης συμμετέχουν ουσιαστικά η (κύρια) πτέρυγα και το ουραίο πτερύγιο, και συμπληρωματικά η άτρακτος και το σύστημα πρόωσης. Ασφαλώς όμως η επίδραση της ατράκτου και του συστήματος πρόωσης, είναι δευτερεύουσας σημασίας.

Η παρούσα ανάλυση, όπως την παρουσιάζει ο Nelson [5], θα επικεντρωθεί σε μεθόδους που εξάγονται από απλές θεωρητικές εκτιμήσεις και οι οποίες γενικά παρέχουν ικανοποιητική ακρίβεια, αρκετή για προκαταρκτικούς υπολογισμούς. Επίσης, να σημειωθεί ότι η ανάλυση αφορά την υποηχητική πτήση, όπου γενικά οι γωνίες πρόσπτωσης είναι μικρές.

2.1.1. Η συνεισφορά της κύριας πτέρυγας

Στο σχήμα 2.4 φαίνεται η μέση κανονική χορδή της κύριας πτέρυγας (wing standard mean chord) και σημειώνονται τα σχετικά γεωμετρικά μεγέθη:

Σχήμα 2.4 Γωνιές, δυνάμεις και ροπές στην κύρια πτέρυγα

•         γραμμή Αναφοράς Ατράκτου (Fuselage Reference Angle/FRL): γραμμή μηδενικής άνωσης,

•         α_w: γωνία πρόσπτωσης πτέρυγας,

•         α_FRL: γωνία μεταξύ Γραμμής Αναφοράς Ατράκτου και διανύσματος ταχύτητας της ροής (η μη μηδενική τιμή της οφείλεται στο κατώρευμα),

•         i_w: τοπική γωνία πρόσπτωσης (incidence) μεταξύ μέσης αεροδυναμικής χορδής και Γραμμής Αναφοράς Ατράκτου,

•         x_ac: οριζόντια απόσταση μεταξύ ακμής πρόσπτωσης LE και αεροδυναμικού κέντρου ac,

•         x_cg: οριζόντια απόσταση μεταξύ ακμής πρόσπτωσης LE και κέντρου βάρους cg,

•         z_cg: κάθετη απόσταση μεταξύ Γραμμής Αναφοράς Ατράκτου και κέντρου βάρους cg,

•         : ροπή πρόνευσης κύριας πτέρυγας περί το αεροδυναμικό κέντρο.

Λαμβάνοντας το άθροισμα των ροπών περί το κέντρο βάρους προκύπτει η εξίσωση:

Διαιρώντας την (2.1) με ½ρV²Sc̅ και εισάγοντας τους αντίστοιχους αδιάστατους συντελεστές προκύπτει:

Εκτεταμένη αναφορά περί αδιαστατοποίησης πραγματοποιείται στο παράρτημα Δ.1. Ο δείκτης “m” αναφέρεται στους αδιάστατους συντελεστές και παραγώγους ευστάθειας της ροπής Εναλλακτικά θα μπορούσε να χρησιμοποιείται και ο δείκτης “M” εφόσον αναφέρεται στο ίδιο μέγεθος, τη ροπή (Moment) πρόνευσης. Όμως τo πεζό “m” συμβαδίζει με τη σημειολογία που χρησιμοποιείται στις ροπές τις εγκάρσιας δυναμικής όπως αναφέρεται και στα επόμενα τμήματα του συγγράμματος. Αυτό κρίνεται σκόπιμο ώστε να μην υπάρχει σύγχυση μεταξύ των συντελεστών και παραγώγων της άνωσης και αυτών της ροπής περιστροφής, χρησιμοποιείται το πεζό “l” ( και αντίστοιχα για τη ροπή εκτροπής (. Υποθέτοντας ότι η γωνία πρόσπτωσης είναι μικρή -υπόθεση κοντά στην πραγματικότητα λόγω του ότι αναφερόμαστε σε υποηχητική πτήση- τότε:

Θεωρώντας επίσης, ότι η κάθετη απόσταση z_cg της Γραμμής Αναφοράς της Ατράκτου από το κέντρο βάρους, είναι συγκριτικά μικρή, μπορούν να αμεληθούν οι αντίστοιχοι όροι και η εξίσωση γίνεται:

όπου

Είναι συνήθης τακτική οι αποστάσεις του κέντρου βάρους και του αεροδυναμικού κέντρου από την ακμή εκφυγής, να δίνονται ως ποσοστό της χορδής:

Τότε η εξίσωση της ροπής γίνεται:

2.1.2. Η συνεισφορά του οριζόντιου ουραίου σταθερού πτερυγίου

Το οριζόντιο ουραίο σταθερό πτερύγιο, μπορεί να βρίσκεται ανάντη ή κατάντη της κύριας πτέρυγας. Στην πρώτη περίπτωση ονομάζεται canard. Και στις δύο περιπτώσεις επηρεάζεται από το πεδίο ροής που επάγει η κύρια πτέρυγα. Η διαφορά είναι ότι το canard επηρεάζεται από το ανώρευμα της κύριας πτέρυγας ενώ στην περίπτωση του οριζόντιου ουραίου πτερυγίου (tailplane) από το κατώρευμα.

Η συνήθης περίπτωση και αυτή που θα εξεταστεί είναι η θέση του σταθεροποιητικού πτερυγίου πίσω από την πτέρυγα (ουραίο σταθεροποιητικό πτερύγιο). Ο σκοπός είναι να εξεταστεί η άνωση που παρέχει το ουραίο και το πως η ροπή που προκαλεί, υπεισέρχεται στην εξίσωση της συνολικής ροπής πρόνευσης. Ένα δεύτερο ζήτημα, είναι η εξέταση των ροπών, στις αρθρώσεις του πηδαλίου ανόδου - καθόδου. Στο σχήμα 2.5 παρουσιάζονται οι μέσες χορδές πτέρυγας και ουραίου και τα σχετικά γεωμετρικά μεγέθη:

Σχήμα 2.5 Γωνίες, δυνάμεις και ροπές στην κύρια πτέρυγα και το ουραίο οριζόντιο πτερύγιο

•         α_t: γωνία πρόσπτωσης οριζόντιου σταθερού πτερυγίου (tailplane),

•         ε: γωνία κατωρεύματος (downwash),

•         i_t: τοπική γωνία πρόσπτωσης (incidence),

•         l_t: οριζόντια απόσταση κέντρου βάρους και αεροδυναμικού κέντρου ουραίου,

•         z_cg,t: κάθετη απόσταση αεροδυναμικού κέντρου ουραίου και κέντρου βάρους,

•         Μ_ac,t: ροπή πρόνευσης οριζόντιου σταθερού περί το αεροδυναμικό κέντρο του,

•         FRL: γραμμή μηδενικής άνωσης.

Η έκφραση της γωνίας πρόσπτωσης του ουραίου οριζόντιου σταθερού προκύπτει από τη γεωμετρία του σχήματος 2.5:

Από την υπόθεση μικρών γωνιών πρόσπτωσης και αγνοώντας την οπισθέλκουσα του ουραίου οριζόντιου σταθερού, η συνολική άνωση μαζί με την άνωση της κύριας πτέρυγας είναι:

όπου

S, S_t είναι αντίστοιχα οι επιφάνειες της κύριας πτέρυγας και του οριζόντιου ουραίου πτερυγίου, V_t , V_w είναι αντίστοιχα οι σχετικές ταχύτητες του αέρα στην κύρια πτέρυγα και στο οριζόντιο ουραίο πτερύγιο και C_Lt ο συντελεστής άνωσης του οριζόντιου ουραίου πτερυγίου.

Ο λόγος αυτός των δυναμικών πιέσεων, ονομάζεται αποδοτικότητα του ουραίου και παίρνει συνήθως τιμές 0.8:1.2 ανάλογα με τη θέση του ουραίου ως προς την πτέρυγα. Αν το ουραίο βρίσκεται μέσα στον ομόρρου της πτέρυγας ή της ατράκτου τότε Q_t<Q_w άρα η<1 λόγω της απώλειας ροπής στον ομόρρου. Σε αντίθετη περίπτωση Q_t>Q_w και η>1.

Λαμβάνοντας πλέον τις ροπές περί το κέντρο βάρους, εξάγεται η εξίσωση της ροπής πρόνευσης του ουραίου :

Στις περισσότερες περιπτώσεις αεροσκαφών η θέση του ουραίου σε σχέση με την πτέρυγα, είναι τέτοια που οι δύο τελευταίοι όροι στο δεξί μέλος της εξίσωσης είναι πολύ μικροί συγκριτικά με τον πρώτο και μπορούν να παραλειφθούν. Εφόσον υποτέθηκαν μικρές γωνίες και >> η εξίσωση (2.12) καταλήγει στη μορφή:

όπου ο λόγος όγκου οριζόντιου σταθερού ουραίου πτερυγίου (Horizontal tail volume, εξίσωση 1.13) ορίζεται ως:

Επίσης, αν είναι η κλίση της καμπύλης άνωσης του ουραίου και αντικαθιστώντας τη γωνία πρόσπτωσης α_t από την εξίσωση (2.9) τότε προκύπτει:

Η γωνία κατωρεύματος ε εκφράζεται ως:

όπου ε_ο είναι η γωνία κατωρεύματος για μηδενική γωνία πρόσπτωσης α_w.

Από τη θεωρία πεπερασμένης πτέρυγας, στην περίπτωση ελλειπτικής κατανομής της άνωσης, προκύπτει η εξίσωση 1.14 για τη γωνία κατωρεύματος, ενώ παραγωγίζοντας ως προς τη γωνία πρόσπτωσης προκύπτει:

Μετά τις απαραίτητες αντικαταστάσεις, η εξίσωση (2.13) οδηγεί στην:

Ενώ η αντιστοιχία με τη γραμμική έκφραση της ροπής πρόνευσης:

όπου

2.2. Συνθήκες ευστάθειας

Όπως προαναφέρθηκε, ο πιλότος προσπαθεί, με κατάλληλους χειρισμούς και κάθε χρονική στιγμή, να διατηρεί το αεροσκάφος αντισταθμισμένο. Έτσι, ρυθμίζει το πηδάλιο ανόδου-καθόδου και την ώση του κινητήρα ώστε από τη μία πλευρά να πετύχει ικανοποιητική άνωση, που θα αντιτίθεται στο βάρος του αεροσκάφους και από την άλλη να αντισταθμίσει την οπισθέλκουσα για την επιθυμητή ταχύτητα πτήσης και γωνία του ίχνους πτήσης.

Εφόσον το σκάφος είναι συμμετρικό ως προς το κατακόρυφο επίπεδο, η πλάγια δύναμη που θα προκύψει είναι μηδενική. Με την προϋπόθεση ότι η ταχύτητα του αεροσκάφους είναι μεγαλύτερη από την ταχύτητα ελάχιστης οπισθέλκουσας - η ισορροπία δυνάμεων του αεροσκάφους δεν διαταράσσεται από τις μεταβολές της ταχύτητας- η στατική ευστάθεια του αεροσκάφους μπορεί να συνοψιστεί στα αποτελέσματα που επιφέρουν οι γωνιακές διαταραχές-και μόνο αυτές γύρω από τους τρεις άξονες. Μετά από την εφαρμογή μιας τέτοιας διαταραχής, οι αεροδυναμικές δυνάμεις και ροπές δεν θα βρίσκονται πλέον σε ισορροπία. Σ’ ένα στατικά ευσταθές αεροσκάφος, οι ροπές που θα προκύψουν, θα το βοηθήσουν να επανέλθει στην αρχική κατάσταση πτήσης. Κατά αυτό τον τρόπο εύκολα μπορεί να προκύψει η συνθήκη ώστε ένα αεροσκάφος να είναι στατικά ευσταθές.

Για την εξαγωγή των συνθηκών, θεωρούμε το ακόλουθο παράδειγμα. Έστω δύο αεροσκάφη των οποίων οι καμπύλες ροπής πρόνευσης ως προς τη γωνία πρόσπτωσης απεικονίζονται στο σχήμα 2.6. Σημειώνεται ότι αναφερόμαστε σε υποηχητική πτήση όπου οι γωνίες πρόσπτωσης είναι γενικά μικρές οπότε η εξάρτηση των συντελεστών ροπής C_m και άνωσης C_L από τη γωνία πρόσπτωσης είναι γραμμική. Όπως φαίνεται στο σχήμα 2.6, ο συντελεστής C_m είναι θετικός υπό την έννοια του ρύγχους του αεροσκάφους προς τα πάνω.

Σχήμα 2.6. Απεικόνιση συνθήκης διαμήκους στατικής ευστάθειας

Το Β είναι το σημείο αντιστάθμισης όπου:

Παρατηρούμε, ότι στην περίπτωση μιας διαταραχής κατά την οποία αυξάνεται η γωνία πρόσπτωσης πέρα από την αντιστάθμιση, το αεροσκάφος 1, αναπτύσσει αρνητική ροπή η οποία τείνει να το επαναφέρει στη θέση ισορροπίας. Αντιθέτως το αεροσκάφος 2 αναπτύσσει θετική ροπή η οποία τείνει να αυξήσει περαιτέρω τη γωνία πρόσπτωσης. Τα αντίστοιχα ισχύουν και στην αντίστροφη περίπτωση που αντιστοιχεί στο σημείο Α. Μόνο το αεροσκάφος 1 πληροί την προδιαγραφή για στατική ευστάθεια Από αυτό το απλό παράδειγμα μπορεί να εκφραστεί μαθηματικά η συνθήκη διαμήκους στατικής ευστάθειας ως:

Δηλαδή η καμπύλη της ροπής πρόνευσης ως προς τη γωνία πρόσπτωσης να έχει αρνητική κλίση στην περιοχή του σημείου αντιστάθμισης. Πηγαίνοντας ένα βήμα παρακάτω, πρέπει να ληφθεί υπόψη μία επιπλέον συνθήκη, περίπτωση που φαίνεται στο σχήμα 2.7.

Σχήμα 2.7. Ροπή πρόνευσης ως προς τη γωνία πρόσπτωσης

Για να είναι δυνατή η αντιστάθμιση σε θετικές γωνίες πρόσπτωσης πρέπει ο συντελεστής ροπής μηδενικής άνωσης να είναι θετικός:

Επίσης, σε περίπτωση που είναι επιθυμητή η έκφραση της ευστάθειας από την καμπύλη C_m-C_L η συνθήκη στατικής ευστάθειας, γίνεται:

Η συσχέτιση μεταξύ των δύο συνθηκών (2.23),(2.25) γίνεται μέσω της έκφρασης:

Εξετάζοντας τη διαμήκη στατική ευστάθεια μόνο για την πτέρυγα, η εισαγωγή της συνθήκης στατικής ευστάθειας γίνεται παραγωγίζοντας την εξίσωση (2.8) ως προς τον συντελεστή άνωσης ή τη γωνία πρόσπτωσης:

Ενώ για δυνατότητα αντιστάθμισης σε θετική γωνία πρόσπτωσης:

Άρα πρέπει x_ac > x_cg και . Αυτό σημαίνει ότι το αεροδυναμικό κέντρο της πτέρυγας πρέπει να βρίσκεται κατάντη του κέντρου βάρους, δηλαδή η ροπή πρόνευσης περί το αεροδυναμικό κέντρο είναι αρνητική. Για να επιτευχθεί θετική ροπή πρόνευσης περί το αεροδυναμικό κέντρο χρειάζεται αεροτομή αρνητικής καμπύλης. Στα περισσότερα αεροσκάφη δεν ισχύει αυτό, ενώ είναι σύνηθες το αεροδυναμικό κέντρο να βρίσκεται ανάντη του κέντρου βάρους. Δηλαδή γενικά η πτέρυγα προκαλεί διαμήκη αστάθεια. Εδώ εισέρχεται ο ρόλος του οριζόντιου σταθερού ουραίου πτερυγίου.

Από την άλλη, το οριζόντιο ουραίο πτερύγιο επιδρά θετικά στον συνολικό του αεροσκάφους με τη ρύθμιση της τοπικής γωνίας πρόσπτωσης . Όσον αφορά τη συνεισφορά του στη στατική ευστάθεια:

Δηλαδή αυτή η συνθήκη ικανοποιείται πάντα εφόσον τα V_H και η είναι εξ’ ορισμού θετικά μεγέθη, άρα ο ρόλος του ουραίου πτερυγίου είναι σταθεροποιητικός. Παράλληλα ο πιο εμφανής τρόπος ρύθμισης της συνεισφοράς του ουραίου στην ευστάθεια, είναι είτε με το μήκος του βραχίονα ροπής l_t είτε με την επιφάνεια του ουραίου πτερυγίου S_t.

2.3. Βαθμός ευστάθειας

Το μέγεθος της κλίσης των διαγραμμάτων C_m-C_L ή C_m-α καθορίζει τον βαθμό ευστάθειας που διαθέτει το αεροσκάφος. Οι μεταβολές στον βαθμό της ευστάθειας απεικονίζονται στο σχήμα 2.8.

Σχήμα 2.8 Βαθμός ευστάθειας στο διάγραμμα συντελεστή ροπής πρόνευσης – γωνίας πρόσπτωσης

Ο βαθμός της ευστάθειας περιγράφεται με τον όρο «περιθώριο ευστάθειας», το οποίο ουσιαστικά εκφράζει πόση ευστάθεια, περισσότερη από την ουδέτερη, διαθέτει το αεροσκάφος. Έτσι, το διάμηκες περιθώριο στατικής ευστάθειας σχετίζεται άμεσα με την κλίση του διαγράμματος C_m - α.

Παρατηρώντας το σχήμα 2.8 είναι φανερό ότι για μια δεδομένη διαταραχή στη γωνία πρόσπτωσης α, η προκύπτουσα ροπή αποκατάστασης (restoring moment) C_m είναι η μέγιστη όταν αναφερόμαστε σε ένα πολύ ευσταθές αεροσκάφος. Το μέγεθος της ροπής αποκατάστασης ελαττώνεται, καθώς μειώνεται ο βαθμός της ευστάθειας-ή το περιθώριο ευστάθειας-και γίνεται μηδέν στην ουδέτερη ευστάθεια. Όταν το αεροσκάφος είναι ασταθές η ροπή έχει αντίθετο πρόσημο και προφανώς προκαλεί απόκλιση. Επομένως όσο μεγαλύτερος ο βαθμός ευστάθειας τόσο μεγαλύτερη είναι η ροπή αποκατάστασης που ακολουθεί τη διαταραχή. Αυτό σημαίνει ότι ένα πολύ ευσταθές αεροσκάφος θα ανθίσταται σημαντικά στη διαταραχή, άρα θα απαιτείται μεγαλύτερη δράση ελέγχου ώστε το αεροσκάφος να μεταβάλλει την κατάσταση αντιστάθμισης, δηλαδή να ελιχθεί. Συνεπώς, ο μεγάλος βαθμός ευστάθειας μπορεί να είναι το ίδιο ανεπιθύμητος με τη λίγη ευστάθεια, καθώς στην πρώτη περίπτωση η διαθέσιμη ισχύς ελέγχου θα είναι περιορισμένη.

Όσον αφορά τα σύγχρονα υπερηχητικά αεροσκάφη υψηλών επιδόσεων, οι εκτεταμένοι φάκελοι πτήσης (Κεφ. 7, υποκεφάλαιο 5.4) και οι σημαντικές μεταβολές στις συνθήκες πτήσης είναι δυνατό να οδηγήσουν σε δραματικές μεταβολές της στατικής ευστάθειας. Για παράδειγμα είναι δυνατό, ένα τέτοιο αεροσκάφος να είναι ευσταθές σε κάποιες συνθήκες πτήσης και ασταθές σε κάποιες άλλες. Τέτοιες μεταβολές προκύπτουν από τα αποτελέσματα της εφαρμογής της ισχύος στους κινητήρες, από την ύπαρξη οπισθόκλισης στις πτέρυγες, από τη γεωμετρία του αεροσκάφους, από τα φαινόμενα της αεροελαστικότητας κλπ.

Θα πρέπει να σημειωθεί ότι για τα περισσότερα αεροσκάφη η χαρακτηριστική καμπύλη της ροπής πρόνευσης εμφανίζει την τάση για μη γραμμικότητα σε υψηλότερες τιμές του συντελεστή άνωσης. Σε εξαιρετικές περιπτώσεις η ευστάθεια ενός αεροσκάφους μπορεί να αντιστραφεί σε υψηλές τιμές του συντελεστή άνωσης, κάτι που μοιραία οδηγεί σε ασταθή άνοδο της κεφαλής του αεροσκάφους.

2.4. Ευστάθεια με τα χειριστήρια σταθεροποιημένα (controls fixed)

Η κατάσταση που προσδιορίζεται με τον όρο «χειριστήρια σταθεροποιημένα» αντιπροσωπεύει εκείνες τις συνθήκες όπου το πηδάλιο ανόδου-καθόδου διατηρείται σταθερό στη θέση που αναλογεί στις επικρατούσες συνθήκες αντιστάθμισης. Από πρακτική άποψη αυτό σημαίνει ότι ο πιλότος πετά το αεροσκάφος με τα χέρια του πάνω στα χειριστήρια και μάλιστα τα κρατά σταθερά σε συγκεκριμένες θέσεις που αντιστοιχούν στην αντιστάθμιση. Αυτό φυσικά προϋποθέτει ότι το αεροσκάφος είναι ευσταθές και διατηρείται αντισταθμισμένο.

Αφού εξετάστηκε αναλυτικά η επίδραση της πτέρυγας και του ουραίου πτερυγίου στη ροπή πρόνευσης, μπορεί να διατυπωθεί η έκφραση της συνολικής ροπής. Υπενθυμίζεται ότι η επίδραση της ατράκτου αμελήθηκε θεωρώντας ότι είναι μικρή σχετικά με την επίδραση της πτέρυγας και του ουραίου. Έτσι, η συνολική ροπή πρόνευσης εκφράζεται ως:

όπου

Η κλίση όμως της καμπύλης της ροπής ως προς τη γωνία πρόσπτωσης εξαρτάται τόσο από τη θέση του κέντρου βάρους όσο και από τα αεροδυναμικά χαρακτηριστικά του αεροσκάφους. Το κέντρο βάρους μετακινείται κατά τη διάρκεια της πτήσης. Συνεπώς είναι αναγκαίο να εντοπιστεί τα όρια μέσα στα οποία πρέπει να μπορεί να κινηθεί ώστε το αεροσκάφος να διατηρεί τη διαμήκη στατική του ευστάθεια. Για να εντοπιστεί το σημείο όπου το αεροσκάφος από στατικά ευσταθές γίνεται ουδέτερα ευσταθές –ουδέτερο σημείο- επιλύεται η εξίσωση (2.32) του ως προς την απόσταση του κέντρου βάρους από την ακμή εκφυγής (Neutral Point) για = 0 και προκύπτει:

Να σημειωθεί επίσης, ότι αγνοήθηκε και η επίδραση της μετακίνησης του κέντρου βάρους στον . Έτσι, ορίζεται το ουδέτερο σημείο με τα χειριστήρια σταθεροποιημένα όπου το αεροσκάφος είναι ουδέτερα ευσταθές. Αν το κέντρο βάρους μετακινηθεί πέρα από το σημείο αυτό, το αεροσκάφος γίνεται στατικά ασταθές. Στο σχήμα φαίνεται η επίδραση του κέντρου βάρους στην κλίση της καμπύλης C_m – α και συνεπώς στη διαμήκη στατική ευστάθεια.

Σχήμα 2.9 Επίδραση της θέσης του κέντρου βάρους στη διαμήκη στατική ευστάθεια

Για ένα ευσταθές αεροσκάφος το περιθώριο ευστάθειας είναι θετικό και όσο πιο μεγάλη τιμή έχει τόσο μεγαλύτερη είναι η ευστάθεια που διαθέτει αυτό το αεροσκάφος. Παρατηρώντας το σχήμα 2.9 είναι φανερό ότι το αεροσκάφος θα είναι ευσταθές εφόσον η θέση του κέντρου βάρους είναι εμπρός από τη θέση του ουδέτερου σημείου () όπου και η κλίση της καμπύλης είναι αρνητική. Τα αποδεκτά όρια ευστάθειας του αεροσκάφους καθορίζουν και το εύρος μετακίνησης του κέντρου βάρους. Το οπίσθιο όριο συχνά αντιστοιχεί στο ουδέτερο σημείο ενώ το εμπρόσθιο όριο καθορίζεται από το μέγιστο επιτρεπτό περιθώριο ευστάθειας.

3. Διαμήκης Έλεγχος και πηδάλιο ανόδου-καθόδου

Όπως προαναφέρθηκε, για να μπορεί το αεροσκάφος να πετά και να εκτελεί ελιγμούς σε διάφορες συνθήκες, πέρα από τις απαιτήσεις ισχύος, είναι απαραίτητη η ύπαρξη ενός συστήματος ελέγχου. Αυτός ο έλεγχος επιτυγχάνεται με την άνωση που παρέχουν κατ’ επιλογή, κατάλληλες αεροδυναμικές επιφάνειες τοποθετημένες σε διάφορα σημεία του αεροσκάφους. Τα κινούμενα αυτά πτερύγια ελέγχου προκαλούν αντίστοιχες ροπές ανάλογα με την απόσταση τους από το κέντρο βάρους.

Όσον αφορά τον διαμήκη έλεγχο, η προσοχή εστιάζεται στην πρόνευση, της οποίας ο έλεγχος γίνεται με το πηδάλιο ανόδου- καθόδου. Οι προδιαγραφές που πρέπει να πληρούνται κατά τον σχεδιασμό ενός τέτοιου πηδαλίου είναι:

•         Αποδοτικότητα ελέγχου: εξαρτάται από το μέγεθος του πτερυγίου και τον λόγο όγκου του οριζόντιου σταθερού ουραίου πτερυγίου V_Η.

•         Ροπές στις αρθρώσεις: οι αεροδυναμικές ροπές που ασκούνται στις αρθρώσεις μεταξύ του πηδαλίου ανόδου-καθόδου και του οριζόντιου σταθερού πτερυγίου και οι οποίες πρέπει να υπερνικηθούν κατά τη μετακίνηση του.

•         Αεροδυναμική ισορροπία και ισορροπία μάζας.

3.1. Αποδοτικότητα πηδαλίου ανόδου – καθόδου

Εφόσον το οριζόντιο σταθερό πτερύγιο ελέγχει την πρόνευση, θα διερευνηθεί πως το πηδάλιο ανόδου – καθόδου συμβάλει στη δημιουργία των απαιτούμενων δυνάμεων άνωσης που προκαλούν τις κατάλληλες ροπές περί το κέντρο βάρους με αποτέλεσμα τη μεταβολή της πρόνευσης.

Το σχήμα 2.10. δείχνει πως η γωνία εκτροπής δ_e του πηδαλίου ανόδου-καθόδου επηρεάζει την καμπύλη C_m - α ή C_m – C_L. Παρατηρείται ότι δεν επηρεάζει την κλίση της καμπύλης αλλά μετακινεί την καμπύλη με τέτοιο τρόπο που να επιτρέπει την αντιστάθμιση σε διάφορες γωνίες πρόσπτωσης.

Σχήμα 2.10. Επίδραση της κλίσης του πηδαλίου ανόδου – καθόδου στην καμπύλη C_m – α,C_L

Στη συνέχεια πρέπει να εξεταστούν οι μεταβολές των συνολικών δυνάμεων και ροπών που προκαλεί μια στροφή δ_e του πηδαλίου.

Η μεταβολή της συνολικής άνωσης του αεροσκάφους εκφράζεται ως:

Δηλαδή:

Ενώ η μεταβολή στη συνολική ροπή πρόνευσης είναι:

Η παράγωγος ευστάθειας ορίζεται ως η ισχύς έλεγχου του πηδαλίου ανόδου – καθόδου και όσο μεγαλώνει αντιστοιχεί σε πιο αποτελεσματικό έλεγχο. Τότε η εξίσωση της συνολικής ροπής πρόνευσης γίνεται:

Αφού εκφράστηκαν οι μεταβολές που προκαλεί η κλίση του πηδαλίου, εξετάζεται η συσχέτιση των παραγώγων και με τα γεωμετρικά χαρακτηριστικά του οριζόντιου σταθερού πτερυγίου. Εφόσον η μεταβολή στη συνολική άνωση είναι η μεταβολή που ασκείται στο οριζόντιο σταθερό πτερύγιο:

προκύπτει η σχέση:

όπου η παράγωγος ορίζεται ως η αποδοτικότητα του πηδαλίου ανόδου-καθόδου, είναι ανάλογη του μεγέθους του πτερυγίου και μπορεί να υπολογιστεί από την εξίσωση (2.40):

Η παράμετρος τ μπορεί να καθοριστεί από πειραματικά δεδομένα, όπως στο σχήμα 2.11:

Σχήμα 2.11 Καμπύλη παραμέτρου τ ως προς το εμβαδό ανωστικής επιφάνειας του πηδαλίου

Τότε η παράγωγος του συντελεστή της συνολικής άνωσης ως προς τη γωνία του πηδαλίου ανόδου – καθόδου εκφράζεται ως:

Όσον αφορά τη συσχέτιση της μεταβολής της συνολικής ροπής πρόνευσης με τα γεωμετρικά μεγέθη, ισχύει:

Ή ως έκφραση παραγώγου:

Προφανώς ο σχεδιαστής μπορεί να επιλέξει την αποδοτικότητα του πηδαλίου ανόδου–καθόδου με την κατάλληλη επιλογή του μεγέθους του πτερυγίου και του λόγου του όγκου του.

3.2. Γωνία αντιστάθμισης πηδαλίου ανόδου – καθόδου

Όπως ορίστηκε στην αρχή του κεφαλαίου, στο αντισταθμισμένο αεροσκάφος υπάρχει ισορροπία δυνάμεων. Άρα από την εξίσωση 2.37 του συντελεστή της ροπής πρόνευσης:

Επιλύοντας ως προς τη γωνία του πηδαλίου, προκύπτει:

όπου ως δ_trim ορίζεται ως η γωνία αντιστάθμισης του πηδαλίου ανόδου-καθόδου. Επίσης, ο συντελεστής άνωσης στην αντιστάθμιση εκφράζεται ως:

Συνεπώς η γωνία πρόσπτωσης αντιστάθμισης προκύπτει ως:

Αντικαθιστώντας τις ανωτέρω εκφράσεις στην εξίσωση 2.45 λαμβάνεται η τελική έκφραση για τη γωνία αντιστάθμισης πηδαλίου ανόδου – καθόδου:

3.3. Ευστάθεια με τα χειριστήρια ελεύθερα (controls free)

Η κατάσταση που περιγράφεται με τον όρο «χειριστήρια ελεύθερα» αναφέρεται στις συνθήκες στις οποίες το πηδάλιο ανόδου καθόδου είναι ελεύθερο να «πλέει» (floating) σε μια γωνία που αντιστοιχεί στην επικρατούσα συνθήκη αντιστάθμισης. Στην πράξη αυτό σημαίνει ότι ο πιλότος μπορεί να πετά το αεροσκάφος με τα χέρια του μακριά από τα χειριστήρια, καθώς το αεροσκάφος διατηρεί τα στοιχεία της πτήσης του. Υποτίθεται ότι και σε αυτή την περίπτωση, το αεροσκάφος που εξετάζεται είναι ευσταθές, διαφορετικά θα απέκλινε με την απελευθέρωση των χειριστηρίων.

Αυτή η κατάσταση είναι δυνατό να επιτευχθεί μόνο εφόσον τα χειριστήρια μπορούν να ρυθμιστούν, έτσι ώστε το πηδάλιο ανόδου-καθόδου να πλέει στη σωστή γωνία που αντιστοιχεί στην επιθυμητή κατάσταση πτήσης. Αυτό καθίσταται δυνατό με τη συνεχή ρύθμιση του αντισταθμιστικού πηδαλίου, έως ότου το αεροσκάφος αντισταθμιστεί πλήρως. Έτσι, η ευστάθεια με τα χειριστήρια ελεύθερα αφορά το αντισταθμιστικό πηδάλιο και τα χαρακτηριστικά ελέγχου του.

3.4. Ροπές στις αρθρώσεις του πηδαλίου ανόδου - καθόδου

Ο πιλότος ασκώντας δύναμη στα χειριστήρια μετακινεί το πηδάλιο ανόδου – καθόδου. Για να γίνει αυτό πρέπει να υπερνικήσει τις ροπές στις αρθρώσεις του πηδαλίου. Οπότε η γνώση αυτών των ροπών είναι σημαντική, καθώς πρέπει η απαιτούμενη από τον πιλότο δύναμη να είναι σε λογικά πλαίσια ώστε να μην είναι κουραστική. Οι ροπές αυτές ορίζονται στο σχήμα 2.12:

Σχήμα 2.12 Ροπές στην άρθρωση του πηδαλίου ανόδου - καθόδου

Υποτίθεται ότι η ροπή στην άρθρωση είναι αποτέλεσμα της δράσης της γωνίας πρόσπτωσης α_t, της γωνίας εκτοπισμού δ_e του πηδαλίου ανόδου – καθόδου και της γωνίας εκτοπισμού δ_tab του αντισταθμιστικού πηδαλίου ξεχωριστά και μπορεί να εκφραστεί υπό την εξής μορφή:

όπου

•         : η παραμένουσα ροπή,

•         , , : οι παράμετροι της ροπής στην άρθρωση.

Ο υπολογισμός των παραμέτρων της εξίσωσης (2.49) είναι δύσκολο να γίνει με ακρίβεια αναλυτικά. Για το λόγο αυτό οι παράμετροι συνήθως λαμβάνονται από πειραματικά δεδομένα σε αεροδυναμική σήραγγα.

Στην περίπτωση πλέον που ο πιλότος αφήνει ελεύθερα τα χειριστήρια του πηδαλίου ανόδου – καθόδου πρέπει να ελεγχθεί το πώς επηρεάζεται η διαμήκης στατική ευστάθεια και ο έλεγχος του αεροσκάφους. Για απλότητα των εξισώσεων σαν πρώτη προσέγγιση θεωρείται ότι ισχύει:

Τότε εφόσον τα χειριστήρια είναι ελεύθερα ισχύει:

Επιλύοντας την 2.51 ως προς τη γωνία του πηδαλίου ανόδου–καθόδου, προκύπτει:

Συνήθως, οι παράμετροι , είναι αρνητικές. Σε αυτή την περίπτωση από την εξίσωση (2.52) φαίνεται το πηδάλιο να «πλέει» προς τα πάνω όταν η γωνία πρόσπτωσης α_t αυξάνεται. Χρησιμοποιώντας την έκφραση αυτή, ο συντελεστής άνωσης του οριζόντιου σταθερού προκύπτει:

Αντικαθιστώντας την 2.52 στην 2.53 προκύπτει:

Ή σε πιο συμπτυγμένη μορφή:

όπου

Ο παράγοντας f επηρεάζει την κλίση της καμπύλης άνωσης – γωνίας πρόσπτωσης του οριζόντιου σταθερού και μπορεί να λαμβάνει τιμές είτε μικρότερες είτε μεγαλύτερες της μονάδας, ανάλογα με το πρόσημο των παραμέτρων της ροπής στην άρθρωση.

Συνδυάζοντας τις εξισώσεις (2.55), (2.56) με τις εξισώσεις (2.9) και (2.13), οι συνολικοί συντελεστές της ροπής πρόνευσης για την περίπτωση που τα χειριστήρια είναι ελεύθερα, εκφράζονται ως:

Η επίδραση στη διαμήκη στατική ευστάθεια, όταν τα χειριστήρια είναι ελεύθερα προκύπτει εάν τεθεί και επιλυθεί η εξίσωση ως προς τη θέση του κέντρου βάρους:

όπου το ουδέτερο σημείο με τα χειριστήρια ελεύθερα.

Όπως και στην περίπτωση με τα χειριστήρια σταθεροποιημένα, έτσι και εδώ το , είναι η απόσταση από την ακμή εκφυγής, την οποία αν το κέντρο βάρους υπερβεί, το αεροσκάφος γίνεται στατικά ασταθές.

3.5. Στατικό περιθώριο ευστάθειας

Με τον όρο «στατικό περιθώριο» εκφράζεται η απόσταση του κέντρου βάρος από το ουδέτερο σημείο, δηλαδή το περιθώριο που έχει για να μετακινηθεί το κέντρο βάρους ώστε το αεροσκάφος να παραμένει στατικά ευσταθές. Αφού ορισθεί και το ουδέτερο σημείο για την περίπτωση με τα χειριστήρια ελεύθερα, προκύπτει η διαφορά μεταξύ των δύο καταστάσεων (εξίσωση 2.33, 2.59):

Παρατηρείται ότι ο παράγοντας f καθορίζει τη θέση του σχετικά με το . Τα στατικά περιθώρια στις δύο περιπτώσεις ορίζονται ως εξής:

•         Χειριστήρια σταθεροποιημένα:.

•         Χειριστήρια ελεύθερα:.

3.6. Δυνάμεις στα χειριστήρια

Ανάλογα με την επιφάνεια που θέλει να εκτοπίσει ο πιλότος, θα χρησιμοποιήσει τα αντίστοιχα χειριστήρια ή πεντάλ. Η δύναμη που απαιτείται να ασκήσει για αυτές τις ενέργειες, είναι ανάλογη της ροπής στην άρθρωση της εκάστοτε επιφάνειας ελέγχου. Χαρακτηριστικό παράδειγμα είναι ο διαμήκης έλεγχο μέσω του πηδάλιο ανόδου-καθόδου, όπου η δύναμη που πρέπει να ασκήσει είναι ανάλογη της ροπής στην άρθρωση:

Στο σχήμα 2.13 παρουσιάζεται μία απλοποιημένη μορφή του συστήματος ελέγχου του πηδαλίου ανόδου-καθόδου. Εξισώνοντας το έργο μετακίνησης του χειριστηρίου με το έργο εκτοπισμού του πηδαλίου στην επιθυμητή γωνία προκύπτει:

Σχήμα 2.13 Απλοποιημένη μορφή συστήματος ελέγχου του πηδαλίου ανόδου καθόδου.

όπου

•         G: λόγος μετάδοσης, μέτρο του μηχανικού πλεονεκτήματος που δίνει το σύστημα στον πιλότο,

•         δείκτης s: μεγέθη που αναφέρονται στο χειριστήριο (stick).

Αντικαθιστώντας την έκφραση της ροπής στην άρθρωση (Σχήμα 2.12):

Από αυτή τη σχέση παρατηρείται ότι το πλάτος της δύναμης αυξάνεται σε αναλογία με:

·         το μέγεθος του αεροσκάφους (επιφάνεια S_e),

·         τo τετράγωνο της ταχύτητας πτήσης.

Ασφαλώς παρόμοιες εκφράσεις μπορούν να εξαχθούν και για τις άλλες επιφάνειες ελέγχου.

Τέλος να τονισθεί ότι το σύστημα ελέγχου πρέπει να είναι σχεδιασμένο με τέτοιο τρόπο, ώστε η απαιτούμενη από τον πιλότο δύναμη χειρισμού να είναι σε επιτρεπτά πλαίσια. Αρκετά μικρή ώστε να μην προκαλεί κόπωση στον πιλότο αλλά παράλληλα, αρκετά μεγάλη ώστε να μην μετακινείται το πηδάλιο με την παραμικρή κίνηση στο χειριστήριο και να έχει ο πιλότος μια αίσθηση της στιβαρότητας του ελιγμού που επιχειρεί. Επίσης, συγκεκριμένα για το πηδάλιο ανόδου – καθόδου, η σύμβαση είναι η εξής:

•         Έλξη του χειριστηρίου (προς τα πίσω) αντιστοιχεί σε περιστροφή προς τα πάνω του ρύγχους του αεροσκάφους που επιβραδύνεται.

•         Ώθηση του χειριστηρίου (προς τα μπρος) αντιστοιχεί σε περιστροφή προς τα κάτω του ρύγχους του αεροσκάφους που επιταχύνεται.

3.7. Αντισταθμιστικά πηδάλια ροπής πρόνευσης

Παράλληλα με τις απαιτήσεις που αφορούν τα όρια των δυνάμεων που χρειάζεται να ασκεί ο πιλότος για τη λειτουργία των επιφανειών ελέγχου, είναι εξίσου σημαντικό να εξουδετερώνεται η δύναμη στα χειριστήρια κατά την αντισταθμισμένη πτήση με κάποιο κατάλληλο τρόπο. Σε αντίθετη περίπτωση ο πιλότος θα έπρεπε να προσπαθεί συνεχώς να διατηρήσει την απαιτούμενη δύναμη για την εκτέλεση αντισταθμισμένης πτήσης.

Αυτή η ανάγκη μπορεί να ικανοποιηθεί με τη χρήση των αντισταθμιστικών πηδαλίων στα πηδάλια ανόδου – καθόδου για τον διαμήκη έλεγχο. Τα αντισταθμιστικά πηδάλια είναι μικρά πτερύγια τοποθετημένα στην ακμή εκφυγής της εκάστοτε επιφάνειας ελέγχου με σκοπού να εξουδετερώνουν τις ροπές στις αρθρώσεις. Όσον αφορά τη συνεισφορά τους στην άνωση της επιφάνειας όπου είναι προσαρτημένα, αυτή είναι ελάχιστη και δεν λαμβάνεται υπόψη στην ανάλυση.

Στο σχήμα (2.14) φαίνεται ο τρόπος προσάρτησης των αντισταθμιστικών πηδαλίων στο οριζόντιο ουραίο σταθερό πτερύγιο.

Σχήμα 2.14 Αντισταθμιστικά πηδάλια ροπής πρόνευσης

4. Εγκάρσια στατική ευστάθεια

4.1. Συνθήκη ευστάθειας – Ροπή περιστροφής επαναφοράς

Η εγκάρσια στατική ευστάθεια αφορά την ικανότητα του αεροσκάφους να διατηρεί ισορροπία με τις πτέρυγες οριζόντιες ως προς την περιστροφή. Όπως και στη διαμήκη στατική ευστάθεια, είναι επιθυμητό μετά από μια διαταραχή ως προς την περιστροφή, το αεροσκάφος να δημιουργεί τις κατάλληλες ροπές επαναφοράς στην κατάσταση ισορροπίας. Στο σχήμα 2.15 ορίζεται η έννοια της στατικής ευστάθειας στην περιστροφή. Επίσης, φαίνεται η ακολουθία των γεγονότων μετά από την εφαρμογή μιας διαταραχής πλαγιολίσθησης (sideslip) για ένα εγκάρσια ευσταθές, και ένα εγκάρσια ασταθές αεροσκάφος.

Σχήμα 2.15. Στατική ευστάθεια περιστροφής

Πρέπει να σημειωθεί ότι η τελική κίνηση που θα προκύψει μετά από την εφαρμογή της διαταραχής καθορίζεται και από τα εγκάρσια δυναμικά χαρακτηριστικά του αεροσκάφους.

Η ροπή περιστροφής επαναφοράς, είναι συνάρτηση της γωνίας πλαγιολίσθησης β, όπως φαίνεται στο σχήμα 2.15. Η απαίτηση για στατική ευστάθεια είναι:

όπου είναι η παράγωγος του συντελεστή ροπής περιστροφής ως προς τη γωνία πλαγιολίσθησης.

Η ροπή επαναφοράς που δημιουργείται στο αεροσκάφος όταν ξεκινήσει να πλαγιολισθαίνει, εξαρτάται από τη δίεδρη γωνία, την οπισθόκλιση και τη θέση της πτέρυγας στην άτρακτο όπως και από το κάθετο ουραίο σταθερό πτερύγιο. Σημαντικότερη είναι η επίδραση της δίεδρης γωνίας Γ της πτέρυγας η οποία ορίζεται ως η γωνία που σχηματίζει η κλίση του εκπετάσματος με τον οριζόντιο άξονα όπως φαίνεται και στο σχήμα 2.16. Τότε:

•         Για Γ>0, το άκρο της πτέρυγας είναι ψηλότερα από τη βάση της.

•         Για Γ<0, το άκρο της πτέρυγας είναι χαμηλότερα από τη βάση της.

Καθώς το αεροσκάφος ξεκινά να πλαγιολισθαίνει, η συνιστώσα του σχετικού ανέμου έχει κατεύθυνση προς το πλάι του αεροσκάφους. Η πτέρυγα από την πλευρά που έρχεται ο άνεμος αντιμετωπίζει αυξημένη γωνία πρόσπτωσης και συνεπώς αυξάνεται η άνωση. Το αντίθετο συμβαίνει στην πτέρυγα στην άλλη πλευρά. Αυτό το φαινόμενο έχει ως αποτέλεσμα τη δημιουργία μιας ροπής η οποία τείνει να επαναφέρει το αεροσκάφος στη θέση με τις πτέρυγες οριζόντιες.

Σχήμα 2.16 Διαταραχή ως προς την περιστροφή

Στο σχήμα 2.16 ορίζονται επίσης τα μεγέθη:

•         Δα: τοπική μεταβολή της γωνίας πρόσπτωσης,

•         ΔL: τοπική μεταβολή της άνωσης,

•         v_n : κατακόρυφη συνιστώσα της πλάγιας ταχύτητας,

•         V_r : ακτινική συνιστώσα της πλάγιας ταχύτητας.

Θεωρώντας ότι η γωνία Γ είναι μικρή:

4.2. Έλεγχος περιστροφής

Ο έλεγχος της περιστροφής (κλίσης), επιτυγχάνεται με τη διαφορική εκτροπή των πηδαλίων κλίσης όπως φαίνονται στο σχήμα 2.17. Η βασική αρχή λειτουργίας τους είναι η μεταβολή της κατανομής της ώσης κατά τη διεύθυνση του εκπετάσματος ώστε να δημιουργείται ροπή περιστροφής.

Σχήμα 2.17. Συστήματα ελέγχου περιστροφής

Χρησιμοποιώντας την ίδια λογική με την περίπτωση του πηδαλίου ανόδου – καθόδου, η απειροστή μεταβολή του συντελεστή ροπής περιστροφής εκφράζεται ως:

Ενώ ο συντελεστής άνωσης μπορεί να γραφτεί:

Ολοκληρώνοντας στην περιοχή που κατέχει το πηδάλιο περιστροφής και παραγωγίζοντας ως προς τη γωνία του πηδαλίου δ_a προκύπτει η έκφραση της ισχύος του ελέγχου:

4.3. Στατική ευστάθεια εκτροπής

Αυτή η μορφή στατικής ευστάθειας αφορά την ικανότητα του αεροσκάφους να εκτρέπεται ή διαφορετικά να στρέφει την κεφαλή του προς τον άνεμο με σκοπό να διατηρήσει την ισορροπία του ως προς τη κατεύθυνση του ανέμου. Επειδή όλα τα αεροσκάφη απαιτείται να πετούν με μηδενική πλαγιολίσθηση ως προς την εκτροπή, η θετική ευστάθεια εκτροπής είναι θεμελιώδης προδιαγραφή για τον σχεδιασμό του αεροσκάφος.

Ο κύριος παράγοντας που καθορίζει τη στατική ευστάθεια εκτροπής είναι το κάθετο ουραίο σταθερό πτερύγιο, αν και -όπως και στη περίπτωση της διαμήκους στατικής ευστάθειας- υπάρχουν και αρκετοί άλλοι παράγοντες που μπορούν να την επηρεάσουν, σύμφωνα με το [3].

Είναι απαραίτητο επίσης, να σημειωθεί ότι ένας μεγάλος βαθμός στατικής ευστάθειας εκτροπής θα έχει ως αποτέλεσμα ένα αεροσκάφος που θα αντιστέκεται στους ελιγμούς κατά την κατεύθυνση αυτή.

Σχήμα 2.18 Γωνίες και ταχύτητες στην περίπτωση της εκτροπής

Στο σχήμα 2.18 εικονίζεται ένα αεροσκάφος που υφίσταται μια διαταραχή θετικής πλαγιολίσθησης. Ο συνδυασμός της ταχύτητας της πλαγιολίσθησης V και της αξονικής ταχύτητας U καταλήγει σε μια θετική γωνία πλαγιολίσθησης β. Παρατηρείται ότι η θετική γωνία πλαγιολίσθησης ισούται με αρνητική γωνία εκτροπής ψ, εφόσον το ρύγχος του αεροσκάφους εκτρέπεται αριστερά λόγω της ολικής ταχύτητας V_Τ. Όπως φαίνεται στο σχήμα 2.18, κατά τη διάρκεια της διαταραχής το κάθετο σταθερό ουραίο πτερύγιο βρίσκεται σε μη μηδενική γωνία πρόσπτωσης η οποία ισούται με τη γωνία πλαγιολίσθησης β (α=β≠0). Το κάθετο σταθερό επομένως προκαλεί άνωση L_F η οποία, καθώς έχει τη διεύθυνση και τη φορά που φαίνεται στο σχήμα 2.18, δημιουργεί μια θετική ροπή εκτροπής Ν. Αυτή η ροπή είναι σταθεροποιητική, καθώς αναγκάζει το αεροσκάφος να εκτραπεί δεξιά έως ότου η γωνία πλαγιολίσθησης μηδενιστεί. Επομένως η συνθήκη ώστε ένα αεροσκάφος να διαθέτει ευστάθεια ως προς την εκτροπή είναι :

Σχήμα 2.19 Συντελεστής ροπής εκτροπής συναρτήσει της γωνίας εκτροπής.

Ένα τυπικό γράφημα του συντελεστή της ροπής εκτροπής συναρτήσει της γωνίας εκτροπής φαίνεται στο σχήμα 2.19 για ένα ευσταθές αεροσκάφος. Για μικρές διαταραχές ως προς την εκτροπή η καμπύλη είναι ουσιαστικά γραμμική, καθώς διαμορφώνεται κυρίως από την ικανότητα δημιουργίας άνωσης από το κάθετο σταθερό πτερύγιο. Καθώς το κάθετο σταθερό πτερύγιο προσεγγίζει την περιοχή απώλειας στήριξης, η άνωση του αλλοιώνεται ενώ άλλοι παράγοντες αρχίζουν να κυριαρχούν προκαλώντας αστάθεια εκτροπής. Ο κύριος αποσταθεροποιητικός παράγοντας προέρχεται από την άτρακτο, η οποία δεν φαίνεται ότι επηρεάζει τη στατική ευστάθεια για μικρές γωνίες εκτροπής, καθώς καλύπτεται από τις ισχυρές σταθεροποιητικές επιδράσεις του ίδιου του κάθετου σταθερού.

Η προσθήκη μιας επέκτασης (dorsal fin) της επιφάνειας του κάθετου σταθερού πάνω από την άτρακτο σε πολλά μεγάλα κυρίως αεροσκάφη, καθυστερεί σημαντικά την εμφάνιση απώλειας στήριξης στο κάθετο σταθερό επιτρέποντας στη στατική ευστάθεια να διατηρείται σε μεγαλύτερες γωνίες εκτροπής όπως φαίνεται στο σχήμα 2.19 (καμπύλη 1). Η αποτελεσματικότητα του κάθετου σταθερού μειώνεται επίσης, με την αύξηση της γωνίας πρόσπτωσης της ατράκτου, καθώς η βάση του κάθετου σταθερού βυθίζεται όλο και περισσότερο στη διαταραγμένη ροή της ατράκτου και επομένως η δραστική επιφάνεια του μειώνεται.

Το πρόβλημα αυτό καθίσταται όλο και περισσότερο σημαντικό για πολλά σύγχρονα μαχητικά αεροσκάφη. Στην τυπική τους διαμόρφωση αυτά τα αεροσκάφη διαθέτουν δύο κινητήρες τοποθετημένους δίπλα-δίπλα (side-by-side) στο οπίσθιο τμήμα της ατράκτου. Αυτό έχει ως συνέπεια το τμήμα της ατράκτου αμέσως εμπρός από αυτούς να είναι επίπεδο και φαρδύ κάτι που προκαλεί ένα μεγάλο ρεύμα αέρα που ελαττώνει δραστικά την αποτελεσματικότητα του κάθετου σταθερού σε μέτριες προς μεγάλες γωνίας πρόσπτωσης. Για αυτό τον λόγο τα αεροσκάφη αυτής της διαμόρφωσης είτε διαθέτουν δύο κάθετα σταθερά πτερύγια στις εξωτερικές άκρες του άνω τμήματος της ατράκτου όπως το αεροσκάφος F-14, είτε είναι εφοδιασμένα με πολύ μεγάλα κάθετα σταθερά πτερύγια όπως το αεροσκάφος F-111, τα οποία παρουσιάζονται στο σχήμα 2.20.

Σχήμα 2.20 Το μαχητικό αεροσκάφος F-14 του Πολεμικού Ναυτικού των ΗΠΑ (αριστερά) και το μαχητικό αεροσκάφος F-111 της Πολεμικής Αεροπορίας των ΗΠΑ (δεξιά).

Βιβλιογραφία/Αναφορές

x

x

3: ΔΥΝΑΜΙΚΕΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ ΚΙΝΗΣΗΣ

Σύνοψη

Το κεφάλαιο αυτό, αποτελείται από τρία βασικά μέρη. Την παρουσίαση των συστημάτων αξόνων που χρησιμοποιούνται για την περιγραφή και την ανάλυση της πτήσης του αεροσκάφους, και το υπόβαθρο στο οποίο στηρίζεται η εξαγωγή των εξισώσεων κίνησης, την εξαγωγή των γενικών δυναμικών εξισώσεων κίνησης συμμετρικού στερεού αεροσκάφους και τέλος, τη γραμμικοποίηση και τον διαχωρισμό των εξισώσεων αυτών σε διαμήκη και εγκάρσια δυναμική.

Προαπαιτούμενη γνώση

Απαιτούνται βασικές γνώσεις γεωμετρίας, γραμμικής άλγεβρας, δυναμικής στερεού σώματος και ταλαντώσεων. Επίσης, ο αναγνώστης πρέπει να είναι εξοικειωμένος με τις γενικές έννοιες της μοντελοποίησης και ασφαλώς τα θέματα που αναλύθηκαν στα προηγούμενα κεφάλαια.

1. Συστήματα αξόνων του αεροσκάφους

Εφόσον το αεροσκάφος κινείται μέσα στην ατμόσφαιρα, πρέπει να θεωρηθούν κατάλληλα συστήματα αξόνων για την περιγραφή της σχετικής κίνησης του αεροσκάφους. Η περιγραφή της κίνησης του αεροσκάφους γίνεται ως προς διάφορα εναλλακτικά συστήματα αξόνων, όπως παρουσιάζονται και από τον McLean [7], τα οποία έχουν καθιερωθεί στη δυναμική πτήσης και περιλαμβάνουν:

•         αδρανειακούς άξονες (συνήθως γήινους),

•         σωματόδετους άξονες,

•         αεροδυναμικούς άξονες ή άξονες ανέμου,

•         άξονες ευστάθειας.

1.1. Αδρανειακοί (χωρόδετοι) άξονες

Οι αδρανειακοί άξονες, προσδένονται σε ένα σύστημα αναφοράς το οποίο θεωρείται ακίνητο και ως προς το οποίο μελετάμε τη σχετική κίνηση του αεροσκάφους. Συνήθως, σαν τέτοιο σύστημα συντεταγμένων θεωρείται η γη.

Θα πρέπει να σημειωθεί, ότι στην πραγματικότητα η γη δεν είναι ακίνητη, αλλά πραγματοποιεί περιστροφή τόσο γύρω από τον εαυτό της, όσο και γύρω από τον ήλιο. Όμως αυτοί οι χρόνοι περιστροφής είναι πολύ μεγαλύτεροι από τους χρόνους μέσα στους οποίους εξελίσσονται τα φαινόμενα δυναμικής, τα οποία εξετάζονται στο πλαίσιο της Δυναμικής Πτήσης, και οι οποίοι είναι της τάξης του 1sec έως 5min και κατά συνέπεια η παραδοχή της γης σαν αδρανειακό (ακίνητο) σύστημα αναφοράς είναι απολύτως επαρκής, όπως σημειώνει ο Cook [3]. Για εφαρμογές όμως πλοήγησης πολύ μεγαλύτερης χρονικής διάρκειας, χρησιμοποιούνται άλλα αδρανειακά συστήματα συντεταγμένων, όπως παραδοσιακά ο έναστρος ουρανός.

Οι γήινοι άξονες (earth axis) ορίζονται με ένα σημείο αναφοράς Ο₀ , το οποίο είναι η αρχή των αξόνων ενός δεξιόστροφου ορθογώνιου συστήματος αναφοράς (Ο₀x₀y₀z₀). Η σύμβαση για τις διευθύνσεις τον γήινων αξόνων έχει ως εξής:

•         Ο άξονας Ο₀x₀ έχει κατεύθυνση προς το βορρά (North).

•         Ο άξονας O₀y₀ έχει κατεύθυνση προς την ανατολή (East).

•         Ο άξονας Ο₀z₀ έχει κατεύθυνση κατακόρυφα προς τα κάτω (προς το κέντρο της γης), παράλληλα με το διάνυσμα της βαρύτητας.

Οι γήινοι άξονες απεικονίζονται στο σχήμα 3.1.Το επίπεδο (Ο₀x₀y₀) ορίζει το τοπικό οριζόντιο επίπεδο το οποίο είναι εφαπτόμενο στην επιφάνεια της γης. Επομένως το ίχνος πτήσης (πορεία) ενός αεροσκάφους μπορεί να περιγραφεί πλήρως από τις συντεταγμένες του στο γήινο σύστημα αξόνων. Αυτή η πρόταση προϋποθέτει μια επίπεδη γη (flat earth) όπου η κατακόρυφη διεύθυνση είναι προσδεμένη στο άνυσμα της βαρύτητας. Αυτό το σύστημα είναι επαρκές για πτήσεις τοπικού χαρακτήρα, ταιριάζει όμως καλύτερα σε εφαρμογές πλοήγησης και εφαρμογές μελέτης επιδόσεων, εκεί όπου η μελέτη του ίχνους πτήσης έχει πρωταρχικό ενδιαφέρον.

Σχήμα 3.1 Γήινοι άξονες συντεταγμένων.

Για τις εφαρμογές της Δυναμικής Πτήσης προτιμάται ένας πιο απλοποιημένος ορισμός των γήινων αξόνων. Επειδή η Δυναμική Πτήσης ουσιαστικά αφορά τη βραχυπρόθεσμη κίνηση, μπορεί να γίνει η παραδοχή ότι η πτήση πραγματοποιείται πάνω από μια επίπεδη γη. Η πιο κοινή μορφή πτήσης είναι εκείνη της ευθείας και οριζόντιας πτήσης. Πρόκειται για την πτήση κατά το οριζόντιο επίπεδο σε σταθερό ύψος, ενώ ανεξάρτητα από τη μετέπειτα πτήση του αεροσκάφους, η θέση του ορίζεται σε σχέση με τον ορίζοντα.

Στο σχήμα 3.1 ορίζεται ένα δεύτερο σύστημα αξόνων (Ο_Εx_Ey_Ez_E). Οι άξονες (Ο_Εx_Ey_Ez_E) ονομάζονται γήινοι άξονες αναφοράς (datum-path earth axis) και ορίζονται για την περιγραφή της βραχυπρόθεσμης σχετικής κίνησης του αεροσκάφους, ως προς το αδρανειακό σύστημα (Ο₀x₀y₀z₀):

•         Ο_Εx_Ey_E : το οριζόντιο επίπεδο, παράλληλο στο επίπεδο (Ο₀x₀y₀) στην επιφάνεια της γης,

•         Ο_Εx_E : άξονας με φορά προς τη διεύθυνση πτήσης του αεροσκάφους και όχι προς το βορρά,

•         Ο_Εz_E: άξονας με φορά προς τα κάτω όπως και προηγουμένως.

Η τοποθέτηση της αρχής των αξόνων Ο_Ε μπορεί να γίνει σε οποιοδήποτε κατάλληλο σημείο μέσα στην ατμόσφαιρα. Συνήθως όμως, για τις απαιτήσεις της ανάλυσης που επιχειρείται στη δυναμική πτήσης, η αρχή των αξόνων Ο_Ε τοποθετείται στο κέντρο βάρους του αεροσκάφους (cg – center of gravity), ώστε να ταυτίζεται με την αρχή Ο του σωματόδετου συστήματος του αεροσκάφους (body axis) (Οx_by_bz_b). Το σωματόδετο σύστημα παρουσιάζεται αναλυτικά στο επόμενο υποκεφάλαιο.

1.2. Σωματόδετοι άξονες του αεροσκάφους

Το σωματόδετο σύστημα αξόνων (Οx_by_bz_b) που προαναφέρθηκε, είναι ένα δεξιόστροφο ορθογώνιο σύστημα αξόνων, το οποίο είναι προσδεμένο στο αεροσκάφος (σχ. 3.2) και κινείται μαζί με αυτό. Έτσι, όταν η κατάσταση του αεροσκάφους διαταράσσεται από τις αρχικές συνθήκες πτήσης, οι άξονές του κινούνται μαζί με το αεροσκάφος. Ο πιο συνηθισμένος τρόπος ορισμού του συστήματος (Οx_by_bz_b) έχει σαν βάση τη γεωμετρία της ατράκτου και ορίζεται αναλυτικά ως ακολούθως:

•         Οx_bz_b : το επίπεδο που ορίζει το επίπεδο συμμετρίας του αεροσκάφους,

•         Οx_b : άξονας που γενικά ορίζεται παράλληλος με τη γεωμετρική αναφορά της ατράκτου (horizontal fuselage datum),

•         Οy_b : άξονας με φορά προς τη δεξιά πτέρυγα,

•         Οz_b : άξονας με φορά προς τα κάτω.

Σχήμα 3.2 Σωματόδετοι άξονες συντεταγμένων.

Η αρχή Ο των αξόνων βρίσκεται σ’ ένα σημείο της ατράκτου το οποίο μας εξυπηρετεί και συνήθως -αλλά όχι απαραίτητα- ταυτίζεται με το κέντρο βάρους (cg - center of gravity).

Επίσης, είναι πολύ βολικός ο ορισμός ενός ακόμη συστήματος αξόνων (Ox_wy_wz_w) που ονομάζονται αεροδυναμικοί άξονες ή άξονες ανέμου (wind axis) και ορίζονται στη γενική περίπτωση όπως φαίνεται στο σχήμα 3.2. Ο άξονας Ox_w είναι παράλληλος με τη διεύθυνση της ολικής ταχύτητας V_T του σχετικού ανέμου και προσδιορίζεται σε σχέση με τον άξονα Ox_b μέσω των δύο χαρακτηριστικών γωνιών της σχετικής ταχύτητας του ανέμου ως προς το αεροσκάφος:

•         γωνία πρόσπτωσης α,

•         γωνία πλαγιολίσθησης β.

Σε σταθερή-μόνιμη συμμετρική πτήση (β=0) οι άξονες του ανέμου (Οx_wy_wz_w) δεν είναι τίποτα άλλο παρά ένας τύπος του σωματόδετου συστήματος αξόνων, το οποίο έχει περιστραφεί γύρω από τον άξονα Οy_b κατά τη σταθερή γωνία πρόσπτωσης του σώματος α_e έως ότου ο άξονας Οx_w ευθυγραμμιστεί με το διάνυσμα της ολικής ταχύτητας πτήσης. Επιπλέον, επειδή υπάρχει μία και μοναδική τιμή της γωνίας πρόσπτωσης α_e που αντιστοιχεί σε κάθε συνθήκη πτήσης, ο προσανατολισμός των αξόνων του ανέμου (ή ευστάθειας αντίστοιχα) στην άτρακτο είναι διαφορετικός για κάθε συνθήκη πτήσης. Όμως, για κάθε μια δεδομένη συνθήκη πτήσης, ο προσανατολισμός των αξόνων του ανέμου είναι εξ αρχής καθορισμένος και σταθερός σε σχέση με το αεροσκάφος, ενώ κινείται με αυτό σε κάθε διαταραχή. Οι τυπικές τιμές για τη γωνία πρόσπτωσης του αεροσκάφους είναι α_e=-10°:20° στο εύρος του κανονικού φακέλου πτήσης.

Συνοψίζοντας, δεν είναι ιδιαίτερα σημαντικό ποιο σύστημα αξόνων θα επιλεγεί, με την προϋπόθεση ότι η επιλογή μοντελοποιεί την κατάσταση πτήσης που εξετάζεται. Όταν χρησιμοποιούνται δεδομένα για τις εξισώσεις κίνησης, είναι πολύ συνηθισμένο κάποια από αυτά να αναφέρονται στους άξονες του ανέμου ενώ κάποια άλλα να αναφέρονται στο σωματόδετο σύστημα. Επιβάλλεται επομένως να υπάρχει η δυνατότητα εκτέλεσης των απαραίτητων μετασχηματισμών από το ένα στο άλλο σύστημα.

Παράλληλα με τα παραπάνω δύο συστήματα συντεταγμένων, χρησιμοποιούνται και οι άξονες ευστάθειας, (stability axis, Ox_sy_sz_s). Η διαφορά των αξόνων ευστάθειας με τους άξονες ανέμου είναι ότι o άξονας Ox_s έχει διεύθυνση παράλληλη με την προβολή της σχετικής ταχύτητας του ανέμου στο επίπεδο (Oxz). Έτσι, ορίζεται και η γωνία πλαγιολίσθησης β όπως φαίνεται στο σχήμα 3.2.

Είναι προφανές βέβαια ότι οι άξονες ευστάθειας και οι άξονες άνεμου ταυτίζονται σε κάποιες συνθήκες πτήσης, όταν η γωνία πλαγιολίσθησης είναι μηδενική, όταν δηλαδή ο σχετικός άνεμος χτυπά μετωπικά το αεροσκάφος, το οποίο είναι και η συνηθέστερη κατάσταση.

2. Μεταβλητές του αεροσκάφους και βασικές παραδοχές

2.1 Μεταβλητές του αεροσκάφους στο σωματόδετο σύστημα συντεταγμένων

Όπως περιγράφει ο Blakelock [8], το αεροσκάφος αποτελεί ένα στερεό σώμα το οποίο κινείται μέσα στην ατμόσφαιρα και έχει έξι (6) βαθμούς ελευθερίας: τις τρεις συνιστώσες της μετατόπισης ως προς τους εκάστοτε τρεις άξονες αναφοράς και τις αντίστοιχες γωνίες περιστροφής περί τους άξονες αυτούς. Η περιγραφή της πτήσης γίνεται ως προς τις δυνάμεις, τις ροπές, τις γραμμικές και τις γωνιακές ταχύτητες, καθώς και τη θέση του. Τα μεγέθη αυτά προβάλλονται και αναλύονται πάνω σε κατάλληλα προσδεμένο σύστημα αναφοράς του αεροσκάφους (Σχήμα 3.3). Για διευκόλυνση στους υπολογισμούς, θεωρείται αρχικά ένα γενικευμένο σωματόδετο σύστημα αξόνων Οxyz, το οποίο μπορεί να είναι το σωματόδετο σύστημα (Οx_by_bz_b) ή και το σύστημα ανέμου (Οx_wy_wz_w), έτσι όπως ορίστηκαν.

Σχήμα 3.3 Μεταβλητές του αεροσκάφους σε σωματόδετο σύστημα συντεταγμένων

Οι συνιστώσες της συνολικής γραμμικής ταχύτητας V_T = [U,V,W]^T του κέντρου βάρους O είναι:

•         U: αξονική ταχύτητα,

•         V: εγκάρσια ταχύτητα,

•         W: κάθετη ταχύτητα.

Οι συνιστώσες της γωνιακής ταχύτητας Ω = [P,Q,R]^T του κέντρου βάρους O είναι:

•         P: ρυθμός περιστροφής,

•         Q: ρυθμός πρόνευσης,

•         R: ρυθμός εκτροπής.

Οι συνιστώσες του αθροίσματος των εξωτερικών δυνάμεων (αεροδυναμικών δυνάμεων, δυνάμεων βαρύτητας, πρόωσης, κτλ.) είναι:

•         X: αξονική συνιστώσα δύναμης,

•         Y: πλάγια συνιστώσα δύναμης,

•         Z: κάθετη συνιστώσα δύναμης.

Οι συνιστώσες του αθροίσματος των εξωτερικών ροπών δυνάμεων (αεροδυναμικών ροπών, πρόωσης, κτλ.) είναι:

•         L: ροπή περιστροφής,

•         M: ροπή πρόνευσης,

•         N: ροπή εκτροπής.

Η θετική φορά των μεταβλητών καθορίζεται από την εκλογή του δεξιόστροφου συστήματος αξόνων. Οι συνιστώσες των γραμμικών ποσοτήτων, (δύναμη, ταχύτητα κλπ.) είναι θετικές όταν η φορά της δράσης είναι η ίδια με τη φορά του άξονα με τον οποίο αυτή σχετίζεται. Η θετική έννοια των περιστροφικών ποσοτήτων, (ροπή, γωνιακή ταχύτητα, γωνία θέσης, κλπ. ) αντιστοιχούν σε δεξιόστροφή περιστροφή και μπορεί να καθοριστεί ως ακολούθως:

•         Θετική περιστροφή γύρω από τον άξονα Ox: ο άξονας Oy πλησιάζει τον άξονα Oz, το αεροσκάφος εμφανίζει δεξιά κλίση και η δεξιά πτέρυγα κλίνει προς τα κάτω.

•         Θετική πρόνευση ως προς τον άξονα Oy: ο άξονας Oz πλησιάζει τον άξονα Ox και το αεροσκάφος ανεβάζει το ρύγχος (nose up).

•         Θετική εκτροπή ως προς τον άξονα Oz: ο άξονας Ox πλησιάζει τον άξονα Oy και το αεροσκάφος στρέφει το ρύγχος προς τα δεξιά.

2.2 Η θέση του αεροσκάφους ως προς το γήινο σύστημα αξόνων

Στη συνέχεια θα ορισθεί ο προσανατολισμός του αεροσκάφους σε σχέση με το γήινο (χωρόδετο) σύστημα αξόνων. Για τον σκοπό αυτό αρκεί να ορισθούν κατάλληλες γωνίες που θα συσχετίσουν το προσδεμένο στο αεροσκάφος σύστημα (Οxyz), με το γήινο σύστημα (Ο_Εx_Ey_Ez_E). Γενικά η διαδικασία συσχετισμού ενός μεγέθους ή μεταβλητής εκφρασμένης σε ένα σωματόδετο σύστημα αξόνων με το αντίστοιχο μέγεθος ή μεταβλητή εκφρασμένη ένα σταθερό (αδρανειακό, χωρόδετο) σύστημα αξόνων γίνεται με ένα πολύ συγκεκριμένο τρόπο, χρησιμοποιώντας ένα σύνολο τριών γωνιών (Φ,Θ,Ψ), οι οποίες ονομάζονται γωνίες Euler και οι οποίες φαίνονται στο σχήμα 3.4, μαζί με τις θετικές φορές τους.

Σχήμα 3.4 Γωνίες Euler και μετάβαση από το χωρόδετο στο σωματόδετο σύστημα συντεταγμένων

Η συσχέτιση των δύο συστημάτων συντεταγμένων πραγματοποιείται μέσω τριών διαδοχικών περιστροφών κατά σειρά γύρω από τις γωνίες Euler Ψ, Θ, Φ αντίστοιχα, ξεκινώντας από το σύστημα (Οx_Ey_Ez_E):

•         Γωνία πορείας ή εκτροπής ή διεύθυνσης Ψ (heading angle ή yaw attitude): περιστροφή του (Οx_Ey_Ez_E) κατά γωνία Ψ γύρω από τον άξονα Οz_E, οδηγεί σε ένα νέο σύστημα συντεταγμένων (Οx₁y₁z₁), με άξονες Οx₁=Οx_Η , Οy₁=Οy_Η, Οz₁=Οz_E.

•         Γωνία πρόνευσης Θ (pitch angle ή pitch attitude): περιστροφή του (Οx_Ηy_Ηz_Ε) κατά γωνία Θ γύρω από τον άξονα Οy₁=Οy_H, οδηγεί σε ένα νέο σύστημα συντεταγμένων (Οx₂y₂z₂) με άξονες Οx₂=Οx , Οy₂=Οy_Η, Οz₂=Οz_Ν.

•         Γωνία περιστροφής ή κλίσης Φ (bank angle ή roll attitude): περιστροφή του (Οxy_Ηz_Ν) κατά γωνία Φ γύρω από τον άξονα Οx₂=Οx, οδηγεί τελικά στο σωματόδετο σύστημα συντεταγμένων (Οxyz).

Στο σχήμα 3.4 φαίνονται επίσης, οι αντίστοιχες γωνιακές ταχύτητες (,,), οι οποίες ορίζονται ως:

•         ρυθμός αλλαγής της κλίσης ,

•         ρυθμός αλλαγής της γωνίας ανόδου-καθόδου ,

•         ρυθμός αλλαγής της πορείας .

Οι συντεταγμένες ενός διανύσματος σε ένα από τα διάφορα συστήματα συντεταγμένων (Οx_Ey_Ez_E), (Οx₁y₁z₁), (Οx₂y₂z₂), (Οxyz) του σχ. 3.4 μπορούν να μετατραπούν σε οποιοδήποτε άλλο σύστημα συντεταγμένων μέσω μητρώων (μητρώα περιστροφής), των οποίων τα στοιχεία είναι τριγωνομετρικοί αριθμοί των γωνιών Euler. Η σχετική διαδικασία αναλύεται στο παράρτημα A.1.

Σαν αποτέλεσμα, οι γωνιακές ταχύτητες P,Q,R στο σωματόδετο σύστημα αναφοράς, σχετίζονται με τις γωνιακές ταχύτητες των γωνιών Euler ,,, με τις ακόλουθες σχέσεις:

Σε μητρωϊκή μορφή:

Πρέπει να σημειωθεί ότι ο ορισμός των αξόνων γύρω από τους οποίους γίνεται η περιστροφή, η φορά της περιστροφής αλλά και η σειρά με την οποία γίνεται η περιστροφή έχει ιδιαίτερη σημασία επειδή μπορούν να οδηγήσουν σε διαφορετικό αποτέλεσμα. Σε γωνία θ = 90 η γωνία φ χάνει το νόημα της. Για να ξεπεραστεί αυτό το πρόβλημα σε εφαρμογές προσομοίωσης, όπου το αεροσκάφος πρέπει να είναι ικανό να εκτελέσει ένα πλήρη ελιγμό ανακύκλωσης, έχουν αναπτυχθεί μαθηματικές μέθοδοι που δίνουν αποδεκτές λύσεις.

Σε αυτό το σημείο πρέπει να σημειωθεί ότι ο ρυθμός περιστροφής P (roll rate) ως προς το σωματόδετο σύστημα δεν ταυτίζεται με τον ρυθμό αλλαγής της κλίσης . Ο ρυθμός πρόνευσης Q (pitch rate) ως προς το σωματόδετο σύστημα δεν ταυτίζεται με τον ρυθμό αλλαγής της γωνίας ανόδου-καθόδου . Ο ρυθμός εκτροπής R (yaw rate) ως προς το προσδεμένο σύστημα δεν ταυτίζεται με τον ρυθμό αλλαγής της πορείας .

2.3 Οι Βασικές παραδοχές και Υποθέσεις

Σε όλη τη διαδικασία της ανάλυσης που επιχειρείται στο παρόν σύγγραμμα και στα πλαίσια της τυπικής ανάλυσης της δυναμικής πτήσης που πραγματοποιείται, χρησιμοποιείται ένα βασικό σύνολο παραδοχών, όπως καταγράφονται στο [6], οι οποίες απλοποιούν πάρα πολύ τη διαδικασία ανάλυσης.

Οι παραδοχές αυτές, προκύπτουν από το γεγονός ότι κάποια δεδομένα και καταστάσεις κατά την πτήση είναι αρκετά πολύπλοκα, ενώ παράλληλα η επίδραση τους στα αποτελέσματα της ανάλυσης, μπορεί να θεωρηθεί αμελητέα χωρίς να βλάπτει τη γενικότητα των συμπερασμάτων που προκύπτουν από αυτή.

Οι βασικές αυτές παραδοχές και υποθέσεις είναι οι εξής:

•         Το αεροσκάφος πετά σε ακίνητη ατμόσφαιρα με σταθερές ιδιότητες.

•         Η ταχύτητα του αεροσκάφους είναι σημαντικά μικρότερη της ταχύτητας του ήχου, έτσι ώστε ο αέρας να θεωρείται ασυμπίεστος και οι διαταραχές να διαδίδονται ακαριαία επάνω στο αεροσκάφος.

•         Το αεροσκάφος δεν παραμορφώνεται ελαστικά υπό την επίδραση των φορτίων που του ασκούνται. Συμπεριφέρεται δηλαδή σαν άκαμπτο σώμα.

•         Το αεροσκάφος έχει σταθερή μάζα.

•         Το αεροσκάφος είναι συμμετρικό ως προς το επίπεδο Οxz.

•         Η επιτάχυνση της βαρύτητας είναι σταθερή.

•         Οι επιταχύνσεις του αεροσκάφους λόγω της κίνησης του περί την καμπύλη επιφάνεια της γης που περιστρέφεται, είναι αμελητέες.

Αυτές οι παραδοχές ακολουθούνται σε όλη την έκταση της ανάλυσης του συγγράμματος, εκτός αν αναφέρεται κάτι διαφορετικό σε ειδικές μεμονωμένες περιπτώσεις.

Στην πραγματικότητα το αεροσκάφος είναι ένα ελαστικό σώμα το οποίο παραμορφώνεται υπό την επίδραση φορτίων. Η μάζα του ελαττώνεται εφόσον καίει καύσιμο κατά την πτήση. Το σχήμα 3.5 δείχνει την περίπτωση ενός αεροσκάφους (Blohm & Voss BV 141 B-0), όπου δεν ισχύει η υπόθεση της συμμετρικότητας. Επίσης, τα ατμοσφαιρικά χαρακτηριστικά μεταβάλλονται ανάλογα με το υψόμετρο και τον χρόνο, ενώ τα διάφορα αέρια δεν βρίσκονται ποτέ σε απόλυτη ηρεμία.

Σχήμα 3.5 Μη συμμετρικό αεροσκάφος Βlohm & Voss BV 141 B-0

Είναι όμως δυνατή η δημιουργία εύχρηστων και αποτελεσματικών μοντέλων δυναμικής της πτήσης, με ευρύτητα και γενικότητα για τις συνήθεις και τυπικές περιπτώσεις αεροσκαφών, συνθηκών πτήσης και χρονικής διάρκειας των υπό εξέταση δυναμικών φαινομένων με βάση τις παραπάνω παραδοχές.

3. Οι γενικές εξισώσεις κίνησης του στερεού συμμετρικού αεροσκάφους

Οι εξισώσεις κίνησης προκύπτουν από την εφαρμογή του δεύτερου νόμου του Νεύτωνα για ένα στερεό σώμα, ακολουθώντας τη σημειολογία του [8]. H μορφή του νόμου αυτού στην περίπτωση των μετακινήσεων του σώματος λόγω της δράσης ενός πεδίου εξωτερικών δυνάμεων F_ex είναι:

όπου m είναι η μάζα του σώματος και v το διάνυσμα της ταχύτητας του κέντρου βάρους του. Η σχέση (3.3) υποδηλώνει ουσιαστικά ότι οι εξωτερικές δυνάμεις εξισορροπούνται από τη μεταβολή της ορμής του σώματος.

Ανάλογα, οι ασκούμενες εξωτερικές ροπές T_ex στο σώμα εξισορροπούνται από τη μεταβολή της στροφορμής του:

Στις παραπάνω εξισώσεις, ο ρυθμός μεταβολής ενός διανύσματος b λαμβάνεται στο αδρανειακό (χωρόδετο) σύστημα αναφοράς και περιλαμβάνει δύο επί μέρους συμβολές:

Η πρώτη συμβολή περιλαμβάνει το ρυθμό μεταβολής του b στο σωματόδετο σύστημα αξόνων και η δεύτερη περιλαμβάνει τη μεταβολή του b λόγω περιστροφής του συστήματος συντεταγμένων B με γωνιακή ταχύτητα ω ως προς το αδρανειακό σύστημα Ι. To σύμβολο ⦻ υποδηλώνει το εξωτερικό γινόμενο δυο διανυσμάτων.

Στην περίπτωση ενός στερεού συμμετρικού αεροσκάφους, η γραμμική και γωνιακή ταχύτητα του κέντρου βάρους του, καθώς και τα διανύσματα των εξωτερικών δυνάμεων και ροπών είναι αντίστοιχα:

Οι ροπές αδράνειας του αεροσκάφους ορίζονται ως:

Παρατηρώντας ότι τα περισσότερα αεροσκάφη είναι συμμετρικά ως προς το επίπεδο Οxz και ότι η μάζα τους είναι ομοιόμορφα κατανεμημένη, ισχύει για τις ροπές αδράνειας ότι:

Το σχήμα 3.5 δείχνει ως μία από τις ελάχιστες εξαιρέσεις αυτού του κανόνα την περίπτωση ενός αεροσκάφους (Blohm & Voss BV 141 B-0), όπου δεν ισχύει η υπόθεση της συμμετρικότητας ως προς το επίπεδο Οxz. Αντιθέτως, οι περισσότεροι πύραυλοι έχουν δύο επίπεδα συμμετρίας, το Οxz και το Οxy, οπότε ισχύει επιπλέον ότι I_xz = 0.

Στην περίπτωση αυτή, η στροφορμή Η του αεροσκάφους προσδιορίζεται από το μητρώο (τελεστή) των ροπών αδράνειας και τη γωνιακή ταχύτητα ως:

Οι ρυθμοί μεταβολής της ταχύτητας και της στροφορμής στο σωματόδετο σύστημα συντεταγμένων B είναι αντίστοιχα:

Οι μεταβολές της ταχύτητας και της στροφορμής λόγω περιστροφής του σωματόδετου συστήματος συντεταγμένων B είναι αντίστοιχα:

Οι εξωτερικές δυνάμεις και ροπές, που εμφανίζονται στις σχέσεις (3.8),(3.9) είναι ένα άθροισμα συνιστωσών και σύμφωνα με την προσέγγιση του Bryan (1911), όπως αναφέρεται στο [3], εκφράζονται ως ακολούθως:

όπου οι δείκτες συμβολίζουν:

•         a: αεροδυναμικές δυνάμεις,

•         p: δυνάμεις λόγω εφαρμογής της ισχύος (ώθησης),

•         c: δυνάμεις που προκύπτουν από την κίνηση των πηδαλίων,

•         g: δυνάμεις βαρύτητας,

•         d: δυνάμεις λόγω των ατμοσφαιρικών αναταράξεων.

Η παραπάνω προσέγγιση, αν και περιορισμένης εμβελείας, δίνει κατά πρώτον πολύ καλά αποτελέσματα για τα κλασσικά αεροσκάφη και κατά δεύτερον, προσφέρει μια ξεκάθαρη εικόνα για τους φυσικούς παράγοντες που επηρεάζουν τη δυναμική συμπεριφορά του αεροσκάφους. Τότε οι εξισώσεις (3.3),(3.4) γίνονται:

Η δύναμη του βάρους F_g = mg, που επιδρά στο αεροσκάφος αναλύεται σε κάθε έναν από τους τρεις σωματόδετους άξονες. Σύμφωνα με την ανάλυση του Παραρτήματος (Euler), η ανάλυση αυτή οδηγεί στο εξής αποτέλεσμα:

Επειδή η αρχή του σωματόδετου συστήματος ταυτίζεται με το κέντρο βάρους, δεν υφίσταται ροπή λόγω κάποιας συνιστώσας του βάρους, ως προς οποιονδήποτε άξονα. Επομένως:

Οι εξισώσεις (3.23) ονομάζονται γενικευμένες εξισώσεις κίνησης του αεροσκάφους, παρόλο που για την παρουσίαση τους έχουν χρησιμοποιηθεί αρκετές παραδοχές. Οι μη γραμμικές εξισώσεις (3.23) σχηματίζουν ένα σύστημα έξι διαφορικών εξισώσεων που περιγράφουν την κίνηση ενός αεροσκάφους με τις U,V,W,P,Q,R ως εξαρτημένες μεταβλητές. Ο χρόνος είναι η ανεξάρτητη μεταβλητή. Η λύση των εξισώσεων (3.23) δεν είναι δυνατή αναλυτικά. Οι λόγοι για αυτό είναι οι ακόλουθοι:

•         Τα δεξιά μέλη των έξι εξισώσεων (3.23) μεταβάλλονται με τον χρόνο και με τη μεταβολή των εξαρτημένων μεταβλητών U,V,W,P,Q,R. Αυτές οι αλληλεξαρτήσεις θα διερευνηθούν σε μεταγενέστερο στάδιο.

•         Οι συνιστώσες των δυνάμεων λόγω της βαρύτητας στις σχέσεις (3.24) εξαρτώνται από τoν προσανατολισμό του αεροσκάφους σε σχέση με το γήινο σύστημα αξόνων. Αυτό θα εξεταστεί σε επόμενη παράγραφο.

4. Γραμμικοποίηση των εξισώσεων κίνησης

Η δυσκολία χειρισμού και επίλυσης των εξισώσεων (3.23) καθιστά απαραίτητη τη γραμμικοποίηση τους, ώστε γίνει ευχερέστερη και ταχύτερη η ανάλυση της δυναμικής συμπεριφοράς του αεροσκάφους.

4.1 Σταθερή (μόνιμη) κατάσταση και κατάσταση διαταραχής (perturbed)

Το αεροσκάφος θεωρείται αρχικά ότι βρίσκεται σε κατάσταση μόνιμης αντισταθμισμένης και ευθύγραμμης συμμετρικής πτήσης, (όχι κατ’ ανάγκη οριζόντιας), χωρίς κλίση, εκτροπή ή πλαγιολίσθηση. Για τον χαρακτηρισμό των μεταβλητών στη μόνιμη αντισταθμισμένη κατάσταση πτήσης χρησιμοποιείται ο δείκτης e (equilibrium). Πρέπει να σημειωθεί ότι σε κάποιες περιπτώσεις μπορεί τα δεδομένα που δίνονται για ένα αεροσκάφος να έχουν δείκτες 0 ή 1 για τα αντίστοιχα μεγέθη της μόνιμης κατάστασης, όπως συμβαίνει στα [5], [9], ενώ ο δείκτης 0 μπορεί επίσης, να αναφέρεται σε κατάσταση μηδενικής γωνίας πρόσπτωσης όταν συνοδεύει αεροδυναμικούς συντελεστές.

Οι τιμές των κινηματικών μεγεθών του αεροσκάφους στην κατάσταση αντισταθμισμένης πτήσης φαίνονται στον πίνακα 3.1:

Πίνακας 3.1 Συμβολισμός και τιμές κινηματικών μεγεθών του αεροσκάφους στην αρχική αντισταθμισμένη κατάσταση και στην κατάσταση διαταραχής

Οι τιμές των γωνιακών ταχυτήτων P_e, Q_e, R_e είναι μηδενικές, επειδή το αεροσκάφος βρίσκεται σε ευθύγραμμη (οριζόντια) πτήση. Λόγω της σχέσης (3.2), οι χρονικές παράγωγοι ,, των γωνιών Euler είναι επίσης μηδενικές. Λόγω της συμμετρικής πτήσης χωρίς κλίση, εκτροπή ή πλαγιολίσθηση, ισχύει ότι:

Επειδή η αρχική κατάσταση του αεροσκάφους είναι σταθερή, οι γωνιακές επιταχύνσεις των κινηματικών μεγεθών είναι επίσης μηδενικές:

Tέλος, θεωρώντας ότι ο άξονας Οx_e του αεροσκάφους είναι στην κατεύθυνση της ταχύτητας του αεροσκάφους (χρησιμοποιώντας δηλαδή σωματόδετο σύστημα αξόνων ευστάθειας ή ανέμου), ισχύει επίσης, ότι W_e = 0, όπως φαίνεται και στο σχ. 3.6.

Με τον όρο «κατάσταση διαταραχής» εννοείται η κατάσταση πτήσης κατά την οποία το αεροσκάφος απομακρύνεται από την κατάσταση αντισταθμισμένης ισορροπίας, είτε λόγω κάποιας ενέργειας του πιλότου, είτε λόγω ατμοσφαιρικών αναταράξεων, είτε για οποιοδήποτε άλλο φυσικό ή τεχνικό αίτιο. Όπως αναλύθηκε στο κεφάλαιο 2, εφόσον το αεροσκάφος είναι στατικά και δυναμικά ευσταθές, η κατάσταση διαταραχής θα αποσβεστεί μετά από κάποιο χρονικό διάστημα και το αεροσκάφος θα επιστρέψει στην κατάσταση αντιστάθμισης.

Στον πίνακα 3.1 φαίνονται οι τιμές των κινηματικών μεγεθών του αεροσκάφους μετά τη διαταραχή. Το μέγεθος των μεταβολών (διαταραχών) u, v, w, p, q, r των κινηματικών μεγεθών του αεροσκάφους στα πλαίσια της γραμμικής θεώρησης της δυναμικής πτήσης θεωρείται μικρό, έτσι ώστε να ισχύουν οι βασικές αρχές της θεωρίας μικρών διαταραχών.

Σχήμα 3.6: Άξονες και κινηματικά μεγέθη του αεροσκάφους στο κατακόρυφο επίπεδο σε κατάσταση αντισταθμισμένης ισορροπίας και σε κατάσταση διαταραχής.

Κατά την κατάσταση διαταραχής μεταβάλλονται όχι μόνο τα κινηματικά μεγέθη του αεροσκάφους, αλλά και ο προσανατολισμός του σωματόδετου συστήματος συντεταγμένων λόγω αλλαγής της θέσης του αεροσκάφους, όπως φαίνεται στο σχ. 3.6. Έτσι, μετά τη διαταραχή η νέα ταχύτητα του αεροσκάφους βρίσκεται στον νέο «διαταραγμένο» άξονα x_w’. Από το σχ. 3.6 προκύπτουν οι εξής σχέσεις μεταξύ των εικονιζόμενων γωνιών:

Διαταραχή α της γωνίας πρόσπτωσης:

επειδή για μικρές γωνίες α σε rad ισχύει tan(α) = sin(α) = α.

Γωνία πρόνευσης:

Γωνία ίχνους πτήσης στην αντιστάθμιση:

Γωνία ίχνους πτήσης:

ή

για οριζόντια αντισταθμισμένη πτήση (Θ_e=0).

4.2 Γραμμικοποίηση των κινηματικών και των αδρανειακών όρων

Η αντικατάσταση στην εξίσωση (3.23) των κινηματικών μεγεθών μετά τη διαταραχή, όπως αυτά ορίζονται στον πίνακα 3.1, οδηγεί στη σχέση:

Οι απλοποιημένες εκφράσεις για τους αδρανειακούς όρους προέκυψαν επειδή η υπόθεση των μικρών διαταραχών ορίζει ότι οι ποσότητες (u, v, w) και οι (p, q, r) είναι μικρές, ώστε, μετά την εκτέλεση των πράξεων, οι όροι που περιέχουν γινόμενα και τετράγωνα των ποσοτήτων αυτών -οι οποίοι είναι και μη γραμμικοί- αποτελούν ποσότητες δεύτερης τάξης μεγέθους και μπορούν να αμεληθούν στους υπολογισμούς.

Με βάση την ίδια υπόθεση, και θεωρώντας επιπλέον ότι για μικρές γωνίες διαταραχών ισχύει επίσης, ότι cos(δ)≈1, sin(δ)=δ (δ σε rad) οι σχέσεις (3.2) για τις διαταραχές των γωνιακών ταχυτήτων γράφονται:

Όταν η πτήση του αεροσκάφους είναι οριζόντια ή πολύ κοντά σε αυτή (οι γωνίες ανόδου και καθόδου των συμβατικών αεροσκαφών είναι πολύ μικρές), οι εξισώσεις (3.35) μπορούν να προσεγγιστούν από τις σχέσεις :

4.3. Γραμμικοποίηση των αεροδυναμικών όρων

Για να περιγραφούν με σαφήνεια οι αεροδυναμικές μεταβολές που συμβαίνουν στο αεροσκάφος κατά την εφαρμογή της διαταραχής, απαιτείται η εύρεση μιας κατάλληλης μεθόδου η οποία θα λαμβάνει υπόψη όλες ή τουλάχιστον τις περισσότερες από τις αλληλεπιδράσεις της κίνησης. Η μέθοδος που χρησιμοποιείται εδώ είναι αυτή που εισάχθηκε πρώτα από τον Bryan (1911). Η μέθοδος αυτή έχει περιορισμένη εμβέλεια ενώ δίνει πολύ καλά αποτελέσματα στα κλασσικά αεροσκάφη, καθώς και εκεί όπου η διαταραγμένη κίνηση είναι μικρού εύρους.

Η συνηθισμένη διαδικασία στηρίζεται στην υπόθεση ότι οι όροι των αεροδυναμικών δυνάμεων και ροπών στις εξισώσεις (3.23) εξαρτώνται μόνο από τις μεταβλητές κίνησης και από τις παραγώγους αυτών. Αυτή η πρόταση εκφράζεται μαθηματικά με ένα άθροισμα από σειρές Taylor με κάθε σειρά να περιλαμβάνει μία μεταβλητή κίνησης ή την παράγωγο μίας μεταβλητής κίνησης. Από τη στιγμή που ως μεταβλητές κίνησης ορίστηκαν οι (u, v, w) και (p, q, r), ενδεικτικά ο αεροδυναμικός όρος Χ_a στην εξίσωση της αξονικής δύναμης θα γραφτεί ως εξής:

Η ποσότητα X_ae είναι σταθερός όρος και περιγράφει τις αεροδυναμικές δυνάμεις στη μόνιμη αντισταθμισμένη κατάσταση πτήσης. Η ποσότητα ΗΟΤD περιγράφει όρους με παραγώγους ανώτερης τάξης. Καθώς οι μεταβλητές κίνησης είναι μικρές ποσότητες, μόνο οι πρώτοι όροι σε κάθε μια από τις πιο πάνω σειρές θα έχουν σημαντικό μέγεθος. Οι μόνες αξιοσημείωτες σειρές που περιλαμβάνουν παραγώγους μεγαλύτερης τάξης και που συχνά λαμβάνονται υπόψη, είναι αυτές της ποσότητας [3]. Έτσι, η πιο πάνω εξίσωση μπορεί να καταλήξει στην:

ή με εναλλακτικό συμβολισμό :

Με παρόμοιο τρόπο προκύπτουν και οι υπόλοιποι αεροδυναμικοί όροι (Y_a, Z_a, L_a, M_a,N_a) στην (3.22). Έτσι, για παράδειγμα, ο αεροδυναμικός όρος για την εξίσωση της ροπής περιστροφής προκύπτει:

Οι όροι , , κλπ, ονομάζονται «αεροδυναμικές παράγωγοι ευστάθειας» οι θα αναλυθούν εκτεταμένα στο Κεφ. 6. Το σύμβολο «~» (περισπωμένη), δηλώνει ότι πρόκειται για διαστατές μεταβλητές. Για παράδειγμα, η παράγωγος έχει μονάδες μέτρησης δύναμης προς ταχύτητας, δηλαδή:

Όμοια για κάθε μια από τις παραγώγους ευστάθειας προκύπτουν εύκολα οι μονάδες της. Ο σκοπός που γίνεται ο διαχωρισμός με την περισπωμένη «~», είναι διότι, όπως θα φανεί στη συνέχεια, υφίστανται διάφορες παραλλαγές των ορισμών των παραγώγων ευστάθειας (αδιάστατες, βορειοαμερικανική σημειολογία, συντετμημένες κ.ά.).

4.4. Οι γραμμικές συνιστώσες της βαρυτικής δύναμης

Στην κατάσταση της μόνιμης αντισταθμισμένης πτήσης, το αεροσκάφος πετά με τις πτέρυγες οριζόντιες (Φ_e=0) στην αρχική συμμετρική κατάσταση πτήσης, οπότε οι συνιστώσες του βάρους εμφανίζονται μόνο στο επίπεδο συμμετρίας όπως φαίνεται στο σχήμα 3.7. Έτσι, στη μόνιμη κατάσταση οι συνιστώσες του βάρους προκύπτουν από τη σχέση (3.24) ως:

Οι διαταραχές των δυνάμεων της βαρύτητας υπολογίζονται με τον ίδιο τρόπο που χρησιμοποιήθηκε στις αδρανειακές δυνάμεις, εάν γραμμικοποιηθούν και οι βαρυτικές δυνάμεις. Με βάση τη σχέση (3.24) π.χ., προκύπτει ότι:

Θεωρώντας ότι οι διαταραχές θ, φ είναι μικρές, η σχέση (3.41) οδηγεί:

Επομένως, στις εξισώσεις κίνησης των μικρών διαταραχών οι συνιστώσες της δύναμης της βαρύτητας θα δίνονται ως:

Επιπλέον, επειδή η αρχή του σωματόδετου συστήματος ταυτίζεται με το κέντρο βάρους, δεν υφίσταται ροπή λόγω κάποιας συνιστώσας του βάρους, ως προς οποιονδήποτε άξονα. Επομένως, εξακολουθεί να ισχύει η σχέση (3.25):

Σχήμα 3.7 Συνιστώσες βαρυτικής δύναμης στη μόνιμη κατάσταση αντισταθμισμένης πτήσης και μετά τη διαταραχή

4.5. Οι γραμμικοί όροι του αεροδυναμικού ελέγχου

Στο αεροσκάφος, ο αεροδυναμικός έλεγχος πραγματοποιείται από το πηδάλιο ανόδου-καθόδου, τα πηδάλια κλίσης και το πηδάλιο εκτροπής. Καθώς οι δυνάμεις και οι ροπές που δημιουργούνται από τις αποκλίσεις των πηδαλίων προκαλούνται ουσιαστικά από τις μεταβολές στις αεροδυναμικές συνθήκες, είναι σύνηθες να περιγράφονται ποσοτικά τα αποτελέσματα των αποκλίσεων αυτών συναρτήσει των παραγώγων ευστάθειας του αεροδυναμικού ελέγχου. Έτσι, οι υποθέσεις που εφαρμόζονται στους αεροδυναμικούς όρους εφαρμόζονται επίσης και στους όρους αεροδυναμικού ελέγχου. Για παράδειγμα η ροπή πρόνευσης λόγω του αεροδυναμικού ελέγχου προκύπτει :

Στην προηγούμενη εξίσωση οι γωνίες των πηδαλίων κλίσης, ανόδου-καθόδου και διεύθυνσης συμβολίζονται με , και αντίστοιχα. Επειδή η εξίσωση αυτή περιγράφει τις επιδράσεις των αεροδυναμικών επιφανειών ελέγχου σε σχέση με τις ισχύουσες συνθήκες ισορροπίας-αντιστάθμισης, θα πρέπει να επισημανθεί ότι οι γωνίες ελέγχου , και , μετρούνται σχετικά με τις γωνίες αντιστάθμισης (ισορροπίας) αντίστοιχα. Η σχετική ανάλυση παρατίθεται στο υποκεφάλαιο 3.2 του κεφαλαίου 2.

Χρησιμοποιώντας τη σημειογραφία της προηγούμενης παραγράφου προκύπτει για τη ροπή Μ_c:

όπου M_ce, είναι η σταθερή ροπή που απαιτείται από τις αεροδυναμικές επιφάνειες ελέγχου για αντιστάθμιση.

Με τον ίδιο τρόπο μπορούν να προκύψουν και οι ανάλογοι αεροδυναμικοί όροι στις υπόλοιπες εξισώσεις κίνησης. Εφόσον είναι επιθυμητή η μελέτη της απόκρισης του αεροσκάφους σε σχέση με άλλες αεροδυναμικές επιφάνειες ελέγχου, όπως για παράδειγμα flaps, spoilers, slats κτλ., θα πρέπει να προστεθούν ανάλογοι όροι, τόσο στην προηγούμενη εξίσωση όσο και στις υπόλοιπες εξισώσεις κίνησης.

4.6. Οι γραμμικοί όροι ισχύος (ώσης)

Η ισχύς και επομένως η ώση Τ, ελέγχεται από τη γωνία του μοχλού ελέγχου της ισχύος (μανέτα). Η κίνηση της μανέτας προκαλεί μια αλλαγή στην ώση η οποία με τη σειρά της προκαλεί μεταβολές στις συνιστώσες των δυνάμεων και των ροπών που επενεργούν στο αεροσκάφος.

Όπως ισχύει και για τον αεροδυναμικό έλεγχο, οι μεταβολές στην ισχύ περιγράφονται σε σχέση με την κατάσταση αντιστάθμισης δηλαδή ο όρος “τ” περιγράφει τη διαταραχή της ώσης από την κατάσταση ισορροπίας “Τ_e”.

Τα φαινόμενα αυτά περιγράφονται σε σχέση με τις παραγώγους ευστάθειας της ώσης του κινητήρα. Έτσι, για παράδειγμα η οριζόντια δύναμη λόγω της ώσης μπορεί να εκφραστεί ως:

όπου X_pe είναι η σταθερή ώθηση του κινητήρα που απαιτείται κατά τη μόνιμη κατάσταση.

4.7. Οι ατμοσφαιρικές αναταράξεις

Υποθέτοντας σταθερή ατμοσφαιρική κατάσταση στα πλαίσια του παρόντος συγγράμματος, οι δυνάμεις λόγω ατμοσφαιρικών αναταράξεων είναι αμελητέες:

4.8. Εξίσωση ισορροπίας στη μόνιμη κατάσταση αντιστάθμισης

Κατά τη μόνιμη αντισταθμισμένη πτήση όλες οι μεταβλητές της διαταραχής, καθώς και οι αντίστοιχες παράγωγοι τους είναι εξ ορισμού μηδενικές. Έτσι, στη μόνιμη κατάσταση, οι εξισώσεις (3.33) γίνονται:

Οι εξισώσεις (3.50) είναι ουσιαστικά οι εξισώσεις στατικής ισορροπίας του αεροσκάφους, διάφορες μορφές της οποίας περιγράφηκαν στο υποκεφάλαιο 1.2. του κεφαλαίου 1.

4.9. Οι εξισώσεις κίνησης για μικρές διαταραχές

Με την αντικατάσταση των εκφράσεων των αεροδυναμικών όρων, των όρων της βαρύτητας, των όρων της ισχύος και τέλος των όρων του αεροδυναμικού ελέγχου στις εξισώσεις (3.33) και λαμβάνοντας υπόψη ότι οι μόνιμοι όροι των δυνάμεων και ροπών που εμφανίζονται λόγω αντιστάθμισης εξισορροπούνται λόγω της (3.50), προκύπτουν οι εξισώσεις:

Οι εξισώσεις (3.51) ονομάζονται εξισώσεις μικρών διαταραχών της κίνησης του αεροσκάφους. Σε αντίθεση με τις μη γραμμικές εξισώσεις (3.23), οι εξισώσεις (3.51) είναι γραμμικές εξισώσεις και σχηματίζουν ένα σύστημα έξι διαφορικών εξισώσεων που περιγράφουν την κίνηση ενός αεροσκάφους με τις u, v, w, p, q, r ως εξαρτημένες μεταβλητές. Ο χρόνος είναι η ανεξάρτητη μεταβλητή. Η λύση των εξισώσεων (3.51) είναι πλέον δυνατή ακόμη και αναλυτικά.

Η συνοπτική παρουσίαση για τις μεθόδους επίλυσης των εξισώσεων αυτών υπάρχει στο παράρτημα Β. Η κατανόηση των μεθόδων και εννοιών όπως «συναρτήσεις μεταφοράς» και «χώρος κατάστασης», καθώς και των χαρακτηριστικών και ιδιοτήτων τους, είναι απαραίτητη στην ανάλυση που ακολουθεί στα επόμενα κεφάλαια.

Με τη χρήση αυτών των μεθόδων καθίσταται ευχερέστερη και ταχύτερη η ανάλυση της δυναμικής συμπεριφοράς του αεροσκάφους, γεγονός το οποίο μπορεί να αξιοποιηθεί για τον καλύτερο και ταχύτερο σχεδιασμό τόσο του ίδιου του αεροσκάφους, όσο και των διαφόρων συστημάτων ελέγχου της πτήσης («αυτόματων πιλότων») αλλά και για τη βαθύτερη φυσική κατανόηση των εγγενών φυσικών φαινομένων που χαρακτηρίζουν τη δυναμική της πτήσης και προσδιορίζουν χαρακτηριστικά της όπως η ευκολία και ποιότητα χειρισμών.

Για τη διατύπωση των εξισώσεων (3.51), το μέγεθος των μεταβολών (διαταραχών) u,v,w,p,q,r των κινηματικών μεγεθών του αεροσκάφους θεωρείται μικρό, ενώ επίσης, έχουν χρησιμοποιηθεί αρκετές πρόσθετες παραδοχές. Όμως αφού τα επιβατικά αεροσκάφη ως γνωστόν πετούν προσφέροντας τη μέγιστη δυνατή άνεση στους επιβάτες τους, μπορεί να θεωρηθεί ότι τέτοιες πτήσεις είναι πράγματι πτήσεις μικρών διαταραχών. Από την άλλη πλευρά, ακόμη και όταν πρόκειται για αεροσκάφη ειδικών αποστολών, επειδή συνήθως οι πτήσεις τους πρέπει επίσης να πραγματοποιούνται κάτω από συνθήκες μικρών διαταραχών (για παράδειγμα η άφεση φορτίων με ακρίβεια απαιτεί τέτοιες συνθήκες πτήσεως) η υπόθεση των μικρών διαταραχών δεν απέχει πολύ σε σχέση με το ότι ισχύει στην πραγματικότητα. Εξαίρεση στα παραπάνω αποτελούν οι πτήσεις αεροσκαφών οι οποίες πραγματοποιούνται ηθελημένα στα όρια του φακέλου πτήσης τους, καθώς και οι πτήσεις αεροσκαφών διαμέσου μεγάλων αναταράξεων.

Θα πρέπει να σημειωθεί ότι η προσέγγιση μικρών διαταραχών ισχύει ουσιαστικά σε ατμόσφαιρα σταθερής πυκνότητας και κατά συνέπεια ύψους. Ο λόγος είναι το γεγονός ότι οι αεροδυναμικές δυνάμεις και ροπές είναι όλες ανάλογες της δυναμικής πίεσης. Καθώς οι διαταραχές περιλαμβάνουν και φάσεις ανόδου/καθόδου του αεροσκάφους με μεταβολή του ύψους, μεταβάλλεται αντίστοιχα η πυκνότητα του αέρα και συνεπώς αεροδυναμικές δυνάμεις και ροπές. Στην πραγματικότητα, οι μεταβολές της πυκνότητας δεν υπερβαίνουν το 5% μέσα στους χρόνους κατά τους οποίους εξελίσσονται τα φαινόμενα της δυναμικής πτήσης.

Οι εξισώσεις (3.51) προβλέπουν μέσω των όρων εξωτερικών διεγέρσεων στο δεξί τους μέλος, ότι η αλλαγή κατάστασης της πτήσης του αεροσκάφους προέρχεται μόνο από ηθελημένη δράση του πιλότου -χειριστή ή «αυτόματου»- μέσω δράσης σε επιφάνεια αεροδυναμικού ελέγχου, ή μέσω μεταβολής ώθησης του κινητήρα.

Παρά το γεγονός ότι οι ατμοσφαιρικές αναταράξεις αμελούνται στα πλαίσια του παρόντος συγγράμματος [σχέσεις (3.49)], οι εξισώσεις (3.51) παρέχουν το υπόβαθρο και για την ανάλυση μικρών ατμοσφαιρικών αναταράξεων, με την εισαγωγή πρόσθετων κατάλληλων όρων εξωτερικών διεγέρσεων στο δεξί μέλος των εξισώσεων (3.51), είτε ντετερμινιστικών, είτε στοχαστικών.

5. Οι αποσυζευγμένες (decoupled) εξισώσεις κίνησης

Οι εξισώσεις των μικρών διαταραχών όπως διατυπώθηκαν μέχρι στιγμής στην εξίσωση (3.51) περιγράφουν την απόκριση του αεροσκάφους συναρτήσει των διαταραχών σε όλες τις κατευθύνσεις και περιστροφές περί όλους τους άξονες. Το σύστημα των έξι γραμμικών διαφορικών εξισώσεων έχει παρασταθεί με τον παραδοσιακό τρόπο, δηλαδή στο δεξιό μέρος περιλαμβάνονται οι διαταραχές εισόδου.

Για τα περισσότερα αεροσκάφη όμως κατά τη μεταβατική κίνηση των μικρών διαταραχών όπως εδώ, η σύζευξη των διαμήκων-εγκάρσιων εξισώσεων είναι αμελητέα. Αξιοποιώντας το γεγονός αυτό, είναι δυνατή η αποσύζευξη του συστήματος (3.51) σε δύο επί μέρους συστήματα εξισώσεων, τα οποία αφορούν ξεχωριστά την κίνηση σε διάμηκες και εγκάρσιο επίπεδο, μέσω κάποιων πρόσθετων παραδοχών.

5.1. Οι διαμήκεις εξισώσεις κίνησης

Η αποσυζευγμένη διαμήκης κίνηση νοείται ως η κίνηση του αεροσκάφους που προκύπτει ως απόκριση του αεροσκάφους σε μια διαταραχή που εφαρμόστηκε κατά το διάμηκες επίπεδο συμμετρίας Οxz. Η κίνηση αυτή επομένως περιγράφεται από τις εξισώσεις της αξονικής δύναμης X, της κάθετης δύναμης Z και της ροπής πρόνευσης M και μόνον από αυτές. Από τη στιγμή που δεν υπάρχει εγκάρσια κίνηση του αεροσκάφους, οι εγκάρσιες μεταβλητές κίνησης v, p, r, καθώς και οι παράγωγοι αυτών είναι μηδενικές.

Επίσης, η αποσυζευγμένη διαμήκης ή εγκάρσια κίνηση υποθέτει ότι οι αεροδυναμικές παράγωγοι σύζευξης είναι τόσο μικρές ώστε μπορούν να αγνοηθούν τελείως:

Επειδή συνήθως οι αποκλίσεις των πηδαλίων κλίσεως και εκτροπής δεν προκαλούν κίνηση στο διάμηκες επίπεδο συμμετρίας οι πιο κάτω παράγωγοι του αεροδυναμικού ελέγχου μπορούν να θεωρηθούν επίσης μηδενικές :

Επομένως οι αποσυζευγμένες εξισώσεις κίνησης προκύπτουν από την εξίσωση (3.51), διατηρώντας από αυτή, μόνο τις εξισώσεις για την αξονική δύναμη, την κάθετη δύναμη και τη ροπή πρόνευσης και εφαρμόζοντας στη συνέχεια τις σχέσεις (3.52) και (3.53):

Εάν υποτεθεί ότι το αεροσκάφος βρίσκεται σε οριζόντια πτήση (Θ_e = 0):

Περαιτέρω απλοποίηση των εξισώσεων αυτών μπορεί να πραγματοποιηθεί μόνον για συγκεκριμένες αριθμητικές τιμές των συντελεστών των πιο πάνω εξισώσεων, καθώς κάποιοι από αυτούς μπορεί να προκύψουν τόσο μικροί ώστε να μπορούν να αγνοηθούν. Οι αεροδυναμικές παράγωγοι ευστάθειας και ελέγχου μπορούν να αδιαστατοποιηθούν. Η χρησιμοποίηση τέτοιων αδιάστατων δεδομένων στις εξισώσεις (3.54) και (3.55), πραγματοποιείται εύκολα αφού όμως προηγουμένως τα δεδομένα αυτά μετατραπούν σε αδιάστατα. Όλοι οι σχετικοί ορισμοί-μετατροπές δίνονται στα Παραρτήματα Δ.1., Δ.2.

Θα πρέπει να σημειωθεί, ότι συχνότατα στη βιβλιογραφία, η κατακόρυφη διαταραχή w της ταχύτητας αντικαθίσταται από τη διαταραχή α της γωνίας πρόσπτωσης μέσω της σχέσης (3.29)

5.2. Οι εγκάρσιες-διεύθυνσης εξισώσεις κίνησης

Η αποσυζευγμένη εγκάρσια κίνηση και η ανάλογη κίνηση ως προς τη διεύθυνση περιλαμβάνει μόνο την κίνηση του αεροσκάφους ως προς την περιστροφή, την εκτροπή και την πλαγιολίσθηση. Η κίνηση αυτή περιγράφεται από τις εξισώσεις της πλάγιας δύναμης Y, της ροπής περιστροφής L και της ροπής εκτροπής Ν. Επειδή δεν υφίσταται διαμήκης κίνηση, οι διαμήκεις μεταβλητές κίνησης u, v, w, καθώς και οι αντίστοιχες παράγωγοί τους είναι μηδενικές. Επίσης, αποσυζευγμένη εγκάρσια κίνηση και κίνηση εκτροπής σημαίνει ότι οι αεροδυναμικές παράγωγοι σύζευξης είναι πολύ μικρές ώστε μπορούν να εξισωθούν με το μηδέν, δηλαδή:

Με ανάλογο τρόπο επειδή η άτρακτος είναι συμμετρική, η απόκλιση του πηδαλίου ανόδου-καθόδου και οι μεταβολές της ώσης δεν προκαλούν εγκάρσια κίνηση ή ανάλογη κίνηση ως προς την εκτροπή, ενώ οι συζευγμένες αεροδυναμικές παράγωγοι ελέγχου, μπορούν επίσης να ληφθούν μηδενικές. Επομένως:

Οι εξισώσεις της εγκάρσιας μη συμμετρικής κίνησης λαμβάνονται επομένως από την εξίσωση (3.51) εξάγοντας τις εξισώσεις της δύναμης, της ροπής περιστροφής και της ροπής εκτροπής και αντικαθιστώντας τις εξισώσεις (3.56) και (3.57):

Για οριζόντια πτήση ισχύει:

Όπως και στην περίπτωση των διαμήκων εξισώσεων επιπλέον απλοποίηση μπορεί να πραγματοποιηθεί μόνον για συγκεκριμένες αριθμητικές τιμές των συντελεστών, καθώς κάποιοι από αυτούς μπορεί να προκύψουν τόσο μικροί ώστε να μπορούν να απαλειφθούν. Φυσικά όπως αναφέρθηκε και προηγουμένως οι αεροδυναμικές παράγωγοι ευστάθειας και ελέγχου μπορούν να αδιαστατοποιηθούν. Όλοι οι σχετικοί ορισμοί-μετατροπές δίνονται στο παράρτημα Δ.3.

Βιβλιογραφία/Αναφορές

x

x

Παράδειγμα - Εφαρμογή

Παράδειγμα 3.1

Θεωρείται αεροσκάφος το οποίο βρίσκεται σε ευθύγραμμη, οριζόντια, συμμετρική και μόνιμη αντισταθμισμένη πτήση με ταχύτητα U_e σε ύψος Η_e. Η κατακόρυφη συμπεριφορά του αεροσκάφους στη μόνιμη αντισταθμισμένη κατάσταση πτήσης μπορεί να προσεγγισθεί από την εξίσωση ισορροπίας της άνωσης με το βάρος:

Λόγω εξωτερικής διέγερσης, (π.χ. κλίσης του πηδαλίου ανόδου καθόδου), η πορεία του αεροσκάφους διαταράσσεται. Η κατακόρυφη συμπεριφορά του αεροσκάφους στις διαταραχές προσεγγίζεται από τη σχέση:

H σχέση (Π3.2) μπορεί να θεωρηθεί ότι προκύπτει από τη δεύτερη εξίσωση του συστήματος (3.55) θεωρώντας ότι η διαταραχή της κατακόρυφης ταχύτητας w είναι ίση με τον ρυθμό μεταβολής της διαταραχής h του ύψους πτήσης (w=dh/dt), o ρυθμός πρόνευσης q είναι πολύ αργός και ότι όροι σύζευξης με τις υπόλοιπες κινήσεις του αεροσκάφους είναι πολύ μικροί.

Ο όρος προκύπτει από την κατακόρυφη αεροδυναμική δύναμη (άνωση) με τη σχέση:

όπου U είναι το μέτρο της ταχύτητας του αεροσκάφους μετά τη διαταραχή. H ποσότητα (ρSC_L) προκύπτει από την εξίσωση (Π3.1) ως:

Θεωρώντας ότι κατά τη διαταραχή της πτήσης η συνολική ενέργεια του αεροσκάφους διατηρείται:

Παραγωγίζοντας τη σχέση (Π3.5) ως προς h, προκύπτει:

Αντικαθιστώντας τις (Π3.4),(Π3.6) στην εξίσωση (Π3.2), η κίνηση του αεροσκάφους διέπεται από τη σχέση:

όπου

H κίνηση δηλαδή του αεροσκάφους χαρακτηρίζεται από μια ταλάντωση με συχνότητα ω₀. Οι σχέσεις (Π3.6),(Π3.7), προτάθηκαν για πρώτη φορά το 1908 από τον Lancaster. Όπως φαίνεται και από τη σύγκριση της (Π3.6) με την (4.43), χαρακτηρίζει ένα τρόπο ταλάντωσης του αεροσκάφους που ονομάζεται φυγοειδές και αναλύεται συστηματικότερα στο υποκεφάλαιο 4 του κεφ. 4.

Θα πρέπει να σημειωθεί, ότι η εκτίμηση της συχνότητας ω₀ στη σχέση (Π3.7) εξαρτάται μόνο από την ταχύτητά του αεροσκάφους, ενώ είναι ανεξάρτητη από τα υπόλοιπα χαρακτηριστικά του αεροσκάφους. Δηλαδή αυτή η εκτίμηση είναι ίδια για όλα τα τυπικά αεροσκάφη. Αυτό υποδεικνύει ότι η ταλάντωση του φυγοειδούς είναι σύμφυτο χαρακτηριστικό της πτήσης.

Για ένα τυπικό αεροσκάφος που κινείται με ταχύτητα 871 ft/sec (265.5 m/sec), η συχνότητα προκύπτει ίση με ω₀=0.0522 rad/sec και η αντίστοιχη περίοδος των ταλαντώσεων ίση με T₀= 120.2907 sec.

4: ΔΙΑΜΗΚΗΣ ΔΥΝΑΜΙΚΗ

Σύνοψη

Από τη στιγμή που έχουν διαμορφωθεί οι εξισώσεις κίνησης μικρών διαταραχών του αεροσκάφους και έγινε η αποσύζευξή τους σε διαμήκεις και εγκάρσιες, μπορούν πλέον να μελετηθούν ξεχωριστά τα δύο αυτά μέρη της δυναμικής του αεροσκάφους. Στο κεφάλαιο αυτό αναλύεται η διαμήκης δυναμική και τα μοντέλα χαμηλότερης τάξης με τα οποία μπορεί να προσεγγιστεί. Επίσης, παρουσιάζονται εφαρμογές εξαγωγής των αποκρίσεων των μεταβλητών που εμπλέκονται στα πεδία του χρόνου και της συχνότητας.

Προαπαιτούμενη γνώση

Πέρα από τις δεδομένες γνώσεις γραμμικής άλγεβρας, απαιτούνται γενικές γνώσεις δυναμικής μηχανών, μοντελοποίησης και ελέγχου συστημάτων όπως και ανάλυσης στο πεδίο της συχνότητας με διαγράμματα Bode. Επίσης, είναι απαραίτητη η μελέτη των Παραρτημάτων Γ και Δ, για την κατανόηση της παράστασης των εξισώσεων κίνησης με συναρτήσεις μεταφοράς και στον χώρο κατάστασης.

1.Απόκριση σε εντολές ελέγχου

Η λύση των διαμήκων εξισώσεων κίνησης με τις μεθόδους που παρουσιάζονται στο παράρτημα Β μας οδηγεί στην εύρεση της συνάρτησης μεταφοράς του συστήματος (εκτεταμένη ανάλυση από τον Κρικέλη [10], [11]). Η συνάρτηση μεταφοράς περιγράφει πλήρως τη γραμμική δυναμική απόκριση σε μια είσοδο ελέγχου στο επίπεδο συμμετρίας. Τα χαρακτηριστικά ευστάθειας του αεροσκάφους, προσδιορίζουν και τις δυναμικές του ιδιότητες οι οποίες ουσιαστικά περιγράφονται από την απόκρισή του. Η συνάρτηση μεταφοράς αλλά και οι μεταβλητές της απόκρισης που περιγράφονται από αυτήν, είναι γραμμικές ποσότητες επειδή όλη η διαδικασία μοντελοποίησης έχει βασιστεί στην υπόθεση ότι η κίνηση αφορά μικρές διαταραχές γύρω από μια κατάσταση ισορροπίας. Παρ’ όλα αυτά αποτελεί κοινή πρακτική να υποτίθεται ότι η απόκριση του συστήματος είναι έγκυρη ακόμα και όταν το μέγεθός της δεν είναι τέτοιο ώστε να μπορεί να περιγραφεί με τον όρο «απόκριση μικρών διαταραχών».

Για τα περισσότερα συμβατικά αεροσκάφη, επειδή τείνουν να έχουν γραμμικά αεροδυναμικά χαρακτηριστικά σε ολόκληρο τον φάκελο πτήσης τους, το λάθος που υπεισέρχεται στους υπολογισμούς προκύπτει τόσο μικρό ώστε γίνεται αποδεκτό. Για αεροσκάφη με πραγματικά εκτεταμένο φάκελο πτήσης, με σημαντική μη γραμμικότητα στα αεροδυναμικά τους χαρακτηριστικά και/ή εξάρτηση της ομαλής πτήσης τους από πολύπλοκα συστήματα ελέγχου πτήσης, είναι θεμιτό να μην χρησιμοποιούνται οι γραμμικοποιημένες εξισώσεις κίνησης για την ανάλυση της απόκρισης, εκτός και αν αυτή η απόκριση μπορεί να χαρακτηριστεί ως μικρού εύρους.

Σε αυτό το σημείο είναι χρήσιμο να παρουσιαστεί ξανά η διαμήκης απόκριση σε σχέση με τις αποκλίσεις του πηδαλίου ανόδου-καθόδου, γύρω από μια θέση ισορροπίας, καθώς η ώση διατηρείται σταθερή. Το σύστημα των διαμήκων εξισώσεων μπορεί τότε να γραφεί:

Οι τέσσερις συναρτήσεις μεταφοράς μπορούν να γραφούν στην κάτωθι πιο βολική μορφή που χρησιμοποιεί ο Cook [3]:

όπου

•         Τ: χρονική σταθερά,

•         ω: φυσική συχνότητα χωρίς απόσβεση [rad/sec],

•         ζ: συντελεστής απόσβεσης,

•         p (phugoid): δείκτης φυγοειδούς,

•         s (short period): δείκτης μικρής περιόδου.

Οι συναρτήσεις μεταφοράς των μεταβλητών κατάστασης της διαμήκους δυναμικής προς τις εισόδους, εκφράζονται ως κλάσματα πολυωνύμων με διαφορετικούς αριθμητές και με κοινό παρονομαστή που περιγράφονται στο παράρτημα Γ.3.1. Τα πολυώνυμα παραγοντοποιούνται σε πραγματικά και μιγαδικά ζεύγη ριζών ώστε να συμβαδίζουν με τις μορφές που δόθηκαν πιο πάνω. Περισσότερα για την ανάλυση συστημάτων, παρουσιάζονται στο παράρτημα Β. Όταν οι ρίζες των πολυωνύμων εκφραστούν συναρτήσει των χρονικών σταθερών, των λόγων απόσβεσης και των φυσικών συχνοτήτων τότε λαμβάνονται άμεσα οι απαιτούμενες πληροφορίες που χαρακτηρίζουν τη δυναμική της απόκρισης. Πρέπει επίσης να σημειωθεί, ότι οι παράγοντες των αριθμητών και των παρονομαστών αποτελούν τις τυπικές μορφές που ισχύουν για ένα συμβατικό αεροσκάφος.

2.Η χαρακτηριστική εξίσωση

Όπως έχει ήδη περιγραφεί ο κοινός παρονομαστής των συναρτήσεων μεταφοράς αποτελεί το χαρακτηριστικό πολυώνυμο το οποίο με τη σειρά του περιγράφει τα χαρακτηριστικά ευστάθειας του αεροσκάφους. Έτσι, η απόκριση όλων των μεταβλητών ως προς τη μεταβολή του πηδαλίου ανόδου-καθόδου κυριαρχείται από τις παραμέτρους του παρονομαστή, δηλαδή τους λόγους απόσβεσης και τις φυσικές συχνότητες. Οι διαφορές που προκύπτουν ανάμεσα σε κάθε μια απόκριση οφείλονται κατά κύριο λόγο στους αντίστοιχους αριθμητές. Είναι απαραίτητο επομένως να αποτιμηθεί ο ρόλος του αριθμητή στη διαμόρφωση της δυναμικής απόκρισης του αεροσκάφους. Οι γενικές μορφές των αποκρίσεων των μεταβλητών καθορίζονται από τους κοινούς παρονομαστές και «χρωματίζονται» από τους διαφορετικούς κάθε φορά αριθμητές. Ο αριθμητής δεν παίζει κανένα ρόλο στον καθορισμό της ευστάθειας ενός γραμμικού συστήματος.

Το διάμηκες χαρακτηριστικό πολυώνυμο για ένα κλασσικό αεροσκάφος είναι τετάρτου βαθμού, αποτελεί τον κοινό παρονομαστή των συναρτήσεων μεταφοράς και εξισώνοντας το με το μηδέν αποτελεί τη χαρακτηριστική εξίσωση:

Γενικά η χαρακτηριστική εξίσωση παραγοντοποιείται σε δύο ζεύγη ριζών και μπορεί να γραφτεί:

Δηλαδή η απόκριση του αεροσκάφους είναι υπέρθεση δύο μορφών ταλαντώσεων, της μικρής περιόδου και του φυγοειδούς, σύμφωνα με το [6], οι οποίες εξετάζονται στη συνέχεια. Η γραφή της χαρακτηριστικής εξίσωσης κατά αυτόν τον τρόπο είναι ανάλογη με την αντίστοιχη γραφή για το σύστημα 2^ης τάξης μάζας-ελατηρίου-αποσβεστήρα όπως περιγράφεται στο παράρτημα Β.2.2. Έτσι, η διαμήκης δυναμική του αεροσκάφους έχει μεγάλες ομοιότητες μ’ ένα ζεύγος από συνδεδεμένα συστήματα μάζας-ελατηρίου-αποσβεστήρα.

Βέβαια τα χαρακτηριστικά της συχνότητας και της απόσβεσης προφανώς δεν έχουν μηχανική προέλευση αλλά προέρχονται από τις αεροδυναμικές ιδιότητες του αεροσκάφους. Η σύνδεση μεταξύ της δυναμικής του αεροσκάφους και των αεροδυναμικών του χαρακτηριστικών, που είναι μια δύσκολη και επίπονη διαδικασία -περισσότερα στο κεφάλαιο 6- που πραγματοποιείται με τη σύγκριση των εξισώσεων (4.10), (4.11) και στη συνέχεια τη λήψη των ορισμών, ως προς τις αεροδυναμικές παραγώγους ευστάθειας, για τους συντελεστές της εξίσωσης (4.6) από το παράρτημα Γ.3.1.

3.Ταλάντωση πρόνευσης μικρής περιόδου

Κάθε φορά που το αεροσκάφος διαταράσσεται από τη θέση ισορροπίας, συνυπάρχουν και οι δύο μορφές διαμήκους δυναμικής ευστάθειας. Η διαταραχή ως προς την κατάσταση ισορροπίας μπορεί να προκληθεί από τις εντολές του πιλότου στα πηδάλια ελέγχου, κάποια μεταβολή στην ισχύ του αεροσκάφους, αλλαγές στη διαμόρφωση –για παράδειγμα έκταση των flaps- καθώς και από εξωτερικούς παράγοντες όπως ατμοσφαιρικές αναταράξεις, ριπές ανέμου κ.ά.

Η μορφή (mode) της μικρής περιόδου ή αλλιώς ταχείας προσαρμογής της γωνίας πρόσπτωσης (rapid incidence adjustment), τυπικά είναι μία αποσβενόμενη ταλάντωση ως προς τη στάση πρόνευσης, περί τον άξονα oy όπως δείχνει το σχήμα 4.1. Εμφανίζεται ως μία κλασσική ταλάντωση δευτέρου βαθμού, στην οποία οι κυρίες μεταβλητές είναι η γωνία πρόσπτωσης α_w, ο ρυθμός πρόνευσης q και η στάση πρόνευσης θ. Το γεγονός αυτό θα γίνει φανερό στο αριθμητικό παράδειγμα 4.1 στο τέλος του κεφαλαίου, μέσω της ιδιοδιανυσματικής ανάλυσης. Τυπικά, η φυσική συχνότητα χωρίς απόσβεση είναι ω_s ~ 1:10 rad/sec, ενώ η απόσβεση ζ_s σταθεροποιεί το αεροσκάφος, αν και ο λόγος απόσβεσης είναι συχνά χαμηλότερος του επιθυμητού. Ένα βασικό χαρακτηριστικό της μορφής αυτής είναι ότι η ταχύτητα U παραμένει κατά προσέγγιση σταθερή (u=0). Καθώς η περίοδος της μορφής είναι μικρή, οι επιδράσεις της αδράνειας και της ορμής καθορίζουν ότι η απόκριση της ταχύτητας στη χρονική κλίμακα που αντιστοιχεί η μορφή αυτή είναι αμελητέα.

Σχήμα 4.1 Μηχανικό δυναμικό ισοδύναμο της ταλάντωσης μικρής περιόδου

Βίντεο 4.1 Αναπαράσταση της ταλάντωσης της μικρής περιόδου.

Για να γίνουν πιο κατανοητές οι φυσικές διεργασίες που λαμβάνουν χώρα, συγκρίνεται το αεροσκάφος με το κλασσικό, μηχανικό, δυναμικό σύστημα, μάζας-ελατηρίου-αποσβεστήρα. Το αεροσκάφος συμπεριφέρεται σαν να ήταν αγκιστρωμένο, κατά τον άξονα oy, από ένα ελατήριο όπως στο σχήμα 4.1. Μια διαταραχή πρόνευσης ως προς την κατάσταση ισορροπίας αναγκάζει το ελατήριο να παράγει μια ροπή επαναφοράς και επακόλουθα να προκαλεί μια ταλάντωση ως προς τη στάση πρόνευσης. Η ακαμψία του ελατηρίου έχει ως ρίζα της τη φυσική «ανεμουριακή» (weathercock) τάση του αεροσκάφους δηλαδή την τάση της κεφαλής ή της ουράς του αεροσκάφους να ευθυγραμμίζεται με τον σχετικό άνεμο. Η ταλάντωση είναι αποσβενόμενη το οποίο παριστάνεται στο σχήμα 4.1 με έναν αποσβεστήρα. Η απόσβεση προκύπτει από την κίνηση της ουράς κατά τη διάρκεια της ταλάντωσης όπου συμπεριφέρεται ως ένας συνεκτικός αποσβεστήρας κραδασμών.

Φυσικά τα αίτια της συμπεριφοράς του αεροσκάφους, που εδώ οφείλονται στο ελατήριο και στον αποσβεστήρα, δεν είναι σε καμία περίπτωση μηχανικά αλλά προκαλούνται από αεροδυναμικούς μηχανισμούς. Κάθε δομικό μέρος του αεροσκάφους συνεισφέρει στη μορφή της ταλάντωσης, ενώ μπορεί να έχει θετική ή και αρνητική επίδραση στην ευστάθεια. Για λόγους απλότητας, υποτίθεται ότι το κυρίαρχο, αεροδυναμικό, δομικό κομμάτι που καθορίζει τα χαρακτηριστικά απόσβεσης και επαναφοράς, είναι το ουραίο πτέρωμα.

Η δυναμική συμπεριφορά του αεροσκάφους δεν εξαρτάται μόνο από την επίδραση της ουράς του αεροσκάφους αλλά και από ένα εύρος άλλων επιδράσεων που προκύπτουν από άλλα μέρη του αεροσκάφους. Όταν η συνολική ευστάθεια είναι οριακή εννοείται ότι οι επιπρόσθετες επιδράσεις είναι σημαντικές και έτσι καθίσταται πολύ πιο δύσκολο να τυποποιηθούν αλλά και να περιγραφούν ποσοτικά οι κυρίαρχοι, αεροδυναμικοί παράγοντες μορφοποίησης του τύπου της ταλάντωσης.

4.Το φυγοειδές

Πρόκειται κατά κύριο λόγο για μια ελαφρά αποσβενόμενη, ταλάντωση χαμηλής συχνότητας στην ταχύτητα U, συζευγμένη με τη γωνία πρόνευσης θ και το ύψος h. Ένα κύριο χαρακτηριστικό του φυγοειδούς είναι ότι η γωνία πρόσπτωσης α_w παραμένει ουσιαστικά σταθερή κατά τη διάρκεια της διαταραχής.

Το φαινόμενο αυτό γίνεται φανερό στο αριθμητικό παράδειγμα 4.1, μέσω της ιδιοδιανυσματικής ανάλυσης. Παρόλο που το φυγοειδές εμφανίζεται σε διαφορετικό βαθμό, σε όλες τις διαμήκεις μεταβλητές της κίνησης, είναι επιτρεπτό να αμεληθεί η παρουσία των συνιστωσών του φυγοειδούς στη γωνία πρόσπτωσης α_w και στον ρυθμό πρόνευσης q, εφόσον το σχετικό μέγεθος είναι πολύ μικρό συγκρινόμενο με τις υπόλοιπες μεταβλητές κατάστασης.

Τυπικές τιμές για τη φυσική συχνότητα χωρίς απόσβεση του φυγοειδούς είναι της τάξης του ω_p ~ 0.1 : 1 rad/sec ενώ ο λόγος απόσβεσης είναι πολύ μικρός. Τα χαρακτηριστικά απόσβεσης του φυγοειδούς σε ορισμένα αεροσκάφη μπορεί να επηρεαστούν σημαντικά από τη μεταβολή της παρεχόμενης ισχύος των κινητήρων.

Βίντεο 4.2 Αναπαράσταση της ταλάντωσης του φυγοειδούς.

Ποιοτικά η εξέλιξη της ταλαντωτικής κίνησης του φυγοειδούς που προκαλείται μετά από την εφαρμογή μιας διαταραχής από την κατάσταση αντιστάθμισης, φαίνεται στο σχήμα 4.2 και περιγράφεται ως εξής:

•         Εικόνα (a): Το αεροσκάφος είναι αντισταθμισμένο σε οριζόντια πτήση ισορροπίας με μόνιμη ταχύτητα U ≅ οπότε ισχύει L=mg. Τότε το αεροσκάφος δέχεται τη διαταραχή από την κατάσταση αντιστάθμισης.

•         Εικόνα (b): Η διαταραχή αντιστοιχεί σε μείωση της ταχύτητας κατά τη μικρή ποσότητα u. Η γωνία πρόσπτωσης παραμένει ουσιαστικά σταθερή, αυτό οδηγεί σε μια μικρή μείωση της άνωσης και το αεροσκάφος δεν βρίσκεται πλέον σε κατακόρυφη ισορροπία. Αρχίζει επομένως να χάνει ύψος και καθώς κατέρχεται αρχίζει να επιταχύνεται όπως φαίνεται στην εικόνα. Η ταχύτητα συνεχίζει να αυξάνεται ξεπερνώντας μάλιστα την τιμή , ενώ η άνωση, καθώς επίσης αυξάνεται, κάποια χρονική στιγμή ξεπερνά σε μέγεθος το βάρος. Η αύξηση της ταχύτητας και την άνωσης οδηγεί σε σταθερή άνοδο της κεφαλής του αεροσκάφους.

•         Εικόνα (c): Πλέον το αεροσκάφος ξεκινά την άνοδο.

•         Εικόνα (d): Καθώς το αεροσκάφος πλέον έχει περίσσεια κινητικής ενέργειας, η αδράνεια και η ορμή το αναγκάζουν να ξεπεράσει το αρχικό ύψος χάνοντας παράλληλα ταχύτητα και άνωση, καθώς ανέρχεται. Όσο το αεροσκάφος επιβραδύνεται η κεφαλή του στρέφεται προς τα κάτω.

•         Εικόνας (e): Η άνωση είναι αρκετά μικρότερη από το βάρος και η επιταχυνόμενη κάθοδος ξεκινά για μια ακόμη φορά.

•         Εικόνα (f): Η αδράνεια και η ορμή εξαναγκάζουν το αεροσκάφος να συνεχίζει την κάθοδο διαμέσου του αρχικού ύψους και καθώς η ταχύτητα και ή άνωση του αυξάνονται προοδευτικά, η κεφαλή του στρέφεται προς τα πάνω.

•         Εικόνα (g): Φτάνοντας σε οριζόντια θέση το αεροσκάφος ξεκινά ξανά την άνοδο και ολοκληρώνεται ο κύκλος της ταλάντωσης του φυγοειδούς. Η κίνηση συνεχίζεται με τις επιδράσεις της οπισθέλκουσας να εξαναγκάζουν τα μέγιστα και τα ελάχιστα της κίνησης να μειώνονται προοδευτικά σε μέγεθος, έως ότου η κίνηση αποσβεστεί.

Το φυγοειδές λοιπόν είναι μια κλασσική αποσβενόμενη αρμονική κίνηση που οδηγεί το αεροσκάφος να πετά σε ένα ομαλό ημιτονοειδές ίχνος πτήσης γύρω από το αρχικό ύψος πτήσης όπου το αεροσκάφος πετούσε αντισταθμισμένο και σε οριζόντια πτήση. Καθώς οι επιδράσεις της αδράνειας και της ορμής είναι μεγάλες το φαινόμενο είναι αργό, οι γωνιακές επιταχύνσεις και είναι μικρές και μπορούν να αγνοηθούν για τη συνέχεια των υπολογισμών. Κατά συνέπεια η φυσική συχνότητα του φυγοειδούς είναι χαμηλή και καθώς η οπισθέλκουσα προβλέπεται εξ αρχής χαμηλή, έτσι και η απόσβεση είναι χαμηλή. Τυπικά από την έναρξη της ταλάντωσης του φυγοειδούς, μπορούν να παρατηρηθούν πολλοί κύκλοι πριν τελικά η κίνηση αποσβεστεί. Επίσης, καθώς ο ρυθμός απώλειας της ενέργειας είναι μικρός, λόγω της μικρής απόσβεσης που προκαλεί η χαμηλή οπισθέλκουσα, η κίνηση συχνά προσεγγίζεται από μια μη αποσβενόμενη αρμονική κίνηση στην οποία η δυναμική και η κινητική ενέργεια «εναλλάσσονται».

5. Μοντέλα χαμηλότερης τάξης

Έως αυτή τη στιγμή η έμφαση έχει δοθεί στην ακριβή λύση των διαμήκων εξισώσεων κίνησης που οδηγεί στην ακριβή περιγραφή των χαρακτηριστικών ευστάθειας και απόκρισης του αεροσκάφους. Στη πραγματικότητα όμως απαιτούνται μεγάλα υπολογιστικά συστήματα και επίσης, είναι δύσκολο έως αδύνατο, να διατυπωθούν ακριβείς σχέσεις που συνδέουν τα χαρακτηριστικά ευστάθειας με τα αντίστοιχα αεροδυναμικά χαρακτηριστικά του αεροσκάφους. Για τον λόγο αυτό χρησιμοποιούνται προσεγγιστικές λύσεις οι οποίες επιτρέπουν την κατανόηση των φυσικών διεργασιών που εμπλέκονται στη δυναμική συμπεριφορά του αεροσκάφους χωρίς την απαίτηση τεράστιου υπολογιστικού χρόνου για την επίτευξη απόλυτης ακρίβειας.

Για παράδειγμα μια προσεγγιστική λύση της διαμήκους χαρακτηριστικής εξίσωσης (4.6) βασίζεται στο γεγονός ότι οι συντελεστές A, B, C, D και Ε έχουν σχετικές τιμές που δεν μεταβάλλονται σημαντικά, τουλάχιστον για τα συμβατικά αεροσκάφη, σύμφωνα με τον Cook [3]. Γενικά:

Έτσι, το χαρακτηριστικό πολυώνυμο παραγοντοποιείται κατά προσέγγιση ως ακολούθως:

Η εξίσωση (4.9) αποτελεί στην πραγματικότητα το πρώτο βήμα στην κλασσική λύση του πολυώνυμου, με το πρώτο ζεύγος των μιγαδικών ριζών να περιγράφει το φυγοειδές και το δεύτερο να περιγράφει τη μικρή περίοδο. Οι αλγεβρικές εκφράσεις για τους συντελεστές A, B, C, D και Ε συναρτήσει των αεροδυναμικών παραγώγων, της αδράνειας και της μάζας δίνονται στο παράρτημα Γ.3.1. Δεδομένου ότι αυτές οι εκφράσεις είναι σχετικά πολύπλοκες δεν μπορούν να δώσουν ικανοποιητική περιγραφή των φυσικών διεργασιών που λαμβάνουν χώρα, εκτός και αν ακολουθήσει περαιτέρω απλοποίηση των μαθηματικών σχέσεων. Από την άλλη πλευρά η προσεγγιστική σχέση (4.9) είναι χρήσιμη για την προκαταρκτική εκτίμηση των μορφών ευστάθειας, ή ως τρόπος ελέγχου των λύσεων που λαμβάνονται από κάποιο υπολογιστικό σύστημα, ενώ τέλος, για συμβατικά αεροσκάφη οι προσεγγιστικές λύσεις είναι πολύ συχνά εξαιρετικά κοντά στις πραγματικές λύσεις που δίνει η χαρακτηριστική εξίσωση.

5.1. Η προσέγγιση της μικρής περιόδου

Τα βραχυπρόθεσμα χαρακτηριστικά απόκρισης ενός αεροσκάφους έχουν εξαιρετική σημασία για την εκτίμηση των ικανοτήτων του από πλευράς χαρακτηριστικών πτήσης και ευκολίας χειρισμού για τους λόγους που θα εκτεθούν σε επόμενο κεφάλαιο. Από τη στιγμή που η συμπεριφορά του αεροσκάφους στο βραχυπρόθεσμο διάστημα που ακολουθεί τη διαταραχή, κυριαρχείται από τη μορφή της μικρής περιόδου, μπορεί να χρησιμοποιηθεί η εξίσωση κίνησης μειωμένης τάξης όπου παραλείπονται οι μεταβλητές κατάστασης στις οποίες επιδρά το φυγοειδές. Παρατηρώντας λοιπόν τη φύση των ταλαντώσεων της μικρής περιόδου, είναι δυνατό να απλοποιηθούν οι διαμήκεις εξισώσεις κίνησης ώστε να περιγράφουν μόνο τη βραχυπρόθεσμη δυναμική.

Όπως έχει ήδη αναφερθεί, η ταλάντωση της μικρής περιόδου είναι σχεδόν αποκλειστικά μια ταλάντωση της οποίας οι κυρίαρχες μεταβλητές είναι ο ρυθμός πρόνευσης και η γωνία πρόσπτωσης ενώ η ταχύτητα U παραμένει ουσιαστικά σταθερή (u=0).Επομένως η εξίσωση της ταχύτητας αλλά και οι όροι που εξαρτώνται από την ταχύτητα μπορούν να παραλειφθούν από τις διαμήκεις εξισώσεις κίνησης (4.1), καθώς κατά τη βραχυπρόθεσμη κίνηση αυτοί οι όροι θα ισούνται με το μηδέν. Έτσι, μπορεί να γραφεί:

Εν συνεχεία υποθέτοντας ότι η εξίσωση κίνησης αναφέρεται στους άξονες του ανέμου και το αεροσκάφος είναι αρχικά σε μόνιμη-σταθερή και οριζόντια πτήση τότε:

Ενώ όπως προκύπτει από τις συντετμημένες εκφράσεις των παραγώγων ευστάθειας που παρατίθενται στο ΠΑΡΑΡΤΗΜΑ Δ.2.1:

Τότε η εξίσωση (4.10) μπορεί να απλοποιηθεί στη μορφή:

όπου όμως τώρα οι παράγωγοι ευστάθειας αναφέρονται στο σύστημα του ανέμου. Η εξίσωση (4.13) είναι αρκετά απλή ώστε το μητρώο της συνάρτησης μεταφοράς να μπορεί να υπολογιστεί αναλυτικά με εφαρμογή της εξίσωσης (4.14):

Η συνάρτηση μεταφοράς μπορεί να απλοποιηθεί περαιτέρω παρατηρώντας ότι:

Από το παράρτημα Δ.2.1 προκύπτει:

Έτσι, οι δύο βραχυπρόθεσμες συναρτήσεις μεταφοράς που περιγράφουν την απόκριση στην πηδάλιο ανόδου-καθόδου μπορούν να γραφούν ως:

Φυσικά σε αυτή την περίπτωση γίνεται πλήρως αποδεκτό ότι τα k_w, k_q, T_α, Τ_θ2, ζ_s και ω_s αντιπροσωπεύουν προσεγγιστικά μεγέθη. Τώρα λοιπόν είναι πολύ πιο εύκολο να συσχετιστούν οι πιο σημαντικές παράμετροι που περιγράφουν τη διαμήκη βραχυπρόθεσμη μεταβατική δυναμική απόκριση του αεροσκάφους με τις αεροδυναμικές ιδιότητες του σκάφους (airframe), οι οποίες αντιπροσωπεύονται στις εξισώσεις (4.17) και (4.18) από τη συντετμημένη μορφή των παραγώγων ευστάθειας.

Πλέον η χαρακτηριστική εξίσωση μειωμένης τάξης προκύπτει:

Σε αναλογία με την κλασσική διάταξη της μάζας-ελατηρίου-αποσβεστήρα, η απόσβεση και η φυσική συχνότητα της μικρής περιόδου δίνονται με ικανοποιητική ακρίβεια ως:

Τότε μπορεί να εκφραστεί η απόσβεση και η φυσική συχνότητα όπως περιγράφονται από την (4.20), αντικαθιστώντας τις εκφράσεις των συντετμημένων παραγώγων ως προς τις διαστατές παράγωγους ευστάθειας από το παράρτημα Δ.2.1, ενώ οι προηγούμενοι περιορισμοί εξακολουθούν να ισχύουν:

Παρατηρείται επίσης, ότι οι δεξιοί όροι των εξισώσεων (4.21) έχουν ως παρονομαστή είτε τη μάζα είτε τη ροπή αδράνειας πρόνευσης. Αυτοί οι όροι μπορούν να ερμηνευτούν ακριβώς με τον ίδιο τρόπο όπως στη κλασσική διάταξη μάζας-ελατηρίου-αποσβεστήρα. Ανάλογα οι αεροδυναμικές παράγωγοι ευστάθειας, περιγράφουν την ακαμψία του ελατηρίου και τη συνεκτική απόσβεση πρόνευσης αν και υπάρχουν περισσότεροι από ένας όροι που επηρεάζουν την απόσβεση και τη φυσική συχνότητα. Για τα περισσότερα συμβατικά αεροσκάφη, τα ολικά δυναμικά χαρακτηριστικά συνήθως περιγράφουν μια ευσταθή μορφή της μικρής περιόδου.

Για το τυπικό συμβατικό αεροσκάφος οι αριθμητικές τιμές των σχετικών αεροδυναμικών παραγώγων ευστάθειας είναι τέτοιες ώστε χονδρικά μπορεί να γραφτεί:

Οι δύο αυτές προσεγγιστικές σχέσεις φανερώνουν τους κυρίαρχους παράγοντες που καθορίζουν τα χαρακτηριστικά της μικρής περιόδου. Συνήθως η παράγωγος ευστάθειας που εξαρτάται από την κλίση της καμπύλης της άνωσης και η παράγωγος που κατά τον μεγαλύτερο βαθμό εξαρτάται από τις ιδιότητες απόσβεσης του ουραίου πτερώματος (οριζόντιο και κάθετο ουραίο σταθερό πτερύγιο) είναι συνήθως και οι δύο αρνητικοί αριθμοί. Η παράγωγος είναι ένα μέτρο της αεροδυναμικής δυσκαμψίας πρόνευσης ενώ και αυτή κυριαρχείται από την αεροδυναμική του ουραίου πτερώματος.

Το πρόσημο της εξαρτάται από τη θέση του κέντρου βάρους και μάλιστα όσο αυτό κινείται προς τα εμπρός στην άτρακτο, τόσο μεγαλύτερες αρνητικές τιμές παίρνει αυτή η παράγωγος. Υπενθυμίζεται από το υποκεφάλαιο 2.4 του κεφαλαίου 2 περί ευστάθειας συναρτήσει του αδιάστατου συντελεστή ροπής:

όπου

Έτσι, η μικρή περίοδος θα είναι ευσταθής εφόσον το κέντρο βάρους βρίσκεται αρκετά μπροστά στο αεροσκάφος. Η θέση του κέντρου βάρους στην άτρακτο, όπου η παράγωγος αλλάζει πρόσημο, ονομάζεται ουδέτερο σημείο με τα χειριστήρια σταθεροποιημένα:

Έτσι, η , αποτελεί επίσης ένα μέτρο του περιθωρίου ευστάθειας με τα χειριστήρια σταθεροποιημένα που εκφράστηκε ως:

Σύμφωνα με τις σχέσεις (4.19), (4.20), η αντίστοιχη θέση του κέντρου βάρους, όπου η έκφραση αλλάζει πρόσημο, ονομάζεται σημείο ελιγμού με τα χειριστήρια σταθεροποιημένα (controls fixed manoeuvre point) ενώ και αυτή η σχέση αποτελεί αντίστοιχα ένα μέτρο του περιθωρίου ελιγμών με τα χειριστήρια σταθεροποιημένα (controls fixed manoeuvre margin).

5.2. Η προσέγγιση του φυγοειδούς

Καθώς η ταλάντωση του φυγοειδούς έχει μεγάλη περίοδο, δηλαδή εξελίσσεται πολύ αργά, μπορεί να τη διαχειριστεί εύκολα ο πιλότος. Γι’ αυτό, σπάνια απαιτείται η ύπαρξη ενός μοντέλου μειωμένης τάξης που θα διατηρεί μόνο τη δυναμική του φυγοειδούς. Παρόλα αυτά, ένα τέτοιο μοντέλο χρησιμεύει στον προσδιορισμό των αεροδυναμικών ιδιοτήτων της κατασκευής που καθορίζουν τα σημαντικότερα χαρακτηριστικά του φυγοειδούς.

Η πρώτη επιτυχής ανάλυση της δυναμικής του φυγοειδούς, πραγματοποιήθηκε από τον Lanchester (1908), όπως αναφέρεται στο [6] που, χρησιμοποιώντας τις παρατηρήσεις του σε μοντέλα ανεμοπτέρων, υπολόγισε ένα μαθηματικό μοντέλο βασισμένο στην ανταλλαγή δυναμικής και κινητικής ενέργειας για να περιγράψει την κίνηση του φυγοειδούς. Η ανάλυση αυτή, η οποία μας δίνει πρόσβαση στη φυσική υπόσταση του φυγοειδούς, μπορεί να εφαρμοστεί στα σύγχρονα αεροσκάφη με την προϋπόθεση ότι θα επαναπροσδιοριστούν οι υποθέσεις που έκανε πρώτος ο Lanchester:

•         Το αεροσκάφος αρχικά βρίσκεται σε μόνιμη-σταθερή οριζόντια πτήση.

•         Η συνολική ενέργεια του αεροσκάφους παραμένει σταθερή.

•         Η γωνία πρόσπτωσης α παραμένει σταθερή στην αρχική τιμή ισορροπίας.

•         Η ώση Τ αντισταθμίζει την οπισθέλκουσα D.

•         Η κίνηση είναι τόσο αργή, ώστε οι επιδράσεις του ρυθμού πρόνευσης q μπορούν να αμεληθούν.

Ένα πιο λεπτομερές προσεγγιστικό μαθηματικό μοντέλο του φυγοειδούς μπορεί να προκύψει από τις εξισώσεις κίνησης κάνοντας απλοποιήσεις που θα προκύψουν από αντίστοιχες υποθέσεις γύρω από τη φύση της κίνησης. Μετά λοιπόν από μια διαταραχή οι μεταβλητές w και q αποκρίνονται σε χρονική κλίμακα που σχετίζεται με τη μικρή περίοδο, έτσι είναι λογικό να υποτεθεί ότι οι w και q είναι ψευδοστατικές στη μακρύτερη χρονική κλίμακα, που σχετίζεται με το φυγοειδές, όπως αναφέρεται και στα [3], [6]. Επομένως:

Για μια ακόμη φορά υποτίθεται ότι οι εξισώσεις κίνησης αναφέρονται στους άξονες του ανέμου και ότι αφού η διαταραχή λαμβάνει χώρα γύρω από τη μόνιμη και οριζόντια πτήση:

Ενώ σύμφωνα με το παράρτημα Δ.2.1:

Ακόμη, όπως και με το μοντέλο μειωμένης τάξης της μικρής περιόδου και σύμφωνα με το παράρτημα Δ.2.1:

Επιπλέον συνήθης υπόθεση είναι ότι η αεροδυναμική παράγωγος είναι πολύ μικρή ποσότητα. Έτσι, η εξίσωση κίνησης μπορεί να απλοποιηθεί ως εξής:

Η δεύτερη και η τρίτη γραμμή της εξίσωσης μπορεί να γραφτεί:

Επιλύοντας αλγεβρικά λαμβάνονται οι εκφράσεις για τα w και q ως προς τα u και δ_e.

Η έκφραση για τα w και q αντικαθίστανται στην πρώτη και στην τρίτη γραμμή της εξίσωσης (4.34) και μετά από την εκτέλεση των πράξεων προκύπτει η εξίσωση κατάστασης μειωμένης τάξης:

Δηλαδή υπό τη μορφή:

Η εξίσωση (4.35) μπορεί να λυθεί αλγεβρικά ώστε να μας δώσει την απόκριση της συνάρτησης μεταφοράς για τις μεταβλητές του φυγοειδούς u και θ. Όμως δεν είναι πολύ χρήσιμη η ανάλυση της μακροπρόθεσμης, δυναμικής απόκρισης ως προς το πηδάλιο ανόδου-καθόδου κατά αυτόν τον τρόπο. Η χαρακτηριστική εξίσωση που περιγράφει τη δυναμική μειωμένης τάξης του φυγοειδούς είναι πολύ πιο χρήσιμη και δίνεται από την:

όπου

Έτσι, η προσεγγιστική απόσβεση και φυσική συχνότητα του φυγοειδούς λαμβάνονται ως προς ένα περιορισμένο αριθμό αεροδυναμικών παραγώγων ευστάθειας. Προβαίνοντας σε κάποιες επιπλέον παραδοχές, μπορούν να ληφθούν κάποιες πιο χονδρικές αλλά και πιο περιεκτικές προσεγγίσεις ως προς τις αεροδυναμικές ιδιότητες που καθορίζουν τα χαρακτηριστικά του φυγοειδούς. Για ένα συμβατικό αεροσκάφος σε υποηχητική πτήση μπορεί να θεωρηθεί σύμφωνα με το [3], ότι:

Στη συνέχεια οι αντίστοιχες εκφράσεις για την απόσβεση και τη φυσική συχνότητα γίνονται:

Στη συνέχεια με βάση το παράρτημα Δ.2.1 και επειδή η είναι τόσο μικρή ώστε να μπορεί να παραληφθεί, ενώ ισχύει :

Αντίστοιχες εκφράσεις για τις αδιάστατες αεροδυναμικές παραγώγους, όπως ορίζονται στα [5], [6], [12], δίνονται στο παράρτημα Ε. Αυτές μπορούν να προσεγγιστούν όπως στη σχέση (4.42), όπου οι βασικές αεροδυναμικές ιδιότητες υποτίθεται ότι είναι ανεξάρτητες της ταχύτητας. Αυτό προκύπτει από την υπόθεση ότι οι επικρατούσες συνθήκες πτήσης είναι υποηχητικές και επομένως οι αεροδυναμικές ιδιότητες της ατράκτου δεν επηρεάζονται από τα φαινόμενα συμπιεστότητας.

Οι εκφράσεις (4,40) μπορούν πλέον να ξαναγραφτούν ως προς τις αεροδυναμικές παραμέτρους υποθέτοντας ξανά ότι στην αντισταθμισμένη κατάσταση η άνωση είναι ίση με το βάρος του αεροσκάφους:

Τότε η απλοποιημένη προσεγγιστική έκφραση για τον λόγο απόσβεσης είναι:

Όπως είναι φυσικό, αυτές οι εκφράσεις για τον λόγο απόσβεσης και τη φυσική συχνότητα του φυγοειδούς είναι πολύ προσεγγιστικές αφού προκύπτουν βάσει πολλών παραδοχών. Σημειώνεται ότι η έκφραση για την ω_p είναι η ίδια με αυτή που κατέληξε ο Lanchester, η οποία αποδεικνύει ότι η φυσική συχνότητα του φυγοειδούς είναι περίπου αντιστρόφως ανάλογη με την ταχύτητα αντιστάθμισης. Επίσης, πολύ ενδιαφέρουσα παρατήρηση είναι ότι ο λόγος απόσβεσης του φυγοειδούς είναι περίπου αντιστρόφως ανάλογος του λόγου άνωσης προς οπισθέλκουσα του αεροσκάφους. Από τη στιγμή που ένας από τους κύριους αντικειμενικούς σκοπούς του μηχανικού είναι να πετύχει μεγάλο λόγο άνωσης προς οπισθέλκουσα, γίνεται εύκολα κατανοητό για πιο λόγο η απόσβεση του φυγοειδούς είναι συνήθως πολύ χαμηλή.

Συνοπτικά για τα μοντέλα χαμηλότερης τάξεως προκύπτει ότι οι κυριότερες παράγωγοι ευστάθειας που εμπλέκονται είναι οι:

•         : απόσβεση μικρής περιόδου,

•         : συχνότητα μικρής περιόδου,

•         : απόσβεση φυγοειδούς,

•         : συχνότητα φυγοειδούς.

Βιβλιογραφία/Αναφορές

x

x

Παράδειγμα - Εφαρμογή

Παράδειγμα 4.1.

Ακολουθεί ένα παράδειγμα μελέτης της διαμήκους δυναμικής για το αεροσκάφος Boeing 747. Δίνονται παρακάτω οι συνθήκες πτήσης και τα δεδομένα μάζας (Παράρτημα Η.1, 3η περίπτωση), ενώ το αεροσκάφος εκτελεί οριζόντια σταθερή πτήση:

Οι τιμές των παραγώγων ευστάθειας σε αυτές τις συνθήκες, δίνονται ως προς το σωματόδετο σύστημα αξόνων του αεροσκάφους (3^η περίπτωση). Η αρχή των αξόνων του σωματόδετου συστήματος (Ox_by_bz_b) βρίσκεται στο κέντρο βάρος (CG). Ο άξονας Ox_b κείται πάνω στον διαμήκη άξονα του αεροσκάφους FRL. Η γραμμή της ώσης (TL-Thrust Line) σχηματίζει γωνία 2.5° σε σχέση με την FRL.

Γενικά, συνιστάται η επίλυση με τις εξισώσεις κίνησης και τα δεδομένα, στα συστήματα αξόνων στις μορφές και στις μονάδες που αυτά δίνονται από την εφαρμογή, διαφορετικά μπορεί να προκύψουν εύκολα πολλά λάθη στους υπολογισμούς. Στο παράδειγμα αυτό, διατηρούνται οι μονάδες του Αμερικανικού συστήματος μετρήσεων (American Imperial Units). Για τη μετατροπή από αυτό το σύστημα στο σύστημα SI, υπάρχουν διαθέσιμοι πίνακες μετατροπής των μονάδων στο παράρτημα Ζ. Από τη στιγμή που η γωνία πρόσπτωσης είναι μηδενική (α_e=0) και το αεροσκάφος δεν πλαγιολισθαίνει, το σωματόδετο σύστημα, ταυτίζεται με το αεροδυναμικό και δεν απαιτείται μετασχηματισμός των δεδομένων.

Στη συνέχεια εξετάζεται η επίλυση του συστήματος των εξισώσεων κίνησης του Β-747 στον χώρο κατάστασης, που έχει την εξής μορφή:

Οι τιμές των συντετμημένων παραγώγων του πίνακα Α, προκύπτουν από τις σχέσεις που δίνονται στο παράρτημα Δ.2.1 συναρτήσει των διαστατών παραγώγων ευστάθειας. Τότε το σύστημα γίνεται:

4.1.1. Ιδιοδιανυσματική ανάλυση

Το περιεχόμενο της κάθε μορφής για κάθε μεταβλητή κίνησης, δίνεται με μεγαλύτερη ακρίβεια από τα ιδιοδιανύσματα. Μέσω κάποιου υπολογιστικού πακέτου όπως το Matlab, μπορεί να υπολογιστεί αριθμητικά ο διαγώνιος πίνακας των ιδιοτιμών Λ:

ενώ ο πίνακας των ιδιοδιανυσμάτων V προκύπτει:

Οι λ_s και λ_p, καθώς και οι συζυγείς τους λ_p^* και λ_s^* είναι οι ιδιοτιμές που σχετίζονται με την ταλάντωση πρόνευσης της μικρής περιόδου και του φυγοειδούς αντίστοιχα.

Επίσης, κατασκευάζεται ο πίνακας των μέτρων των ιδιοδιανυσμάτων ως εξής:

Διαπιστώνεται ότι η κυρίαρχη μορφή στη μεταβλητή u είναι το φυγοειδές αφού 0.99933>>0.03613. H μικρή περίοδος κυριαρχεί στην κάθετη ταχύτητα w αφού 0.99935>>0.03639, όμοια και στην q αφού 0.00152>>0.00003 ενώ η μικρή περίοδος και το φυγοειδές έχουν ισορροπημένη συμμετοχή στη θ. Τα ίδια συμπεράσματα προκύπτουν παρατηρώντας τις αποκρίσεις στο σχήμα Π4.1.

Ο εκθετικός πίνακας ορίζεται ως:

Το μητρώο των ιδιοσυναρτήσεων επομένως έχει μιγαδικά μη μηδενικά στοιχεία και κάθε γραμμή περιγράφει το δυναμικό περιεχόμενο της μεταβλητής κατάστασης με την οποία σχετίζεται. Για παράδειγμα η πρώτη γραμμή περιγράφει το δυναμικό περιεχόμενο της διαταραχής ταχύτητας u και αποτελείται από τα ακόλουθα τέσσερα στοιχεία:

Τα πρώτα δύο στοιχεία περιγράφουν την ταλάντωση μικρής περιόδου ως προς την πρόνευση σε μια διαταραχή της ταχύτητας και τα επόμενα δύο περιγράφουν το φυγοειδές. Παρατηρείται ότι τα μέτρα των ιδιοδιανυσμάτων (δηλ. οι όροι στις παρενθέσεις) που σχετίζονται με το φυγοειδές είναι τα μεγαλύτερα και επομένως η δυναμική του φυγοειδούς είναι αυτή που κυριαρχεί στη διαταραχή ταχύτητας. Από την άλλη πλευρά η ταλάντωση της μικρής περιόδου ως προς την πρόνευση μόλις που είναι ορατή. Προφανώς αυτή η παρατήρηση μπορεί να γίνει για όλες τις μεταβλητές κατάστασης με απλή εξέταση των μητρώων των ιδιοδιανυσμάτων και των ιδιοτιμών. Αυτή η ιδιότητα μας εξυπηρετεί ιδιαίτερα για τη μελέτη της απόκρισης του αεροσκάφους ειδικά όταν οι τύποι της ευστάθειας είναι συγκεχυμένοι ή όταν υφίσταται κάποιας μορφής σύζευξη των μορφών ευστάθειας.

4.1.2. Επαύξηση μοντέλου - Απόκριση στο πηδάλιο ανόδου-καθόδου

Όπως είναι γνωστό ο λόγος απόσβεσης και η φυσική συχνότητα χωρίς απόσβεση (πληροφορίες που περιλαμβάνονται στις ιδιοτιμές) χαρακτηρίζουν τις μορφές της ευστάθειας

Για την εκτίμηση των χαρακτηριστικών ευκολίας χειρισμού (handling qualities) είναι πολύ χρήσιμος ο προσδιορισμός των μεταβλητών της γωνίας πρόσπτωσης α και της γωνίας του ίχνους πτήσης γ. Η μέθοδος του χώρου κατάστασης παρέχει τη δυνατότητα της άμεσης εισαγωγής επιπλέον μεταβλητών στο σύστημα με τη μέθοδο της επαύξησης του μοντέλου κατάστασης. Για κίνηση μικρών διαταραχών, όπου όταν η διαταραχή τείνει στο μηδέν, η γωνία πρόσπτωσης όπως προκύπτει από τις σχέσεις (3.29)-(3.33):

Η γωνία πρόσπτωσης μπορεί να συμπεριληφθεί στη διαμήκη εξίσωση κατάστασης με δύο τρόπους. Είτε η γωνία μπορεί να προστεθεί στο διάνυσμα εξόδου χωρίς αλλαγή του διανύσματος κατάστασης , είτε μπορεί να αντικαταστήσει την κάθετη ταχύτητα w στο διάνυσμα κατάστασης. Όταν η εξίσωση εξόδου επαυξάνεται (1^η περίπτωση) η (Π4.2) γίνεται:

Η γωνία του ίχνους πτήσης γ μπορεί να αποδειχθεί ότι δίνεται από τη σχέση:

Τότε η εξίσωση εξόδου γίνεται:

Ο κοινός πολυωνυμικός παρονομαστής (χαρακτηριστικό πολυώνυμο) των ΣΜ προκύπτει ως:

Τα πολυώνυμα των αριθμητών των ΣΜ, προκύπτουν ως:

Το πρώτο ζεύγος των μιγαδικών ριζών περιγράφει την ταλάντωση πρόνευσης της μικρής περιόδου με χαρακτηριστικά:

Το δεύτερο ζεύγος των μιγαδικών ριζών περιγράφει τη φυγοειδή ταλάντωση με χαρακτηριστικά:

Αυτά τα χαρακτηριστικά μας αποκαλύπτουν ότι αναφερόμαστε σε ένα αεροδυναμικά ευσταθές αεροσκάφος. Αργότερα θα αναλυθεί γιατί ο λόγος απόσβεσης της μικρής περιόδου είναι χαμηλός. Η απόκριση του αεροσκάφους σε είσοδο βαθμίδας στο πηδάλιο ανόδου καθόδου () φαίνεται στο σχήμα Π4.1, όπου απεικονίζονται όλες οι μεταβλητές των εξισώσεων κίνησης.

Οι αποκρίσεις που παρουσιάζονται στο σχήμα Π4.1, όπως προκύπτουν από το επαυξημένο μοντέλο, δείχνουν καθαρά και τις δύο μορφές της δυναμικής ευστάθειας, το φυγοειδές και τη μικρή περίοδο. Η σημασία (magnitude) της κάθε μορφής ευστάθειας ως προς κάθε μεταβλητή διαφέρει. Για παράδειγμα η ταλάντωση μικρής περιόδου είναι περισσότερο ορατή στο αρχικό μέρος των αποκρίσεων (initial transient) στις μεταβλητές w, q και α, ενώ το φυγοειδές είναι ορατό σε όλες τις μεταβλητές, αν και το σχετικό του μέγεθος διαφέρει αρκετά. Παρατηρείται ότι η ευστάθεια των αποκρίσεων είναι όμοια και ορίζεται όπως προαναφέρθηκε από τον κοινό παρονομαστή των συναρτήσεων μεταφοράς, αλλά οι διαφορές κάθε μιας από τις μεταβλητές απόκρισης που φαίνονται καθορίζονται από τους αριθμητές κάθε συνάρτησης μεταφοράς.

Σχήμα Π4.1 Απόκριση του αεροσκάφους σε είσοδο βαθμίδας του πηδαλίου ανόδου-καθόδου

Να σημειωθεί εδώ, ότι στα διάφορα λογισμικά που μπορούν να χρησιμοποιηθούν, και συγκεκριμένα στο Matlab, η χρήση της έτοιμης συνάρτησης ‘step()’ για τη λήψη των αποκρίσεων σε είσοδο βαθμίδας αντιστοιχεί σε είσοδο 1 rad και όχι 1°. Για διέγερση 1°, οι συναρτήσεις μεταφοράς πρέπει να πολλαπλασιαστούν με π/180=1/57,3.

Επίσης, κατά την κατάστρωση του χώρου κατάστασης λαμβάνονται μηδενικές αρχικές συνθήκες, που σημαίνει ότι οι αποκρίσεις που προκύπτουν, αντιστοιχούν στις διαταραχές από την αρχική κατάσταση.

Με εφαρμογή του θεωρήματος τελικής τιμής προσδιορίζονται οι τιμές μόνιμης κατάστασης των μεταβλητών μετά από τη διέγερση. Έτσι, για παράδειγμα ο μετασχηματισμός Laplace της απόκρισης της ταχύτητας σε 1° μετατόπιση του πηδαλίου ανόδου-καθόδου γίνεται :

Εφαρμόζοντας το θεώρημα τελικής τιμής:

Όπως προαναφέρθηκε, επειδή η είσοδος είναι θετική κατά την έννοια της πτώσης της κεφαλής του αεροσκάφους, η απόκρισή του καταλήγει σε μια μικρή και σταθερή αύξηση της ταχύτητας. Με παρόμοιο τρόπο προκύπτουν οι αποκρίσεις μόνιμης κατάστασης όλων των μεταβλητών κίνησης:

Παρόλο που η αρχική απόκριση παρουσιάζεται κατά την έννοια της πτώσης της κεφαλής του αεροσκάφους, παρατηρώντας τις αποκρίσεις μόνιμης κατάστασης, γίνεται αντιληπτό ότι μετά την αρχική, μεταβατική απόκριση το αεροσκάφος διατηρεί μια ελαττωμένη γωνία πρόσπτωσης, αυξημένη στάση πρόνευσης και πετά σε ένα ίχνος ανόδου με γωνία γ_ss = 3.2429°.

4.1.3. Μοντέλα μειωμένης τάξης

Στη συνέχεια εφαρμόζεται το μοντέλο μειωμένης τάξης που αντιστοιχεί στην προσέγγιση της μικρής περιόδου όπως δίνεται από την εξίσωση (4.13):

Ενώ υπενθυμίζεται από την (Π4.9):

Η επίλυση των εξισώσεων κίνησης (Π4.25) μας δίνει τις ακόλουθες συναρτήσεις μεταφοράς:

Η συνάρτηση μεταφοράς που περιγράφει τη βραχυπρόθεσμη απόκριση της πρόνευσης στη προσέγγιση της μικρής περιόδου, προκύπτει άμεσα από τη συνάρτηση μεταφοράς της γωνιακής ταχύτητας q:

Εφαρμόζοντας το θεώρημα τελικής τιμής στη συνάρτηση του ρυθμού πρόνευσης q, με την εφαρμογή μοναδιαίας θετικής εισόδου βαθμίδας στο πηδάλιο ανόδου- καθόδου, προκύπτει:

Το αποτέλεσμα υποδεικνύει ότι η κεφαλή του αεροσκάφους θα έχει ανοδική πορεία έως ότου η διέγερση από τα πηδάλια ανόδου-καθόδου σταματήσει. Αυτό επιβεβαιώνεται και από τη συνάρτηση μεταφοράς της πρόνευσης, δεδομένου ότι, μετά από τη χρονική στιγμή όπου αποσβένεται πλήρως η μικρή περίοδος, το αεροσκάφος συμπεριφέρεται ως ένας ιδανικός ολοκληρωτής ως προς την πρόνευση. Αυτό δεικνύεται από την παρουσία του παράγοντα s στον παρονομαστή της εξίσωσης (Π4.28). Στην πραγματικότητα η δυναμική του φυγοειδούς συνήθως εμποδίζει την εξέλιξη αυτής της κατάστασης εκτός και αν η είσοδος είναι πολύ μεγάλη και επιπλέον συνοδεύεται από αύξηση της ώσης στο αεροσκάφος, οπότε και καταλήγει στην πραγματοποίηση του ελιγμού στροφής στο κατακόρυφο επίπεδο. Φυσικά το μαθηματικό μοντέλο που αναλύεται εδώ είναι τελείως ακατάλληλο για την ανάλυση μιας κίνησης τέτοιου μεγάλου εύρους.

Από το χαρακτηριστικό πολυώνυμο του προσεγγιστικού μοντέλου μειωμένης τάξης της μικρής περιόδου προκύπτουν οι προσεγγιστικές τιμές του λόγου απόσβεσης και της φυσικής συχνότητας χωρίς απόσβεση της μικρής περιόδου:

Ενώ είναι προφανές ότι αυτές οι τιμές συγκρίνονται πολύ ικανοποιητικά με τις ακριβείς τιμές όπως προέκυψαν από το πλήρες μοντέλο. Παρατηρώντας τη βραχυπρόθεσμη απόκριση του μοντέλου μειωμένης τάξης για τις μεταβολές του πηδαλίου ανόδου-καθόδου γίνεται πιο κατανοητό το φαινόμενο.

Στο σχήμα Π4.2 φαίνεται η απόκριση στη μοναδιαία είσοδο βαθμίδας του πηδαλίου ανόδου-καθόδου των εμπλεκόμενων μεταβλητών. Στην ίδια εικόνα φαίνονται και οι αντίστοιχες αποκρίσεις του πλήρους μοντέλου όπως προέκυψαν προηγουμένως.

Σχήμα Π4.2. Αποκρίσεις μοντέλου μειωμένης τάξης της μικρής περιόδου-σύγκριση με το πλήρες μοντέλο

Είναι φανερό ότι οι αποκρίσεις αποκλίνουν με την πάροδο του χρόνου, όπως ήταν αναμενόμενο, καθώς στο μοντέλο μειωμένης τάξης δεν συμμετέχει η δυναμική του φυγοειδούς. Παρόλα αυτά, για τα περίπου πρώτα δέκα δευτερόλεπτα, η σύγκριση των δύο μοντέλων μας οδηγεί στο συμπέρασμα ότι το μοντέλο μειωμένης τάξης είναι αποδεκτό για τη μελέτη της βραχυπρόθεσμης απόκρισης.

Για την εφαρμογή του μοντέλου ελαττωμένης τάξης του φυγοειδούς, όπως αναλύθηκε στην αντίστοιχη παράγραφο, η εξίσωση κατάστασης που αναφέρεται στους άξονες του ανέμου είναι :

Για τη σύγκριση με τα αποτελέσματα του παραδείγματος 4.1., απλά θα χρησιμοποιηθούν οι προσεγγιστικές σχέσεις που προέκυψαν από την ανάλυση για τα χαρακτηριστικά του φυγοειδούς:

Άρα λαμβάνοντας τις τιμές των απαραίτητων παραγώγων από τα δεδομένα του αεροσκάφους:

Εφόσον γίνεται αναφορά σε υποηχητική πτήση, η παράγωγος m_u είναι μικρή ως αναμενόμενο, γεγονός που συμβαδίζει με το μοντέλο. Τα προσεγγιστικά χαρακτηριστικά αυτού του μοντέλου θα είναι:

Και πάλι συγκρίνοντας αυτές τις τιμές με τις ακριβείς τιμές του πλήρους μοντέλου παρατηρείται ότι είναι παραπλήσιες. Επειδή ο λόγος απόσβεσης είναι πάντοτε μικρός (σχεδόν μηδενικός) είναι πολύ ευαίσθητος στα λάθη στρογγυλοποίησης και στις υποθέσεις που έχουν γίνει για την εκτίμησή του κάτι που καθιστά δύσκολο τον ακριβή υπολογισμό του. Στο παράδειγμά μας η προσέγγιση είναι αρκετά ακριβής διότι όπως και προηγουμένως η ταχύτητα του αεροσκάφους είναι υποηχητική κάτι που ταιριάζει σε ικανοποιητικό βαθμό με τις υποθέσεις που έγιναν κατά την κατάστρωση αυτού του μαθηματικού μοντέλου.

4.1.4. Απόκριση Συχνότητας

Για την εκτίμηση της διαμήκους απόκρισης του αεροσκάφους Β-747 στο πεδίο της συχνότητας για τις ίδιες συνθήκες πτήσης, χρησιμοποιούνται οι συναρτήσεις μεταφοράς όπως προκύπτουν από το χαρακτηριστικό πολυώνυμο (Π4.13) και τους αριθμητές (Π4.14)-(Π4.19). Στο σχήμα Π4.3, παρουσιάζονται τα αντίστοιχα διαγράμματα Bode.

Σχήμα Π4.3 Διαγράμματα Bode της διαταραχής της ταχύτητας

Όπως αναλύεται και στο παράρτημα Β.2.4., τα διαγράμματα Bode παρουσιάζουν την απόκριση μόνιμης κατάστασης t → ∞ ενός συστήματος το οποίο έχει ημιτονοειδή είσοδο σταθερού εύρους και της οποίας η συχνότητα μπορεί να μεταβάλλεται σε κάποια περιοχή.

Γενικά μπορεί να σχολιαστεί ότι:

•         Για χαμηλή απόσβεση η καμπύλη του κέρδους παρουσιάζει απότομο μέγιστο στη συχνότητα θλάσης. Εφόσον, όπως προέκυψε και από την ιδιοδιανυσματική ανάλυση, η μορφή της μικρής περιόδου, η οποία κυριαρχεί στις αποκρίσεις των w (άρα και της α) και q, έχει σχετικά χαμηλό λόγο απόσβεσης. Αυτό επιβεβαιώνεται από το ελαφρό μέγιστο που παρουσιάζεται στη συχνότητά της, στην καμπύλη κέρδους της γωνίας πρόσπτωσης.

•         Όσον αφορά την καμπύλη της φάσης, όταν η απόσβεση είναι χαμηλή, παρουσιάζεται έντονη κλίση στην περιοχή της συχνότητας θλάσης η οποία αποτελεί και σημείο καμπής. Αυτό παρατηρείται και στα τρία διαγράμματα φάσης και κυρίως στη συχνότητα της μικρής περιόδου.

•         Όταν ένα ζεύγος μιγαδικών πόλων ή μηδενιστών βρίσκεται κοντά στον φανταστικό άξονα παρουσιάζεται χαρακτηριστικό μέγιστο ή ελάχιστο στην καμπύλη του κέρδους με έντονη κλίση της καμπύλης φάσης στη συχνότητα θλάσης. Παρατηρώντας τις συναρτήσεις μεταφοράς και τα διαγράμματα, αυτό επιβεβαιώνεται και για τις τρεις μεταβλητές u, w, q.

•         Μηδενιστής στο δεξί μιγαδικό ημιεπίπεδο, συνεπάγεται ελάχιστο στην καμπύλη του κέρδους και μείωση της φάσης κατά ≈180°. Κάτι τέτοιο δεν είναι εμφανές στα διαγράμματα Π4.3 και επιβεβαιώνεται παρατηρώντας τις αντίστοιχες ΣΜ.

•         Το κέρδος είναι ανάλογο της ευαισθησίας της απόκρισης στην εντολή εισόδου. Η πιο ευαίσθητη μεταβλητή είναι σαφώς η ταχύτητα u. Το αρνητικό κέρδος σε μια περιοχή συχνοτήτων που παρατηρείται στο διάγραμμα της γωνίας πρόσπτωσης, σημαίνει ότι αλλάζει το πρόσημο της απόκρισης.

5: ΕΓΚΑΡΣΙΑ ΔΥΝΑΜΙΚΗ

Σύνοψη

Το κεφάλαιο πραγματεύεται την ανάλυση της εγκάρσιας δυναμικής και τα μοντέλα χαμηλότερης τάξης με τα οποία μπορεί να προσεγγιστεί. Η ανάλυση που πραγματοποιείται είναι αντίστοιχη με το προηγούμενο κεφάλαιο 4 της διαμήκους δυναμικής. Επίσης, παρουσιάζονται εφαρμογές εξαγωγής των αποκρίσεων στα πεδία του χρόνου και της συχνότητας των μεγεθών που εμπλέκονται στην εγκάρσια δυναμική.

Προαπαιτούμενη γνώση

Πέρα από το υπόβαθρο που χρησιμοποιήθηκε και στο προηγούμενο κεφάλαιο, απαιτείται μια γενική εικόνα των συναρτήσεων μεταφοράς της εγκάρσιας-διεύθυνσης δυναμικής, από το ΠΑΡΑΡΤΗΜΑ Δ.3.

1. Απόκριση σε εντολές ελέγχου

Με την ίδια λογική όπως στη διαμήκη ανάλυση εξετάζεται και ο έλεγχος της εγκάρσιας δυναμικής και της δυναμικής διεύθυνσης του αεροσκάφους. Μόνο οι περιπτώσεις που διαφέρουν σημαντικά, θα παρουσιασθούν εδώ εκτεταμένα. Μέσω των μεθόδων που παρουσιάζονται αναλυτικά στο Παράρτημα Β, εξάγονται οι συναρτήσεις μεταφοράς της εγκάρσιας-διεύθυνσης δυναμικής, οι οποίες προκύπτουν από τις αντίστοιχες εξισώσεις κίνησης.

Οι εξισώσεις κίνησης περιγράφουν πλήρως τη γραμμική, ασύμμετρη, δυναμική απόκριση της πλαγιολίσθησης, της περιστροφής (κλίσης) και της εκτροπής, ως προς τις εντολές εισόδου στα πηδάλια κλίσης και εκτροπής. Όπως και στις λύσεις που προκύπτουν στη διαμήκη δυναμική, οι δυναμικές ιδιότητες που καθορίζονται από τα χαρακτηριστικά ευστάθειας της εγκάρσιας-διεύθυνσης δυναμικής του αεροσκάφους εμφανίζονται στην απόκριση των εμπλεκόμενων μεταβλητών κατάστασης του αεροσκάφους. Υπενθυμίζεται ότι η μοντελοποίηση και κατάστρωση των εξισώσεων, έγινε υπό την παραδοχή μικρών διαταραχών γύρω από μια κατάσταση ισορροπίας και οι συναρτήσεις μεταφοράς είναι γραμμικές. Η κατάσταση ισορροπίας αντιστοιχεί σε μόνιμη-σταθερή και οριζόντια πτήση. Δηλαδή όπως και στην ανάλυση της διαμήκους δυναμικής:

Όπως παρουσιάζονται στο Παράρτημα Γ.3.2, από την επίλυση των εξισώσεων κίνησης προκύπτουν δύο ομάδες συναρτήσεων μεταφοράς που εκφράζουν τη σχέση των μεταβλητών κατάστασης ως προς τα δύο πιθανά σήματα εισόδου. Η πιο σημαντική διαφορά, σχετίζεται με το γεγονός ότι γενικά οι μορφές ευστάθειας της εγκάρσιας-διεύθυνσης δυναμικής τείνουν να μην είναι τόσο ευδιάκριτες, εφόσον υφίσταται δυναμική σύζευξη σε μεγαλύτερο βαθμό από ότι στη διαμήκη ανάλυση. Αυτό συνεπάγεται περισσότερη προσοχή στην επιλογή των υποθέσεων που εισάγονται για την απλοποίηση της ανάλυσής τους. Αντίθετα με τη διαμήκη δυναμική, ένα μεγάλο πλεονέκτημα είναι ότι η εγκάρσια-διεύθυνσης δυναμική δεν μεταβάλλεται σημαντικά σε σχέση με τις συνθήκες πτήσης, λόγω της γεωμετρικής, άρα και αεροδυναμικής συμμετρίας ως προς το εγκάρσιο επίπεδο Oxz των πλείστων αεροσκαφών από την αρχική τους σχεδίαση.

Οι εγκάρσιες-διεύθυνσης εξισώσεις κίνησης των μικρών διαταραχών γύρω από μια κατάσταση ισορροπίας που αναφέρονται στους άξονες του ανέμου (Θ_e ≡ α_e = 0) δίνονται από την εξίσωση (5.2):

Η λύση της εξίσωσης αυτής μας δίνει δύο σετ από συναρτήσεις μεταφοράς. Ως προς τα πηδάλια κλίσεως:

Και αντίστοιχα οι συναρτήσεις μεταφοράς που περιγράφουν την απόκριση ως προς το πηδάλιο διεύθυνσης:

Η πολυωνυμική έκφραση του αριθμητή και του κοινού παρονομαστή προκύπτει όπως περιγράφεται στο Παράρτημα Γ.3.2. Τα πολυώνυμα παραγοντοποιούνται σε πραγματικές ρίζες και ζεύγη μιγαδικών ριζών. Οι ρίζες ερμηνεύονται ως χρονικές σταθερές, λόγοι απόσβεσης και φυσικές συχνότητες οπότε οι σχετικές πληροφορίες λαμβάνονται άμεσα από τις πιο πάνω εξισώσεις. Πρέπει επίσης να σημειωθεί, ότι οι όροι του αριθμητή και του παρονομαστή αποτελούν την τυπική μορφή που συναντάται στα περισσότερα συμβατικά αεροσκάφη.

Παρατηρείται ότι η σημειολογία, όπως χρησιμοποιείται στο [3], αποκαλύπτει παρόμοιες τιμές για κάποιους αριθμητές τόσο στις συναρτήσεις μεταφοράς των πηδαλίων κλίσεως όσο και σε εκείνες του πηδαλίου διεύθυνσης, για παράδειγμα οι όροι k_r ,T_ψ ,ζ_ψ και ω_ψ εμφανίζονται τόσο στην όσο και στην . Πρέπει να γίνει κατανοητό ότι οι αριθμητές εξαρτώνται από την εξίσωση στην οποία γίνεται αναφορά, ενώ συνήθως έχουν αριθμητικές τιμές που είναι μοναδικά σχετιζόμενες με τις αντίστοιχες συναρτήσεις μεταφοράς. Έτσι, αυτή η σημειολογία χρησιμεύει μόνο στον καθορισμό του ρόλου κάθε όρου ως κέρδος, χρονική σταθερά, λόγο απόσβεσης ή συχνότητα.

Όπως και προηγουμένως ο παρονομαστής που είναι κοινός σε όλες τις συναρτήσεις μεταφοράς, είναι το χαρακτηριστικό πολυώνυμο το οποίο περιγράφει τα εγκάρσια-διεύθυνσης χαρακτηριστικά ευστάθειας του αεροσκάφους. Έτσι, η απόκριση όλων των μεταβλητών ως προς τα πηδάλια κλίσης ή διεύθυνσης καθορίζεται από τους όρους του παρονομαστή, δηλαδή τη χρονική σταθερά, τον λόγο απόσβεσης και τη φυσική συχνότητα. Οι διαφορές ανάμεσα σε κάθε μια από τις αποκρίσεις οφείλονται αποκλειστικά στους αντίστοιχους αριθμητές, όπως προαναφέρθηκε στο 4ο Κεφάλαιο.

2. Η χαρακτηριστική εξίσωση

Για ένα τυπικό αεροσκάφος, το εγκάρσιο-διεύθυνσης χαρακτηριστικό πολυώνυμο είναι τέταρτης τάξης, καθορίζει τον κοινό παρονομαστή των συναρτήσεων μεταφοράς ενώ όταν εξισώνεται με το μηδέν προσδιορίζεται η χαρακτηριστική εξίσωση:

Η χαρακτηριστική εξίσωση (5.11) παραγοντοποιείται σε δύο πραγματικές ρίζες και σε ένα ζεύγος μιγαδικών ριζών :

Από την έκφραση της χαρακτηριστικής εξίσωσης, διακρίνονται τρεις μορφές κίνησης, όπως καταγράφονται από τον Nelson [5]:

•         Η μορφή του σπειροειδούς (spiral mode), η οποία είναι μία μη ταλαντωτική μορφή που περιγράφεται από την πρώτη πραγματική ρίζα της χαρακτηριστικής εξίσωσης (5.12)

•         Η μορφή υποχώρησης της περιστροφής (roll subsidence), η οποία είναι επίσης μη ταλαντωτική μορφή και περιγράφεται από τη δεύτερη πραγματική ρίζα της χαρακτηριστικής εξίσωσης (5.12)

•         Η μορφή της ολλανδικής περιστροφής (dutch roll) που είναι ταλαντωτική μορφή και περιγράφεται από το ζεύγος των μιγαδικών ριζών της χαρακτηριστικής εξίσωσης (5.12).

Οι εξισώσεις κίνησης από τις οποίες προέκυψε η χαρακτηριστική εξίσωση αναφέρονται στο σύστημα αξόνων του ανέμου, οπότε οι μορφές ευστάθειας που περιγράφονται με την εξίσωση (5.12) μας παρέχουν την πλήρη περιγραφή της εγκάρσιας-διεύθυνσης δυναμικής του αεροσκάφους σε σχέση με το διάνυσμα της μόνιμης ολικής ταχύτητας και με τους περιορισμούς των μικρών διαταραχών που τέθηκαν κατά την εξέλιξή του.

Όταν οι εξισώσεις κίνησης αναφέρονται στο σωματόδετο σύστημα αναφοράς, η εξίσωση κατάστασης (5.2) είναι 5ης τάξης και η χαρακτηριστική εξίσωση είναι επίσης πέμπτης τάξης. Τότε το χαρακτηριστικό πολυώνυμο αναλύεται στους ακόλουθους παράγοντες:

Οι μορφές της ευστάθειας εξακολουθούν να ορίζονται με τον ίδιο τρόπο. Η διαφορά είναι η προσθήκη της μηδενικής ρίζας που υποδεικνύει ουδέτερη ευστάθεια ως προς την εκτροπή ή αλλιώς ως προς την πορεία (heading) που ακολουθεί το αεροσκάφος. Η μηδενική ρίζα προκύπτει από την προσθήκη της γωνίας εκτροπής ψ, στην εξίσωση κατάστασης. Η ερμηνεία της εγκάρσιας-διεύθυνσης δυναμικής παραμένει η ίδια με προηγουμένως ενώ η επιπλέον πληροφορία απλά μας δίνει την ένδειξη ότι το αεροσκάφος δεν έχει συγκεκριμένη γωνία εκτροπής ή πορείας. Με άλλα λόγια, η εγκάρσια-διεύθυνσης δυναμική του αεροσκάφους επιλύεται γύρω από το διάνυσμα της μόνιμης ολικής ταχύτητας με την υπόθεση ότι το αεροσκάφος έχει μια αυθαίρετη διεύθυνση. Η ερμηνεία των μη μηδενικών ριζών της χαρακτηριστικής εξίσωσης είναι συνυφασμένη με τις ιδιότητες της κλασσικής διάταξης μάζας-ελατηρίου-αποσβεστήρα όπως αναλύεται στο παράρτημα Β.2.2.

Καθώς οι μορφές της ευστάθειας δεν είναι τόσο διακριτές, υφίσταται μεγαλύτερη σύζευξη ή αλληλεπίδραση των μορφών σε σχέση με την περίπτωση της διαμήκους δυναμικής. Έτσι, ενώ οι υποθέσεις που γίνονται κατά την επίλυση είναι λιγότερο κατάλληλες, καθιερώθηκε ένας συνδυασμός αποδεκτών διαδικασιών οι οποίες ακολουθούνται και στη συνέχεια. Ο αντικειμενικός σκοπός βέβαια είναι ο εντοπισμός των αεροδυναμικών παραγόντων που κυριαρχούν σε κάθε μια από τις μορφές ευστάθειας.

Η σύνδεση ανάμεσα στη δυναμική συμπεριφορά του αεροσκάφους και τα αεροδυναμικά του χαρακτηριστικά πραγματοποιείται, όπως προαναφέρθηκε, μέσω των παραγώγων ευστάθειας οι οποίες εμφανίζονται αντικαθιστώντας τις συντετμημένες παραγώγους από το παράρτημα Δ.3.1 συναρτήσει των διαστατών παραγώγων ευστάθειας, στην εξίσωση κατάστασης. Περαιτέρω ανάλυση είναι αδύνατη εκτός και εάν εφαρμοστούν πολύ μεγάλες παραδοχές. Για να αντιμετωπιστεί αυτή τη δυσκολία μπορεί να χρησιμοποιηθεί το μοντέλο μειωμένης τάξης όπως θα αναλυθεί σε επόμενη παράγραφο.

3. Οι μορφές της δυναμικής ευστάθειας

Όπως ακριβώς και με τις μορφές της διαμήκους ευστάθειας, οποτεδήποτε το αεροσκάφος υφίσταται κάποια διαταραχή σε σχέση με την κατάσταση ισορροπίας εμφανίζονται οι μορφές της εγκάρσιας-διεύθυνσης ευστάθειας. Η διαταραχή μπορεί να προκληθεί από τους χειρισμούς του πιλότου, από μια μεταβολή στην ισχύ, μια μεταβολή στη διαμόρφωση του αεροσκάφους, όπως για παράδειγμα η έκταση του συστήματος προσγείωσης ή από κάποιο εξωτερικό παράγοντα όπως μια ριπή ανέμου ή μια ατμοσφαιρική ανατάραξη.

3.1. Η μορφή υποχώρησης της περιστροφής

Η μορφή υποχώρησης της περιστροφής (roll subsidence mode), είναι ένα μη ταλαντωτικό εγκάρσιο χαρακτηριστικό το οποίο συνήθως είναι σημαντικά αποσυζευγμένο από τη μορφή του σπειροειδούς και της ολλανδικής περιστροφής. Επειδή είναι μη ταλαντωτικό περιγράφεται από μια και μόνη πραγματική ρίζα του χαρακτηριστικού πολυωνύμου, ενώ εμφανίζεται ως ένα εκθετικό χαρακτηριστικό καθυστέρησης στην κίνηση περιστροφής. Οι αρχές της μηχανικής της πτήσης που καθορίζουν αυτή τη συμπεριφορά απεικονίζονται στο σχήμα 5.1.

Σχήμα 5.1 Βασικά μεγέθη στη μορφή υποχώρησης της περιστροφής

Στο σχήμα 5.1 απεικονίζεται η πρόσοψη του αεροσκάφους, εφόσον όπως ορίστηκε στο υποκεφάλαιο 2.1.2 του Κεφ.1, θετική περιστροφή σημαίνει ότι η δεξιά πτέρυγα κινείται προς τα κάτω . Υποτίθεται ότι το αεροσκάφος έχει μόνο ένα βαθμό ελευθερίας, ως προς την περιστροφή, περί τον άξονα οx και ότι πετά σε αντισταθμισμένη πτήση με τις πτέρυγες οριζόντιες. Τότε, όταν το αεροσκάφος δεχτεί μια διαταραχή θετικής ροπής περιστροφής L θα ξεκινήσει να στρέφεται με γωνιακή επιτάχυνση p = σύμφωνα με τον 2o νόμο του Νεύτωνα:

Εφόσον το αεροσκάφος είναι εγκάρσια στατικά ευσταθές, οι αεροδυναμικοί μηχανισμοί θα δημιουργήσουν μια ροπή περιστροφής επαναφοράς προς την κατάσταση ισορροπίας. Αν καθοριστούν δείκτες 1 και 2 για τη δεξιά (κατερχόμενη) και την αριστερή (ανερχόμενη) ως προς τον πιλότο πτέρυγα αντίστοιχα, τότε κατά τη θετική περιστροφική κίνηση:

•         Η κάθε πτέρυγα βλέπει μια συνιστώσα της ολικής ταχύτητας , που είναι κάθετη στο επίπεδό της.

•         Αυξάνεται η γωνία πρόσπτωσης της κατερχόμενης, δεξιάς πτέρυγας.

•         Αντίστοιχα μειώνεται η γωνία πρόσπτωσης της ανερχόμενης αριστερής πτέρυγας.

•         Η διαφορική άνωση που δημιουργείται, προκαλεί με τη σειρά της, την εμφάνιση μιας περιστροφικής ροπής επαναφοράς.

•         Η διαφορική οπισθέλκουσα που δημιουργείται, προκαλεί με τη σειρά της ροπή εκτροπής, αλλά αυτή είναι τόσο μικρή ώστε μπορεί να αγνοηθεί.

•         Μετά τη διαταραχή ο ρυθμός περιστροφής p αυξάνεται εκθετικά έως ότου η διορθωτική ροπή εξισορροπήσει τη ροπή που προκάλεσε η διαταραχή και το αεροσκάφος αποκτήσει τελικά ένα σταθερό ρυθμό περιστροφής.

Στην πράξη αυτού του είδους η συμπεριφορά είναι περισσότερο μεταβατική παρά συνεχόμενη. Η φυσική συμπεριφορά που μόλις περιγράφηκε προκαλεί σταθεροποίηση σε όλα τα αεροσκάφη που επιχειρούν μέσα στα γραμμικά αεροδυναμικά όρια του φακέλου πτήσης τους. Για τον λόγο αυτό η συγκεκριμένη μορφή ευστάθειας μερικές φορές ονομάζεται και «απόσβεση της περιστροφής» (damping in roll).

Σε μερικά μοντέρνα μαχητικά αεροσκάφη, που έχουν σχεδιαστεί ώστε να επιχειρούν σε κάποιες σημαντικά μη γραμμικές αεροδυναμικές συνθήκες πτήσης, για παράδειγμα σε γωνίες πρόσπτωσης που προσεγγίζουν τις , είναι δυνατόν οι φυσικές συνθήκες που καθορίζουν τη μορφή της περιστροφής να πάψουν να ισχύουν σχεδόν τελείως, όπως αναφέρεται στο [3]. Η συνεπαγόμενη απώλεια της ευστάθειας ως προς την περιστροφή μπορεί να οδηγήσει στο λεγόμενο “roll departure”, δηλαδή σε απώλεια ελέγχου του αεροσκάφους με την εμφάνιση συνεχόμενων περιστροφών που μπορεί να ακολουθηθεί από σύνθετες κινήσεις του αεροσκάφους ως προς τον κατακόρυφο ή τον εγκάρσιο άξονα αρκετά επικίνδυνης φύσης (δηλαδή πτήση κοντά στα όρια έναρξης περιδίνησης).

Παρόλα αυτά σε ένα συμβατικό αεροσκάφος ο τύπος της περιστροφής παρουσιάζεται στον πιλότο ως μια καθυστέρηση στην απόκριση των πηδαλίων ως προς την κλίση του αεροσκάφους. Η χρονική σταθερά της καθυστέρησης εξαρτάται κατά μεγάλο βαθμό από τη ροπή αδράνειας διατοιχισμού I_x, καθώς και από τις αεροδυναμικές ιδιότητες της πτέρυγας ενώ είναι Τ_r ~ 1 sec.

3.2. Η μορφή του σπειροειδούς

Το σπειροειδές (spiral mode), είναι επίσης μη ταλαντωτικό και καθορίζεται από την άλλη πραγματική ρίζα στο χαρακτηριστικό πολυώνυμο. Η διέγερση αυτής της μορφής, έχει συνήθως αργή εξέλιξη, ενώ εμπλέκονται περίπλοκες συζευγμένες κινήσεις ως προς την εκτροπή, την κλίση και την πλαγιολίσθηση. Οι κυρίαρχες αρχές της μηχανική της πτήσης που προσδιορίζουν τη δυναμική αυτού του τύπου απεικονίζονται στο σχήμα 5.2. Τα χαρακτηριστικά αυτής της μορφής εξαρτώνται σε μεγάλο βαθμό από την εγκάρσια στατική ευστάθεια, καθώς και από τη στατική ευστάθεια διεύθυνσης του αεροσκάφους, όπως παρουσιάστηκαν στο υποκεφάλαιο 4 του κεφαλαίου 2.

Βίντεο 5.1 Η μορφή του σπειροειδούς

Το σπειροειδές διεγείρεται -όπως και στην προηγούμενη μορφή της υποχώρησης της περιστροφής- μετά από μια διαταραχή της ροπής περιστροφής L, που η θετική φορά ορίζει ως κατερχόμενη τη δεξιά πτέρυγα και προκαλεί μια διαταραχή πλαγιολίσθησης β. Υποθέτοντας ότι το αεροσκάφος πετά αντισταθμισμένο σε οριζόντια πτήση:

•         Η ροπή διαταραχής L, προκαλεί την εμφάνιση μια μικρής κλίσης γωνίας φ.

•         Εφόσον δεν υπάρξει κάποια διορθωτική ενέργεια από τον πιλότο η κλίση προκαλεί πλαγιολίσθηση με ταχύτητα v, όπως φαίνεται στην εικόνα (a) του σχήματος 5.2.

•         Η πλαγιολίσθηση θέτει το κάθετο σταθερό (fin) σε γωνία πρόσπτωσης β που έτσι παράγει άνωση και συνεπώς μια ροπή εκτροπής Ν, η οποία τείνει να επαναφέρει την κεφαλή του αεροσκάφους προς τη διεύθυνση της πλαγιολίσθησης.

•         Η εκτροπή παράγει διαφορική άνωση κατά μήκος του εκπετάσματος των πτερύγων, που με τη σειρά της προκαλεί ανάλογη ροπή διατοιχισμού L και έτσι η δεξιά πτέρυγα κατέρχεται περαιτέρω επιδεινώνοντας το φαινόμενο. Αυτή η εξέλιξη φαίνεται στις εικόνες (b) και (c).

•         Η επίδραση της δίεδρης γωνίας, λειτουργεί διορθωτικά με τη δημιουργία αντίθετης ροπής διατοιχισμού λόγω της πλαγιολίσθησης.

•         Η άνωση στο κάθετο σταθερό, που συνήθως έχει σημείο εφαρμογής λίγο πάνω από τον άξονα Οx, προκαλεί επίσης μια μικρή διορθωτική ροπή.

Κατά την εξέλιξη του φαινομένου, η επίδραση του κάθετου σταθερού, δηλαδή η στατική ευστάθεια διεύθυνσης και η επίδραση της δίεδρης γωνίας δηλαδή η εγκάρσια στατική ευστάθεια, αντιδρούν. Τυπικά οι απαιτήσεις που θέτουν οι κανονισμοί είναι τέτοιες ώστε τα αντίθετα φαινόμενα που προκαλούνται πρέπει να αλληλοεξουδετερώνονται. Όταν η επίδραση της δίεδρης γωνίας υπερνικά την επίδραση του κάθετου σταθερού, η μορφή του σπειροειδούς είναι ευσταθής, ενώ όταν συμβαίνει το αντίθετο το σπειροειδές είναι ασταθές.

Αφού λοιπόν αυτοί οι παράγοντες είναι σχεδόν ισοδύναμοι το σπειροειδές καθίσταται σχεδόν ουδέτερα ευσταθές ή και πλήρως ουδέτερα ευσταθές, δηλαδή ούτε αποκλίνον ούτε συγκλίνον. Όπως προαναφέρθηκε, αυτή η μορφή είναι μη ταλαντωτική, οπότε εμφανίζεται ως μια εκθετική σύγκλιση ή απόκλιση και αφού είναι σχεδόν ουδέτερη, η χρονική σταθερά είναι πολύ μεγάλη-περίπου 100 sec ή και περισσότερο. Αυτό σημαίνει ότι όταν το σπειροειδές είναι ευσταθές, η πτέρυγα επιστρέφει στον ορίζοντα πολύ αργά μετά από τη διαταραχή, ενώ όταν είναι ασταθές, ο ρυθμός της απόκλισης είναι επίσης πολύ αργός. Όταν είναι ουδέτερα ευσταθές, το αεροσκάφος απλά πετά σε μια στροφή με σταθερή κλίση.

Αυτό που μας κινεί περισσότερο την προσοχή, για προφανείς λόγους, είναι φυσικά η ασταθής κατάσταση. Όταν εμφανιστεί το σπειροειδές το αεροσκάφος πετά με ένα ελαφρά αποκλίνον ίχνος πτήσης τόσο ως προς την κλίση όσο και ως προς την εκτροπή ενώ ταυτόχρονα, καθώς οι κατακόρυφες δυνάμεις δεν βρίσκονται σε ισορροπία, το αεροσκάφος χάνει και ύψος. Έτσι, το ασταθές ίχνος πτήσης είναι μια σπειροειδής βύθιση η οποία εφόσον δεν ελεγχθεί θα σταματήσει όταν το αεροσκάφος χτυπήσει το έδαφος! Όμως επειδή ο ρυθμός απόκλισης είναι πολύ αργός, οι περισσότεροι πιλότοι εύκολα αντιμετωπίζουν το σπειροειδές.

Κατά συνέπεια το ασταθές σπειροειδές (σπειροειδής βύθιση-spiral departure) είναι δυνατόν να επιτραπεί με την προϋπόθεση ότι η χρονική σταθερά είναι επαρκώς μεγάλη. Από την άλλη όμως, επειδή το φαινόμενο εξελίσσεται πολύ αργά και οι επιταχύνσεις που αναπτύσσονται είναι πολύ μικρές, ο πιλότος έχει πολύ λίγες ενδείξεις ώστε να αντιληφθεί τι ακριβώς συμβαίνει με βάση το σύστημα ισορροπίας του ανθρώπινου οργανισμού.

Έτσι, κατά τη σπειροειδή βύθιση, τα οπτικά ερεθίσματα (visual cues) από τον περιβάλλοντα χώρο-έδαφος, καθίστανται τα σημαντικότερα εφόδια που έχει ο πιλότος για να αντιληφθεί την κατάσταση, όπως σημειώνει και ο Nelson [5]. Πρέπει εδώ να τονιστεί ότι η σπειροειδής βύθιση, δεν είναι το ίδιο με την περιδίνηση. Η κίνηση του αεροσκάφους στην περιδίνηση, πραγματοποιείται με το αεροσκάφος σε πλήρως ανεπτυγμένη απώλεια στήριξης (stall), ενώ στη σπειροειδή βύθιση η πτέρυγα συνεχίζει να πετά κατά τη συνηθισμένη έννοια.

3.3. Η μορφή της ολλανδικής περιστροφής

Η ολλανδική περιστροφή είναι ουσιαστικά μια κλασσική αποσβενόμενη ταλάντωση ως προς την εκτροπή περί τον άξονα Οz που εμφανίζει σύζευξη με την περιστροφή και σε λιγότερο βαθμό με την πλαγιολίσθηση. Η κίνηση λοιπόν που περιγράφεται με την ολλανδική περιστροφή, είναι μια σύνθετη αλληλεπίδραση ανάμεσα σε όλους τους βαθμούς ελευθερίας της εγκάρσιας-διεύθυνσης δυναμικής. Τα χαρακτηριστικά του περιγράφονται από το ζεύγος των μιγαδικών ριζών στο χαρακτηριστικό πολυώνυμο (5.12).

Ουσιαστικά η ολλανδική περιστροφή, είναι το ισοδύναμο της εγκάρσιας-διεύθυνσης δυναμικής, με τη μορφή της μικρής περιόδου της διαμήκους δυναμικής. Επειδή οι ροπές αδρανείας πρόνευσης και εκτροπής έχουν παρόμοιο μέγεθος οι συχνότητες της ολλανδικής περιστροφής και της μικρής περιόδου είναι παρόμοιες. Όμως, επειδή το κάθετο σταθερό είναι λιγότερο αποτελεσματικό ως αποσβεστήρας σε σχέση με το οριζόντιο σταθερό, η απόσβεση της είναι συνήθως μη επαρκής. Η μορφή αυτή ονομάστηκε έτσι, επειδή η κίνηση του αεροσκάφους μοιάζει με τη ρυθμική κίνηση ενός Ολλανδού παγοδρόμου στα παγωμένα κανάλια της Ολλανδίας! Ένας κύκλος από την κίνηση του αεροσκάφους φαίνεται στο σχήμα 5.3

Βίντεο 5.2 Η μορφή της ολλανδικής περιστροφής

Η φυσική κατάσταση που εμφανίζεται εδώ, μπορεί να γίνει αντιληπτή πιο εύκολα, εάν απεικονιστεί το αεροσκάφος σαν να είναι αναρτημένο ως προς τη διεύθυνση, από ένα ελατήριο που επενεργεί περί τον άξονα Οz. Τα χαρακτηριστικά ακαμψίας του ελατηρίου είναι αεροδυναμικά και προσδιορίζονται σε μεγάλο βαθμό από το κάθετο σταθερό. Καθώς το αεροσκάφος πετά αντισταθμισμένο σε ευθεία οριζόντια πτήση ισορροπίας, εφαρμόζεται μια ροπή διαταραχής Ν, ως προς την εκτροπή:

•         Το αεροδυναμικό ισοδύναμο του ελατηρίου του κάθετου σταθερού, προκαλεί μια διορθωτική ροπή εκτροπής -Ν που καταλήγει στην κλασσική ταλάντωση.

•         Όταν η ταλάντωση αυτή αναπτυχθεί πλήρως, η σχετική ταχύτητα του αέρα πάνω από τη δεξιά και την αριστερή πτέρυγα, μεταβάλλεται ανάλογα, με ταλαντωτικό τρόπο.

•         Η συμπεριφορά της σχετικής ταχύτητας με τη σειρά της, προκαλεί ταλαντωτικές διαφορικές μεταβολές της άνωσης και της οπισθέλκουσας.

•         Αυτή η αεροδυναμική σύζευξη προκαλεί μια ταλάντωση ως προς την περιστροφή, που υστερεί της ταλάντωσης ως προς την εκτροπή κατά 90°.

•         Λόγω της διαφοράς φάσης ανάμεσα στην κίνηση της εκτροπής και της περιστροφής, η πτέρυγα που προηγείται κατέρχεται ενώ η πτέρυγα που οπισθοχωρεί ανέρχεται, όπως φαίνεται στο σχήμα 6.5.

Κατά συνέπεια, η κίνηση υποδηλώνεται από το ίχνος που σημειώνουν τα ακροπτερύγια ως προς τον ορίζοντα, το οποίο είναι συνήθως ελλειπτικό, κάτι που επίσης φαίνεται στο ίδιο σχήμα.

Αυτή η συνθήκη, υποδηλώνει ευσταθή ολλανδική περιστροφή. Αντίθετα όταν αυτός ο λόγος είναι μεγαλύτερος από ένα είναι πιθανόν να προκύψει ασταθής ολλανδική περιστροφή. Οποτεδήποτε οι πτέρυγες διαταράσσονται από την ισορροπία το αεροσκάφος αρχίζει να πλαγιολισθαίνει προς την πτέρυγα που είναι χαμηλότερα. Έτσι, η ταλαντωτική κίνηση ως προς τον διατοιχισμό κατά την ολλανδική περιστροφή, οδηγεί σε κάποιας έκτασης ταλαντωτική κίνηση ως προς την εκτροπή, αν και η ταχύτητα της πλαγιολίσθησης είναι γενικά μικρή. Οι αεροδυναμικές ιδιότητες του κάθετου σταθερού καθορίζουν σε μεγάλο βαθμό τόσο την απόσβεση όσο και την ακαμψία στην εκτροπή, που με τη σειρά τους ορίζουν τα χαρακτηριστικά αυτής της μορφής της ευστάθειας. Έτσι, για ευσταθή ολλανδική περιστροφή, απαιτείται η ύπαρξη ενός μεγάλου κάθετου σταθερού στο αεροσκάφος. Δυστυχώς αυτό αντιτίθεται στην απαίτηση για ευσταθές σπειροειδές όπως έγινε εμφανές προηγουμένως.

Συνεπώς κατά τη σχεδίαση, η μέση λύση που συνήθως προτιμάται είναι ελαφρώς ασταθές σπειροειδές και ολλανδική περιστροφή με φτωχή απόσβεση. Φυσικά η πολυπλοκότητα της υπονοεί ότι εκτός του κάθετου σταθερού υφίστανται και άλλοι αεροδυναμικοί παράγοντες (π.χ. η γεωμετρία της κύριας πτέρυγας) που διαμορφώνουν τα χαρακτηριστικά του, που μάλιστα παίζουν εξίσου σημαντικό ρόλο με το κάθετο σταθερό. Για αυτόν τον λόγο είναι εξαιρετικά δύσκολο να ποσοτικοποιηθούν όλοι οι παράγοντες που διαμορφώνουν τα χαρακτηριστικά της ολλανδικής περιστροφής.

4. Μοντέλο μειωμένης τάξης

Σε αντίθεση με τις διαμήκεις εξισώσεις κίνησης είναι πιο δύσκολη η επίλυση των εξισώσεων της εγκάρσιας-διεύθυνσης δυναμικής με κάποιου είδους προσέγγιση. Επειδή όπως προαναφέρθηκε, υφίσταται κάποιας μορφής σύζευξη στην κίνηση, άλλοτε περισσότερο και άλλοτε λιγότερο, οι τρεις μορφές δεν είναι τόσο διακριτές με επακόλουθο οι απλοποιήσεις να καταλήγουν σε απώλεια της ακρίβειας. Έτσι, ουσιαστικά τέτοιες προσεγγίσεις δεν έχουν πρακτική σημασία-εκτός από το να μας παρέχουν κάποια επιπλέον κατανόηση της μηχανικής της κίνησης κατά το εγκάρσιο επίπεδο και το επίπεδο διεύθυνσης.

Όπως προαναφέρθηκε και σε αντιστοιχία με τη διαμήκη χαρακτηριστική εξίσωση, για την εγκάρσια-διεύθυνσης δυναμική το χαρακτηριστικό πολυώνυμο εκφράζεται ως:

Δεδομένου βέβαια ότι οι εξισώσεις κίνησης αναφέρονται στους άξονες του ανέμου. Η πιο απλή και ταυτόχρονα η πιο ακριβής λύση της χαρακτηριστικής εξίσωσης μας παρέχει μια αρχική προσέγγιση μόνο για τις δύο πραγματικές λύσεις. Παρατηρείται ότι στα συμβατικά αεροσκάφη οι συντελεστές A, B, C, D και E δεν μεταβάλλονται σημαντικά με τις συνθήκες πτήσης. Τυπικά οι Α και Β είναι σχετικά μεγάλοι ενώ οι D και E είναι πολύ συχνά κοντά στο μηδέν. Επιπλέον έχει παρατηρηθεί ότι Β>>Α και E<<D οπότε οι λύσεις προσεγγίζονται από τις εξής εκφράσεις, όπως ορίζονται στο [3]:

Για το ζεύγος των μιγαδικών ριζών που περιγράφουν την ολλανδική περιστροφή, δεν υφίστανται τέτοιες απλές προσεγγιστικές λύσεις. Με την εφαρμογή κάποιων επιπλέον υποθέσεων στις εκφράσεις για τα A, B, C, D και E, που δίνονται στο παράρτημα Γ.3.2, που βασίζονται στην παρατηρούμενη συμπεριφορά των μορφών ευστάθειας σε πραγματικά αεροσκάφη, θα μπορούσαν να γίνουν πιο κατανοητοί οι αεροδυναμικοί παράγοντες που διαμορφώνουν την περιστροφή και το σπειροειδές. Ευτυχώς οι ίδιες πληροφορίες μπορούν να ληφθούν και από μια παλαιότερη μέθοδο που εμπλέκει τη μείωση της τάξης των εξισώσεων κίνησης. Οι εξισώσεις (5.17) μπορούν να χρησιμοποιηθούν για πρόχειρο έλεγχο των λύσεων που προκύπτουν από τον υπολογιστή ή για την αρχική εκτίμηση των δύο μορφών εγκάρσιας-διεύθυνσης δυναμικής του αεροσκάφους.

4.1. Η προσέγγιση της περιστροφής

Με την προϋπόθεση ότι η διαταραχή είναι μικρή, παρατηρείται ότι η μορφή της υποχώρησης της περιστροφής, εμπλέκει μόνο κίνηση διατοιχισμού με πολύ μικρή σύζευξη ως προς την πλαγιολίσθηση ή την εκτροπή. Έτσι, το μοντέλο της μειωμένης τάξης προκύπτει μηδενίζοντας τις παραγώγους ευστάθειας της πλάγιας δύναμης και της ροπής εκτροπής από την εγκάρσια-διεύθυνσης εξίσωση κατάστασης (5.2):

Άρα:

Επιπλέον, εφόσον αναφερόμαστε στο σύστημα αξόνων του ανέμου τότε l_φ = 0 και η εξίσωση (5.19) καταλήγει στην εξίσωση της ροπής διατοιχισμού με ένα βαθμό ελευθερίας:

Λαμβάνοντας το μετασχηματισμό Laplace της εξίσωσης (5.20) με μηδενικές αρχικές συνθήκες και με την υπόθεση ότι το πηδάλιο διεύθυνσης διατηρείται σταθερό,= 0 προκύπτει:

Τότε η συνάρτηση μεταφοράς του ρυθμού περιστροφής ως προς τα πηδάλια κλίσης είναι:

Αυτή συνάρτηση μεταφοράς, είναι το μειωμένης τάξης ισοδύναμο της συνάρτησης μεταφοράς που δίνεται με την (5.4) και αποτελεί απλώς τη γνωστή καθυστέρηση φάσης (phase lag) με χρονική σταθερά Τ_r. Για κίνηση μικρών διαταραχών η εξίσωση (5.25) περιγράφει με ικανοποιητική ακρίβεια τα πρώτα της απόκρισης διατοιχισμού ως προς τα πηδάλια κλίσης και μπορεί να χρησιμοποιηθεί ως μέσο για τον προσδιορισμό των κυρίαρχων αεροδυναμικών παραγώγων ευστάθειας που καθορίζουν τη χρονική σταθερά της μορφής της περιστροφής. Αντικαθιστώντας τις συντετμημένες αεροδυναμικές παραγώγους ευστάθειας από το παράρτημα Δ.3.1, η χρονική σταθερά της μορφής υποχώρησης της περιστροφής είναι κατά προσέγγιση:

Η εξίσωση (5.24) μπορεί να απλοποιηθεί περαιτέρω με την παρατήρηση ότι I_x ≫ I_xz και I_z ≫ I_xz ώστε να μας δώσει την κλασσική προσέγγιση για τη χρονική σταθερά της μορφής υποχώρησης της περιστροφής:

όπου I_x είναι η ροπή αδρανείας διατοιχισμού και είναι η διαστατοποιημένη παράγωγος ευστάθειας που περιγράφει την αεροδυναμική απόσβεση ως προς την κλίση.

4.2. Η προσέγγιση του σπειροειδούς

Επειδή το σπειροειδές είναι πολύ αργό ως προς την εξέλιξή του μετά από την εφαρμογή της διαταραχής, είναι σύνηθες να υποτίθεται ότι οι μεταβλητές κίνησης v, p και r είναι ψευδοστατικές σε σχέση με την κλίμακα χρόνου της μορφής αυτής. Επομένως:

Και η εγκάρσια-διεύθυνσης εξίσωση κατάστασης μπορεί να γραφεί :

Επιπλέον υποθέτοντας άξονες αναφοράς τους άξονες ανέμου και ότι τα χειριστήρια διατηρούνται σταθεροποιημένα, έτσι ώστε η κίνηση να θεωρηθεί μη εξαναγκασμένη, τότε η εξίσωση κατάστασης απλοποιείται περαιτέρω:

Οι πρώτες τρεις γραμμές στην εξίσωση (5.29) μπορούν να ξαναγραφτούν, ώστε να μην περιλαμβάνουν τις μεταβλητές v και r, ώστε τελικά να προκύπτει μια εξίσωση μειωμένης τάξης στην οποία οι μόνες μεταβλητές θα είναι ο ρυθμός περιστροφής p και η γωνία φ:

Ισχύει όμως ότι:

Έτσι, η εξίσωση (5.30) απλοποιείται στην εξής:

Επειδή , η εξίσωση (5.32) καταλήγει στην εξίσωση ενός βαθμού ελευθερίας που περιγράφει κατά προσέγγιση τη μη εξαναγκασμένη περιστροφική κίνηση η οποία εμπλέκεται στο σπειροειδές:

Ο μετασχηματισμός Laplace της εξίσωσης (5.33) με μηδενικές αρχικές συνθήκες είναι:

Πρέπει να σημειωθεί ότι η (5.34) που αποτελεί πλέον την εγκάρσια-διεύθυνσης χαρακτηριστική εξίσωση είναι μειωμένης τάξης, ενώ διατηρεί μια πολύ χονδρική περιγραφή μόνο των χαρακτηριστικών του σπειροειδούς. Μια προσεγγιστική έκφραση για τη χρονική σταθερά του σπειροειδούς είναι:

Η χρονική σταθερά του σπειροειδούς μπορεί να εκφραστεί συναρτήσει των αεροδυναμικών παραγώγων ευστάθειας από το παράρτημα Δ.3.1 ενώ ισχύουν:

Εφόσον αναφερόμαστε στους άξονες του ανέμου. Τότε προκύπτει:

Για ευσταθές σπειροειδές πρέπει η χρονική σταθερά Τ_s να είναι θετική. Τυπικά για τα περισσότερα αεροσκάφη σε υποηχητική ταχύτητα ισχύει :

H συνθήκη ώστε το σπειροειδές να είναι ευσταθές μπορεί να απλοποιηθεί στην κατά προσέγγιση κλασική απαίτηση:

Εφόσον εκφράζοντας τις παραγώγους στην εξίσωση (5.39) με όρους των αεροδυναμικών ιδιοτήτων του σκάφους προκύπτει περαιτέρω ανάλυση της σχέσης αυτής. Αυτό σημαίνει ότι η επίδραση της δίεδρης γωνίας L_v και η απόσβεση ως προς την εκτροπή N_r, πρέπει να είναι μεγάλες ενώ η ακαμψία ως προς την εκτροπή N_v, πρέπει να είναι μικρή. Η ροπή διατοιχισμού λόγω του ρυθμού εκτροπής L_r, είναι συνήθως θετική και βέβαια σημαντική σε μέγεθος. Με απλά λόγια αεροσκάφη με μικρά κάθετα σταθερά και εύλογα μεγάλη δίεδρη γωνία είναι πιθανότερο να έχουν σταθερό σπειροειδές.

4.3. Η προσέγγιση της ολλανδικής περιστροφής

Με σκοπό την κατάστρωση ενός μοντέλου μειωμένης τάξης για την περιγραφή της μορφή αυτής, είναι συνήθης η χονδρική παραδοχή ότι η κίνηση δεν εμπλέκει καμία ανάλογη κίνηση του αεροσκάφους ως προς την κλίση. Είναι σαφές ότι αυτό αντιφάσκει με ότι ειπώθηκε έως τώρα αλλά στηρίζεται στο γεγονός ότι η μορφή αυτή είναι κατά κύριο λόγο μια ταλάντωση ως προς την εκτροπή, ενώ η κίνηση διατοιχισμού προκαλείται, ως δευτερεύων φαινόμενο, από την αεροδυναμική σύζευξη. Πιθανόν δε στα περισσότερα αεροσκάφη ο λόγος της κλίσης προς την εκτροπή, στην ταλάντωση της ολλανδικής περιστροφής, είναι μικρότερος από τη μονάδα φτάνοντας σε κάποιες περιπτώσεις πολύ μικρότερες τιμές-γεγονός που δίνει στην υπόθεσή μας κάποιο βαθμό αξιοπιστίας. Έτσι, η εγκάρσια-διεύθυνσης εξίσωση κατάστασης μπορεί να απλοποιηθεί γράφοντας :

Όπως και προηγουμένως υποθέτοντας τους άξονες ανέμου ως άξονες αναφοράς και εφόσον τα χειριστήρια διατηρηθούν σταθεροποιημένα έτσι, ώστε η κίνηση να μην είναι εξαναγκασμένη, τότε η εγκάρσια-διεύθυνσης εξίσωση κατάστασης μπορεί να απλοποιηθεί στην εξής:

Φέρνοντας έτσι την εξίσωση (5.42) στην ακόλουθη μορφή:

Το μοντέλο μειωμένης τάξης για τη χαρακτηριστική εξίσωση, που περιγράφει κατά προσέγγιση τα δυναμικά χαρακτηριστικά της ολλανδικής περιστροφής δίνεται από:

ή διαφορετικά: